蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊全冊課件

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊全冊教學(xué)課件2.1命題、定理、定義一、命題定義可判斷真假的陳述句叫作命題.【思考】根據(jù)命題的定義思考,命題可分為哪幾類?提示：一類是判斷為真的命題，即真命題；另一類是判斷為假的命題，即假命題.(1)如果兩條平行直線被第三條直線所截，那么同位角相等!(2)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是正三角形；(3)如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等；例如：(4)對頂角相等；(5)若x2＝1，則x＝1；(6)若一個三角形是直角三角形，則這個三角形的兩個銳角互余.其中語句(1)(2)(4)(6)判斷為真，語句(3)(5)判斷為假.因而它們都是命題.●觀察上述命題中的(1)(3)(5)(6)，這些命題具有怎樣的表示形式?觀察上述命題中的(1)(3)(5)6)可以發(fā)現(xiàn)，這些命題都具有“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式.命題(1)中：p

是“兩條平行直線被第三條直線所截”，q是“同位角相等”；命題(3)中：p是“兩個三角形的面積相等”，q是“這兩個三角形全等”；命題(5)中：p

是“x2＝1”，q

是“x＝1”；等等.例如：數(shù)學(xué)中，許多命題可表示為“_________________”

或“____________”的形式，其中______叫作命題的條件，________

叫作命題的結(jié)論.一般形式如果p，那么q若p，則q

pq例1指出下列命題中的條件p和結(jié)論q：(1)若ab

＝0，則a

＝0；(2)若a＜0，則a＞0；解：p：ab

＝0，q：a＝0.解：p：a＜0，q：∣a∣＞0.(3)如果二次函數(shù)y＝x2＋k

的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，那么k＝0；(4)如果兩個三角形的三邊分別對應(yīng)相等,那么這兩個三角形全等.解：p：二次函數(shù)y＝x2＋k的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，q：k＝0.解：p：兩個三角形的三邊分別對應(yīng)相等，q：這兩個三角形全等.例2將下列命題改寫成“若p，則q”(或“如果p，那么q”)的形式：(1)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是正三角形；解：

若一個等腰三角形有一個內(nèi)角是60°，

則這個三角形是正三角形.(2)對頂角相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分；解：若兩個角是對頂角，則這兩個角相等.解：如果一個四邊形是平行四邊形，

那么這個四邊形的對角線互相平分.(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.解：如果一個四邊形的對角線互相平分，

那么這個四邊形是平行四邊形.例3判斷下列命題的真假：(1)若a＝b，則a2＝b2；(2)若a2＝b2，則a＝b；解：當(dāng)a＝b時，顯然有a2＝b2.所以，命題為真.解：當(dāng)a＝1，b＝－1時，a2＝b2＝1，即由a2＝b2，

不能推出a＝b.所以，命題為假.(3)全等三角形的面積相等；解：由全等三角形的定義可知，當(dāng)兩個三角形全等時，

這兩個三角形的面積一定相等.所以，命題為真.(4)面積相等的三角形全等.解：如圖，直角三角形ABC

與等腰三角形A′BC同底等高，這兩個三角形的面積相等，但這兩個三角形不全等.所以，命題為假.二、定理的含義(1)已經(jīng)被證明為真的命題；(2)可以作為推理的依據(jù)而直接使用.三、定義的含義和特點(diǎn)定義對某些對象標(biāo)明符號、指明稱謂，或者揭示所研究問題中對象的內(nèi)涵.例如：“兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”.特點(diǎn)用已知的對象及關(guān)系來解釋、刻畫陌生的對象，并加以區(qū)別.例如：“平行四邊形”就是通過“四邊形”與兩組“對邊”分別“平行”來描述的.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.(

)

(2)定理都是真命題.(

)(3)命題“當(dāng)x∈R時，x2是正數(shù)”是真命題.(

)???命題都是陳述句.定理是已經(jīng)被證明為真的命題.當(dāng)x＝0時x2＝0，故此命題是假命題.2.將命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0”改寫成“如果p，那么q”的形式：__________________________________________.

如果兩個數(shù)互為相反數(shù),那么這兩個數(shù)的和為0

①④解析：①是真命題；②是假命題，5不能被3整除；③是假命題，例如a＝－1和b＝－2時，ab是正整數(shù)，但a，b都是負(fù)整數(shù)；④是真命題.解析【解題策略】1.將命題改寫為“若p，則q”形式的方法及原則.2.命題改寫中的注意點(diǎn)若命題不是以“若p，則q”這種形式給出時，首先要確定這個命題的條件p

和結(jié)論q，進(jìn)而再寫成“若p，則q”的形式.【跟蹤訓(xùn)練】1.下列語句中，是命題的個數(shù)是 (

)

①|(zhì)x＋2|；②－5∈Z；③π?R；④{0}?N.A.1 B.2 C.3 D.4C解析：①不能判斷真假，不是命題；②③④能判斷真假，是命題.解析2.命題“平行四邊形的對角線既互相平分，也互相垂直”的結(jié)論是(

)A.這個四邊形的對角線互相平分B.這個四邊形的對角線互相垂直C.這個四邊形的對角線既互相平分，也互相垂直D.這個四邊形是平行四邊形C解析：把命題改寫成：若一個四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的對角線既互相平分，也互相垂直，由此可知C正確.解析3.將命題“末位數(shù)字是4的整數(shù)一定能被2整除”改寫成“若p，則q”的形式為：

_____________________________________________.

若一個整數(shù)的末位數(shù)字是4，則它一定能被2整除

(1)(2)(4)解析：(1)能判斷真假，是命題；(2)能判斷真假，是命題；(3)不能判斷真假，不是命題；(4)能判斷真假，是命題；(5)是疑問句，不是命題.解析5.把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假：(1)等腰三角形的兩個底角相等；命題可改寫成：若一個三角形是等腰三角形,則兩個底角相等,真命題.(2)當(dāng)x＝2或x＝4時，x2－6x＋8＝0；(3)已知x，y

為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時y＝3，x＝2.命題可改寫成：若x＝2或x＝4，則x2－6x＋8＝0，真命題.命題可改寫成：已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2.假命題.練習(xí)1.寫出下列命題的條件和結(jié)論：(1)如果兩個三角形相似，那么這兩個三角形的對應(yīng)角相等；條件是“兩個三角形相似”，結(jié)論是“這兩個三角形的對應(yīng)角相等”；(2)如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的對角相等；(3)若a，b都是偶數(shù)，則a＋b

是偶數(shù)；條件是“一個四邊形是平行四邊形”，結(jié)論是“這個四邊形的對角相等”；條件是“a，b都是偶數(shù)”，結(jié)論是“a＋b是偶數(shù)”；(4)若兩個實(shí)數(shù)的積為正數(shù)，則這兩個實(shí)數(shù)的符號相同；(5)若a＝b，則a2＝ab；條件是“兩個實(shí)數(shù)的積為正數(shù)”，結(jié)論是“這兩個實(shí)數(shù)的符號相同”；條件是“a＝b”，結(jié)論是“a2＝ab”；條件是“q

＞－1”，結(jié)論是“方程x2＋2x－q＝0有實(shí)數(shù)解”“.(6)若q≥－1，則方程x2＋2－q＝0有實(shí)數(shù)解.2.將下列命題改寫成“若p，則q”的形式：(1)絕對值相等的數(shù)也相等；(2)矩形的對角線相等；若兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)相等.若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的對角線相等.(3)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；(4)兩角分別相等的兩個三角形相似.若一個點(diǎn)是角平分線上的點(diǎn)，則這個點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等.若兩個三角形的兩個角分別相等，則這兩個三角形相似.3.判斷下列命題的真假：(1)若一個三角形中有兩個角互余，則這個三角形是直角三角形；因?yàn)槿切蔚膬蓚€角互余，則另外一個角為直角，所以這個三角形是直角三角形.該命題為真命題.(2)若一個整數(shù)的個位數(shù)字是0，則這個數(shù)是5的倍數(shù)；因?yàn)橐粋€整數(shù)的末位數(shù)字是0，所以這個數(shù)必是5的倍數(shù).故該命題為真命題.(3)等腰三角形的底角相等；(4)矩形的對角線相等.因?yàn)檫@個三角形為等腰三角形，所以這個三角形的底角相等.故該命題為真命題.矩形的對角線相等且互相平分，所以該命題為真命題.習(xí)題2.1感受·理解1.寫出下列命題的條件與結(jié)論：(1)如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)高相等；條件是“兩個三角形全等”，結(jié)論是“這兩個三角形對應(yīng)的高相等”；(2)如果兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等，那么這兩個三角形全等；(3)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的四邊相等;條件是“兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等”結(jié)論是“這兩個三角形全等”；條件是“一個四邊形是菱形”，結(jié)論是“這個四邊形的四邊相等”；(4)若兩條直線被一組平行線所截，則所得的對應(yīng)線段成比例.條件是“兩條直線被一組平行線所截”，結(jié)論是截得的對應(yīng)線段成比例”.2.將下列命題改寫成“若p，則q”的形式：(1)平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行；(2)平行于同一條直線的兩條直線平行；在同一平面內(nèi)，若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行.若兩條直線平行于同一條直線，則這兩條直線平行.(3)兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)；(4)乘積為正數(shù)的兩個數(shù)同號；若兩個數(shù)是無理數(shù)，則這兩個數(shù)的和是無理數(shù).若兩個數(shù)的乘積為正數(shù)，則這兩個數(shù)同號.(5)兩個奇數(shù)的和是偶數(shù)；(6)矩形的四個角相等；若兩個數(shù)均為奇數(shù)，則這兩個數(shù)的和是偶數(shù).若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的四個角相等.(7)等腰三角形的兩個底角相等；(8)直徑所對的圓周角是直角.若一個三角形是等腰三角形，則它的兩個底角相等.若圓中的一個圓周角是直徑所對的圓周角，則這個圓周角是直角.思考·運(yùn)用3.判斷下列命題的真假：(1)若x2＋x－2＝0，則x＝1；∵x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，(1)是假命題.(2)若x∈A∩B，則x∈A∪B；(3)若x＞1，則x2＞1；根據(jù)集合的交、并集運(yùn)算的定義，(2)真命題.∵x＞1，∴x2＞1，(3)真命題

將原點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得m＝0，(4)是真命題.

(6)若a＋b＞0，則a2＋b2＞0.∵a

＋b

＞0，a、b至少有一個大于零，∴a2＋b2

＞0，(6)是真命題.探究·拓展4.

考察下述推導(dǎo)過程，找出錯誤原因.若x

＝y(tǒng)，則有xy＝y(tǒng)2，從而有x2－xy

＝

x2－y2，即有x(x－y)＝(x＋y)(x－y).所以x

＝x

＋y.又因?yàn)閤

＝y(tǒng)，所以x

＝2x.所以1＝2.解：推理中，由x(x－y)＝(x＋y)(x－y)得到x＝x＋y是錯誤的，錯誤原因在于有可能x－y＝0；由x＝2x

得到1＝2也是錯誤的，錯誤原因在于x有可能為0.同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。2.2充分條件、必要條件、充要條件一、命題真假與推出關(guān)系命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立符號表示___________讀法p推出qp不能推出q傳遞性如果p?q，q?s，那么_______p?qp?qp?s例如：(1)x＝y(tǒng)?

x2＝y(tǒng)2，但x2＝y(tǒng)2

?

x＝y(tǒng)；(2)x＞1?x2＞1，但x2＞1?x＞1；這里，“x＞1”表示“x是大于1的實(shí)數(shù)”；“S△ABC”表示“△ABC的面積”.(3)△ABC≌△A′B′C′?S△ABC＝S△A′B′C′，

但S△ABC

＝S△A′B′C′?△ABC≌△A′B′C′.●如果“p＝q”，那么p，q

之間有怎樣的關(guān)系?分析(1)(2)(3)，可以發(fā)現(xiàn)，“p

?q”的含義是：一旦p

成立，q一定也成立.即p對q

的成立是充分的.也可以這樣說：如果q

不成立，那么力一定不成立.即g對的成立是必要的.二、充分條件、必要條件推出關(guān)系p?q條件關(guān)系p是q的__________條件，q是p的__________條件.充分必要例1下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些?解：因?yàn)閜?

q，所以p是q的充分條件.(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形.解：因?yàn)閜?q，所以p不是q的充分條件.(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分.解：因?yàn)閜?

q，所以p是q的充分條件.解：因?yàn)閜?

q，所以p是q的充分條件.例2下列所給的各組p，q

中，p是q

的必要條件的有哪些?(1)p：∣x∣＝1，q：x＝1；(2)p：兩個直角三角形全等，q：兩個直角三角形的斜邊相等；解：因?yàn)閝?

p，所以p是q的必要條件.解：因?yàn)閝?p，所以p不是q的必要條件.(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分解：因?yàn)閝?

p，所以p是q的必要條件.解：因?yàn)閝?

p，所以p是q的必要條件.觀察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以發(fā)現(xiàn)，其中既有p?q，也有q?p.三、充要條件定義推出關(guān)系p?q，且q?p，記作_______稱為“p與q等價”或“p等價于q”.條件關(guān)系p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件p?q

本質(zhì)p是q的充分必要條件，也常說成p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立.應(yīng)用充要條件是數(shù)學(xué)中非常重要的概念，應(yīng)用充要條件可以從不同的角度來理解、刻畫很多數(shù)學(xué)內(nèi)容.“?”和“?”都具有傳遞性，即如果p?q，q?s，那么p?s；如果p?q，q?s，那么p?s.【思考】命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分哪幾類?提示：①充分必要條件(充要條件)，即p?q且q?p.②充分不必要條件，即p?q且q?p.③必要不充分條件，即p?q且q?p.④既不充分又不必要條件，即p?q且q?p.例3指出下列命題中，p是q的什么條件：(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應(yīng)角相等；解：根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，得出兩個三角形的對應(yīng)角相等，所以p?q.反過來，由兩個三角形的對應(yīng)角相等，不能得出兩個三角形全等.例如，兩個等腰直角三角形，它們對應(yīng)的角相等，但對應(yīng)邊不相等，這兩個三角形就不全等.所以q?p.因此，p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.(2)p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；解：根據(jù)等邊三角形的定義，可知三邊相等的三角形是等邊三角形，所以

p?q.反過來，根據(jù)等邊三角形的定義，可知等邊三角形的三邊相等.所以

q

?p.因此，p?q，即p是q的充要條件.(3)p：a2

＝b2，q：a

＝b；解：a2－b2

?

a2－b2＝0?(a－b)(a＋b)＝0?a－b＝0或a＋b＝0?a＝－b或a＝b，所以p?q.

反過來，a＝b?a－b＝0?(a－b)(a＋b)＝0?a2－b2＝0?a2＝b2，所以q

?p.因此，q

?

p，但p?q，即p是q的必要條件，但p不是q的充分條件.還可以通過舉反例來說明，如22＝(－2)2，但2≠－2.(4)p：x

＞y，q：x2＞y2.解：取x＝1，y＝－2，此時，x＞y，但x2＜y2，所以p?q.反過來，取x＝－2，y＝－1，此時，x2＞y2，但x＜y，所以q

?p.因此，p

不是q

的充分條件，q也不是p的必要條件.四、性質(zhì)定理、判定定理和數(shù)學(xué)定義(1)性質(zhì)定理是指某類對象具有的具體特征.性質(zhì)定理具有“_____________”.(2)判定定理是指對象只要具有某具體的特征，就一

定有該對象的所有特征.判定定理具有“_____________”.(3)數(shù)學(xué)定義既具有必要性也具有充分性.必要性充分性【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件.(

)

(2)兩個三角形相似的充要條件是兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例. (

)??(3)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件.(

)(4)如果p是q的充分條件，則p是唯一的.(

)??不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分條件.2.從符號“?”“?”“?”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：

???3.從“充分”“必要”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：(1)“x＞2”是“x＞3”的________條件；

(2)“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”

的________條件.

必要充分解析：(1)因?yàn)椤皒＞3”?“x＞2”，所以“x＞2”是“x＞3”的必要條件；(2)因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是正方形”?“四邊形ABCD是菱形”，所以“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的充分條件.解析【解題策略】(1)準(zhǔn)確理解題意，明確證明方向①條件已知推出結(jié)論成立是充分性，結(jié)論已知推出條件成立是必要性.②“p是q的充分(必要)條件”有時也寫為“q的充分(必要)條件是p”.充要條件的證明策略(2)關(guān)注證明的兩個環(huán)節(jié)一是充分性；

二是必要性.

證明時，不要認(rèn)為它是推理過程的“雙向書寫”，而應(yīng)該進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明.【跟蹤訓(xùn)練】1.使x(y－2)＝0成立的一個充分條件是 (

)

A.x2＋(y－2)2＝0 B.(x－2)2＋y2＝0C.(x＋1)2＋y2＝0 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝0A解析：根據(jù)題意，原題可改寫為“(

)是x(y－2)＝0的充分條件”.x2＋(y－2)2＝0?x＝0且y＝2?x(y－2)＝0，所以x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分條件.解析2.對于任意的實(shí)數(shù)a，b，c，在下列命題中，真命題是

(

)A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C.“ac＜bc”是“a＜b”的充分條件D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件B解析：若a＝b，則ac＝bc；若ac＝bc，則a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件.解析3.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________條件，

“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________條件.

(用“充分”“必要”填空)

充分必要解析：由x＝－1?x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分條件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要條件.解析4.p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍為__________.

a≤1解析：x＞1?x＞a，令A(yù)＝{x∣x＞1}，B＝{x∣x＞a}，則A?B，所以a≤1.解析5.求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.

6.求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的

充要條件是a－b＋c＝0.證明：充分性：∵a－b＋c＝0，即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，∴－1是ax2＋bx＋c＝0的一個根.必要性：

∵ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1，∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.綜上可得ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0.練習(xí)1.下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些?(1)p：三角形有一個內(nèi)角是60°，q：三角形是正三角形；因?yàn)槿切斡幸粋€內(nèi)角是60°?三角形是正三角形即p?q.所以p不是q的充分條件.(2)p：兩個角相等，q：兩個角是對頂角；因?yàn)閮蓚€角相等，這兩個角有可能是內(nèi)錯角或同位角，故兩個角相等?兩個角是對頂角，即p?q

，所以p不是q的充分條件；(3)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分；因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分故四邊形是平行四邊形?四邊形的對角線互相平分，即p?q，

所以p是q的充分條件；(4)p：x

＞2，q：x

＞1.因?yàn)閤＞2?x＞1，所以p是q的充分條件；所以p是q的充分條件的有(3)(4)2.下列所給的各組p，q中，p是q的必要條件的有哪些?(1)p：兩條直線平行，q：同位角相等；(2)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；解：q?p，p是q的必要條件；解：q?p，p是q的必要條件；(3)p：a

＝b，q：∣a∣＝∣b∣；(4)p：x2

＝l，q：x

＝1.解：q?p，p不是q的必要條件；解：q?p，p是q的必要條件；3.從符號“?”“?”“?”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：(1)x2＞1_______x＞1；(2)

a，b

都是偶數(shù)_______a＋b是偶數(shù)；(3)

x2＝1______∣x∣＝1；(4)n

是偶數(shù)_______n

是4的倍數(shù).????習(xí)題2.2感受·理解1.下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些?

p是q的必要條件的有哪些?p是q的充要條件的有哪些?(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的面積相等；解：由p：兩個三角形全等能推出q：

兩個三角形的面積相等，故p是q的充分條件；由q：兩個三角形的面積相等不能推出p：兩個三角形全等，故p不是q的必要條件.

從而p不是q的充要條件；(2)p：三角形是直角三角形，q：三角形的兩個銳角互余；解：由p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的兩個銳角互余，故p是q的充分條件；由q：三角形的兩個銳角互余能推出p：三角形是直角三角形，故p是q的必要條件.從而p是q的充要條件；(3)p：m≤1，q：關(guān)于的方程x2＋2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解；解：∵關(guān)于x的方程x2＋2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1，故由p：m＜1能推出q：關(guān)于的方程x2＋2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解，故p是q的充分條件；由q：關(guān)于x的方程x2＋2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解能推出p：m≤1，故p是q的必要條件.從而p是q的充要條件；(4)p：ab＝0，q：a＝0.解：由p：ab＝0不能推出q：a＝0，故p不是q的充分條件；由q：a＝0能推出p：ab＝0，故p是q的必要條件.從而p不是q的充要條件.綜上知：p是q的充分條件的有(1)(2)(3)，p是q的必要條件的有(2)(3)(4)，p是q的充要條件有(2)(3).2.從符號“?”“?”“?”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：(1)x∈A______x∈A∩B(2)x?A∪B_____x∈A∩B；(3)x∈?U(A∪B)_____x∈(?UA)∩(?UB)；(4)x∈?U(A∩B)______x∈(?UA)∪(?UB).????思考·運(yùn)用3.下列所給的各組p，q

中，p是q

的什么條件?(1)p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，q：

△ABC

中，BC

＞AC；充要條件(2)p：a2

＜1，q：a＜2；

充分不必要條件既不充分也不必要條件(4)p：m

≤

1，q：關(guān)于的方程mx2＋2x＋1＝0有兩個實(shí)數(shù)解.必要不充分條件4.設(shè)a，b，c∈R，求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0

有一個根是1的充要條件為a＋b＋c＝0.證明：(1)必要性，即“若1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，則a＋b＋c＝0”.∵x＝1是方程的根，將x＝1代入方程，得a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.(2)充分性，即“若a＋b＋c

＝0，則x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根”.把x＝1代入方程的左邊，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.∵a＋b＋c＝0，∴x＝1是方程的根.綜合(1)(2)知命題成立.探究·拓展5.設(shè)集合A＝{x∣x滿足條件p}，B＝{x∣x滿足條件q}.(1)如果A?B，那么p是q的什么條件?(2)如果B?A，那么p是q的什么條件?(3)如果A＝B，那么p是q的什么條件?試舉例說明.(1)如果A?B，那么p是q的什么條件?解：若A?B，則有x∈A?x∈B，即每個使p

成立的元素也使q成立，即p?q，

所以p是q的充分條件.舉例略.(2)如果B?A，那么p是q的什么條件?解：若B?A，則有x∈B?x∈A，即每個使q

成立的元素也使p成立，即q?p，所以p是q的必要條件.如A＝{x∣x

＞0}，B＝{x∣x

＞1}，B?A，則x＞1是x＞0的充分條件，x＞0是x＞1的必要條件.(3)如果A＝B，那么p是q的什么條件?解：若A＝B，則A?B且B?A，所以p是q的充要條件.舉例略.同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。2.3

全稱量詞命題與存在量詞命題在日常生活和學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到這樣的語句：(1)對任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0；(2)存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；(3)有的矩形是萎形；(4)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；(5)有一個素?cái)?shù)是偶數(shù).●這些語句中用到了“任意”“存在”“有的”等詞，它們表示什么含義?2.3.1全稱量詞命題與存在量詞命題一、全稱量詞與存在量詞全稱量詞存在量詞量詞“所有”“________”“每一個”等表示________的詞“存在”“_______”“有一個”等表示_______或_______的詞符號用“_______”表示“對任意x”用“_______”表示“存在x”任意全體有的部分個體?x?x【思考】常見的全稱量詞、存在量詞還有哪些?提示：常見的全稱量詞還有“一切”“任給”“凡是”等.常見的存在量詞還有“有些”“對某些”“有的”等.二、全稱量詞命題與存在量詞命題(1)定義和表示方法：全稱量詞命題存在量詞命題定義含有_________的命題稱為全稱量詞命題含有_________的命題稱為存在量詞命題表示一般形式可表示為：____________一般形式可表示為：____________全稱量詞存在量詞?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)(2)本質(zhì)：全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.(3)應(yīng)用:全稱量詞、存在量詞是數(shù)學(xué)和日常生活中使用頻率很高的一種邏輯用語，數(shù)學(xué)中存在大量的全稱量詞命題和存在量詞命題.【思考】全稱量詞命題中的“x，M與p(x)”表達(dá)的含義分別是什么?提示：元素x可以表示實(shí)數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應(yīng)的集合M是這些元素的某一特定的范圍，p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質(zhì)，也可以用q(x)，r(x)等符號表示.例1判斷下列命題的真假：

解：因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有x2≥0，

所以對任意實(shí)數(shù)x，都有x2＋2≥2＞0，

即對任意實(shí)數(shù)x，都有x2＋2＞0成立，

因此，“?x∈R，x2＋2＞0”是真命題.由例1我們發(fā)現(xiàn)：要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個元素，使命題為真即可；否則命題為假.要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定的集合中的每一個元素，命題都為真；但要判定一個全稱量詞命題為假，只要在給定的集合中找到一個元素，使命題為假.思考給定的集合對存在量詞命題、全稱量詞命題的真假有沒有影響?試舉例說明.

練習(xí)1.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題：(1)任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；(2)任何數(shù)與0相乘，都等于0；任何實(shí)數(shù)指都是，故是全稱命題；任何實(shí)數(shù)指都是，故是全稱命題；(3)任何一個實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；(4)有些三角形的三個內(nèi)角都是銳角.任何實(shí)數(shù)指都是，故是全稱命題；有些是指存在的，故是存在性命題.2.判斷下列命題的真假：(1)任意一個平行四邊形對邊都相等；(2)有的四邊形既是矩形又是菱形；因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶呄嗟?，所以任意一個平行四邊形對邊都相等是正確的，所以是真命題.正方形既是矩形又是菱形，所以是真命題.(3)實(shí)系數(shù)方程都有實(shí)數(shù)解；(4)有的正數(shù)比它的倒數(shù)小.實(shí)系數(shù)方程x2＋1＝0沒有實(shí)數(shù)解，所以是假命題；

【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題.(

)(2)存在量詞命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質(zhì)的命題.(

)??(3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞.(

)?解析：有些命題雖然沒有寫出全稱量詞，但其意義具備“任意性”，這類命題也是全稱量詞命題，如“正數(shù)大于0”即“所有正數(shù)都大于0”，故(3)說法是錯誤的.解析2.給出下列命題：(1)所有一次函數(shù)的圖象都是直線；(2)對頂角相等；(3)?x∈R，x2－4x＋4≤0；(4)對任意的整數(shù)x，5x－1是整數(shù).其中全稱量詞命題是______________，存在量詞命題是________.(填序號)

(1)(2)(4)(3)解析解析：(1)含有全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題；(2)省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題；(3)含有存在量詞符號“?”，是存在量詞命題；(4)含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題.(2)至少有一個x∈R，使x能被5和8整除.(3)對于任意一個x∈Z，2x都是偶數(shù).解：因?yàn)?0能被5和8整除，

所以此命題是真命題.解：對于任意一個x∈Z，2x一定能被2整除，

一定是偶數(shù)，所以此命題是真命題.【跟蹤訓(xùn)練】1.下列命題不是“?x∈R，x2＞3”的表述方法的是(

)A.有一個x∈R，使得x2＞3成立B.對有些x∈R，使得x2＞3成立C.任選一個x∈R，使得x2＞3成立D.至少有一個x∈R，使得x2＞3成立C解析：原命題是存在量詞命題，而選項(xiàng)C中的命題是全稱量詞命題.解析2.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是 (

)①?x∈R，x2＞0；②?x∈R，x2≤0；③平行四邊形的對邊平行；④矩形的任一組對邊相等.

A.1 B.2 C.3 D.4C解析解析：①含有全稱量詞符號“?”，為全稱量詞命題，②含有存在量詞符號“?”，為存在量詞命題，③隱含著全稱量詞“所有”，為全稱量詞命題，④隱含著全稱量詞“所有”，為全稱量詞命題.

C

解析4.命題“自然數(shù)的平方大于零”是_________量詞命題

(填“全稱”或“存在”)，其省略的量詞是_______.

全稱所有解析：自然數(shù)的平方大于零意思是說所有自然數(shù)的平方都大于零，故該命題是全稱量詞命題，其省略的量詞是“所有”.解析5.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假.(1)對某些實(shí)數(shù)x，有2x＋1＞0.解：命題中含有存在量詞“某些”，

因此是存在量詞命題，是真命題.(2)?x∈{3，5，7}，3x＋1是偶數(shù).解：命題中含有全稱量詞的符號“?”，

因此是全稱量詞命題.

把3，5，7分別代入3x＋1，得10，16，22，都是偶數(shù)，

因此，該命題是真命題.2.3.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定給出下列命題：(1)所有的正方形都是矩形；(2)存在有理數(shù)x，使x－2＝0；(3)對任意的實(shí)數(shù)a，都有

a＞0；(4)有的矩形是菱形.(1)所有的正方形都是矩形；命題(1)的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，換言之，“有的正方形不是矩形”命題否定后，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，“肯定”變成“否定”.(2)存在有理數(shù)x，使x－2＝0；命題(2)的否定是“不存在有理數(shù)x，使x2－2＝0”，換言之，“對所有的有理數(shù)x，x2－2≠0”.命題否定后存在量詞變?yōu)槿Q量詞“肯定”成“否定”.(3)對任意的實(shí)數(shù)a，都有

a＞0；命題(3)的否定是“不是對任意的實(shí)數(shù)a，都有∣a∣≥0”，換言之“存在實(shí)數(shù)a，使∣a∣＜0”命題否定后，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，“肯定”變成“否定”.(4)有的矩形是菱形.命題(4)的否定是“不是有的矩形是菱形”，換言之，“所有的矩形都不是菱形”命題否定后，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，“肯定”變成“否定”.一、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定原命題否定?x∈M，p(x)___________________?x∈M，p(x)___________________注：“﹁p(x)”是對語句“p(x)”的否定?x∈M，﹁p(x)?x∈M，﹁p(x)【思考】對省略量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題怎樣否定?提示：對于省略了量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時，可先根據(jù)題意補(bǔ)上適當(dāng)?shù)牧吭~，再對命題進(jìn)行否定.二、命題與其否定的真假關(guān)系對一個命題進(jìn)行否定，就得到了一個新的命題，這兩個命題的關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”.例2寫出下列命題的否定：

解：“所有的無理數(shù)都是實(shí)數(shù)”的否定是“有的無理數(shù)不是實(shí)數(shù)”.

解：“菱形不是矩形”是指“任意一個菱形都不是矩形”，它的否定是“存在一個菱形，它是矩形”，或“存在是矩形的菱形”.

一般地，對全稱量詞命題的否定，主要是對全稱量詞的否定，“任意”“所有”的否定分別是“存在”“不都”；對存在量詞命題的否定，主要是對存在量詞的否定，“存在”“有”的否定分別是“任意”“所有”.練習(xí)1.寫出下列命題的否定：(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)有的梯形是平行四邊形；存在一個矩形不是平行四邊形；所有的梯形都不是平行四邊形；(3)銳角都相等；(4)有的梯形是等腰梯形有些銳角不相等；所有的梯形都不是等腰梯形.2.寫出下列命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和是180°；(2)所有的正三角形都相似；有的三角形的內(nèi)角和不是180°；存在一些正三角形不相似；(3)二次函數(shù)有最小值；(4)有的實(shí)系數(shù)一元二次方程無實(shí)數(shù)解.存在二次函數(shù)的值域不是R；實(shí)系數(shù)一元二次函數(shù)都有實(shí)數(shù)解.

D【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式是唯一的. (

)?提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“存在一個菱形不是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”.(2)?x∈M，p(x)與?x∈M，﹁p(x)的真假性相反.(

)(3)對全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時，量詞不需要變，只否定結(jié)論即可. (

)??提示：對全稱量詞命題或存在量詞命題進(jìn)行否定時，先對量詞進(jìn)行變化，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，再否定結(jié)論.2.命題“?x∈N，x2＞1”的否定為 (

)

A.?x∈N，x2≤1 B.?x∈N，x2≤1C.?x∈N，x2＜1 D.?x∈N，x2＜1B解析：因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以，命題“?x∈N，x2

＞1”的否定為“?x∈N，x2≤1”.解析3.命題“?x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是________________________.

?x∈R，x2＋2x＋3≠0解析：因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“?x∈R，x2＋2x＋3＝0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3≠0”.解析【跟蹤訓(xùn)練】1.命題“對任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0”的否定 (

)A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0C.對任意的x∈R，都有x3－x2＋1

≥

0D.存在x∈R，使得x3－x2＋1

≥

0D2.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2020的否定是(

)A.?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2020B.?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2020C.?m，n∈Z，都有m2≠n2＋2020D.以上都不對解析：這是一個存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，形式是：?m，n∈Z，都有m2≠n2＋2020.解析C3.命題“?x∈R，∣x－2∣＋∣x－4∣＞3”的否定是

____________________________________.

?x∈R，使得∣x－2∣＋∣x－4∣≤3解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，全稱量詞“任意”改為存在量詞“存在”，并把結(jié)論否定.解析4.命題“?x∈Q，x2＝5”的否定是_______________，該命題的否定是________命題.(填“真”或“假”)

?x∈Q，x2

≠5

真

解析5.設(shè)集合A＝{1，2，4，6，8，10，12}，試寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)p：?n∈A，n

＜12.

(2)q：?x∈{x∣x是奇數(shù)}，x∈A.

習(xí)題2.3感受·理解1.指出下列語句中的全稱量詞或存在量詞：(1)任一個質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；(2)所有實(shí)數(shù)的絕對值都是正數(shù)；(3)有些相似三角形全等；(4)有的四邊形有外接圓；(5)任意一個矩形都是軸對稱圖形；(6)有一個數(shù)不能做除數(shù)2.試判斷下列命題的真假：

真命題假命題假命題真命題思考·運(yùn)用3.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并

判斷它們的真假：(1)有的偶數(shù)是3的倍數(shù)；存在量詞命題，真命題(2)矩形的對角線相等；(3)有的平行四邊形的四個角都相等；全稱量詞命題，真命題存在量詞命題，真命題(4)平面內(nèi)，與一個圓只有一個公共點(diǎn)的直線是該圓的

切線.全稱量詞命題，真命題4.寫出下列命題的否定：(1)菱形的對角線互相垂直平分；(2)有的三角形一條邊上的高與中線相等；有些菱形的對角線不互相垂直平分.所有的三角形一條邊上的高與中線都不相等.(3)每一個正整數(shù)都比它的倒數(shù)大；(4)有的二次函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱.有的正整數(shù)不比它的倒數(shù)大.所有二次函數(shù)的圖象都不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱.5.寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1)大于3的自然數(shù)是不等式x2＞10的解；該命題的否定為：存在大于3的自然數(shù)不是不等式x2＞10的解.因?yàn)榇笥?的自然數(shù)有4，5，6，···，

它們的平方一定大于10，即大于3的自然數(shù)都是不等式x2＞10的解，故該否定為假命題；(2)存在有序整數(shù)組(x，y)滿足xy＝x＋y；該命題的否定為：

所有有序整數(shù)組(x，y)不滿足xy＝x＋y.取整數(shù)組(0，0)，滿足xy＝x＋y，故該命題的否定為假命題；(3)任何一個四邊形的四個頂點(diǎn)都共圓；該命題的否定為：存在一個四邊形的四個頂點(diǎn)不共圓.

由于對角不互補(bǔ)的四邊形不內(nèi)接于圓，故該命題的否定為真命題.(4)有的反比例函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn).該命題的否定為：所有反比例函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn).由反比例函數(shù)的性質(zhì)知該命題的否定為真命題.探究·拓展6.(閱讀題)假設(shè)我們要否定命題“所有水生動物都用鰓呼吸”，可以這樣做：畫出表示用鰓呼吸的動物的集合，并包含表示所有水生動物的集合，如圖(1)所示，那么此圖就表示“所有水生動物都用鰓呼吸”.再將圖(1)中水生動物的集合部分地移出用鰓呼吸的動物的集合，如圖(2)，那么此圖就表示“并非所有水生動物用鰓呼吸”，即“一些水生動物不用鰓呼吸”.這就得到了原命題的否定.可以看出，當(dāng)我們否定一個含有全稱量詞的命題時，就會得到一個含有存在量詞的命題.試舉社會生活或其他學(xué)科中命題的例子，并圖示命題及該命題的否定.命題“所有動物都是哺乳動物”為全稱量詞命題，該命題可以用下圖表示：該命題的否定可以用下圖表示：問題與探究“DY三角形”有一類三角形，我們暫且稱為“DY三角形”.下面圍繞“DY三角形”提出許多陳述，不妨?xí)呵曳Q為“命題”.第一組：①DY三角形有兩條邊相等；②DY三角形有兩個內(nèi)角相等；③DY三角形有一邊上的高、中線及所對角的平分線重合；④DY三角形有兩條邊上的中線相等；⑤DY三角形有兩條邊上的高相等；⑥D(zhuǎn)Y三角形的三個內(nèi)角的和為180°；......第二組：①有兩條邊相等的三角形是DY三角形；②有兩個內(nèi)角相等的三角形是DY三角形；③有一邊上的高、中線及所對角的平分線重合的三角形是DY三角形；④有兩條邊上的中線相等的三角形是DY三角形；⑤有兩條邊上的高相等的三角形是DY三角形；⑥三個內(nèi)角的和為180°的三角形是DY三角形；......由于沒有給出“DY三角形”的定義，所以上述兩組“命題”無法判斷真假.如果給出了“DY三角形”的定義，那么這些“命題”有的是真命題，有的是假命題.在真命題中，有的可以作為“DY三角形”的性質(zhì)定理，有的可以作為“DY三角形”的判定定理，有的可以作為“DY三角形”的定義.如果把“有兩條邊相等的三角形是DY三角形”作為“DY三角形”的定義.試判斷上述命題的真假(可以自己嘗試證明，或者香閱資料).并指出哪些命題是“DY三角形”的性質(zhì)定理，哪些命題是“DY三角形”的判定定理.“DY三角形”的定義、性質(zhì)定理、判定定理構(gòu)成了一個關(guān)于“DY三角形”的知識體系.在分析的基礎(chǔ)上.試再給出兩個關(guān)于“DY三角形”的“定義、性質(zhì)定理、判定定理”的知識體系.閱讀有趣的悖論悖論是指邏輯上可以推導(dǎo)出互相矛盾，但表面上又能自圓其說的命題或結(jié)論.悖論的出現(xiàn)往往是因?yàn)槿藗儗δ承└拍畹睦斫夂驼J(rèn)識不夠深刻所致.有些悖論是很有趣的，對推動數(shù)學(xué)發(fā)展有一定的促進(jìn)作用.1.芝諾悖論阿基里斯追一只海龜，若海龜在阿基里斯的前面，盡管阿基里斯奔跑的速度比海龜爬行的速度快，但阿基里斯還是永遠(yuǎn)追不上海龜.這是因?yàn)榘⒒锼贡仨毰艿胶｝數(shù)某霭l(fā)點(diǎn)A；而當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)A時，海龜又向前爬了一段，到達(dá)了點(diǎn)B；當(dāng)阿基里斯到達(dá)點(diǎn)B時，海龜又向前爬了一段，到達(dá)了點(diǎn)C······如此一直追下去，盡管阿基里斯和海龜?shù)木嚯x在無限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上海龜.2.理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論是數(shù)學(xué)家羅素給出的.在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌“我只給村里所有那些不給自已理發(fā)的人理發(fā)”有人問他“你給不給自己理發(fā)?”理發(fā)師無言以對.

如果他不給自己理發(fā)，他就屬于“不給自己理發(fā)的人”，他就要給自己理發(fā)：如果他給自己理發(fā)，那么他就成了“給自己理發(fā)的人”，他就不該給自己理發(fā).悖論有三種主要形式：(1)一種論斷看起來好像肯定錯了，但實(shí)際上卻是對的(佯謬).(2)一種論斷看起來好像肯定是對的，但實(shí)際上卻錯了(似是而非的理論).(3)一系列推理看起來好像無法打破，可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾.悖論是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結(jié)論，而這兩個結(jié)論似乎都能自圓其說.悖論的抽象公式是：

若事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出A不發(fā)生；若事件A不發(fā)生，則推導(dǎo)出A發(fā)生.悖論促進(jìn)了數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、語義學(xué)等學(xué)科的發(fā)展.同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細(xì)心.耐心，讓家長放心.孩子安心。3.1不等式的基本性質(zhì)我們知道，實(shí)數(shù)可分為正數(shù)、零和負(fù)數(shù)，任給一個實(shí)數(shù)，它只可能為正數(shù)、零和負(fù)數(shù)中的一種.那么，對于任意兩個實(shí)數(shù)a，b，它們的差a－b也只可能為正數(shù)、零和負(fù)數(shù)中的一種.一、實(shí)數(shù)比較大小的基本事實(shí)文字語言符號表示當(dāng)a－b為正數(shù)時，稱a＞b；a＞b?a－b＞0當(dāng)a－b為零時，稱a＝b；a＝b?a－b＝0當(dāng)a－b為負(fù)數(shù)時，稱a＜b.a＜b?a－b＜0.在小學(xué)和初中，我們知道等式有如下基本性質(zhì)：

●不等式有哪些基本性質(zhì)呢?【思考】(1)在比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)中，a，b

兩數(shù)是任意實(shí)數(shù)嗎?提示：是.(2)如何由比較兩個實(shí)數(shù)大小的依據(jù)得出兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法?提示：通過兩個實(shí)數(shù)作差，判斷差的正負(fù)比較大小.二、不等式的基本性質(zhì)(1)性質(zhì):別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)1對稱性a＞b?b＜a可逆性質(zhì)2傳遞性a＞b，b＞c?____同向性質(zhì)3可加性a＞b?________可逆性質(zhì)3的推論移項(xiàng)法則a＋b＞c?a＞c－b可逆a＞ca＋c＞b＋c別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)4可乘性a＞b，c＞0?ac＞bca＞b，c＜0?______c的符號性質(zhì)5同向可加性a＞b，c＞d?________同向性質(zhì)6同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0?______同向同正ac＜bca＋c＞b＋dac＞bd(2)本質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)可以由實(shí)數(shù)比較大小的基本事實(shí)證明，它闡述了不等式在不同條件下的同解變形結(jié)論，是求解和證明不等式的依據(jù).(3)應(yīng)用：①解不等式；②判斷或證明不等式.【思考】(1)性質(zhì)4就是在不等式的兩邊同乘以一個不為零的數(shù)，不改變不等號的方向，對嗎?為什么?提示：不對.要看兩邊同乘以的數(shù)的符號，同乘以正數(shù)，不改變不等號的方向，但是同乘以負(fù)數(shù)時，要改變不等號的方向.(2)使用性質(zhì)6時，要注意什么條件?提示：各個數(shù)均為正數(shù).性質(zhì)1若a

＞b，則b

＜a.分析要證b

＜a

，只要證b

－a

＜0.證明因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0.又因?yàn)檎龜?shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，所以－(a－b)＜0，即b－a＜0.所以b＜a.性質(zhì)2若a＞b，b

＞c，則a

＞c.分析要證a＞c，只要證a－c＞0.證明因?yàn)閍＞b，b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.由兩個正數(shù)的和是正數(shù)，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0.因此a＞c.性質(zhì)3若a＞b，則a＋c＞b＋c.分析要證a＋c＞b＋c，只要證(a＋c)－(b＋c)＞0，

即a－b

＞0.證明因?yàn)閍

＞b，所以a－b＞0.

又因?yàn)?a＋c)－(b＋c)＝

a－b，所以(a＋c)－(b＋c)＞0.

故a＋c＞b＋c.本性質(zhì)告訴我們，不等式兩邊都加上(或都減去)同一個實(shí)數(shù)，不等號的方向不變.利用它可以把不等式中某一項(xiàng)改變符號后，從不等式的一邊移到另一邊，即a

＋b

＞c

?a

＞c

－b.性質(zhì)4若a

＞b，c

＞0，則ac＞bc；若a＞b，c＜0，則ac

＜bc.證明ac－bc＝(a

－b)c.

因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0.

因此，當(dāng)c＞0時，(a－b)c＞0，從而ac＞bc；

當(dāng)c＜0時，(a－b