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文檔簡介
吉林省長春市名校2025屆高考數(shù)學一模試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.2.已知△ABC中,.點P為BC邊上的動點,則的最小值為()A.2 B. C. D.3.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③4.若點是角的終邊上一點,則()A. B. C. D.5.展開項中的常數(shù)項為A.1 B.11 C.-19 D.516.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i7.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標原點,拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù),滿足條件是偶函數(shù),且當時,,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.已知集合,則=A. B. C. D.10.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標準差為_______.14.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為_____.15.曲線在點(1,1)處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為,則實數(shù)=____。16.等腰直角三角形內(nèi)有一點P,,,,,則面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當為偶函數(shù)時,求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求的取值范圍.18.(12分)在直角坐標系中,長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動,點為線段上的點,且滿足.記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點為曲線上的兩個動點,記,判斷是否存在常數(shù)使得點到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)的值和這個定值;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.求的值;設(shè)的平分線與邊交于點,已知,,求的值.21.(12分)已知函數(shù)(,),且對任意,都有.(Ⅰ)用含的表達式表示;(Ⅱ)若存在兩個極值點,,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點的個數(shù),并說明理由.22.(10分)在以為頂點的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計算時的函數(shù)值可排除三個選項.【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負,函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項.2、D【解析】
以BC的中點為坐標原點,建立直角坐標系,可得,設(shè),運用向量的坐標表示,求得點A的軌跡,進而得到關(guān)于a的二次函數(shù),可得最小值.【詳解】以BC的中點為坐標原點,建立如圖的直角坐標系,可得,設(shè),由,可得,即,則,當時,的最小值為.故選D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示,考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法,考查運算能力,屬于中檔題.3、C【解析】分析:根據(jù)最低點,判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當時,,所以與有6個交點,設(shè)各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.4、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點是角的終邊上一點,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準確化簡、計算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項,有3種情況:(1)5個括號都出1,即;(2)兩個括號出,兩個括號出,一個括號出1,即;(3)一個括號出,一個括號出,三個括號出1,即;所以展開項中的常數(shù)項為,故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.6、B【解析】分析:化簡已知復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義可得.詳解:化簡可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B.點睛:本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算,涉及共軛復(fù)數(shù),屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標;②:做關(guān)于準線的對稱點為,通過分析可知當三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達定理,可知焦點坐標的關(guān)系,進而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設(shè),則關(guān)于準線的對稱點為,故,當且僅當三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點坐標為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.8、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對稱.
∵當x≥1時,為減函數(shù),∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故選C9、C【解析】
本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.10、D【解析】
設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.11、D【解析】
討論,,三種情況,求導得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時,,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當時,;當時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.12、D【解析】
由題可得函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標準差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標準差為1.故答案為:1.【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標準差的求法,考查平均數(shù)、方差、標準差的定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,求出得答案.【詳解】,,則,的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為,故答案為【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準確計算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.15、或1【解析】
利用導數(shù)的幾何意義,可得切線的斜率,以及切線方程,求得切線與軸和的交點,由三角形的面積公式可得所求值.【詳解】的導數(shù)為,可得切線的斜率為3,切線方程為,可得,可得切線與軸的交點為,,切線與的交點為,可得,解得或?!军c睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程,以及直線方程的運用,三角形的面積求法。16、【解析】
利用余弦定理計算,然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式,可得結(jié)果.【詳解】設(shè)由題可知:由,,,所以化簡可得:則或,即或由,所以所以故答案為:【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形,仔細觀察,細心計算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)極小值,極大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程,解得.再求導數(shù),根據(jù)導函數(shù)零點列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,即得極值,(Ⅱ)先分離變量,轉(zhuǎn)化研究函數(shù),,利用導數(shù)研究單調(diào)性與圖象,最后根據(jù)圖象確定滿足條件的的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由函數(shù)是偶函數(shù),得,即對于任意實數(shù)都成立,所以.此時,則.由,解得.當x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以有極小值,有極大值.(Ⅱ)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線,有且只有兩個公共點”.對函數(shù)求導,得.由,解得,.當x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因為,,,,所以當或時,直線與曲線,有且只有兩個公共點.即當或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.18、(1)(2)存在;常數(shù),定值【解析】
(1)設(shè)出的坐標,利用以及,求得曲線的方程.(2)當直線的斜率存在時,設(shè)出直線的方程,求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合以及為定值,求得的值.當直線的斜率不存在時,驗證.由此得到存在常數(shù),且定值.【詳解】(1)解析:(1)設(shè),,由題可得,解得又,即,消去得:(2)當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為設(shè),由可得:由點到的距離為定值可得(為常數(shù))即得:即,又為定值時,,此時,且符合當直線的斜率不存在時,設(shè)直線方程為由題可得,時,,經(jīng)檢驗,符合條件綜上可知,存在常數(shù),且定值【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,考查橢圓中的定值問題,屬于難題.19、(1)(2)【解析】
(1)按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,求出在上的最小值即可,利用絕對值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數(shù)最小值.【詳解】解:(1)或或解得或或無解綜上不等式的解集為.(2)時,,即所以只需在時恒成立即可令,由解析式得在上是增函數(shù),∴當時,即【點睛】本題考查解絕對值不等式,考查不等式恒成立問題,解決絕對值不等式的問題,分類討論是常用方法.掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵.20、;.【解析】
利用正弦定理化簡求值即可;利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內(nèi)角,故,,則,故,;(2)平分,設(shè),則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,二倍角公式,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導數(shù),要求函數(shù)有兩個極值點,只需在內(nèi)有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗證,可得當時,對任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個極值點,,則須有有兩個
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