專題5.5 三角恒等變換（4類必考點(diǎn)）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題5.5三角恒等變換TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式】 1【考點(diǎn)2：二倍角公式】 4【考點(diǎn)3：三角函數(shù)式的化簡求值】 8【考點(diǎn)4：三角恒等變換的綜合問題】 12【考點(diǎn)1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式】【知識(shí)點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式】C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)1．（山西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知sinα?π4=2A．?34 B．34 C．?【答案】A【分析】根據(jù)正弦的和差角公式可得sinα?cosα=【詳解】由sinα?π4=2所以sinα?cosα故sinα故選：A.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若sinα?β?cosα?cosα?β?A．1?m2 C．1+m2 【答案】B【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式可得sin?β=m，進(jìn)而得【詳解】由sinα?β?cos所以sin?β=m，即sinβ=?m，由于β為第三象限角，所以cos故選：B3．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考階段練習(xí)）sin40°【答案】6【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，逆用、正用兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】sin故答案為：64．（2022春·北京海淀·高三海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎翞榈诙笙藿?，tanα=?43【答案】7【分析】由題知sinα=【詳解】解：因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，tan所以，sinα=所以，sin故答案為：75．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若tanα=?43，sinβ=3【答案】?【分析】利用兩角差的正弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)閠anα=?43，sin所以cosα=?35所以sinα?β=4=?7故答案為：?6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知cosx+cosy=12【答案】?【分析】將兩式平方相加，由同角平方和關(guān)系以及余弦的和角公式即可求解.【詳解】將cosx+cosy=同理將sinx?siny=①②兩式相加得2+2cos故：cos7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若m∈R，點(diǎn)Atanα,0，Btanβ,0【答案】?3【分析】先利用韋達(dá)定理與和角的正切公式求出tanα+β=3【詳解】解：由題得m≠0，tanα+tanβ=?∴tanα+β由m≠0Δ≥0?m≤∴當(dāng)m=94時(shí)，函數(shù)y=tan8．（2022春·河南·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．(1)如果A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為45,1213，求(2)在（1）的條件下，求cos(β?a)【答案】(1)cosα=3(2)33【分析】（1）根據(jù)正弦和余弦函數(shù)的定義即可求得sinα和sinβ，進(jìn)而求得（2）結(jié)合（1）的結(jié)論由兩角差的余弦公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵OA=1，OB=1，且點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為45，12∴sinα=45又∵α為銳角，∴cosα＝1?sin2（2）解：∵β為鈍角，∴由（1）知cosβ=?1?sin∴cos(β?a)=【考點(diǎn)2：二倍角公式】【知識(shí)點(diǎn)：二倍角公式】S2αsin2α＝2sin_αcos_α；變形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)1．（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）已知sinα+π6=1A．?79 B．?429 【答案】D【分析】以α+π【詳解】∵sin2α+故選：D.2．（河北省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知3sin2θ+5sinθ?2=0A．79 B．89 C．23【答案】A【分析】解方程得到sinθ=【詳解】3sin2θ+5sinθ?2=故3sinθ?1=0，sin故選：A3．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知22sinβ2?A．?33 B．?79 C．【答案】D【分析】對(duì)原式兩邊平方，再結(jié)合同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系和二倍角公式，即可求解.【詳解】由22sinβ即sin2β2所以sinβ=?故選：D.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若sin2xcosx=【答案】0【分析】根據(jù)二倍角公式即可化簡得sinx=0【詳解】由sin2xcosx=sinxcos2x得2sinx故答案為：05．（2023屆普通高中畢業(yè)生十二月全國大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知cos2α+3cosα=1【答案】±2【分析】根據(jù)條件，運(yùn)用余弦倍角公式求出cosα，確定α【詳解】由題意：cos2α+3cosα=1∵cosα≤1，∴如果α在第一象限，則有sinα=∴tan如果α在第四象限，則有tanα=?故答案為：±236．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知α∈π2,π，【答案】?【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得cosα=?【詳解】因?yàn)棣痢师?,π，sinα=故答案為：?7．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）函數(shù)y=3sin【答案】1,4【分析】由三角恒等變換得fx【詳解】y=3=3因?yàn)閤∈0,π2所以sin2x?π6所以函數(shù)y=3sin2x+2故答案為：1,48．（2022春·江蘇南京·高三南京市雨花臺(tái)中學(xué)校考期中）已知cos(α?π6【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)=【詳解】由cos(α?π6)=3再由cos(α?π6)=3∴sin故答案為：1.9．（2020春·上海普陀·高二曹楊二中校考開學(xué)考試）已知cosx?(1)sinx?(2)cos2x【答案】(1)7(2)?【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解；（2）首先利用角的變換求sinx，再利用二倍角公式求cos【詳解】（1）因?yàn)閤∈π2,3π（2）sincos【考點(diǎn)3：三角函數(shù)式的化簡求值】【知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)式的化簡求值】1.三角函數(shù)式化簡的一般要求：(1)函數(shù)名稱盡可能少；(2)項(xiàng)數(shù)盡可能少；(3)盡可能不含根式；(4)次數(shù)盡可能低、盡可能求出值．2．常用的基本變換方法有：異角化同角、異名化同名、異次化同次，降冪或升冪，“1”的代換，弦切互化等．[方法技巧]三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則1．（2022春·安徽六安·高三六安二中?？茧A段練習(xí)）化簡cos40°1+3A．1 B．32 C．2 D．【答案】A【分析】先利用“切化弦”思想，進(jìn)行通分運(yùn)算，根據(jù)輔助角公式結(jié)合二倍角公式化簡即可得結(jié)果.【詳解】cos====sin故選：A.2．（河北省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知3sin2θ+5sinθ?2=0A．79 B．89 C．23【答案】A【分析】解方程得到sinθ=【詳解】3sin2θ+5sinθ?2=故3sinθ?1=0，sin故選：A3．（2022春·江蘇南京·高三期末）若sinα=2sinβ,sinα+βA．2 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】由三角恒等變換化簡結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因?yàn)閏osα+β所以sinα所以sinα+β又sinα+β所以sinα+β?sin所以12所以121?2sin又sinα=2所以4sin所以4sin所以sin2所以12sinα又易知cosα所以sinαsinβ故選：A4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若α,β∈π2,π，且1?A．2α+β=5π2 C．α+β=7π4 【答案】A【分析】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα1+【詳解】∵α,β∈π2,π由1?cos2α1+即sinα∴sin∴cos∵α,β∈π2,π，∴π<α+β<2π根據(jù)函數(shù)y=cosx易知：α+β=π故選：A5．（2022秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎取?,π2，tan【答案】?【分析】利用和差公式計(jì)算得到tanθ=3，再化簡得到原式為tan【詳解】θ∈0,π2，tan所以2tan2θ?5tanθ?3=0所以sin=sin故答案為：?6．（2022春·江蘇南京·高三南京市雨花臺(tái)中學(xué)?？计谥校┮阎猚os(α?π6【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)=【詳解】由cos(α?π6)=3再由cos(α?π6)=3∴sin故答案為：1.7．（2022春·陜西西安·高一高新一中校考期末）設(shè)函數(shù)fx=sinx+3cosx+1，若實(shí)數(shù)a,b,c【答案】?1【分析】整理得，fx則afx2a+2bcos2a+2bcos【詳解】解：∵fx∴afx即2asin即2asin化為：2a+2bcos依題意，2a+2bcoscsin∴2a+2b由2a+2bcosc=0得：故答案為：?18．（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？计谀?）求4cos（2）已知2tanθ=?3tan【答案】（1）1；（2）?2【分析】（1）切化弦，通分后利用二倍角正弦公式可得2sin80°（2）利用兩角和差正切公式可化簡已知等式求得tanθ；利用兩角和差余弦公式和二倍角公式可化簡所求式子為正余弦齊次式的形式，代入tan【詳解】（1）4cos40°?3tan50（2）∵2tan∴2tanθ?2tan解得：tanθ=?12cos2θ?π4當(dāng)tanθ=?12當(dāng)tanθ=3時(shí)，cos綜上所述：cos2θ?【考點(diǎn)4：三角恒等變換的綜合問題】【知識(shí)點(diǎn)：三角恒等變換的綜合問題】[方法技巧]三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用(1)圖象變換問題先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再進(jìn)行圖象變換．(2)函數(shù)性質(zhì)問題求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：①利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；②利用公式T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)求周期；③根據(jù)自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；④根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調(diào)區(qū)間．1．（2022春·陜西西安·高一高新一中?？计谀┮阎瘮?shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若α∈0,π，且fα【答案】(1)k(2)2?【分析】(1)利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡為f(x)=22sin(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，將fα4?π8=2【詳解】（1）因?yàn)閒=1令4x+π4=k所以函數(shù)的對(duì)稱中心為kπ（2）fα所以sinα?π4=1，又則tanα+2．（2022春·河南鄭州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)f(x)=2cos2ωx+23sin(1)ω和a的值；(2)當(dāng)x∈?π2【答案】(1)ω=1,a=?2(2)?【分析】（1）由題意，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出ω和a的值；（2）由題意可知，利用整體代入即可得出正弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）由f(x)=2cosf(x)=1+所以，函數(shù)f(x)的最大值為1+a+2=1，得a=?2；即函數(shù)f(x)=2sin又因?yàn)閒(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為12所以，ω=1，即f(x)=2sin（2）對(duì)于函數(shù)f(x)=2sin令2kπ得kπ可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為kπ故當(dāng)x∈?π23．（2022春·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sin(1)求fx(2)若x∈0,π2【答案】(1)T=π(2)fxmin【分析】（1）將函數(shù)化為y=Asin（2）先求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）f所以最小正周期T=2π（2）由0≤x≤π2，則所以sin2x?π當(dāng)2x?π6=π2當(dāng)2x?π6=?π64．（2022春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若不等式f(x)?m<2在x∈0,π【答案】(1)[π6+k(2)(?【分析】