2023年高考各地試卷新高考II卷數(shù)學(xué)-解析

PAGE1新高考二卷參考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限答案：A解析：，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）設(shè)集合，，若，則（）（A）2（B）1（C）（D）答案：B解析：觀察發(fā)現(xiàn)集合A中有元素0，故只需考慮B中的哪個元素是0，因?yàn)椋?，所以，故或，解得：?，注意不能保證，故還需代回集合檢驗(yàn)，若，則，，不滿足，不合題意；若，則，，滿足.故選B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種答案：D解析：應(yīng)先找到兩層中各抽多少人，因?yàn)槭潜壤峙涞姆謱映槿?，故各層的抽取率都等于總體的抽取率，設(shè)初中部抽取x人，則，解得：，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽樣結(jié)果共有種.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若為偶函數(shù)，則（）（A）（B）0（C）（D）1答案：B解法1：偶函數(shù)可抓住定義來建立方程求參，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即①，而，代入①得：，化簡得：，所以.解法2：也可在定義域內(nèi)取個特值快速求出答案，，所以或，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故①，而，代入①得：，解得：.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若的面積是面積的2倍，則（）（A）（B）（C）（D）答案：C解析：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形有公共的底邊AB，故只需分析高的關(guān)系，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)I，設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)K，由題意，，所以，由圖可知，所以，故，又橢圓的半焦距，所以，從而，故，所以，代入可得，解得：.6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的最小值為（）（A）（B）e（C）（D）答案：C解析：的解析式較復(fù)雜，不易直接分析單調(diào)性，故求導(dǎo)，由題意，，因?yàn)樵谏?，所以在上恒成立，即①，觀察發(fā)現(xiàn)參數(shù)a容易全分離，故將其分離出來再看，不等式①等價于，令，則，所以在上，又，，所以，故，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，故a的最小值為.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知為銳角，，則（）（A）（B）（C）（D）答案：D解析：，此式要開根號，不妨上下同乘以2，將分母化為，所以，故，又為銳角，所以，故.8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）（A）120（B）85（C）（D）答案：C解法1：觀察發(fā)現(xiàn)，，，的下標(biāo)都是2的整數(shù)倍，故可考慮片段和性質(zhì)，先考慮q是否為，若的公比，則，與題意不符，所以，故，，，成等比數(shù)列①，條件中有，不妨由此設(shè)個未知數(shù)，設(shè)，則，所以，，由①可得，所以，解得：或，若，則，，，所以，故；到此結(jié)合選項(xiàng)已可確定選C，另一種情況我也算一下，若，則，而，所以與同號，故，與題意不符；綜上所述，m只能取，此時.解法2：已知和要求的都只涉及前n項(xiàng)和，故也可直接代公式翻譯，先看公比是否為1，若的公比，則，不合題意，所以，故①，又，所以，化簡得：②，又，代入②可得：③，兩端有公因式可約，但需分析是否可能為0，已經(jīng)有了，只需再看q是否可能等于，若，則，與題意不符，所以，故式③可化為，整理得：，所以或（舍去），故要求的④，只差了，該結(jié)構(gòu)式①中也有，可由整體計(jì)算它，將代入①可得，所以，代入④得.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為，則（）（A）該圓錐的體積為（B）該圓錐的側(cè)面積為（C）（D）的面積為答案：AC解析：A項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，，從而圓錐的體積，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積，故B項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)，要求AC的長，條件中的二面角還沒用，觀察發(fā)現(xiàn)和都是等腰三角形，故取底邊中點(diǎn)即可構(gòu)造棱的垂線，作出二面角的平面角，取AC中點(diǎn)Q，連接PQ，OQ，因?yàn)?，，所以，，故即為二面角的平面角，由題意，，所以，故，所以，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，，所以，故D項(xiàng)錯誤.10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（）（A）（B）（C）以MN為直徑的圓與l相切（D）為等腰三角形答案：AC解析：A項(xiàng)，在中令可得，由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，從而，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，此處可以由直線MN的斜率求得，再代角版焦點(diǎn)弦公式求，但觀察發(fā)現(xiàn)后續(xù)選項(xiàng)可能需要用M，N的坐標(biāo)，所以直接聯(lián)立直線與拋物線，用坐標(biāo)版焦點(diǎn)弦公式來算，設(shè)，，將代入消去y整理得：，解得：或3，對應(yīng)的y分別為和，所以圖中，，從而，故B項(xiàng)錯誤；C項(xiàng)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，只需將圓心到直線的距離d和半徑比較，的中點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，從而以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，M，N的坐標(biāo)都有了，算出，即可判斷，，，所以，，均不相等，故D項(xiàng)錯誤.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）（A）（B）（C）（D）答案：BCD解析：由題意，，函數(shù)既有極大值，又有極小值，所以在上有2個變號零點(diǎn)，故方程在上有兩個不相等實(shí)根，所以，由①可得，故C項(xiàng)正確；由②可得，所以a，c異號，從而，故D項(xiàng)正確；由③可得a，b同號，所以，故B項(xiàng)正確；因?yàn)閍，c異號，a，b同號，所以b，c異號，從而，故A項(xiàng)錯誤.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多選）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.（）（A）采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（B）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為（C）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為（D）當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案：ABD解析：A項(xiàng)，由題意，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送1收到1的概率為，發(fā)送0收到0的概率為，所以依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則需獨(dú)立重復(fù)發(fā)送3次1，依次收到1，0，1的概率為，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，采用三次傳輸方案，由B項(xiàng)的分析過程可知若發(fā)送1，則收到1的個數(shù)，而譯碼為1需收2個1，或3個1，所以譯碼為1的概率為，故C項(xiàng)錯誤；D項(xiàng)，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送0譯碼為0的概率為；若采用三次傳輸方案，則發(fā)送0等同于發(fā)3個0，收到0的個數(shù)，且譯碼為0的概率為，要比較上述兩個概率的大小，可作差來看，，因?yàn)?，所以，從而，故D項(xiàng)正確.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a，b滿足，，則_____.答案：解析：條件涉及兩個模的等式，想到把它們平方來看，由題意，①，又，所以，故，整理得：，代入①可得，即，所以.14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為_____.答案：28解析：如圖，四棱錐與相似，它們的體積之比等于邊長之比的立方，故只需求四棱錐的體積，，所以，故所求四棱臺的體積，由題意，，所以.【反思】相似圖形的面積之比等于邊長之比的平方，體積之比等于邊長之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直線與⊙交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“的面積為”的m的一個值_____.答案：2（答案不唯一，也可填或或）解析：如圖，設(shè)圓心到直線AB的距離為，則，注意到也可用d表示，故先由求d，再將d用m表示，建立關(guān)于m的方程，又，所以，由題意，，所以，結(jié)合解得：或，又，所以或，解得：或.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函數(shù)，如圖，A，B是直線與曲線的兩個交點(diǎn)，若，則_____.答案：解法1：這個條件怎么翻譯？可用求A，B橫坐標(biāo)的通解，得到，從而建立方程求，不妨設(shè)，令可得或，其中，由圖知，，兩式作差得：，故，又，所以，解得：，則，再求，由圖知是零點(diǎn)，可代入解析式，注意，是增區(qū)間上的零點(diǎn)，且的增區(qū)間上的零點(diǎn)是，故應(yīng)按它來求的通解，所以，從而，故，所以.解法2：若注意橫向伸縮雖會改變圖象在水平方向上的線段長度，但不改變長度比例，則可先分析與交點(diǎn)的情況，再按比例對應(yīng)到本題的圖中來，如圖1，直線與函數(shù)在y軸右側(cè)的三個I，J，K的橫坐標(biāo)分別為，，，所以，，，故在圖2中，因?yàn)?，所以，故，又由圖2可知，所以，故，接下來同解法1.【反思】①對于函數(shù)，若只能用零點(diǎn)來求解析式，則需盡量確定零點(diǎn)是在增區(qū)間還是減區(qū)間.“上升零點(diǎn)”用來求，“下降零點(diǎn)”用來求；②對圖象進(jìn)行橫向伸縮時，水平方向的線段長度比例關(guān)系不變，當(dāng)涉及水平線與圖象交點(diǎn)的距離時，我們常抓住這一特征來求周期.17．（2023·新高考Ⅱ卷·17·★★★）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積為，D為BC的中點(diǎn)，且.（1）若，求；（2）若，求b，c.解：（1）如圖，因?yàn)?，所以，（要求，可到中來分析，所給面積怎么用？可以用它求出，從而得到BD）因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以，又，所以，由圖可知，所以，故，（此時已知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第三邊AB，再用正弦定理求角B）在中，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，所以，由可知B為銳角，從而，故.（2）（已有關(guān)于bc的一個方程，若再建立一個方程，就能求b和c，故把面積和中線都用b，c表示）由題意，，所以①，（中線AD怎樣用b，c表示？可用向量處理）因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，從而，故，所以，將代入上式化簡得②，（我們希望找的是b，c的方程，故由①②消去A，平方相加即可）由①②得，所以③，由可得，所以，結(jié)合式③可得.18．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知為等差數(shù)列，，記，分別為，的前n項(xiàng)和，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時，.解：（1）（給出了兩個條件，把它們用和d翻譯出來，即可建立方程組求解和d）由題意，①，②，由①②解得：，，所以.（2）由（1）可得，（要證結(jié)論，還需求，由于按奇偶分段，故求也應(yīng)分奇偶討論，先考慮n為偶數(shù)的情形）當(dāng)為偶數(shù)時，③，因?yàn)楹头謩e也構(gòu)成等差數(shù)列，所以，，代入③化簡得：，（要由此證，可作差比較）所以，故；（對于n為奇數(shù)的情形，可以重復(fù)上述計(jì)算過程，但更簡單的做法是補(bǔ)1項(xiàng)湊成偶數(shù)項(xiàng)，再減掉補(bǔ)的那項(xiàng)）當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，故；綜上所述，當(dāng)時，總有.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）當(dāng)漏診率時，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值.解：（1）（給的是漏診率，故先看患病者的圖，漏診率為0.5%即小于或等于c的頻率為0.5%，可由此求c）由患病者的圖可知，這組的頻率為，所以c在內(nèi)，且，解得：；（要求，再來看未患病者的圖，是誤診率，也即未患病者判定為陽性（指標(biāo)大于c）的概率）由未患病者的圖可知指標(biāo)大于97.5的概率為，所以.（2）（包含兩個分組，故應(yīng)分類討論）當(dāng)時，，，所以，故①；當(dāng)時，，，所以，故②；所以，且由①②可得.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn).（1）證明：；（2）點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值.解：（1）（BC和DA是異面直線，要證垂直，需找線面垂直，可用逆推法，假設(shè)，注意到條件中還有，所以，二者結(jié)合可得到面ADE，故可通過證此線面垂直來證）因?yàn)?，，所以和是全等的正三角形，故，又E為BC中點(diǎn)，所以，，因?yàn)锳E，平面ADE，，所以平面ADE，又平面ADE，所以.（2）（由圖可猜想面BCD，若能證出這一結(jié)果，就能建系處理，故先嘗試證明）不妨設(shè)，則，因?yàn)椋?，故，，所以，故，所以EA，EB，ED兩兩垂直，以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，由可知四邊形ADEF是平行四邊形，所以，設(shè)平面DAB和平面ABF的法向量分別為，，則，令，則，所以是平面DAB的一個法向量，，令，則，所以是平面ABF的一個法向量，從而，故二面角的正弦值為.21．（2023·新高考Ⅱ卷·21·★★★★）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上.解：（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲