新高考數(shù)學二輪復習強化練習思想04 化歸與轉(zhuǎn)化思想（講）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想04化歸與轉(zhuǎn)化思想（講）考向速覽方法技巧典例分析1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而得到解決的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.2．轉(zhuǎn)化與化歸的原則(1)熟悉化原則(2)簡單化原則(3)直觀化原則(4)正難則反原則3.轉(zhuǎn)化與化歸的策略方法(1)直接轉(zhuǎn)化法(2)換元法(3)數(shù)形結(jié)合法(4)構(gòu)造法(5)坐標法(6)類比法(7)特殊化方法(8)等價問題法(9)加強命題法(10)補集法4．轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用(1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的轉(zhuǎn)化方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化、通過正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化等.(2)換元法是將一個復雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法.(3)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時,常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉(zhuǎn)化.(4)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.(5)在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時,常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)f'(x)構(gòu)成的方程、不等式問題求解.(6)在解決解析幾何、立體幾何問題時,常常在數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)化.5．轉(zhuǎn)化與化歸的常見類型：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；如在三角函數(shù)和解三角形中,主要的轉(zhuǎn)化方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化、通過正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化等.(2)換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題；(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑；(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的；(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，結(jié)論適合原問題.01等與不等引起的轉(zhuǎn)化【核心提示】函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍．【典例分析】典例1.（2023·全國·模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022重慶市渝東九校聯(lián)盟高二下學期期中）定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0的圖像連續(xù)不斷，其導函數(shù)為SKIPIF1<0，對任意正數(shù)SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2020·全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點(SKIPIF1<0，f(SKIPIF1<0))處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若SKIPIF1<0有一個絕對值不大于1的零點，證明：SKIPIF1<0所有零點的絕對值都不大于1．02特殊與一般引起的轉(zhuǎn)化【核心提示】特殊與一般轉(zhuǎn)化法是在解決問題過程中將某些一般問題進行特殊化處理或?qū)⒛承┨厥鈫栴}進行一般化處理的方法．這類轉(zhuǎn)化法一般的解題步驟是：第一步：確立需轉(zhuǎn)化的目標問題：一般將要解決的問題作為轉(zhuǎn)化目標．第二步：尋找“特殊元素”與“一般元素”：把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題時，尋找“特殊元素”把特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題時，尋找“一般元素”．第三步：確立新目標問題：根據(jù)新確立的“特殊元素”或者“一般元素”明確其與需要解決問題的關(guān)系，確立新的需要解決的問題．第四步：解決新目標問題：在新的板塊知識背景下用特定的知識解決新目標問題．第五步：回歸目標問題．第六步：回顧反思：常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．對于選擇題，當題設(shè)在普通條件下都成立時，用特殊值進行探求，可快捷地得到答案；對于填空題，當填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．【典例分析】典例4.（2021·浙江·高考真題）已知SKIPIF1<0是互不相同的銳角，則在SKIPIF1<0三個值中，大于SKIPIF1<0的個數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3典例5.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0__________.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0典例6.（2023·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)令SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式SKIPIF1<0.03正與反引起的轉(zhuǎn)化【核心提示】正難則反，利用補集求得其解，這就是補集思想，一種充分體現(xiàn)對立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想方法．一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”情形的問題中．【典例分析】典例7.（2022·全國·高三專題練習）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實驗艙?問天實驗艙和夢天實驗艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有（

）A．60 B．66 C．72 D．80典例8.（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0個點將半圓分成SKIPIF1<0段弧，以SKIPIF1<0個點（包括SKIPIF1<0個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（）個A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例9.（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這三個數(shù)中至少有一個數(shù)不大于1；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.04空間與平面引起的轉(zhuǎn)化【核心提示】立體幾何中有些問題的解答，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決，即考慮轉(zhuǎn)化成在一個平面上的問題，運用平面幾何知識求解.特別是涉及旋轉(zhuǎn)體的問題，通過研究軸截面，尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系．【典例分析】典例10.【多選題】（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足SKIPIF1<0的是（）A． B．C． D．典例11.（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）如圖1，在△ABC中，D為AC的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將△ABD沿BD折起，得到如圖2所示的三棱錐P-BCD，且平面PBD⊥平面BDC.(1)證明：SKIPIF1<0面PBD；(2)求二面角C-PD-B的余弦值.典例12.（2021秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？计谥校┤鐖D①，在等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如圖②所示的四棱錐SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0時，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值．05數(shù)與形引起的轉(zhuǎn)化【核心提示】利用數(shù)形結(jié)合思想，往往可以實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，特別是涉及函數(shù)方程與函數(shù)圖象、曲線與方程等問題，適時進行數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，可以達到化難為易、化繁為簡的良好效果.【典例分析】典例13.【多選題】（2021·全國·高考真題）已知點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則（）A．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離小于SKIPIF1<0B．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離大于SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0典例14.（2018·浙江高考真題）已知點P(0，1)，橢圓SKIPIF1<0+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，則當m=