上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（期末）數(shù)學(xué)試卷

上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（期末）數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．設(shè)集合A={0，1，22．用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示a2b3=3．若xy=1(x，y∈R)，則x24．已知log23=a，2b5．若函數(shù)y=ex，6．已知f(x)=2x?2，x≥2，17．如圖為三個冪函數(shù)y=xa1，y=8．已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|x?a|≤5有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.9．已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它在區(qū)間(?∞，0]上是嚴(yán)格增函數(shù)，若不等式f(2a?3)+f(1?a)<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為10．在滬教版教材必修第一冊第四章的章首語中有這樣一段話：“通過固定等式ab=c中的三個量a?b?c中的一個量，研究另兩個量的相互關(guān)系和變化規(guī)律，定義三種基本而應(yīng)用廣泛的函數(shù)——冪函數(shù)?指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)”.若令c=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x(x>0，x≠1)，則b為x的函數(shù)，記作b=f(x)，若不等式(x?2k)f(x)>011．已知f(x)=2x，若對任意的x1∈[m，n]，存在唯一的x212．將函數(shù)y=|x|的圖像繞原點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<360°)，在α的變化過程中，每一個旋轉(zhuǎn)角二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．已知a，b∈R，則“a>1，b>1”是“A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，A．y=x23 B．y=1x215．歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明是阿拉伯?dāng)?shù)字?十進(jìn)制和對數(shù)，其中對數(shù)的發(fā)明，大大縮短了計(jì)算時間，為人類研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，對數(shù)運(yùn)算對估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特的優(yōu)勢.已知lg2≈0.301，A．10805 B．10806 C．16．已知函數(shù)f(x)=log12(1?x)，?1≤x≤n，22?|x?2|?2，n<x≤m(n<m)的值域是[?1，A．0個 B．1個 C．2個 D．3個三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17．設(shè)集合A={（1）若b=4，試用區(qū)間表示集合A?B，并求A∪B；（2）若B=[1，5]，求不等式18．已知f(x)=log（1）解不等式f(x)<1；（2）判斷函數(shù)y=f(2x)在其定義域上的單調(diào)性，并嚴(yán)格證明.19．進(jìn)口博覽會是一個展示各國商品和服務(wù)的盛會，也是一個促進(jìn)全球貿(mào)易和交流的重要平臺.某汽車生產(chǎn)企業(yè)想利用2023年上海進(jìn)口博覽會這個平臺，計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產(chǎn)x（百輛），需投入流動成本C(x)（萬元），且C(x)=10x2（1）寫出年利潤S(x)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.（總利潤=總銷售收入-固定成本-流動成本)20．已知f(x)=ax，（1）判斷函數(shù)y=|g(x)|的奇偶性，并說明理由；（2）當(dāng)a=2時，若函數(shù)y=f(x)與y=|g(x)|的圖像有且只有三個公共點(diǎn)，求b的取值范圍；（3）記F(x)=f(x)+g(x)，若函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(0，2)上有兩個不同的零點(diǎn)，求21．已知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的定義域均為D，若對任意的x1，x2∈D(x1≠x2)（1）若f(x)=3x+1，g(x)=x，D=R，判斷函數(shù)y=g(x)是否是函數(shù)y=f(x)在（2）若f(x)=x2+2，g(x)=x2+a，D=[0，（3）若f(x)=x，D=[0，2]，函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=f(x)在D上的“L函數(shù)”，且g(0)=g(2)，求證：對任意的

答案解析部分1．【答案】{0，【解析】【解答】因?yàn)榧螦={0，1，2，3，42．【答案】a【解析】【解答】由題意可得：a2b3=a2×3．【答案】2【解析】【解答】根據(jù)基本不等式不等式有：x2+y2≥2x24．【答案】a+b【解析】【解答】log215=log23×5=5．【答案】e【解析】【解答】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知道：y=ex，在1，e上為增函數(shù)，則當(dāng)x=e時，函數(shù)有最小值e.

故答案為：e.

【分析】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax6．【答案】2【解析】【解答】當(dāng)x0≥2時，fx0=2x0-2=1，解得x0=2，當(dāng)x0<2時，f7．【答案】a【解析】【解答】根據(jù)y=xa1的圖像知道a1<-1，根據(jù)y=xa2的圖像知道0<a2<1，根據(jù)y=x8．【答案】[?6【解析】【解答】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得：|x+1|+|x?a|≥x+1-x-a=1+a，當(dāng)且僅當(dāng)x+1x-a≤0，時取等號，

又因?yàn)殛P(guān)于x的不等式|x+1|+|x?a|≤5有解，則只需1+a≤5，即可，解得-6≤x≤4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為-6，4

故答案為：9．【答案】(?∞【解析】【解答】因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它在區(qū)間(?∞，0]上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以y=f(x)在[0，+∞)單調(diào)遞增，

即y=f(x)在R上單調(diào)遞增，y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以-f(1?a)=fa-1，

又f(2a?3)+f(1?a)<0可變形為f(2a?3)<-f(1?a)，即f(2a?3)<f(a-1)，又因?yàn)閥=f(x)在R上單調(diào)遞增，

所以2a-3<a-1，解得a<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，2].

故答案為：(-∞，2].

【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且它在區(qū)間(?∞，0]上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以10．【答案】1【解析】【解答】根據(jù)題意可得：xb=e，兩邊同時取對數(shù)可得：b=logxe=lnelnx=1lnx，所以fx=1lnx且(x>0，x≠1)，

又因?yàn)楫?dāng)x∈0，1時，fx<0，則根據(jù)(x?2k)f(x)>0可得：x-2k<0，對x∈0，1恒成立，即k>x2對x∈0，1恒成立，

所以k≥12，又當(dāng)x∈1，+∞11．【答案】0【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=2x，底數(shù)2>1，所以函數(shù)f(x)=2x為R上的增函數(shù)，

又f(x1)?f(x2)=2x1×2x2=2x1+x2=1，則x1+x2=0，

所以x212．【答案】45°【解析】【解答】畫出函數(shù)y=|x|的圖像，如下圖所示，當(dāng)該函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，根據(jù)函數(shù)的定義知道，當(dāng)函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)到二、三象限或者一、四象限時，其圖像均不是函數(shù)圖象，則旋轉(zhuǎn)的角度α滿足的條件是：45°≤α≤135°或225°≤α≤315°.則則α13．【答案】A【解析】【解答】充分性：當(dāng)a>1，b>1時，能推出ab>1，即充分性成立，必要性：ab>1時不能推出a>1，b>1，

故必要性不成立，所以“a>1，b>1”是“14．【答案】B【解析】【解答】對于A選項(xiàng)：函數(shù)y=x23在區(qū)間(0，+∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)，故不符合題意；

對于B選項(xiàng)：y=fx=1x2+1，f-x=1-x2+1=1x15．【答案】A【解析】【解答】令x=2.52023，兩邊同時以10為底取對數(shù)得：lgx=lg2.52023=2023lg2.5，即lgx=2023lg5216．【答案】D【解析】【解答】f(x)=log12(1?x)，?1≤x≤n，22?|x?2|?2，n<x≤m(n<m)設(shè)hx=22?|x?2|?2，當(dāng)x>2時，hx=24-x?2，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知道其在2，+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)-1≤x<2時，hx=2x?2，函數(shù)在[-1，2）上單調(diào)遞增，

所以hx在[-1，2）上單調(diào)遞增，在2，+∞上單調(diào)遞減，則當(dāng)x=2時取得最大值：h2=22-2=2.同理根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知道y=log12(1?x)，為單調(diào)遞增函數(shù)，

綜上可得函數(shù)fx的圖像如下圖所示：

令22?|x?2|?2=-1，解得：x=0或x=4，對于①當(dāng)n=017．【答案】（1）解：由題意可得：?3<2x?1<3，解得：-1<x<2，得A=(?1，因?yàn)閎=4，所以x2?5x+4≤0，即x-1x-4≤0，解得1≤x≤4，所以A∪B=(?1，（2）解：由題意得x2?(b+1)x+b=0有兩個根為1和5，由韋達(dá)定理定理可得：1×5=b，所以則5x+1x?5>0的解集為【解析】【分析】本題主要考查含絕對值不等式，一元二次不等式的解法、并集的運(yùn)算、一元二次方程與一元二次不等式的聯(lián)系，（1）根據(jù)含絕對值不等式的解法得到：?3<2x?1<3，從而結(jié)合A集合在將b=4，代入B集合的一元二次不等式解得B集合，在根據(jù)并集的運(yùn)算即可求解；

（2）根據(jù)題意可得x2?(b+1)x+b=0有兩個根為1和5，由韋達(dá)定理定理可得：1×5=b，所以18．【答案】（1）解：不等式f(x)<1等價(jià)于log因?yàn)閥=log2x所以x+1>0x+1<2，解得?1<x<1因此不等式f(x)<1的解集為(?1，（2）解：f(2x)=log2(2x+1)證明：設(shè)x1，x2是定義域則0<2x因?yàn)閥=log2x所以log即f(2x即證函數(shù)y=f(2x)在其定義域上是嚴(yán)格增函數(shù).另解f(2x)=log2(2x+1)證明：令h(x)=f(2x)=log設(shè)x1，x2是定義域h(x因?yàn)?<2x1+1<2x2所以h(x即證函數(shù)y=f(2x)在其定義域上是嚴(yán)格增函數(shù).【解析】【分析】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)性的證明，不等式f(x)<1等價(jià)于log2(x+1)<log22，然后利用y=log2x在(0，+∞)上是嚴(yán)格增函數(shù)，去掉對應(yīng)法則f，變?yōu)橐辉淮尾坏仁剑俳Y(jié)合定義域即可求解；

（2）設(shè)x119．【答案】（1）解：當(dāng)0<x<28時，S(x)=2500x?(10x當(dāng)x≥28時，S(x)=2500x?(2504x+3600綜上S(x)=（2）解：當(dāng)0<x<28時，S(x)=?10x當(dāng)x=25時，S(當(dāng)x≥28時，S(x)=?4x?當(dāng)且僅當(dāng)x=30時，S(綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為25百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為3250萬元.【解析】【分析】本題主要考查分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，（1）利用總利潤=單件利潤×數(shù)量結(jié)合題干中的流動成本分段寫出S(x)的解析式即可；

（2）當(dāng)0<x<28時，利用二次函數(shù)配成的頂點(diǎn)式求得利潤的最值，當(dāng)x≥28時，利用基本不等式即可求得最值.20．【答案】（1）解：定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，記h(x)=|g(x)|=|x+b|當(dāng)b=0，h(?x)=h(x)，故函數(shù)當(dāng)b≠0，h(?b)≠h(b)，（2）解：結(jié)合函數(shù)圖象，只需考慮與y=?x?b(得到2x即x2+bx+2=0只有一個解，由Δ=b結(jié)合圖像，有?b>22，所以b<?2[另解]若y=f(x)與y=|g(x)|的圖像只有三個公共點(diǎn)，即f(x)=|g(x)|有三個根.即2x即方程b=2x?x將函數(shù)y=b分別與函數(shù)y=2x?xb<?22.（3）解：由在區(qū)間(0，2)上有兩個不同的零點(diǎn)，得方程(0，2)上有兩個不同的實(shí)根x1由韋達(dá)定理得x1于是b2因?yàn)閤1∈(0，【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)零點(diǎn)的運(yùn)用，（1）利用函數(shù)的奇偶性定義，并對b的值是否為0進(jìn)行討論即可求解；

（2）將a=2代入函數(shù)后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=2x=x+bx>0由三個根，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解；

（3）由在區(qū)間(0，2)上有兩個不同的零點(diǎn)，得方程x221．【答案】（1）解：對任意的x1?x|g(x顯然有|g(所以函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=f(x)在D上的“L函數(shù)”（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)是函數(shù)y=f(x)在D上的“L函數(shù)”，所以g(x1)?