八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題10 一次函數(shù)幾何壓軸（十九種題型）（解析版）

專題10一次函數(shù)幾何壓軸（十九種題型）

船網(wǎng)模型速覽

模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）

模型2：一次函數(shù)已知面積求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型3：一次函數(shù)己知面積相等求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型7：一次函數(shù)存在45°求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型8：一次函數(shù)存在等角求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型11:一次函數(shù)過定點(diǎn)問題

模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動(dòng)點(diǎn)問題

模型13：一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)線段比例問題

模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型15：一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題

模型16：一次函數(shù)存在平行四邊形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型17：一次函數(shù)存在矩形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型18:一次函數(shù)存在菱形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型19：一次函數(shù)存在正方形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

模型解密

【技巧點(diǎn)睛1］鉛錘法求三角形面積

【技巧點(diǎn)睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題，有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑：

①知底求高、轉(zhuǎn)化線段；

②圖形割補(bǔ)、面積和差；

③平行交軌、等積變換。

【技巧點(diǎn)睛3】處理線段問題

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若線段與y軸平行，線段的長度時(shí)端點(diǎn)縱坐標(biāo)之差（上減下，

不確定時(shí)相減后加絕對(duì)值），若線段與x軸平行，線段的長度時(shí)端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差（右減左，

不確定時(shí)相減后加絕對(duì)值）：

（2）線段相關(guān)計(jì)算注意但用“化斜為直”思想。

【技巧點(diǎn)睛4】角度問題

（1）若有角度等量關(guān)系，不能直接用時(shí)，我們要學(xué)會(huì)角度轉(zhuǎn)化，比如借助余角、補(bǔ)角、外

角等相關(guān)角來表示，進(jìn)行一些角度的和差和角度的代換等，直到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。

（2）遇450角要學(xué)會(huì)先構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造“三垂直”全等模型，一般情況下

是以已知點(diǎn)作為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)。

【技巧點(diǎn)睛5】最值問題

（1）求線段和最值，可以從“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮；

（2）注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用，將不可用線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成我們熟悉的模型

【技巧點(diǎn)睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題

I、找點(diǎn)方法：

①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓，

此時(shí)，圓上的點(diǎn)（除D點(diǎn)外）與A、B

構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形

（原理：圓上半徑相等）

②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓,

此時(shí)，圓上的點(diǎn)（除E點(diǎn)外）與A、B

構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形

（原理：圓上半徑相等）

③做AB的垂直平分線，此時(shí)，直線上的點(diǎn)（除F點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的

等腰三

角形（原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）

2、求點(diǎn)方法：

222

（1）列出PA?、PB\AB?表達(dá)式（運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式：AB=（XA-xB）+（yA-yB））

（2）分類討論:當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí):PA2=AB2

當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)：PB2=AB2

當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí):PA』PB2

二、直角三角形存在性問題

若AABC是直角三角形，則分三種情況分類討論：ZA=90°,ZB=90°,ZC=90°,然

后利用勾股定理解題。

【技巧點(diǎn)睛6】四邊形存在問題

1.坐標(biāo)系中的平行四邊形：

（1）對(duì)邊平行且相等：

+%―工8+

~~2~~~2-

（2）對(duì)角線互相平分:即力、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合.

》+汽_%+為

22

以上兩條可統(tǒng)一為:

xA+xc=xB+xD

X+XX+X

bfafx^xc=xD+xB2-21,C=BD

=%一%H+Nc_%+為1"+%=%+%

2~2

總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等

方法歸納：1、列出四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)2、分三組對(duì)角線討論列方程組，解方程組3、驗(yàn)證點(diǎn)是

否符合題意

畫典例精講

模型1：一次函數(shù)求三角形面積問題(鉛錘法)

【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板A8C放在第一象限，斜靠在兩條

坐標(biāo)軸上，NACB=90°,且A(0,4),點(diǎn)C(2,0),軸于點(diǎn)E,一次函數(shù))=

x+b經(jīng)過點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)￡>.

(1)求證：△AOg^CEB：

(2)求△A4。的面枳.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(I)證明：???△/!"C是等腰直角三角形

，/ACB=90°，AC=BC

：.NACO+NBCE=90°

BELCE,工NBCE+NCBE=90°

???ZACO=ZCBE

???△AOC/ACEB

(2)解：,:△AOgdCEB

:?BE=OC=2,CE=OA=4

???點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(6,2)

又一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)8(6,2)

???2=6+。

；?b=-4

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-4）

???皿=4+4=8

在△A3。中，AO邊上高的長度就是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值.

8X6=24

2

:.△A3。的面枳為24.

【變式1】（2023秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線八：），=近十1交），軸于

點(diǎn)A,交工軸于點(diǎn)6（4,0）,過點(diǎn)￡（2,0）的直線6平行于y軸I，交直線/i于點(diǎn)。，

點(diǎn)P是直線6上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)D）,連接PAyPB.

（1）求直線/i的解析式;

【解答】解：（1）4直線Ly=hr+l交x軸于點(diǎn)8（4,0）,

工0=42+1.

，直線/i：y=*—x+1；

4

VP(2,w),

：.PD=\m-^\.

.\S=AX|4-O|-PD=—X|/n--^X4=|2/H-1|.

22

當(dāng)〃？>_1時(shí)，s=2m-1；

2

當(dāng)〃?V1時(shí)，s=1-2/?；

2

模型2：一次函數(shù)已知面積求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例2】如圖1,在平直直角坐標(biāo)系戈0y中，直線y=b+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A(-

1,0),B(0,2),過點(diǎn)C(2,0)作x軸的垂線，與直線48交于點(diǎn)。.

圖1圖2

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是線段C。上一動(dòng)點(diǎn)，直線BE與x軸交于點(diǎn)立若△BD產(chǎn)的面積為8,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)：

【答案】(1)(2,6)；

\(2)F(-5,0)或(3,0).

【解答】解：(1)???點(diǎn)A(-I,0),B(0,2),

???直線AB的解析式為y=2x+2,

VCDlxffl,

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,

??y=6,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(2,6)；

(2)設(shè)尸(加,0)有兩種情況;

①當(dāng)尸在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

VD(2,6),A(-1,0),B(0,2),OC_Lx軸.

：.S^ADF=-^AF*DC=^Cm+\)X6=3(/n+l),5八人圻=工戶08=工(〃?+1)X2=/?+/.

2222

,**S&BDF=8>

S~ADF=SMBF+S^DBF,即：3(〃?+1)=m+1+8

.??〃?=3.

:.F(3,0)；

②當(dāng)尸點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

???點(diǎn)點(diǎn)(-1,0),B(0,2),C(2,0),D(2,6).

：.S^ADF=-LAFXCD=1.(-I-w)X6=-3-3m,S^ABF=X^FXOB=1-(-1

2222

-m)X2-=-1-in,

S^BDF=S^ADF-S^ABF=8，

-(-3-3m)-(-1~m)=8,解得：rn=-5,

：.F(-5,0)；

綜上所述：F(-5,0)或(3,0).

【變式1】如圖①，直線y=6+力與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與)，軸交于點(diǎn)從與直線)，=-

2x交于點(diǎn)C(a,-4).

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在)，軸上，若△P8C的面積為6,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

圖①圖②備用圖

【答案】(I)C(2,-4)；y=2x-8；

(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,-14)：

【解答】解：(1)丁點(diǎn)C(m?4)在直線y=?2A?上，

:.-2。=-4,

解得。=2,

AC(2,-4),

將A(4,0),C(2,-4)代入直線y=^+。，得：

9

解得任=2,

b=-8

???直線AB的解析式為：)，=2x-8；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,p),

???直線A3的解析式為：y=2?8,

：.B(0,-8),

ABP=|p+8|,

一△PBC的面積為6,C(2,-4),

:.5AP^C=—x2|〃+8|=6,

2

.*./?=-2或-14,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,-14)；

模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與工軸交于點(diǎn)4(-4,0),與)，軸交于點(diǎn)6

(0,2),已知點(diǎn)C(-2,0).

(1)求直線/的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，且AB。尸和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,4）或（-生9）；

33

【解答】解：（1）設(shè)直線/的解析式為y=履+A把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得至九

懸

解得4乙，

b=2

，直線/的表達(dá)式為y=-lr+2：

已知點(diǎn)C(-2,0].

：?0B=2,。。=2,

設(shè)尸(p,-1/7+2),

:.SABOP=—X2X=|〃|,

2

SACOP=—X2X回〃+2|=|工)+2|.

222

,:4B0P和△COP的面積相等,

；?|工+2|=,解得〃=4或-

23

，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4,4）或（-3，A）；

33

【變式1】如圖，直線1\的解析式為y=-3x+3,且人與1軸交于點(diǎn)。，直線/2經(jīng)過點(diǎn)A（4,

0）、B（3,3），直線八、/2交于點(diǎn)C

2

（1）求直線/2的解析式：

（2）求△AZX?的面積；

（3）試問：在直線/2上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P,使得aAOP與△AOC的面積相

等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：（1）設(shè)直線1的解析式是y="+b,

<4k+b=0

根據(jù)題意得：|3，

3k+b=--

乙

'衛(wèi)

解得：12,

b=-6

則直線12的解析式是y=-^.v-6；

（2）在y=?3x+3中，令y=0,解得：x=l.

則。的坐標(biāo)是（1,0）.

'_3

根據(jù)題意得：，y=Tx-6,

y=-3x+3

解得：，

則C的坐標(biāo)是（2,-3）,

則AO=4?1=3,

S/sADC=-^-ADX3=—：

22

(3)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是3,把y=3代入產(chǎn)微-6,得x=6.

則尸的坐標(biāo)是(6,3).

【變式2】(2023秋?東港市期中)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù).)，=履+。的

圖象交y軸于點(diǎn)A(0,3),交工軸于點(diǎn)8(-4,0).(1)求直線A8的函數(shù)表達(dá)式；

(2)直線。垂直平分08交A3于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)￡點(diǎn)P是直線a上一動(dòng)點(diǎn)，且在

點(diǎn)。的上方，設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為機(jī).

①利用圖I位置，用含，〃的代數(shù)式表示的面積S；

②當(dāng)△A8P的面積為7時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

③在②的條件下，在_y軸上找到點(diǎn)Q,使得△ABQ與AABP面積相等，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

④連接OP，與A8交于點(diǎn)”，當(dāng)△AOH與△P8”的面積相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo).

(2)①2〃？-3；

②(-2,5)；

③。(0,號(hào))(0,

④P(-2,3).

【解答】解：(1)設(shè)直線A8的表達(dá)式為y=k.x+3,

???直線過點(diǎn)8(-4,0),

???0=-4A+3,

解得：卜駕，

4

???直線48的表達(dá)式為：尸旦乂+3；

4=

(2)①過點(diǎn)P作P〃_L)，軸，垂足為〃，

:直線。垂直平分03，8（-4,0）,

???點(diǎn)七的坐標(biāo)為（-2,0）,

???點(diǎn)P是直線〃上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為〃3

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2—〃）,

SHiKPBOH-S^AOB-S&PRA=4(2+4)m-^-X4X3-^-X2(m-3)

乙乙乙

=3m-6~m+3

=2m-3；

②2m-3=7,

〃?=5,

???此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（?2,5）；

③設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，“）,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)4的上方時(shí)，

sAABQ=（q-3）x4Xy=7>

解得：qW,

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,且）；

2

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)A的下方時(shí),

S2UBQ=（3-q）X4Xy=?,

解得：

2

此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,二），

2

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,券）（0,J

④???4A0H與△P8”的面積相等,

S^ADH+S^PHA=S^PHB+S^PHA，

，底均為AH高相同，面積相同，

：.P（-2,3）.

【變式3】如圖，直線/與x軸、），軸分別交于點(diǎn)人（3,0）、點(diǎn)、B（0,2）,以線段人8為宜

角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC,NB4C=90°,點(diǎn)P（0,a）為y軸上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn).

（1）求直線/的表達(dá)式；

（2）求出△A8C的面積；

（3）當(dāng)△A3。與△A8P面積相等時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值.

x

【答案】（1）y=-X+2；

3

（2）烏

2

（3）■或a=--.

33

【解答】解：（1）設(shè)直線A8所在的表達(dá)式為：

則產(chǎn)k+b,

lb=2

解得：13,

b=2

故直線I的表達(dá)式為：y=-2什2；

3

（2）在RtZXABC中,

由勾股定理得：AB2=OA2+OB2=32+22=13,

???△ABC為等腰直角三角形，

:.SMBC=—AB2=—：

22

（3）①當(dāng)〃在,，軸正半軸時(shí)，P點(diǎn)為：（0,a）,如圖1所示:

圖1

SMBP=XWBP=^

22

??YO=3,

：.BP=H,

3

*：B<0,2),

3

3

2

,**S&ABO=3,

??SAJ4PO--3=—?

22

即有：2XAOXPO=工,

22

:.PO=L

3

在)，軸負(fù)半軸，

/.?=--.

3

綜上：a=_12或a="-.

33

模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例4】如圖，直線)，=辰+3經(jīng)過點(diǎn)8(-1,4)和點(diǎn)4(5,〃?)，與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求匕機(jī)的值：

(2)求△A03的面枳；

(3)若點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)9；

(3)(3-4&，0),(3+4^2-0),(-5,0),(-1,0).

【解答】解：(1)將8(?1,4)代入y=h+3,可得2=-1,

.*.y=-x+3.

將4(5,in)代入y=-x+3,可得用=-2；

(2)在y=-x+3中，令y=0,則x=3,

AC(3,0),即CO=3,

:.SMOB=S^BOC+S^AOC=—X3X4+—X3X2=9；

22

(3)①如圖所示，當(dāng)C8=CP=4加時(shí)，OP\=4^2-3,

②如圖所示，當(dāng)CB=CP2=WE時(shí)，OP?=虱工+3,

工。尸3=8-3=5,

④如圖所示，當(dāng)8P4=CP4時(shí)，△BCPd是等腰直角三角形,

，CP4=4P4=4,

???0巴=4-3=1,

綜上所述，當(dāng)。為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3?啦,0）,（3+4\厲，0）：<-

5,0）,（-1,0）.

【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。）,中，一次函數(shù)>，=履+4的圖象分別與x軸、），軸交

于4（2,0）,B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（l,?。?

（1）求"7的值;

（2）若點(diǎn)A關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)A,求△▲'8c的面積；

（3）在x軸上，是否存在點(diǎn)P,使△以8為等腰二養(yǎng)形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）m=2：

（2）S&A,8c=4；

（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2巡，0）或（2-2泥，0）或（?3,0）或（-2,0）.

【解答】解：（1）一次函數(shù)），=履+4的圖象與x軸交于A（2,0）,

2H4=0,解得k=-2.

，一次函數(shù)丁=-2x+4,

???一次函數(shù)y=Ax+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（l,〃?）.

：.m=-2+4=2；

（2）???點(diǎn)A關(guān)于），軸的對(duì)稱點(diǎn)A,A（2,0）,

"（-2,0）,

???一次函數(shù)y=-2,r+4的圖象分別與x軸、），軸交于4（2,0）,4兩點(diǎn)，

???點(diǎn)B坐標(biāo)為（0,4）,

Vm=2,

?,?點(diǎn)C（1,2）.

ASM-BC=S^'HA-SM-4C=—X4X（2+2）-AX4X2=4；

22

（3）存在點(diǎn)尸，使△附8為等腰三角形,

設(shè)P(p,0),

???點(diǎn)A(2,0),B(0,4),

AA?2=22+42=20,

AP2=(p-2)2,

BP1—p2+42=p2+l6,

當(dāng)48=4。時(shí)，

(p-2)2=20,解得p=2±2遙，

；?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2?,0)或(2-2遙，0)；

當(dāng)A尸=8P時(shí)，

(/?-2)2=/?2+16,解得〃=-3,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?3,0)；

當(dāng)時(shí)，

p2+16=20,解得〃=-2或2(舍去)，

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)；

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2旄，0）或（2-2泥，0）或（-3,0）或（-2,0）

【變式2】如圖，直線y=二x+4的圖象與x軸和J'軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)叢的垂直平分

2

線/與x軸交于點(diǎn)C,與交于點(diǎn)。，連接8C.

（1）求OC的長；

（2）若點(diǎn)E在x軸上，且△8EO的面積為10,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）已知），軸上有一點(diǎn)P,若以點(diǎn)從C、。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所

有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

yjk

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，)，=4；令y=0,得x=8；所以直線產(chǎn)」x+4與兩軸交點(diǎn)

2

分別為A(8,0),B(0,4).

???c。垂直平分/W；

:.CA=CB.

設(shè)C(m,0),在RtZXOAC中，根據(jù)勾股定理得：0心+0d=BC2,即：

?+42=(8-Z)2解得：/=3；

???OC=|3-O|=3.

(2)設(shè)點(diǎn)E(加，0),則￡4=|8-詞；

為A8的中點(diǎn)；

**SABED

;

A、E在x軸上，OBLAE,SABEA=yEA-0B

再依題意：|8-m>4=10;

解得：〃?=?2或18.

???點(diǎn)E坐標(biāo)為：(-2,0),(18,0).

(3)P在y軸上，設(shè)P(0,〃).分別以6、C、P為等腰三角形的頂點(diǎn)，分三種情況：

①8為頂點(diǎn)，BP=BC,由(1)得〃。=8-3=5；

工1〃-4|=5，解得：P=-I或9.

②C為頂點(diǎn)，BC=PC,

又?：4B0C=/POC=90°,OC=OC,

:?△BOCm4POC(HL).

.\PO=BO=4,BP/?=-4.

③P為頂點(diǎn)，PB=PC,在RtZ\OPC中，根據(jù)勾股定理得：

o聲+oU=p&即：

/?2+32=(4-〃)2.

解得：

P8

綜上：滿足條件的尸點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,2),(0,-4),(0,-1),(0,9).

8

模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=魚乂制的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸

3

交于點(diǎn)8,線段OB上有一點(diǎn)C,點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)8在x軸上.

(1)求aAOB的面積；

(2)求直線AC的解析式；

(3)點(diǎn)。是直線AC二一點(diǎn)，當(dāng)△A8P為百角三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(I)S/I40B=6：

(2)直線AC的解析式為〉，=!什旦；

22

(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2)或(2,區(qū)).

2

【解答】解：(1)???一次函數(shù))，=11+4的圖象與x粕交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)B,

令y=0,則'x+4=0,解得x=-3,令x=U,貝Uy=4,

3

???點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(0,4),

；?OA=3,03=4,

SEAOB二—X3X4—6；

2

(2)連接4夕交AC于M,

??,點(diǎn)4(-3,0),點(diǎn)B(0,4),

???A8=、32+42=5,

???點(diǎn)8、點(diǎn)8關(guān)于直線AC對(duì)稱,

???A8'=AB=5,BM=B'M,

：,B'(2,0),

,:B(0,4),

：.M(1,2),

設(shè)直線AC的解析式為)，=匕+力，

貝lj，

???直線AC的解析式為y=lv+l：

22

(3)???點(diǎn)。是直線AC上一點(diǎn)，直線AC的解析式為

22

設(shè)尸(p,-lp+-3),

丁點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(0,4),

/.Afi2=32+42=25,

M2=(p+3)2+(A/?+-^-)2=_1p2+半P+號(hào),

PB2=p2+(5+3?4；2=22?3+至，

22424

①當(dāng)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，AB2=PA2+PB2,

?串+加爭(zhēng)滬獷華=25,

解得”=1或-3(舍去)，

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2)；

②當(dāng)人為直角頂點(diǎn)時(shí)，AB\PA2=PB2,

.??亙〃2+4)+至+25=22,旦什”

424424

解得〃=?3(舍去)，

???此種情況不存在；

③當(dāng)8為直角頂點(diǎn)時(shí)，AB2+PB2=PA2,

.??3,+」^+更=22.2+至+25,

424424

解得〃=2,

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(2,—)；

2

綜上，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(1,2)或(2,—).

2

【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù))，=履+2(&￡0)的圖象經(jīng)過4(?1,0),

B(0,2),D三點(diǎn),點(diǎn)。在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且。C=5O4,連接4C,

CD,已知SMDC=2SMBC.

(I)求直線AB的表達(dá)式；

(2)求△4QC的面積；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△8CM是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

y,

D

jn

A|oCx

【答案】⑴y=2x+2；

(2)△AOC的面積為12；

(3)在x軸上存在一點(diǎn)M,使得△8CM是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,

0)或(/■,0).

5

【解答】解：(1)將A(-1,0),8(0,2)代入)，=履+〃得：

0=-k+b

<，

2=b

解得：(卜=2,

lb=2

???直線AB的表達(dá)式y(tǒng)=2t+2：

(2)VOC=5OA,4(-1,0),

:.OC=5,

；?AC=OC+OA=5+=6,

???B(0,2),

???OB=2,

；?SA^C=6X2X_1=6,

2

*.*S,MQC=2S,M8C，

:.S/\ADC=6X2=12：

???△4OC的面積為12；

(3)在.r軸上存在一點(diǎn)M,使得△3CA/是直角三角形，理由如下：

013=2,00=5,

/.BC2=224-52=29,

是直角三角形，分兩種情況：

①當(dāng)NBMC=90°時(shí)，由圖象可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)；

y,

D

jn

A|oCx

②當(dāng)NC8M=90°時(shí)，設(shè)M（加，0）,

而8(0,2),C(5,0),

AB/W2=W2+22,CM2=(5-m)2,

,：BC1+BM2=CM2,

???29+#+4=(5-m)2,

解得：〃尸■生

5

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3.0).

5

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，0)或(-,0).

5

模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例6】如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)4,與x軸交于點(diǎn)B,過A3中點(diǎn)

D的直線C。交x軸于點(diǎn)C,且經(jīng)過第一象限的點(diǎn)E(6,4).

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線C7)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)連接BE,求AOBE1的面積；

(3)連接DO,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)F,使得以點(diǎn)C,0,產(chǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△C。。

全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)一次函數(shù))，=-x+4,令x=0,則j=4；令y=0,則x=4,

(0,4),B(4,0),

???/)是的中點(diǎn)，

：.D(2,2),

設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,則

1

f4=6k+b,解得k=?,

12=2k+bb=1

???直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+1；

2

(2)y=-l-A+l,令y=0,貝ljx=-2,

AC(-2,0),

???3C=2=4=6,

的面積=48C￡的面積?△BCD的面積=2X6X(4-2)=6；

2

(3)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限時(shí)，點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)。重合，即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,2)；

當(dāng)點(diǎn)尸在第二象限時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,2)；

當(dāng)點(diǎn)尸在第三象限時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,-2)；

當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,-2).

y

兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為1?3,0）,連結(jié)8C,過點(diǎn)。作OQ_LA8于點(diǎn)。，點(diǎn)Q為線段8C

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）8C的長為5,0。的長為:

一5一

（2）在線段BO上是否存在一點(diǎn)P,使得A3PQ與△04。全等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q

5

（2）在線段/劃上存在一點(diǎn)P,使得△3P。與△。人。全等，Q的坐標(biāo)為（-2號(hào)或

55

（-36,絲）.

2525

【解答】解：（1）在尸?'.什4中，令x=0得v=4,令v=0得x=3,

3

?M（3,0）,B（0,4）,

VC(-3,0),

?，.BC=d§2+42=5；48=也2+42=5；

ODA-AB,

；?2S^AOB=OA?OB=AB?OD,

,,^=0^0B=3X4=12;

AB55

故答案為：5,-I?.：

5

(2)在線段BO上存在一點(diǎn)尸，使得ABP。與△OAD全等，理由如下:

???ODLAB,

???/。8。=90°-ZBOD=ZDOA,

VA(3,0),C(-3,0),

.'.A,C關(guān)于y軸對(duì)稱,

:./CBO=NOBD,

:?NCBO=NDOA,

要使ABP。與△OA。全等，只需夾NCBO,/。。4的兩邊對(duì)應(yīng)相等即可;

當(dāng)BQ=Q4,BP=OD時(shí)，如圖:

：.BP=OD=^1,

5

AOP=OB-8P=4-理=區(qū)，

55

由B(0,4),C(-3,0)可得直線BC解析式為尸＞4,

在y=—x+4中，令y=8得A=-—,

355

：.Q(一2當(dāng)，

55

由Q(-9,3),B(o,4)得BQ=2+(4冬2=3,

550

此時(shí)BQ=OA=3符合題意；

???Q的坐標(biāo)為(一2當(dāng)；

55

當(dāng)5尸=CA=3,8。=。。=衛(wèi)時(shí)，如圖:

??，BQ=Z,

5

?,J（nr0）2+（^TTI+4-4），=后，

Voo

解得〃?=-迤（正值已舍去）；

25

:?Q（-也，絲），

2525

綜上所述，Q的坐標(biāo)為（-旦旦）或（一旦1包）.

552525

模型7：一次函數(shù)存在45°求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例7］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,直線1/y=￡x+b與y軸交于點(diǎn)人，與直線

備用

（1）求〃?和小的值；

（2）求證：△048是直角三角形;

（3）直線八上是否存在點(diǎn)。，使得/。。8=45°,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)：若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）用的值為2,8的值為」3；

2

（2）見解析；

（3）存在.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,5）或（5,-1）.

【解答】（1）解：???點(diǎn)B（3,〃?）在直線3）二—上，

3

??.〃?=2X3=2,即〃?的值為2,

3

1點(diǎn)B（3,2）,

將點(diǎn)B（3,2）代入直線/1：），=-得2=-2x3+8,

22

?"==?；

2

（2）證明：

2

.??直線?。?-旦葉=1

22

.?.A（0,烏，

2

?:B（3,2）,

：?OM=3,BM=4.

：.OB2=32+22=\3,

AB2=32+（W-2）2=A1Z,

24

Q[2=（型）2=169

24

,：OB2+AB2=OA2,

???NOBA=90°,

是直角三角形；

（3）解:存在.如圖,

???/OOB=45°，NOBA=90°.

：.BD=OB=yJ22+22=y^f

\?點(diǎn)、D是直線/i：y=-旦工+」3上一動(dòng)點(diǎn)，

22

設(shè)￡)(〃，-3-n+ll),

22

則8/)2=(?_3)2+(?3?+J^.-2)2=13,

22

解得〃=1或5,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,5)或(5,-1).

【變式I】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、)，軸于4(〃?，0),8(0,〃),

〃?、〃滿足〃P+M+2〃L4〃+5=0,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn).

(1)求〃?、〃的值；

(2)如圖1,若點(diǎn)P在)，軸上，當(dāng)以=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【答案】(1)m=-1,〃=2；

(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-1)；

【解答】解：(1)Vm2+w2+2m-4n+5=0,

/.nr+lm+l+n2-4〃+4=0

(/72+1)2+(〃-2)2=0,

???〃?+1=0,n-2=0,

*'?IH=-1,〃=2：

(2)?，〃=-1,

???A(-1,0),

???點(diǎn)P在y軸上，N8%=45°,

???OP=OA=1,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-1)；

【變式2】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+b與A-軸交于點(diǎn)4,與直線

14

圖1圖2

（1）求"?的值;

（2）點(diǎn)。是直線/I上一動(dòng)點(diǎn).

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好在N4OA的角平分線上時(shí)，求直線OQ的函數(shù)表達(dá)式；

②是否存在點(diǎn)。，使得NQO4=45°,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【答案】（1）小的值為4；

（2）①直線0。的表達(dá)式為y=/x；

②存在.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（7,1）或（-1,7）.

【解答】解：（1）?;點(diǎn)B（3,〃?）在直線/2：尸占上，

3

.\W=AX3=4,即〃?的值為4；

3

（2）@Vw=4,

:.B(3,4),

???直線/i：)，=-〃經(jīng)過點(diǎn)B(3,4),

4

:.-3x3+b=4,

3至,

4

???直線/i的函數(shù)表達(dá)式為：尸-旦葉至；

44

令y=0,wy0=-J.A-+—,解得X=壟，

443

??.4（至，0）,

3

如圖2,過點(diǎn)8作8M_LQ4,垂足為點(diǎn)M,過。作Z）N_LOA,垂足為點(diǎn)M

圖2

8Mo=/4WB=90°.

,:B(3,4),

???OM=3,BM=4.

**?OB-J§2+42=5?

：.AM=OA-OM=也

3

在中，

4B=IAM2+BM=3

o

-：OB2+AB2=52+(組)2=^25=(空)2=<M2,

393

???NOBA=90°.

：.ABLOB,

???。。平分NAOB,

：?4B0D=/N0D,DB=DN,

,:OD=OD,

ARt/^ODN^Rt/\ODB(HL).

：.0N=0B=5.

在直線“：)，=-3?+至上，令x=5,得'=區(qū),

442

：.D(5,§),

2

設(shè)直線0。的函數(shù)表達(dá)式為.y=H.

把。(5,9)代入，得女=2.

22

直線0D的表達(dá)式為)，=/丫；

圖3

*：ZDOB=45°,/OBA=90°.

:.BD=OB=5,

???點(diǎn)D是直線/|：)，=-3葉在上一動(dòng)點(diǎn)，

44

設(shè)￡)(〃,?3〃十空》,

44

：.BDr=(,/-3)2+(-SH?至-4)2=25,解得〃=7或7,

44

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(7,1)或(?1,7).

模型8：一次函數(shù)存在等角求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

【典例8］如圖，已知函數(shù)y二」X+2與X軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)從點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于

y軸對(duì)稱.

(1)直接寫出A、B、C的坐標(biāo)：A(-4,())、B((),2)、C(4,0)：

(2)求直線AB的函數(shù)解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)M是工軸上的負(fù)半軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P,

交直線8c于點(diǎn)Q.

①若△"Q8的面積為2,求點(diǎn)(2的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在線段A。上運(yùn)動(dòng)的過程中，連接BM,若NBMP=/BAC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)-4,0；0,2；4,0；

(3)①。(?2，3)；

②PC，4)-

【解答】解：(1)對(duì)于y=-^x+2，

令x=0,得y=2,則B的坐標(biāo)為8(0,2),

令)，=0，得x=4,則C的坐標(biāo)為C(4,0),

丁點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

AA的坐標(biāo)為4(-4,0),

故答案為：-4,0；0,2；4,0；

(2)設(shè)直線人B的函教解析式為)，=丘+方(&W0),

將4(-4,0),B(0,2)代入得：

解得：，思乙，

b=2

???直線A8的函數(shù)解析式為y=Ax+2；

2

(3)①由題意，設(shè)0),其中mVO,則OM=-〃z,

???宜線8C的解析式為：片上x+2；直線A8的解析式為:

y=yx+2;

2

'P(m，/m+2>Q(m，［111+2>

乙乙

**?PQ=--^in+2-(-ym+2)=-n'

7

SAPQBVPQ?OM'

**,4~X(-m)2=2，

乙

解得：〃?=-2(舍去正值)，

將〃?=-2代入直線8C的解析式，得)，=3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為Q(-2,3)；

②如圖所示，由(1)知：A(-4,0),B(0,2),C(4,0),

?.?點(diǎn)M在線段A。上運(yùn)動(dòng)，

???設(shè)0),其中-4WxW0,

???點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于)，軸對(duì)稱，

；?ZBMP=ZBAC=ZACB,

;河?！?，軸，

AZP/WC=90°,

：./BMP+NBMC=Z.4CB+ZBA/C=90°,

???當(dāng)NBM尸=NR4C時(shí)，NM8C=90°,

：.MB1+BC2=CM2

A?+4+20=(4-x)2,

解得x=-1,

將x=-1代入直線AB的解析式，得y旦，

y2

，點(diǎn)p的坐標(biāo)為P(-1,3).

2

［變式1］如圖1,已知函數(shù)y=-i-A+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于

y軸對(duì)稱.

(1)求直線8c'的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作)，軸的平行線，交直線A8于點(diǎn)P,交直線

BC于點(diǎn)Q.

①若△PQ8的面積為工，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)對(duì)于)，=工+3,

2

由x=0得：y=3,

:,B(0,3).

由)，=0得：—x+3=0,解得x=-6,

2

?"(-6,0),

???點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于)，軸對(duì)稱.

AC(6,0)

設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為)，=履+〃，

1

*=3,解得.k.

l6k+b=0b=3

???直線BC的函數(shù)解析式為.v=-X+3；

2

(2)①設(shè)點(diǎn)M(m,0),則點(diǎn)。(〃?，2〃2+3),點(diǎn)Q(/〃，-Xn+3),

22

過點(diǎn)4作8O_LPQ與點(diǎn)

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（巾，3-亞_）或（-巾，3+班＞）；

22

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，

???點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于），軸對(duì)稱，

:?AB=BC,

：.ABAC=ZBCA,

ZBMP=ZBAC,

:?/BMP=/BCA,

???NBMP+NBMC=90°,

：.ZBMC+ZBCA=90°

；?NM3c=