南京一中2024-2025學(xué)年第一學(xué)期12月階段性檢測(cè)試卷 高二數(shù)學(xué) 答案

南京一中2024－2025學(xué)年第一學(xué)期12月階段性檢測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)2024.12注意事項(xiàng)：1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．第Ⅰ卷(選擇題共58分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線l的斜率為?3，則l的傾斜角為(

)A.?π3 B.?π6 C.【答案】C

解：設(shè)直線l的傾斜角為θ，因?yàn)橹本€的斜率是?3，所以又因?yàn)?≤θ<π，所以θ=2π3故選：C.2.已知等差數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a5A.3 B.6 C.9 D.27【答案】C

解：在等差數(shù)列an中，3a5所以S故選：C.3.拋物線x2=6y的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于(

A.32 B.3 C.6 【答案】B

解：由題意拋物線x2=6y的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別為所以拋物線x2=6y的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于3.4.在中國(guó)古代，人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣，一年之中日影最長(zhǎng)的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為(

)A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】A

解：設(shè)這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列an，其中冬至的日影長(zhǎng)為a1，

由題意可得，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為a1+a4+a7=31.5，

5.已知P為橢圓C:x24+y2b2=1上的動(dòng)點(diǎn)．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C

解：因?yàn)锳(?1,0),B(1,0)，可得AB=2，則|PA|+|PB|=4>由橢圓的定義，可得點(diǎn)P的軌跡表示以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a=4,2c=2，可得a=2,c=1，所以b2又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C:x2故選：C.6.P為直線y=kx?2上一點(diǎn)，過(guò)P總能作圓x2+y2=1的切線，則A.3 B.33 C.?3【答案】D

解：由題意，點(diǎn)P為直線y=kx?2上一點(diǎn)，過(guò)P總能作圓x2可得直線y=kx?2與圓x2則滿足圓心到直線的距離d=?2k2+1所以k的最小值為?37.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，nan+1=2Sn，bn=(?1)A.0 B.50 C.100 D.2525【答案】B

解：法一：由于nan+1=2Sn①，則當(dāng)n≥2時(shí)，(n?1)an=2Sn?1②，

①-②，得nan+1?(n?1)an=2an，即an+1an=n+1n，易知a2a1=21，

所以an=a1?a2a1?a3a2?ana8.直線y=kx交橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，PA，PB的斜率分別為k1A.35 B.45 C.25【答案】A

解：設(shè)A(m,n)，B(?m,?n)，即m2a2+n2b2=1，

設(shè)P(x0,y0)，即x02a2+y02b2=1，

兩式相減可得，x0二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知雙曲線C:x29?yA.實(shí)軸長(zhǎng)為6 B.焦距為5

C.離心率為43 【答案】AD

解：已知雙曲線C:x29?y216=1，

則a=3，b=4，c=9+16=5，

對(duì)于選項(xiàng)A，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，

即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，雙曲線的焦距為10，

即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，雙曲線的離心率為53，

即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D10.數(shù)列{an}滿足：a1=1，aA.數(shù)列{an+12}為等比數(shù)列 B.an=12×【答案】AB

解：∵數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1?3an?1=0，n∈N?，

∴an+1=3an+1，∴an+1+12=3(an+12)，

∵a1+12=32，

∴數(shù)列{an11.已知直線l:kx+y+2k?1=0，圓C:(x?1)2+(y?1)2=1，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(?2,1)

B.若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則k=1

C.若直線l與圓C相切，則k=±24

D.當(dāng)k=1時(shí)，取y軸上一點(diǎn)E(0,3)，則【答案】ACD

解：對(duì)于A，直線l：kx+y+2k?1=0，即k(x+2)+y?1=0，

令x+2=0，則y?1=0，解得x=?2，y=1，

所以直線|恒過(guò)定點(diǎn)(?2,1)，故A正確;

對(duì)于B，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l過(guò)圓心C(1,1)，

所以k+1+2k?1=0，解得k=0，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，若直線與圓C相切，則圓心C(1,1)到直線的距離等于半徑1，

即|k+1+2k?1|k2+1=1，解得k=±24，故C正確;

對(duì)于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線l:x+y+1=0，點(diǎn)E(0,3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F(x0,y0)，

則有y第Ⅱ卷(非選擇題共92分)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.方程(x?3)2+y2【答案】

x2解：方程(x?3表示點(diǎn)Px,y到A3,0,B所以方程(x?3且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10，焦距2c=6，所以a=5,c=3，所以短半軸長(zhǎng)b=所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x22513.已知數(shù)列{an}滿足：a1+【答案】2n解：設(shè)bn=an2n?1，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，

則Sn=2n，

當(dāng)n>1時(shí)，bn=Sn?Sn?1，即a14.設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，【答案】2解：由題意可設(shè)F(c,0)，A1(?a,0)，令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b可設(shè)B(c,b2a由A1B⊥A即有b2即為b4∴a=b，∴e即e=2四、解答題：本題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2n+1，Sn，a成等差數(shù)列．(2)若bn=(2n?1)an求數(shù)列{解：(1)∵2n+1，Sn，a成等差數(shù)列，

∴2Sn=2n+1+a，即Sn=2n+a2，

當(dāng)n=1時(shí)，2a1=2S1=4+a，即a1=2+a2，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=2n+a2?2n?1?a2=2n?1，

∵{an}16．(本小題滿分15分)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與C交于A(x(1)求y1(2)求直線AD與C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)證明：DA⊥DB.解：(1)直線AB的斜率顯然不為零，所以設(shè)直線AB的方程為x=my+2，與y2=8x聯(lián)立，

得y2?8my?16=0，

所以y1y2=?16.

(2)直線AD的斜率為y1?y1+y22x1+2=y1?y22x1+4=y1+所以DA?DB=(y128+2,y1?17．(本小題滿分15分)已知數(shù)列an滿足(1)求a(2)若對(duì)任意的n∈N?，an≥?1解：(1)當(dāng)

n=1

時(shí)，

a1=3

；當(dāng)

n≥2

時(shí)，又

a1+3上述兩式作差可得

2n?1an=3n?3n?1=2?3n?1

，即

a(2)當(dāng)

n≥2

時(shí)，an+1?an=2?所以，數(shù)列

an

從第二項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞增，

若對(duì)任意的

n∈N?

，

①當(dāng)

n

為正奇數(shù)時(shí)，得an≥?λ

，

∵a1=3<a3=185<a②當(dāng)

n

為正偶數(shù)時(shí)，得an≥λ，即得

綜上所述，

?3≤λ≤2

.18．(本小題滿分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O:x2+y(1)求圓O與圓C的外公切線的長(zhǎng);(2)過(guò)圓C上的任意一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，設(shè)D(①求|PO||PD|的值②求圓心C到直線AB的距離的取值范圍.解：(1)圓C:(x?4)2+(y?2)2=4的圓心C(4,2)，半徑為2，

圓O:x2+y2=1的圓心O(0,0)，半徑為1，

|OC|=25，

所以外公切線長(zhǎng)為252?2?12=19;

(2)①設(shè)點(diǎn)P(a,b)，則滿足(a?4)2+(b?2)2=4，得a2+b2=8a+4b?16，

所以|PD|2=(a?165)2+(b?85)2=a2+b2?325a?165b+645=a2+b19．(本小題滿分17分)已知橢圓E:x2a2(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為kk≠0的直線l交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂