高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何與空間向量第5課時空間向量的運算及其應(yīng)用課件

第七章立體幾何與空間向量第5課時空間向量的運算及其應(yīng)用考點一空間向量的線性運算空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________，{a，b，c}叫做空間的一個基底．xa＋yb＋zc

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空間向量線性運算的基本步驟：第一步：選定空間不共面的三個向量作基向量；第二步：將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中；第三步：利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．

√

考點二共線(共面)向量定理的應(yīng)用1．共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使_______．2．共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝_______．

a＝λb唯一xa＋yb

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證明空間三點共線和四點共面的方法比較空間三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面

∈

[0，π]互相垂直2．空間向量數(shù)量積的運算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.提醒：(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示坐標表示數(shù)量積a·b______________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)______________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_________________模|a|夾角余弦值a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

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利用數(shù)量積解決問題的兩條途徑：一是根據(jù)向量間的相互轉(zhuǎn)化計算；二是利用坐標運算，可解決有關(guān)垂直、夾角、長度等問題．

考點四利用向量證明平行與垂直1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a____的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的______．平行法向量2．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2，λ∈Rl1⊥l2n1⊥n2?__________直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?_________l⊥αn∥m?n＝λm，λ∈R平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm，λ∈Rα⊥βn⊥m?_________n1·n2＝0n·m＝0n·m＝0[典例4]

(2024·日照實驗中學(xué)月考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.

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證明平行與垂直，一是直線的方向向量與平面的法向量的求解要準確，二是位置關(guān)系與向量關(guān)系的轉(zhuǎn)