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文檔簡介
甘肅省蘭州市蘭煉一中2025屆高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則集合()A. B. C. D.2.如圖,在三棱錐中,平面,,現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個,則選取的個表面互相垂直的概率為()A. B. C. D.3.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.34.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.5.已知集合,集合,則A. B.或C. D.6.過直線上一點作圓的兩條切線,,,為切點,當(dāng)直線,關(guān)于直線對稱時,()A. B. C. D.7.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點,線段AB的中點為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點,F(xiàn)為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.49.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,10.若兩個非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.11.《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.12.給出個數(shù),,,,,,其規(guī)律是:第個數(shù)是,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,以此類推,要計算這個數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖,請在圖中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能()A.; B.;C.; D.;二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若、滿足約束條件,則的最小值為______.14.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.15.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.16.已知實數(shù)滿足則點構(gòu)成的區(qū)域的面積為____,的最大值為_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為求a,b的值;證明:.18.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為:.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取得最大值時直線的直角坐標方程.19.(12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.(1)求的值;(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;(3)證明:.20.(12分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機的對入院人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān)?請說明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進行問卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)21.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長度22.(10分)如圖1,與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形,,,連接是邊上一點,過作,交于點,沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設(shè)若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對值不等式,是一道基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)線面垂直得面面垂直,已知平面,由,可得平面,這樣可確定垂直平面的對數(shù),再求出四個面中任選2個的方法數(shù),從而可計算概率.【詳解】由已知平面,,可得,從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法,而選取的個表面互相垂直的有種情況,故所求事件的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù).3、D【解析】
畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.4、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標運算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.5、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.6、C【解析】
判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.7、C【解析】
設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達定理的應(yīng)用,屬于中檔題.8、C【解析】
方法一:設(shè),利用拋物線的定義判斷出是的中點,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點的橫坐標,根據(jù)拋物線的定義求得,進而求得.方法二:設(shè)出兩點的橫坐標,由拋物線的定義,結(jié)合求得的關(guān)系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達定理,由此求得,進而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準線方程為,直線恒過定點,過分別作于,于,連接,由,則,所以點為的中點,又點是的中點,則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為,所以,所以.方法二:拋物線的準線方程為,直線由題意設(shè)兩點橫坐標分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.9、D【解析】
直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】
設(shè)平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值,即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡得.故選:A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.11、C【解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達,即,解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計算的實際應(yīng)用,考查學(xué)生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.12、A【解析】
要計算這個數(shù)的和,這就需要循環(huán)50次,這樣可以確定判斷語句①,根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【詳解】因為計算這個數(shù)的和,循環(huán)變量的初值為1,所以步長應(yīng)該為1,故判斷語句①應(yīng)為,第個數(shù)是,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,第個數(shù)比第個數(shù)大,這樣可以確定語句②為,故本題選A.【點睛】本題考查了補充循環(huán)結(jié)構(gòu),正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出不等式組所表示的可行域,利用平移直線的方法找出使得目標函數(shù)取得最小時對應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,解得,即點,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故答案為:.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標函數(shù)的最值問題,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.15、【解析】
如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補成長方體是解題的關(guān)鍵.16、811【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結(jié)合可知,可行域為三角形,且底邊長,高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)椋@然直線過時,z最大,故.故答案為:;11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】分析:第一問結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點在切線上也在函數(shù)圖像上,從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果;第二問可以有兩種方法,一是將不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,從而求得結(jié)果,二是利用中間量來完成,這樣利用不等式的傳遞性來完成,再者這種方法可以簡化運算.詳解:(1)解:,由題意有,解得(2)證明:(方法一)由(1)知,.設(shè)則只需證明,設(shè)則,在上單調(diào)遞增,,使得且當(dāng)時,,當(dāng)時,當(dāng)時,,單調(diào)遞減當(dāng)時,,單調(diào)遞增,由,得,,設(shè),,當(dāng)時,,在單調(diào)遞減,,因此(方法二)先證當(dāng)時,,即證設(shè),則,且,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,則當(dāng)時,(也可直接分析顯然成立)再證設(shè),則,令,得且當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.,即又,點睛:該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題,在求解的過程中,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有關(guān)切線的問題,還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,可以構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問題來解決,也可以借用不等式的傳遞性,借助中間量來完成.18、(1)曲線,曲線.(2).【解析】
(1)用和消去參數(shù)即得的極坐標方程;將兩邊同時乘以,然后由解得直角坐標方程.(2)過極點的直線的參數(shù)方程為,代入到和:中,表示出即可求解.【詳解】解:由和,得,化簡得故:將兩邊同時乘以,得因為,所以得的直角坐標方程.(2)設(shè)直線的極坐標方程由,得,由,得故當(dāng)時,取得最大值此時直線的極坐標方程為:,其直角坐標方程為:.【點睛】考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標方程中的幾何意義求距離的的最大值方法;中檔題.19、(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值;(3)見解析.【解析】
(1)切點既在切線上又在曲線上得一方程,再根據(jù)斜率等于該點的導(dǎo)數(shù)再列一方程,解方程組即可;(2)先對求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.(3)把證明轉(zhuǎn)化為證明,然后證明極小值大于極大值即可.【詳解】解:(1)函數(shù)的定義域為由已知得,則,解得.(2)由題意得,則.當(dāng)時,,所以單調(diào)遞減,當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增,所以,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值.(3)要證成立,只需證成立.令,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以的極大值為,即由(2)知,時,,且的最小值點與的最大值點不同,所以,即.所以,.【點睛】知識方面,考查建立方程組求未知數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明;能力方面,考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力;試題難度大.20、(1)列聯(lián)表見解析,有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān),理由見解析;(2).【解析】
(1)結(jié)合題意完善列聯(lián)表,計算出的觀測值,對照臨界值表可得出結(jié)論;(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、,利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】(1)由于在全部人中隨機抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為,所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人,故可將列聯(lián)表補充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計.故有的把握認為患心肺疾病與性別有關(guān);(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形:、、、
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