數值分析方法 課件 5-2 非線性方程組的數值解

數值分析方法主編

李冬果李林高磊面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材第五章非線性方程的數值解法目錄/Contents5.1-1非線性方程的近似求根

5.2非線性方程組的數值解

5.3非線性方程近似求根計算機實驗

5.1-2非線性方程的迭代法的加速5.2非線性方程組的數值解非線性方程組的數值解法在實際問題中有廣泛的應用，特別是在許多工程問題、經濟學問題、數學建模、動力學問題等方面，經常會遇到求解如下多元非線性方程組：（1）方程組（1）可表示成向量方程（1）（2）

通常非線性方程組（1）的數值解法主要包括兩種方法：

區(qū)間迭代法和不動點算法1.不動點迭代法把方程組(2)改寫成下面便于迭代的等價形式：（3）連續(xù)函數.則的不動點，是迭代函數即滿足)(),(****xxxxxGG=的是自變量,,,21xxxnL收斂，若由此生成的序列是連續(xù)的,即且)(,),(),()(21xxxxnGGKGG的解。是方程組從而*x（2）且有誤差估計式（5）定理的證明較為復雜，我們將略去其證明。例5.2.1設有非線性方程組（6）把它寫成等價形式

由此構造不動點迭代法公式（7）解從而取初始點，由迭代公式（7）計算結果如表，可見迭代收斂到方程的解2.Newton迭代法對于非線性方程組，也可以構造于一元方程的Newton迭代法。

在用多元函數泰勒展開，并取其線性部分，則可表示為令上式右端為零，得到線性方程組（8）（9）若矩陣非奇異，則由使（8）右端為零的向量作為新的一個近似值，記為，于是得到Newton迭代格式（10）如果寫成一般不動點迭代的形式，則Newton迭代函數為

（11）事實上，在實際計算過程中由于矩陣的逆求解十分耗時，因此通常通過求解線性方程組來替代.如第k步可令先解線性方程組其中包括了計算向量及Jacobi矩陣.例5.2.2用Newton法解例5.2.1的方程組解

對該方程組有取初始向量，解方程組，即求出后，。同理計算結果如表，可見迭代4次可得精確解，顯然Newton法的收斂速度比例5.2.1中的迭代法要快的多。k0123400.800.9917872210.9999752291.0000000000.880.9917117370.9999685241.00000000例5.2.3用牛頓法解方程組解先計算Jacobi矩陣由Newton迭代格式（10）得取初始值，則迭代6次可得精度為

=10-6的解

(3.000000，2.645751)T.解線性方程組例5.2.4用修正牛頓法解方程組在附近的解.解先計算Jacobi矩陣從出發(fā)計算解線性方程組，即，得于是得新的近似值為反復迭代結果如下：修正牛頓法的每一步迭代所用的計算時間較少，但迭代的收斂速度減低.為了提高收斂速度，可以在求出后，引入修正因子

i(

i為大于1的正數)，對求出的新解采用進行修正.3.最速下降法最速下降法又稱梯度法.由著名數學家Cauchy于1847年提出.該方法是求解n元函數無約束最小化問題的一種重要解析方法，用于求解實系數非線性方程組(1)的一組根.該方法使用函數的梯度（一階導數）或Hesse矩陣（二階導數）對算法進行優(yōu)化.即在射線進行搜索，（14）最速下降法計算步驟如下：例5.2.5用最速下降法求解問題：取初始值為.解(1)目標函數的梯度函數為由得令

，(2)從初始值出發(fā)進行一維搜索：t為最優(yōu)步長，則有（3）從出發(fā)進行第二次迭代，計算令，則有故（4）進一步從