《MATLAB程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)教程》課件第2章

第2章向量、數(shù)組和矩陣2.1矩陣的特征參數(shù)運(yùn)算2.2向量、數(shù)組與矩陣的創(chuàng)建2.3向量、數(shù)組和矩陣的尋址與賦值2.4標(biāo)準(zhǔn)矩陣與特殊矩陣2.5基本的四則運(yùn)算2.6向量、數(shù)組和矩陣的其他運(yùn)算2.7矩陣的操作2.8單元數(shù)組2.9結(jié)構(gòu)體 2.1向量、數(shù)組與矩陣的創(chuàng)建

2.1.1向量的創(chuàng)建

1．簡(jiǎn)單向量的創(chuàng)建

在MATLAB中，生成向量(一維數(shù)組)最簡(jiǎn)單的方法就是在命令窗口中按一定格式直接輸入。輸入的格式要求是：向量元素用“[]”括起來(lái)，元素之間用空格、逗號(hào)或者分號(hào)相隔。需要注意的是，用它們相隔生成的向量形式是不相同的。

(1)用空格或逗號(hào)生成不同列的元素，即行向量。(2)用分號(hào)生成不同行的元素，即列向量。例如：

>>a1=[15;21;27;93;101];

>>a1

a1=

15

21

27

93

101

>>a2=[15,21,27,93,101];

>>a2

a2=

>>a3=[1234]

a3=

1234

2．冒號(hào)表達(dá)式創(chuàng)建等差數(shù)組

當(dāng)向量的元素過(guò)多，同時(shí)向量各元素有等差的規(guī)律時(shí)，采用直接輸入法將顯得過(guò)于繁瑣。針對(duì)這種情況，可以使用冒號(hào)(:)和linspace()函數(shù)來(lái)生成等差元素向量。

冒號(hào)表達(dá)式是MATLAB中最具特色的表示方法，其調(diào)用格式如下：

a=j:i:k

這一語(yǔ)句可以生成一個(gè)行向量，其中，j為向量的起始值，i為增量步距，而k為向量的終止值。當(dāng)i==0、i>0且j>k或i<0且j<k時(shí)，返回一個(gè)空向量。例如：

>>vec1=10:5:60

vec1=

1015202530354045505560

a=j:k

當(dāng)冒號(hào)表達(dá)式用于整數(shù)，不指定步距時(shí)，默認(rèn)步距為1，步距可省略，等同于[j,j+1,...,k]，而當(dāng)j>k時(shí)，返回一個(gè)空向量。例如：

>>D=1:4

D=

1234

冒號(hào)表達(dá)式也可用于實(shí)數(shù)。使用兩個(gè)冒號(hào)生成一個(gè)實(shí)數(shù)向量。例如：

>>E=0:.1:.5

E=

00.10000.20000.30000.40000.5000

3．linspace()函數(shù)與等差數(shù)組的創(chuàng)建

linspace()函數(shù)類(lèi)似于冒號(hào)操作符，生成以線(xiàn)性間隔分布的向量，相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)的差保持不變，構(gòu)成等差數(shù)列，其語(yǔ)法格式如下：

(1)?y=linspace(a,b)。在a、b之間(包括a、b)生成100點(diǎn)線(xiàn)性間隔分布的行向量y，即向量y有100個(gè)元素，a為起始元素，b為結(jié)束元素。

(2)?y=linspace(a,b,n)。在a、b之間(包括a、b)生成n點(diǎn)線(xiàn)性間隔分布的行向量y，即向量y有n個(gè)元素。如果n小于2，linspace返回b。例如：

>>vec2=linspace(10,60,11)

vec2=

1015202530354045505560

>>vec3=linspace(10,60,10)

vec3=

10.000015.555621.111126.666732.222237.777843.333348.888954.444460.0000

4．等比數(shù)組的創(chuàng)建

冒號(hào)表達(dá)式能夠直接指定數(shù)據(jù)間的增量，而不用指定數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。Linspace()函數(shù)能夠直接指定數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而不用指定數(shù)據(jù)間的增量。這兩種方式產(chǎn)生的數(shù)據(jù)都是等間隔分布的，即等差向量。而實(shí)際中也需要使用等比數(shù)列向量。函數(shù)logspace()用來(lái)生成等比形式排列的行向量。函數(shù)logspace()的用法如下：

(1)?X=logspace(a,b)。在10a和10b之間生成50個(gè)以對(duì)數(shù)間隔等分?jǐn)?shù)據(jù)的行向量。構(gòu)成等比數(shù)列，數(shù)列的第一項(xiàng)X(1)=10a，最后一項(xiàng)X(50)=10b。

(2)?X=logspace(a,b,n)。在a和b之間生成n個(gè)對(duì)數(shù)間隔等分?jǐn)?shù)據(jù)的行向量。構(gòu)成等比數(shù)列，數(shù)列的第一項(xiàng)X(1)=10a，最后一項(xiàng)X(n)=10b。

(3)?y=logspace(a,pi)。在10a和之間生成等比數(shù)列的點(diǎn)。用于數(shù)字信號(hào)處理，在單位圓上等間隔頻率采樣。2.1.2向量的轉(zhuǎn)置與操作

1．普通轉(zhuǎn)置

使用分號(hào)可以生成列向量；使用冒號(hào)、linspace()和logspace()函數(shù)可以生成行向量；使用轉(zhuǎn)置符號(hào)(')可以將行向量轉(zhuǎn)成列向量，b=a'，即b是a的轉(zhuǎn)置向量。例如：

>>f=1:4

f=

1234

>>F=f'

F=

1

2

3

4

再次使用轉(zhuǎn)置符號(hào)(')可將列向量轉(zhuǎn)回成行向量。

2．點(diǎn)轉(zhuǎn)置

MATLAB還提供了點(diǎn)轉(zhuǎn)置(.')符號(hào)。對(duì)實(shí)數(shù)而言，(.')與(')操作是等效的；對(duì)于復(fù)數(shù)，(')操作結(jié)果是復(fù)數(shù)共軛轉(zhuǎn)置。也就是說(shuō)，在轉(zhuǎn)置過(guò)程中，虛部的符號(hào)也改變了，而(.')操作只轉(zhuǎn)置，不進(jìn)行共軛操作。例如：

>>f=1:3

f=

123

>>x=complex(f,f)

x=

1.0000+1.0000i2.0000+2.0000i3.0000+3.0000i

>>y=x'

y=

1.0000-1.0000i

2.0000-2.0000i

3.0000-3.0000i

>>z=x.'

z=

1.0000+1.0000i

2.0000+2.0000i

3.0000+3.0000i

3．向量元素的操作或運(yùn)算

MATLAB亦可取出向量中的一個(gè)或一部分元素進(jìn)行操作或運(yùn)算。例如：

>>x(3)=2%將向量x的第三個(gè)元素更改為2

x=10.000047.50002.000022.500060.0000

>>x(6)=10 %在向量t加入第六個(gè)元素，其值為10

x=10.000047.50002.000022.500060.000010.0000

>>x(4)=[]%將向量t的第四個(gè)元素刪除，[]代表空集合

x=10.000047.50002.000060.000010.0000

4．適用于向量的常用函數(shù)

適用于向量的常用函數(shù)有以下幾種：

(1)?min(x)、max(x)：向量x的元素的最小值、最大值。

(2)?mean(x)：向量x的元素的平均值。

(3)?median(x)：向量x的元素的中位數(shù)。

(4)?std(x)：向量x的元素的標(biāo)準(zhǔn)差。

(5)?diff(x)：向量x的相鄰元素的差。

(6)?sort(x)：對(duì)向量x的元素進(jìn)行排序(Sorting)。

(7)?length(x)：向量x的長(zhǎng)度(元素個(gè)數(shù))。

(8)?norm(x)：向量x的歐氏(Euclidean)長(zhǎng)度。

(9)?sum(x)、prod(x)：向量x的元素總和、總乘積。

(10)?cumsum(x)、cumprod(x)：向量x元素的累計(jì)總和、累計(jì)總乘積。

(11)?dot(x,y)、cross(x,y)：向量x和y的內(nèi)積、外積。2.1.3向量的點(diǎn)乘、叉乘和混合積

1．向量的點(diǎn)乘

向量的點(diǎn)乘又稱(chēng)為內(nèi)積或數(shù)量積，顧名思義，它所得的結(jié)果是一個(gè)數(shù)。

(1)?|a.b|=|a|*|b|*cos(a,b)，其結(jié)果是標(biāo)量，(a,b)為兩個(gè)向量的夾角。它的幾何意義是兩個(gè)向量的模和兩個(gè)向量之間的夾角余弦三者的乘積?；蛘哒f(shuō)是其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積。

(2)若向量a=(a1,b1,c1)、向量b=(a2,b2,c2)，則a·b=a1a2+b1b2+c1c2，即點(diǎn)乘的運(yùn)算是：對(duì)應(yīng)元素相乘后求和，相當(dāng)于sum(a.*b)。

(3)在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)乘的函數(shù)是dot()，該函數(shù)的用法：dot(A,B)，其中A和B的維數(shù)必須相同。例如：

>>x1=[11223344];x2=[1234];

>>X=dot(x1,x2)

X=330

>>sum(x1.*x2)

ans=330

當(dāng)A和B都是行向量時(shí)，dot(A,B)與A.*B'?相同，例如：

>>x1*x2'

ans=330當(dāng)A和B都是列向量時(shí)，dot(A,B)與A'*B相同，例如：

>>y1=[1;2;3]

y1=

1

2

3

>>y2=[4;5;6]

y2=

4

5

6

>>y=dot(y1,y2)

y=

32

>>y1'*y2

ans=

32

2．向量的叉乘

叉乘也叫向量的外積、向量積。顧名思義，它所得的結(jié)果是一個(gè)向量。

(1)?|a×b|=|a|*|b|*sin(a,b)，其結(jié)果是矢量，(a,b)為兩個(gè)向量的夾角。兩個(gè)向量叉積的幾何意義是指以?xún)蓚€(gè)向量模的乘積為模，方向和兩個(gè)向量構(gòu)成右手坐標(biāo)系(即過(guò)兩個(gè)相交向量的交點(diǎn)，并與這兩個(gè)向量所在平面垂直)的向量。

(2)若向量a=(a1,b1,c1)、向量b=(a2,b2,c2)，則

a?×?b?=

|a1b1c1|

×

|a2b2c2|

=[b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1]

(3)向量的外積不遵守乘法交換率，因此向量的叉乘不可交換。

(4)在MATLAB中，函數(shù)cross()用于實(shí)現(xiàn)向量的叉乘。用法如下：

C=cross(A,B)

返回A、B向量的叉乘：C=A?×?B。A和B必須是以上元素的向量。

>>z1=[123];z2=[567];

>>z3=cross(z1,z2)

z3=

-48-4

3．向量的混合積

向量的混合積的幾何意義是：它的絕對(duì)值表示以三個(gè)向量為棱的平行六面體的體積，符號(hào)由右手法則確定。

向量的混合積由點(diǎn)乘和叉乘逐步實(shí)現(xiàn)：dot(A,cross(B,C))。

>>a=[123]

>>b=[456]

>>c=[251]

>>d=dot(a,cross(b,c))

d=212.1.4二維數(shù)組與多維數(shù)組

1．二維數(shù)組的生成規(guī)則

生成數(shù)組同樣遵循行向量和列向量的生成規(guī)則，即創(chuàng)建二維數(shù)組與創(chuàng)建一維數(shù)組的方式類(lèi)似。在創(chuàng)建二維數(shù)組時(shí)，用逗號(hào)或者空格區(qū)分同一行中的不同列元素，用分號(hào)或者回車(chē)(Enter)區(qū)分不同行。數(shù)組既包含行向量，也包含列向量，即數(shù)組可以以矩陣形式存在。例如：

>>s=[123;456]

s=

123

456

s是一個(gè)2行3列的數(shù)組或矩陣。

對(duì)矩陣或多維數(shù)組A可以使用size(A)來(lái)測(cè)其大小，也可以使用reshape()函數(shù)重新按列排列。對(duì)向量來(lái)說(shuō)，還可以用length(A)來(lái)測(cè)其長(zhǎng)度。

2．cat()函數(shù)與多維數(shù)組連接

對(duì)于多維數(shù)組，使用cat()函數(shù)按其指定維數(shù)連接，用法如下：

C=cat(dim,A,B)

按其指定維數(shù)dim連接A、B。cat(2,A,B)等同于[A,B]，即把矩陣A和B按行向量連接。cat(1,A,B)等同于[A;B]，即把矩陣A和B按列向量連接。例如：

>>A=[12;34]

>>B=[45;67]

則cat(1,A,B)、cat(2,A,B)、cat(3,A,B)連接的結(jié)果如圖2-1所示。圖2-1cat函數(shù)連接的結(jié)果2.1.5矩陣的創(chuàng)建方法

在MATLAB中，矩陣是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算的基本元素。如果數(shù)組可以既包含行向量，又包含列向量，則數(shù)組可以以矩陣形式存在。

在MATLAB中創(chuàng)建矩陣，同樣遵循行向量和列向量的生成規(guī)則：

(1)矩陣元素必須在“[]”內(nèi)；

(2)矩陣的同行元素之間用空格或逗號(hào)(,)隔開(kāi)；

(3)矩陣的行與行之間用分號(hào)(;)或回車(chē)符隔開(kāi)；

(4)矩陣的元素既可以是數(shù)值、變量、表達(dá)式或函數(shù)，也可以是實(shí)數(shù)，甚至是復(fù)數(shù)。

(5)矩陣的尺寸不必預(yù)先定義。需要說(shuō)明的是：

矩陣的復(fù)數(shù)元素之間不能有空格，如“-1+2j”可以作為一個(gè)矩陣元素，而“-1+2j”就不可以。

“-1+2j”可以被正確地解釋?zhuān)?1+j2”就不行，MATLAB把“j2”解釋為一個(gè)變量名，可以寫(xiě)成“-1+j*2”。

通常意義上的數(shù)量(標(biāo)量)是矩陣的特殊情況，可看成是“1?×?1”，即一個(gè)元素的矩陣。

n維向量可看成是“n?×?1”的矩陣，即向量可以看做是只有一行或一列元素的矩陣。

多項(xiàng)式可由它的系數(shù)矩陣完全確定。

1.直接輸入法

最簡(jiǎn)單的建立矩陣的方法是從鍵盤(pán)直接輸入矩陣的元素，輸入的方法遵循以上規(guī)則。例如：

>>s=[123;456;359]

s=

123

456

359

s是一個(gè)3行3列的數(shù)組或矩陣。

MATLAB和其他語(yǔ)言不同，它無(wú)需事先聲明矩陣的維數(shù)。下面的語(yǔ)句可以建立一個(gè)更大的矩陣：

>>B(2,5)=1

B=

1.0000+9.0000i2.0000+8.0000i3.0000+7.0000i

0

0

4.0000+6.0000i5.0000+5.0000i6.0000+4.0000i

0

1.0000

7.0000+3.0000i8.0000+2.0000i

0+1.0000i

0

0

2．利用MATLAB函數(shù)創(chuàng)建矩陣

MATLAB提供了許多矩陣函數(shù)，可以利用這些函數(shù)創(chuàng)建矩陣，如標(biāo)準(zhǔn)矩陣、特殊矩陣等。

3．利用文件建立矩陣

當(dāng)矩陣尺寸較大或?yàn)榻?jīng)常使用的數(shù)據(jù)矩陣時(shí)，則可以將此矩陣保存為文件，在需要時(shí)直接將文件利用load命令調(diào)入工作環(huán)境中使用即可。同時(shí)可以利用函數(shù)reshape對(duì)調(diào)入的矩陣進(jìn)行重排。若要在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣，其格式為reshape(A,m,n)。 2.2向量、數(shù)組和矩陣的尋址與賦值

2.2.1向量的尋址與賦值

1．向量尋址

向量中各元素可以用單下標(biāo)來(lái)尋址。

(1)?A(j)：向量A的第j個(gè)元素。例如：

>>vec1=10:5:60

vec1=

1015202530354045505560

>>vec1(3)

ans=20

(2)?A([i,j,k])：提取向量A中第i、j、k號(hào)元素。例如：

>>vec1([1347])

ans=

10202540

2．向量的賦值

在MATLAB中，使用賦值符號(hào)(=)對(duì)向量元素賦值。例如：

>>y=[0123456]

y=

0123456

(1)單下標(biāo)方式賦值。例如：將向量y的第3個(gè)元素賦值為8。

>>y(3)=8

y=

0183456

將向量y的第1、第6個(gè)元素分別賦值為1、3。

>>y([16])=[13]

y=

1183436

(2)全元素賦值方式。例如：將向量y的所有元素，按5～11分別賦值。

>>y(:)=5:11

y=

5678910112.2.2矩陣(數(shù)組)的下標(biāo)索引

對(duì)于二維數(shù)組，其下標(biāo)可以是按列排序的單下標(biāo)，如圖2-2所示；也可以是按行、列順序編號(hào)的雙下標(biāo)，如圖2-3所示。圖2-2單下標(biāo)表示圖2-3雙下標(biāo)表示

1．矩陣的索引與提取

在MATLAB中，所有的矩陣內(nèi)部都是表示為以列為主的一維向量，在實(shí)際應(yīng)用中，可以使用一維A(k)或二維A(i,j)下標(biāo)來(lái)存取矩陣元素。如圖2-4所示。圖2-4矩陣的下標(biāo)

(1)使用雙下標(biāo)來(lái)進(jìn)行矩陣的索引。在矩陣A中，位于第i行、第j列的元素可表示為A(i,j)，i與j即是此元素的下標(biāo)(Subscript)或索引(Index)。例如：>>A=[410162;82947;75715;03454;23131303]

A=

410162

82947

75715

03454

23131303

>>A(2,2)

ans=2

>>A(4:5,2:3)：取出矩陣A的第4、5行與2、3列所形成的部分矩陣。

ans=

34

1313

(2)使用單下標(biāo)進(jìn)行矩陣的索引。用一維下標(biāo)的方式可達(dá)到同樣目的。對(duì)于某一個(gè)元素A(i,j)，其對(duì)應(yīng)的單下標(biāo)表示為A(k)，其中k=i+(j-1)*m，m為矩陣A的列數(shù)。例如：

>>A(7)

ans=2

>>A([914;1015])

ans=

34

1313

2．使用end關(guān)鍵字

關(guān)鍵字end表示數(shù)組的最后一個(gè)元素，代表某一維度的最大值，在矩陣元素提取時(shí)還可以使用end這個(gè)關(guān)鍵字。

A(:,end)：矩陣A的最后一列。例如：

>>B=[123;456]

B=

123

456

>>B(:,end)

ans=

3

6

3．使用冒號(hào)表達(dá)式選擇行、列或數(shù)組元素

冒號(hào)表達(dá)式是MATLAB中最具特色的表示方法，其調(diào)用格式為a=s1:s2:s3;。這一語(yǔ)句可以生成一個(gè)行向量，其中，s1為向量的起始值，s2為步距，而s3為向量的終止值。例如S=0:.1:2*pi，將產(chǎn)生一個(gè)起始于0，步距為0.1，而終止于6.2的向量。如果寫(xiě)成S=0:-0.1:2*pi;，則返回一個(gè)空向量。

冒號(hào)表達(dá)式可以用來(lái)尋訪、提取向量、數(shù)組或矩陣元素。

(1)?A(i:j)：是尋訪A的第i～j個(gè)元素，從i開(kāi)始、以1作為增量，單下標(biāo)尋訪直到j(luò)。例如：

>>vec1(1:5)%返回向量vec1的第1到第5個(gè)元素。

ans=

1015202530

>>A(1:7)

ans=

487023102

A(i:k:j)：從i開(kāi)始尋訪，以k作為增量，直到j(luò)。

(2)使用冒號(hào)可取出一整列或一整行。

A(i,:)：是尋訪A的第i行。例如：

>>A(3,:)

ans=75715

A(:,j)：是尋訪A的第j列。例如：

>>A(:,5)：取出矩陣A的第5列。

ans=

2

7

5

4

3

(3)?A(:)：依次提取矩陣A的每一列，按單下標(biāo)次序?qū)拉伸為一個(gè)列向量，即把A的所有元素視為單一列。不論原數(shù)組A是多少維的，A(:)將返回一個(gè)列向量。例如：

>>A(:)

ans=

1

4

2

5

3

6

(4)取矩陣A的第i1～i2行、第j1～j2列構(gòu)成新矩陣：A(i1:i2,j1:j2)。

>>A(2:3,1:3)

ans=

829

757

A(:,:)相當(dāng)于二維數(shù)組，等同于A。

例如：A(:,1)將提取A矩陣的第1列，而A(1:2,1:2:5)將提取A的前2行與1,3,5列組成的子矩陣(起始值s1=1、步距s2=2、終止值s3=5)。

>>A(:,1)

ans=

4

8

7

0

23

>>A(1:2,1:2:5)

ans=

412

897

B(i:end,:)將提取B的第i行到最后一行的所有列構(gòu)成的子矩陣。例如尋訪向量vec1的除前4個(gè)之外的所有元素，即從第5個(gè)元素開(kāi)始到最后：

>>vec1(5:end)

ans=

30354045505560

>>A(2:end,:)

ans=

82947

75715

03454

2313130

3

(5)?A(k:-i:j)是指按逆序返回A的各元素值。例如：以逆序提取矩陣A的第i1～i2行，構(gòu)成新矩陣：A(i2:-1:i1，:)。

>>A(3:-1:2,1:3)

ans=

757

829

>>A(3:-1:2,:)

ans=

75715

82947

(6)以逆序提取矩陣A的第j1～j2列，構(gòu)成新矩陣：A(:,j2:-1:j1)。

>>A(:,4:-1:1)

ans=

61104

4928

1757

5430

0131323

4．矩陣元素的刪除

可以直接刪除矩陣的某一整個(gè)列或行，具體方法如下：

(1)?A(2,:)=[]：刪除A矩陣的第2行。

(2)?A(:,[245])=[]：刪除A矩陣的第2、4、5列。

(3)刪除A的第i1～i2行，構(gòu)成新矩陣:A(i1:i2,:)=[]。

(4)刪除A的第j1～j2列，構(gòu)成新矩陣:A(:,j1:j2)=[]。2.2.3矩陣元素的賦值

1．全元素賦值方式

對(duì)矩陣(數(shù)組)中所有元素進(jìn)行賦值。

例2-2-1

創(chuàng)建一個(gè)(2*4)的全零數(shù)組，然后從1～8給其賦值。

解

(1)創(chuàng)建一個(gè)(2*4)的全零數(shù)組。

>>A=zeros(2,4)

A=

0000

0000

(2)從1～8給其賦值。

>>A(:)=1:8

A=

1357

2468

2．單下標(biāo)方式賦值

例2-2-2

將上例中下標(biāo)為2、3、5的元素分別賦值為10、20、30。

解該例當(dāng)然可以使用下標(biāo)尋址的方式，逐個(gè)賦值，例如：

>>A(2)=10

A=

1357

10468

>>A(:,[23])=[33;22]

A=

1337

10228如果數(shù)組賦值元素較多，使用下列方法則更方便。

(1)產(chǎn)生一個(gè)需要賦值的“單下標(biāo)行數(shù)組”數(shù)組。

>>s=[235];

(2)由“單下標(biāo)行數(shù)組”尋訪產(chǎn)生A元素組成的行數(shù)組A(s)。

>>A(s)

ans=

235

(3)生成一個(gè)3元素的“列數(shù)組”Sa。

>>Sa=[102030]'

Sa=

10

20

30

(4)使用“列數(shù)組”Sa為A賦值。

>>A(s)=Sa

A=

120307

10468

上述步驟可以簡(jiǎn)化為

>>A([235])=[102030]

3．雙下標(biāo)方式賦值

把A的第2、3列元素全賦為1。

>>A(:,[23])=ones(2)

A=

1117

10118

或者

>>A(:,[23])=[11;11]

2.3標(biāo)準(zhǔn)矩陣與特殊矩陣

2.3.1標(biāo)準(zhǔn)矩陣

由于標(biāo)準(zhǔn)矩陣具有通用性，MATLAB提供了一些專(zhuān)用矩陣函數(shù)來(lái)創(chuàng)建它們，標(biāo)準(zhǔn)矩陣一般包括全1矩陣、全0矩陣、單位矩陣、隨機(jī)矩陣及對(duì)角矩陣等。

1．全1矩陣

ones()函數(shù)：產(chǎn)生全為1的矩陣。

(1)?ones(n)：產(chǎn)生n?×?n維的全1矩陣。

(2)?ones(m,n)、ones([mn])：產(chǎn)生m?×?n維的全1矩陣。例如：

>>ones(2,3)

ans=

111

111

2．全0矩陣

zeros()函數(shù)：與ones()函數(shù)類(lèi)似，產(chǎn)生全為0的矩陣。

3．隨機(jī)矩陣

(1)rand()函數(shù)：產(chǎn)生在(0,1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣。例如：

>>rand(2,3)

ans=

0.90580.91340.0975

0.12700.63240.2785

(2)?randn()函數(shù)：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。例如：

>>randn()

ans=

0.3426

>>randn(2,3)

ans=

3.5784-1.34990.7254

2.76943.0349-0.0631

4．單位矩陣

對(duì)角元素為1，其余元素為零的n階方陣稱(chēng)為n階單位矩陣，記為In或簡(jiǎn)寫(xiě)為I。

eye()函數(shù)：產(chǎn)生單位矩陣。使用為eye(n,n)或eye(n)。例如：

>>I5=eye(5)

ans=

10000

01000

00100

00010

00001

5．對(duì)角矩陣

diag()函數(shù)：產(chǎn)生對(duì)角矩陣。例如：

X=diag(v,k)

當(dāng)v是一個(gè)n元素的向量時(shí)，返回n+abs(k)階的X方陣，v的元素排列在與主對(duì)角線(xiàn)平行的第k個(gè)元素的對(duì)角線(xiàn)上，如圖2-5所示。圖2-5對(duì)角矩陣當(dāng)k=0時(shí)，各元素出現(xiàn)在主對(duì)角線(xiàn)上。

當(dāng)k>0時(shí)，各元素位于對(duì)角線(xiàn)上方。

當(dāng)k<0時(shí)，各元素位于對(duì)角線(xiàn)下方。

例如：

>>v=[12479]；

>>X=diag(v,0)

X=

10000

02000

00400

00070

00009

>>X=diag(v,-2)

X=

0000000

0000000

1000000

0200000

0040000

0007000

0000900

6．Jordon標(biāo)準(zhǔn)型

當(dāng)利用相似變換將矩陣對(duì)角化時(shí)會(huì)產(chǎn)生Jordon標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)于給定的矩陣，如果存在非奇異矩陣，使得矩陣最接近于對(duì)角形，則稱(chēng)為矩陣的Jordon標(biāo)準(zhǔn)型。MATLAB中，函數(shù)Jordan()用于計(jì)算矩陣的Jordon標(biāo)準(zhǔn)型。該函數(shù)的調(diào)用格式如下：

(1)?J=jordan(A)：計(jì)算矩陣的Jordon標(biāo)準(zhǔn)型；

(2)?[V,J]=jordan(A)：返回矩陣的Jordon標(biāo)準(zhǔn)型，同時(shí)返回相應(yīng)的變換矩陣。2.3.2特殊矩陣

1．奇異矩陣與非奇異矩陣

奇異矩陣是線(xiàn)性代數(shù)的概念，就是對(duì)應(yīng)的行列式等于0的矩陣。奇異矩陣和非奇異矩陣的判斷方法：

(1)首先，看這個(gè)矩陣是不是方陣，即行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。若行數(shù)和列數(shù)不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣。

(2)然后，再看此方陣的行列式|A|是否等于0。若等于0，即det(A)==0，稱(chēng)矩陣A為奇異矩陣；若不等于0，稱(chēng)矩陣A為非奇異矩陣。

(3)同時(shí)，由|A|≠0可知矩陣A可逆，這樣可以得出另外一個(gè)重要結(jié)論，即可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。

2．魔方矩陣

魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線(xiàn)上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。例如：

>>magic(3)

ans=

816

357

492

3．托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行、第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz()，其語(yǔ)法如下：

(1)?y=toeplitz(Col,Row)。它生成一個(gè)以Col為第一列，Row為第一行的托普利茲矩陣。這里Col、Row均為向量，兩者不必等長(zhǎng)。輸出的維數(shù)為[length(Col)length(Row)]，元素組成是y(i,j)=y(i-1,j-1)，第一個(gè)元素y(1,1)是Col的第一個(gè)元素。

>>c=[12345];

>>r=[1.52.53.54.55.5];

>>toeplitz(c,r)

ans=

1.0002.5003.5004.5005.500

2.0001.0002.5003.5004.500

3.0002.0001.0002.5003.500

4.0003.0002.0001.0002.500

5.0004.0003.0002.0001.000

(2)?toeplitz(x)：用向量x生成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的托普利茲矩陣。例如：

>>toeplitz(c)

ans=

12345

21234

32123

43212

54321

>>toeplitz(r)

ans=

1.50002.50003.50004.50005.5000

2.50001.50002.50003.50004.5000

3.50002.50001.50002.50003.5000

4.50003.50002.50001.50002.5000

5.50004.50003.50002.50001.5000

4．范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣的最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積，可以用一個(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如：

>>v=[12479];

>>vander(v)

ans=

11

111

168

421

256641641

24013434971

65617298191

5．希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專(zhuān)門(mén)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例如：

>>hilb(5)

ans=

1.00000.50000.33330.25000.2000

0.50000.33330.25000.20000.1667

0.33330.25000.20000.16670.1429

0.25000.20000.16670.14290.1250

0.20000.16670.14290.12500.1111

6．伴隨矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中，p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如：

>>compan(c)

ans=

-2-3-4-5

1?0?00

0?1?00

0?0?10

7．帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開(kāi)后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱(chēng)為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱(chēng)為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。例如：

>>pascal(6)

ans=

111111

123456

136101521

1410203556

162156126252 2.4基本的四則運(yùn)算

四則算術(shù)運(yùn)算包括向量、數(shù)組、矩陣與數(shù)，向量、數(shù)組、矩陣之間的運(yùn)算。運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。向量、數(shù)組的四則運(yùn)算法則總結(jié)如表2-2所示，而矩陣的四則算術(shù)運(yùn)算有些與此不同。

2.4.1向量、數(shù)組與數(shù)的四則運(yùn)算

1．向量與數(shù)的加法(減法)

對(duì)向量中的每個(gè)元素與數(shù)進(jìn)行加法(減法)運(yùn)算。例如：

>>v1=80:-9:10

v1=

8071625344352617

>>v1+101

ans=

181172163154145136127118

2．向量與數(shù)的乘法(除法)

對(duì)向量中的每個(gè)元素與數(shù)進(jìn)行乘法(除法)運(yùn)算。例如：

>>v1*2

ans=

16014212410688705234

3．?dāng)?shù)組與數(shù)之間的四則運(yùn)算

數(shù)組與數(shù)之間的運(yùn)算(或叫標(biāo)量、數(shù)組運(yùn)算)，與向量運(yùn)算規(guī)則相同，即數(shù)組的每個(gè)元素分別與數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。例如：

>>s=[123;852]

s=

123

852

>>S=s-2

S=

-101

630

>>H=2*s/3+1

H=

1.66672.33333.0000

6.33334.33332.33332.4.2向量、數(shù)組之間的四則運(yùn)算

1．向量之間的四則運(yùn)算

向量中的每個(gè)元素與另一個(gè)向量中相對(duì)應(yīng)的元素進(jìn)行四則運(yùn)算，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度必須相同。例如：

>>ve1=linspace(200,500,7)

ve1=

200250300350400450500

>>ve2=linspace(90,60,7)

ve2=

90858075706560

>>ve3=ve1+ve2

ve3=

290335380425470515560

>>ve4=ve1.*ve2

ve4=

18000212502400026250280002925030000

>>ve5=ve1./ve2

ve5=

2.22222.94123.75004.66675.71436.92318.3333

>>ve6=ve1.\ve2

ve6=

0.45000.34000.26670.21430.17500.14440.1200

2．?dāng)?shù)組之間的運(yùn)算

數(shù)組和數(shù)組之間的加減運(yùn)算與向量運(yùn)算相同。

當(dāng)兩個(gè)數(shù)組的維數(shù)相同時(shí)，加、減、乘、除(左除、右除)都可以逐元素(元素對(duì)元素)進(jìn)行。可以使用的四則運(yùn)算符號(hào)如下：

加、減法符號(hào)，“+”、“-”；

乘法符號(hào)，“.*”；

維數(shù)相同的兩數(shù)組的除法也是對(duì)應(yīng)元素之間的除法，數(shù)組的除法沒(méi)有左除和右除之分，即運(yùn)算符“./”和“.\”的運(yùn)算結(jié)果是一致的，不過(guò)要注意被除數(shù)和除數(shù)在兩種除法運(yùn)算符中的左右位置是不同的。

也可以使用函數(shù)plus()、minus()、times()、ldivide()、rdivide()完成對(duì)應(yīng)的運(yùn)算。

(1)加、減法運(yùn)算。數(shù)組是逐元素進(jìn)行加、減法運(yùn)算。例如：

>>g=[123;456]

>>h=[111;222]

>>g+h

ans=

234

678

>>2*(g-h)

ans=

024

468使用函數(shù)plus()、minus()的運(yùn)算結(jié)果與上述運(yùn)算的結(jié)果相同。例如：

>>2*minus(g,h)

ans=

024

468

(2)數(shù)組乘法。數(shù)組乘法使用點(diǎn)乘符號(hào)“.*”，或times()函數(shù)進(jìn)行逐元素運(yùn)算。例如：

>>g.*h

ans=

123

81012

>>times(g,h)

ans=

123

81012

(3)數(shù)組除法。數(shù)組除法使用點(diǎn)除符號(hào)“./”或“.\”，逐元素(元素對(duì)元素)進(jìn)行運(yùn)算。

數(shù)組左除“.\”表示左邊為分母，右邊為分子。例如：

>>g.\h

ans=

1.00000.50000.3333

0.50000.40000.3333

數(shù)組左除使用ldivide()函數(shù)。例如：

>>ldivide(g,h)數(shù)組右除“./”表示右邊為分母，左邊為分子。例如：

>>g./h

ans=

1.00002.00003.0000

2.00002.50003.0000

數(shù)組右除使用rdivide()函數(shù)。例如：

>>rdivide(g,h)在一個(gè)是標(biāo)量的情況下，把標(biāo)量擴(kuò)展為與分母相同維數(shù)的數(shù)組，并同樣遵循點(diǎn)除的規(guī)則。例如：

>>2.\h

ans=

0.50000.50000.5000

1.00001.00001.0000

>>2./h

ans=

222

111

>>rdivide(2,h)

ans=

222

1112.4.3矩陣加減運(yùn)算

假定有兩個(gè)矩陣A和B，則可以由A+B和A-B運(yùn)算，或使用函數(shù)plus(A,B)、minus(A,B)實(shí)現(xiàn)矩陣的加、減運(yùn)算。

運(yùn)算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶(hù)兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。與數(shù)組一樣，標(biāo)量與矩陣相加，則把標(biāo)量與每個(gè)元素相加。例如：

>>A=[111;222;333]；

>>6+A

ans=

777

888

9992.4.4矩陣的乘法

在MATLAB中，矩陣乘法有通常意義上的矩陣乘法，也有Kronecker乘法。矩陣乘法與數(shù)組的逐元素對(duì)應(yīng)乘法不同，矩陣乘法使用符號(hào)“*”。

1．普通乘法與mtimes()函數(shù)

假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m?×?n矩陣，B為p?×?q矩陣。當(dāng)n=p時(shí)，B為n?×?q矩陣，則兩個(gè)矩陣可以相乘，即后面矩陣B的行數(shù)必須與前面矩陣A的列數(shù)相同，二者可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，否則是錯(cuò)誤的。結(jié)果矩陣C=A?×?B為m?×?q矩陣。

矩陣乘法不可逆，在MATLAB中，矩陣乘法由(*)實(shí)現(xiàn)。計(jì)算方法和線(xiàn)性代數(shù)中所介紹的完全相同，后面矩陣B的第一個(gè)列向量與前面矩陣A的第一個(gè)行向量對(duì)應(yīng)元素相乘，其和作為結(jié)果矩陣的第一列的第一個(gè)元素，后面矩陣的第一個(gè)列向量與前面矩陣的第二個(gè)行向量對(duì)應(yīng)元素相乘，其和作為結(jié)果矩陣的第一列的第二個(gè)元素，依此類(lèi)推。

例如：

A=[1

23;

456];B=[1

2;3

4;56];

C=A?×?B，結(jié)果為

1)標(biāo)量與矩陣相乘

與數(shù)組一樣，標(biāo)量與矩陣相乘，即把標(biāo)量與每個(gè)元素相乘。

上例中，如果A或B是標(biāo)量，則A?×?B返回標(biāo)量A(或B)乘上矩陣B(或A)的每一個(gè)元素所得的矩陣。例如：

>>6*A

ans=

612

1824

2)矩陣之間的乘法

矩陣之間的乘法與數(shù)組的點(diǎn)乘法不同，主要區(qū)別如下：

(1)乘法規(guī)則不同。例如：

>>A=[111;222;333]

A=

111

222

333

>>B=[123;456;789]

B=

123

456

789矩陣乘法結(jié)果：

>>C=A*B

C=

121518

243036

364554

數(shù)組乘法結(jié)果：

>>D=A.*B

D=

123

81012

212427

(2)矩陣乘法不要求維數(shù)相同。例如：

>>a=[123;456;789]

a=

123

456

789

>>b=[12;34;56]

b=

12

34

56

>>c=a*b

c=

2228

4964

76100而數(shù)組的點(diǎn)乘(逐元素對(duì)應(yīng)乘法)要求其維數(shù)相同，否則就會(huì)報(bào)錯(cuò)：

>>d=a.*b

???Errorusing==>times

Matrixdimensionsmustagree.

(3)數(shù)組乘法可以交換，而矩陣乘法不可以交換。例如：

>>E=B.*A

E=

123

81012

212427

數(shù)組交換后乘法結(jié)果與D相同，而矩陣則不同：

>>F=B*A

F=

141414

323232

505050在MATLAB中，可以使用mtimes()函數(shù)計(jì)算矩陣乘法。語(yǔ)法如下：

mtimes(A,B)：A、B可以是標(biāo)量，也可以是矩陣。

當(dāng)A、B都是矩陣時(shí)，完成矩陣之間的乘法。例如：

>>A=[1

2;3

4];B=[5

6;7

8];

>>mtimes(A,B)

ans=

1922

4350

當(dāng)A、B有一個(gè)是標(biāo)量時(shí)，完成矩陣與標(biāo)量之間的乘法。例如：

>>mtimes(A,6)

ans=

612

1824

2．矩陣的Kronecker乘法

與矩陣的普通乘法不同，Kronecker乘法并不要求兩個(gè)被乘矩陣滿(mǎn)足任何維數(shù)匹配方面的要求。Kronecker乘法的MATLAB命令為C=kron(A,B)。

語(yǔ)句C=kron(A,B)：返回A和B的Kronecker(克羅內(nèi)克)張量積，其結(jié)果是一個(gè)大矩陣，由A、B元素之間所有可能的乘積組成。

例如給定兩個(gè)矩陣A和B：對(duì)n×m階矩陣A和p?×?q階矩陣B，A和B的Kronecher乘法運(yùn)算可定義為由上面的式子可以看出，Kronecker乘積AB表示矩陣A的所有元素與B之間的乘積組合而成的較大的矩陣，BA則完全類(lèi)似。AB和BA均為np×mq矩陣，但一般情況下AB≠BA。例：

>>A=[12;34];B=[132;246];

>>A*B %矩陣的普通乘法

ans=

51114

112530

>>C=kron(A,B) %矩陣的Kronecker乘法

C=

132264

2464812

3964128

61218816242.4.5矩陣的除法

在MATLAB中，有兩種矩陣除法符號(hào)，即左除“＼”和右除“／”，也可以使用對(duì)應(yīng)的函數(shù)mldivide()和mrdivide()。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)：

(1)?A\B或mldivide(A,B)：等效于A的逆左乘B矩陣，也就是A\B=inv(A)*B。

(2)?B/A或mrdivide(A,B)：等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B/A=B*inv(A)。

對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系，一般A\B≠B/A。但對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同。通常：

x=A\B就是A*x=B的解；

x=B/A就是x*A=B的解。

當(dāng)B與A矩陣行數(shù)相等可進(jìn)行左除，如果A是方陣，用高斯消元法分解因數(shù)，然后解方程：A*x(:,j)=B(:,j)。式中，(:,j)表示B矩陣的第j列，返回的結(jié)果x具有與B矩陣相同的階數(shù)，如果A是奇異矩陣將給出警告信息。

如果A矩陣不是方陣，可由以列為基準(zhǔn)的Householder正交分解法分解，這種分解法可以解決在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，結(jié)果是m?×?n的x矩陣：m是A矩陣的列數(shù)，n是B矩陣的列數(shù)，每個(gè)矩陣的列向量最多有k個(gè)非零元素，k是A的有效秩。

矩陣除法在實(shí)際中主要用于求解線(xiàn)性方程組。矩陣與標(biāo)量間無(wú)除法運(yùn)算，唯有矩陣右除(即矩陣/標(biāo)量)可運(yùn)算。 2.5向量、數(shù)組和矩陣的其他運(yùn)算

2.5.1乘方、開(kāi)方運(yùn)算

1．向量、數(shù)組的乘方運(yùn)算與power()函數(shù)

在MATLAB中乘方運(yùn)算有幾種定義方式，符號(hào)(.^)或power()函數(shù)是數(shù)組用來(lái)執(zhí)行元素對(duì)元素的乘方運(yùn)算的，當(dāng)乘方指數(shù)是一個(gè)標(biāo)量時(shí)，該標(biāo)量對(duì)數(shù)組的所有元素進(jìn)行取乘方操作。數(shù)組乘方運(yùn)算的語(yǔ)法如下：

c=a.^k或c=power(a,k)：計(jì)算c=ak，k是實(shí)數(shù)。

向量的乘方運(yùn)算與之相同。例如：

>>ve2.^2

ans=

8100722564005625490042253600

>>g=[123;456]

>>g.^2

ans=

149

162536

>>g.^-2

ans=

1.00000.25000.1111

0.06250.04000.0278運(yùn)行power(g,-2)結(jié)果與之相同。

>>g'

ans=

14

25

36

>>g'*h

ans=

999

121212

151515

2．矩陣的乘方與mpower()函數(shù)

與數(shù)組的指數(shù)運(yùn)算不同，一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成A^P，即A自乘P次。要求A必須為方陣，P為標(biāo)量。語(yǔ)法如下：

C=A^P或C=mpower(A,P)：表示C?=?AP，P為正整數(shù)。

如果P是一個(gè)大于1的整數(shù)，則A^P表示A的P次冪；如果P不是整數(shù)，計(jì)算涉及到特征值和特征向量的問(wèn)題，如已經(jīng)求得[V,D]=eig(A)，則

A^P=V*D.^P/V注：這里的.^表示數(shù)組乘方，或點(diǎn)乘方。

>>A=[123

406

789];

>>A^2%等于A*A

ans=

302642

465666

10286150

3．向量元素的平方和根與norm()函數(shù)

求向量元素的平方和根使用norm()函數(shù)。用法如下：

(1)?y=norm(x,p)：求向量x元素的p次和的p次方根，即返回y=sum(abs(A).^p)^(1/p)，其中，1≤p≤。

(2)?y=norm(x)：不指定p時(shí)，默認(rèn)為2，即相當(dāng)于y=norm(x,2)，返回。

(3)?norm(x,inf)：返回x中絕對(duì)值最大的元素，相當(dāng)于max(abs(x))。

(4)?norm(x,-inf)：返回x中絕對(duì)值最小的元素，相當(dāng)于min(abs(x))。

例如：

>>x=[1-234];

>>norm(x)

ans=

5.4772

4．?dāng)?shù)組、矩陣的平方根與sqrt()、sqrtm()函數(shù)

(1)

B=sqrt(X)：返回?cái)?shù)組X的每個(gè)元素的平方根。對(duì)于負(fù)的或復(fù)數(shù)元素，sqrt(X)生成的結(jié)果為復(fù)數(shù)。例如：

>>sqrt(x)

ans=

1.00000+1.4142i1.73212.0000

(2)