《數(shù)學(xué)（第8版 上冊(cè)）》 課件 第1章 運(yùn)算與方程;第2章 不等式與集合

運(yùn)算與方程第1章1目錄1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.2解方程與方程組2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，理解絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)意義，能進(jìn)行絕對(duì)值的運(yùn)算.2.能進(jìn)行整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算；掌握乘法公式，并會(huì)用于多項(xiàng)式的運(yùn)算；能對(duì)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；能進(jìn)行整式、分式運(yùn)算；掌握二次根式的運(yùn)算.3.會(huì)解一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程組.31.1數(shù)與式的運(yùn)算4實(shí)例考察為確保棉花的質(zhì)量和產(chǎn)量雙提升，某地按照棉花品質(zhì)對(duì)棉花的種植者進(jìn)行補(bǔ)貼.已知2023年度棉花價(jià)格基礎(chǔ)補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為每千克0.35元，同時(shí)，為進(jìn)一步提高棉花質(zhì)量，將對(duì)優(yōu)質(zhì)棉花給予額外的質(zhì)量補(bǔ)貼，其中，（1）特種棉：每千克補(bǔ)貼0.8元；（2）陸地棉：每千克補(bǔ)貼0.7元；假設(shè)某棉農(nóng)有特種棉xkg，陸地棉ykg，試問(wèn)他能獲得多少補(bǔ)貼？解決這個(gè)問(wèn)題需要用到整式運(yùn)算的知識(shí).51.1.1整式的運(yùn)算數(shù)與式的運(yùn)算是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，數(shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等；式的運(yùn)算有整式、分式、二次根式的四則運(yùn)算、因式分解等.如果一個(gè)式子中都是數(shù)或字母的積，例如實(shí)例考察中特種棉的額外補(bǔ)貼0.8x元，陸地棉的額外補(bǔ)貼0.7y元，這樣的式子叫做單項(xiàng)式；幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，例如棉花價(jià)格基礎(chǔ)補(bǔ)貼0.35（x+y）元.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.6整式的加減運(yùn)算一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)則先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng).整式的乘除運(yùn)算一般地，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，有乘方運(yùn)算其中，an

稱(chēng)為a的n次冪，a稱(chēng)為底數(shù)，n稱(chēng)為指數(shù)，規(guī)定a1=a，a0=1（a≠0）.7對(duì)于整數(shù)冪有以下運(yùn)算法則（其中a，b≠0，m，n是整數(shù)）：（1）同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n；（2）同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n；（3）冪的乘方（am）n=amn；（4）積的乘方（a·b）n=an·bn；（5）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a-n=整式相乘時(shí)，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘；單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.89某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，可以寫(xiě)成公式的形式，當(dāng)遇到相同形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，就可以直接運(yùn)用乘法公式寫(xiě)出結(jié)果：（1）平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；（2）完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2.整式相除時(shí)，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式；多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.因式分解

多項(xiàng)式的因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式相乘，它與整式乘法互為逆運(yùn)算，即提公因式法如果一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，將多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式相乘.公式法如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解成幾個(gè)因式相乘.10十字相乘法1.對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次三項(xiàng)式x2+（m+n）x+mn.由多項(xiàng)式的乘法法則可得公式x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），可以利用公式直接分解的多項(xiàng)式有以下特點(diǎn)：112.對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠1且a≠0）.先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫(xiě)在十字線(xiàn)左上角和左下角；然后分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫(xiě)在十字線(xiàn)右上角和右下角；最后交叉相乘并求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).

條件：（1）a=a1a2；（2）c=c1c2；（3）bx=a1c2x+a2c1x.

則ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.121.1.2分式的運(yùn)算如果

A，B

是兩個(gè)整式，并且

B

中含有字母，那么式子（B≠0）就叫做分式，其中A

為分子，B

為分母.例如：甲、乙兩地距離600km，列車(chē)運(yùn)行速度是200km/h，后因技術(shù)改造實(shí)現(xiàn)了提速，如果列車(chē)提速xkm/h，那么提速后列車(chē)的運(yùn)行時(shí)間是h，這就是一個(gè)分式.13分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，即其中A，B，M

是整式且M≠0.14分式的運(yùn)算法則

1.分式的加減運(yùn)算.同分母加減，分母不變，分子加減，即異分母加減，先通分變成同分母，再利用同分母的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，即152.分式的乘法運(yùn)算.分子乘以分子做分子，分母乘以分母做分母，即3.分式的除法運(yùn)算.被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)，再利用分式的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，即161.1.3二次根式的運(yùn)算我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過(guò)平方根：若x2=a（a≥0），則稱(chēng)x為a的平方根（二次方根），即x=±．0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.二次根式我們把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，一般地，17二次根式的四則運(yùn)算1.二次根式的加減運(yùn)算.二次根式相加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)根式，然后將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.2.二次根式的乘除運(yùn)算.二次根式的乘法法則是二次根式的除法法則是181.2解方程與方程組19實(shí)例考察數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，在我們平時(shí)生活中處處可見(jiàn)數(shù)學(xué)的影子，方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一種非常有效的數(shù)學(xué)模型.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，我國(guó)運(yùn)動(dòng)員獲得383枚獎(jiǎng)牌，是日本運(yùn)動(dòng)員獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)的2倍還多7枚，同學(xué)們知道日本運(yùn)動(dòng)員獲得多少枚獎(jiǎng)牌嗎？根據(jù)問(wèn)題我們不妨設(shè)日本運(yùn)動(dòng)員獲得x枚獎(jiǎng)牌，可得2x+7=383.201.2.1一元一次方程方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是一次，這樣的方程叫做一元一次方程.使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.方程中的未知數(shù)與已知數(shù)參與運(yùn)算，通過(guò)運(yùn)算將方程變形，最終變?yōu)椤皒=常數(shù)”

的形式，也就是求出使方程中等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值，即方程的解.變形過(guò)程的數(shù)學(xué)依據(jù)是等式的基本性質(zhì).21解一元一次方程的一般步驟如圖所示.221.2.2一元二次方程方程x2+3x-4=0和（1-x）2=0的等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是2次，我們把這樣的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.23一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的形式，稱(chēng)為關(guān)于x

的一元二次方程的一般式.其中ax2，bx，c分別叫做一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a，b分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).一元二次方程的常用解法有直接開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法.24下面我們探討用公式法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得移項(xiàng)，得兩邊同時(shí)加上，得即25其中，由a≠0，得a2>0.對(duì)于b2-4ac，有以下三種情況：（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，等號(hào)兩邊直接開(kāi)平方，得則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，或者說(shuō)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程無(wú)解.26一般地，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，記作Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ≥0時(shí)，我們也可以把一元二次方程的求根公式記為求根公式表達(dá)了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的結(jié)果，利用公式，我們可以由一元二次方程的系數(shù)，直接求出方程的根，這種方法叫做公式法.271.2.3二元一次方程組如果在一個(gè)方程中有兩個(gè)未知數(shù)，且最高次為1次，例如：x+2y=10，這樣的方程叫做二元一次方程.如果只有這樣一個(gè)方程，我們不難發(fā)現(xiàn)，滿(mǎn)足條件的x，y有無(wú)窮多組，即方程有無(wú)窮多個(gè)解.如果方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，那么有可能可以唯一確定未知數(shù)的值.類(lèi)似

由兩個(gè)二元一次方程組成，每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次的方程組叫做二元一次方程組.28對(duì)于上述方程組，我們發(fā)現(xiàn)x=4，y=3同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程，所以把它們叫做

的解，記作

一般地，同時(shí)滿(mǎn)足二元一次方程組中兩個(gè)方程的解，叫做二元一次方程組的解.二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，也就是把解二元一次方程組化為解一元一次方程，就可以對(duì)未知數(shù)逐個(gè)求解.這種解方程組的思想就是消元思想，解二元一次方程組有以下兩種基本方法.2930不等式與集合第2章31目錄2.1不等式的性質(zhì)與解集2.2一元一次不等式（組）2.3一元二次不等式2.4含有絕對(duì)值的不等式32學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握不等式的基本性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變換.2.理解集合、元素的概念，會(huì)判斷集合與元素的關(guān)系；掌握常用數(shù)集及空集的表示：理解區(qū)間的概念并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的符號(hào)表示，會(huì)進(jìn)行數(shù)集與區(qū)間的互化；會(huì)用區(qū)間表示不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來(lái).3.會(huì)解一元一次不等式（組），會(huì)用集合（區(qū)間）表示解集及在數(shù)軸上表示出解集，理解交集的概念并會(huì)求集合的交集.4.能描述一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系，會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”方法求解一元二次不等式，并用集合（區(qū)間）表示其解集.5.理解含有絕對(duì)值不等式及其幾何意義，會(huì)解含有絕對(duì)值的不等式并用集合（區(qū)間）表示其解集.332.1不等式的性質(zhì)與解集34實(shí)例考察同學(xué)們，觀察下圖中左右兩個(gè)天平，你發(fā)現(xiàn)了什么？通過(guò)本次課的學(xué)習(xí)，我們就可以解釋這一規(guī)律.352.1.1不等式的性質(zhì)從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系出發(fā)，可以得到不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1

不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)實(shí)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.即性質(zhì)2

不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.即36性質(zhì)3不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.即性質(zhì)4不等式具有傳遞性，即如果a>b且b>c，那么a>c.372.1.2集合實(shí)例考察（1）求出滿(mǎn)足不等式x<3的全體自然數(shù).（2）求出滿(mǎn)足不等式x+3<5的全體實(shí)數(shù)，并用數(shù)軸表示.我們知道滿(mǎn)足不等式x<3的全體自然數(shù)有0，1，2.由不等式的性質(zhì)1可知，滿(mǎn)足不等式x+3<5的全體實(shí)數(shù)即為滿(mǎn)足x<2的全體實(shí)數(shù)，如圖所示.38所謂解集就是解的集合.一般地，某些指定的對(duì)象組成的全體叫做集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）.集合通常用大寫(xiě)英文字母A，B，C，…表示.集合中的每個(gè)對(duì)象都稱(chēng)為這個(gè)集合的元素.集合的元素通常用小寫(xiě)英文字母a，b，c，…表示.集合中的元素必須是確定的.如果給定一個(gè)集合，則任何一個(gè)對(duì)象是否為其中的元素應(yīng)可明確判斷.如果a是集合A

的元素，就說(shuō)元素a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A

的元素，就說(shuō)元素a不屬于集合A，記作a?A.39集合中的元素是互異且無(wú)序的，可以是字母、數(shù)字，甚至是圖形.如果集合中的元素是數(shù)，那么這樣的集合叫做數(shù)集.常用數(shù)集及其符號(hào)見(jiàn)下表.40常用數(shù)集表我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作?.集合的表示方法通常有兩種：列舉法和描述法.通過(guò)在大括號(hào)內(nèi)一一列舉集合中的所有元素表示集合的方法叫做列舉法.用列舉法表示集合，元素之間要用逗號(hào)分隔.{x|x<2}.像這樣用集合中元素的公共屬性來(lái)表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式為{x|x具有的公共屬性}.使不等式成立的數(shù)的全體組成的集合，就是不等式的解集.412.1.3區(qū)間不等式的解集往往是數(shù)集.例如：{x丨-1≤x≤2}，{x丨-4<x<1}，{x丨0<x≤3}，{x丨x≥7}，{x丨x≤-3}等.像這樣的數(shù)集經(jīng)常用區(qū)間來(lái)表示.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：1.數(shù)集{x丨a≤x≤b}稱(chēng)為閉區(qū)間，用符號(hào)[a，b]表示.2.數(shù)集{x丨a<x<b}稱(chēng)為開(kāi)區(qū)間，用符號(hào)（a，b）表示.3.數(shù)集{x丨a≤x<b}稱(chēng)為左閉右開(kāi)區(qū)間，用符號(hào)[a，b）表示.4.數(shù)集{x丨a<x≤b}稱(chēng)為左開(kāi)右閉區(qū)間，用符號(hào)（a，b]表示.42上面的這些數(shù)集都稱(chēng)為區(qū)間，其中[a，b）和（a，b]統(tǒng)稱(chēng)為半開(kāi)半閉區(qū)間.這里的實(shí)數(shù)a，b分別稱(chēng)為區(qū)間的左端點(diǎn)和右端點(diǎn).區(qū)間在數(shù)軸上可以用一條以a，b為端點(diǎn)的線(xiàn)段表示，區(qū)間閉的一端用實(shí)心點(diǎn)表示，區(qū)間開(kāi)的一端用空心點(diǎn)表示.435.實(shí)數(shù)集R可用區(qū)間（-∞，+∞）表示，“+∞”

讀作

“正無(wú)窮大”，“-∞”讀作

“負(fù)無(wú)窮大”.數(shù)集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}則分別用區(qū)間[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示，其中a，b也稱(chēng)為區(qū)間的端點(diǎn).442.2一元一次不等式（組）45實(shí)例考察某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種螺絲刀的把手.現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格（單位：萬(wàn)元/臺(tái)）和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)把手的數(shù)量（單位：個(gè)）如下表所示.根據(jù)公司預(yù)算，本次購(gòu)買(mǎi)機(jī)器所耗資金不能超過(guò)40萬(wàn)元.（1）按該公司要求可以有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（2）若該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不低于370個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案？46只含有一個(gè)未知數(shù)）并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式.我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過(guò)一元一次不等式的解法，利用不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式.基本步驟如圖所示.由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái).472.2.2一元一次不等式組含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組叫做一元一次不等式組.

不等式組中各不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集.一般地，由屬于集合A

且屬于集合B

的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A

與B

的交集，記作A∩B，讀作

“A

交B”，即A∩B={x丨x∈A

且x∈B}.48如圖所示，圖中的陰影部分即表示A∩B.由交集的定義可知，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，都有A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A.由此可知，求不等式組的解集即求不等式組的各不等式的解集的交集.49兩個(gè)一元一次不等式所組成的一元一次不等式組的解集情況，可以歸結(jié)為以下四種基本類(lèi)型（設(shè)a<b）.502.3一元二次不等式51實(shí)例考察受各種成本和銷(xiāo)售策略的影響，隨著商品銷(xiāo)量提升，工廠的利潤(rùn)并非總是均勻增加的.請(qǐng)研究以下案例：某技工院校學(xué)生畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開(kāi)辦工廠生產(chǎn)金屬模具并銷(xiāo)售.已知工廠每天銷(xiāo)售產(chǎn)品數(shù)量x（單位：件）與利潤(rùn)y（單位：元）之間滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=-10x2+400x.若該廠希望每天的利潤(rùn)在3000元以上，那么一天大約應(yīng)銷(xiāo)售多少產(chǎn)品?52根據(jù)題意得不等式-10x2+400x>3000，整理得x2-40x+300<0.這是一個(gè)關(guān)于x的不等式，求出滿(mǎn)足這個(gè)不等式的解集是問(wèn)題的關(guān)鍵.53不等式都只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次，我們把這樣的不等式稱(chēng)為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0（a>0），或ax2+bx+c<0（a>0）.需要注意的是，一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.54

二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，因此：（1）當(dāng)y=0時(shí)，即得到一元二次方程x2-3x-4=0，解得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=-1，x2=4.（2）由圖可知，二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（4，0）.（3）當(dāng)y<0時(shí)，x

的取值范圍是（-1，4），即