人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè) 第七章第四節(jié)《二項(xiàng)分布》教案

.4.1二項(xiàng)分布【教學(xué)內(nèi)容】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》第七章第四節(jié)《二項(xiàng)分布與超幾何分布》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布。前面學(xué)生已經(jīng)掌握了有關(guān)概率的基礎(chǔ)知識(shí)等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨(dú)立事件概率的求法，也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。二項(xiàng)分布是一種應(yīng)用廣泛的概率模型，是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用。本節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過程?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）理解伯努利試驗(yàn)以及重伯努利試驗(yàn)的概念,掌握隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算；（2）能夠解決隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用問題，會(huì)求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值和方差；（3）在具體問題的解決過程中，領(lǐng)會(huì)二項(xiàng)分布需要滿足的條件，培養(yǎng)運(yùn)用概率模型解決實(shí)際問題的能力；（4）在利用二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題過程中，深化對(duì)某些隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：重伯努利實(shí)驗(yàn)，二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征；教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際問題中抽象出模型的特征，識(shí)別二項(xiàng)分布并能用二項(xiàng)分布解決問題?！窘虒W(xué)過程】引導(dǎo)語前兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量的有關(guān)知識(shí)，了解了離散型隨機(jī)變量及其分布列，基于分布列我們還研究了離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）和方差，它們分別反應(yīng)了隨機(jī)變量取值的平均水平和隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度。本節(jié)我們將利用這些知識(shí)研究一類重要的概率模型——二項(xiàng)分布。一、創(chuàng)設(shè)情境，課題引入思考1 下面是幾個(gè)常見的隨機(jī)試驗(yàn)，這些隨機(jī)試驗(yàn)有何特征？（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正面向上還是反面向上；（2）一個(gè)盒子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球,從中任意摸取一個(gè)球觀察其顏色；（3）一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員罰球一次。概念1 我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)（Bernoullitrials)。追問1 你能舉出一些伯努利試驗(yàn)的例子嗎？回答檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或者不合格，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陰性或者陽性等師生活動(dòng)：結(jié)合問題，明晰概念，體會(huì)伯努利試驗(yàn)的特征?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過對(duì)三個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們的共性：試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能的結(jié)果。引出伯努利試驗(yàn)這一概念，并通過學(xué)生舉例，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)概念的理解，體會(huì)伯努利試驗(yàn)的特征。概念2 我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn)。追問2 重伯努利試驗(yàn)有何特征？回答（1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立；思考2 下面3個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為重伯努利試驗(yàn)?如果是,那么其中的伯努利試驗(yàn)是什么?對(duì)于每個(gè)試驗(yàn),定義“成功”的事件為,那么的概率是多大?重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少？（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次。（2）某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為，連續(xù)射擊次。（3）一批產(chǎn)品的次品率為％，有放回地隨機(jī)抽取件。隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)P(A)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)1是拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣0.5102是某飛碟運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊0.833是從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件0.9520回答思考3 （1）伯努利試驗(yàn)與重伯努利試驗(yàn)有何不同?（2）在伯努利試驗(yàn)中，我們關(guān)注什么？在重伯努利試驗(yàn)中呢?【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)重伯努利試驗(yàn)的特征。明確伯努利試驗(yàn)是一個(gè)“有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)”，在伯努利試驗(yàn)中，我們關(guān)注某個(gè)事件是否發(fā)生；重伯努利試驗(yàn)是將一個(gè)“有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)”重復(fù)進(jìn)行了次，我們關(guān)注事件發(fā)生的次數(shù)。進(jìn)一步地，因?yàn)槭且粋€(gè)離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概率分布列。例如，對(duì)產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)，隨機(jī)抽取件，我們關(guān)心樣本中不合格品數(shù)的概率分布列。二、交流合作，探究新知探究1 某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為。連續(xù)次射擊，中靶次數(shù)的概率分布列是怎樣的？用Ai表示“第i次射擊中靶”(i=1，2，3)，用如下圖的樹狀圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)共有23=8種可能結(jié)果，它們兩兩互斥，每個(gè)結(jié)果都是3個(gè)相互獨(dú)立事件的積，由概率的加法公式和乘法公式得P(X=3)=P()=為了簡(jiǎn)化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011，110，101，這三個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為0.82×0.2，并且與哪兩次中靶無關(guān).因此,3次射擊恰好2次中靶的概率為.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解決問題（結(jié)合樹狀圖進(jìn)行分析），老師基于學(xué)生給出分布列進(jìn)行評(píng)析并進(jìn)一步深化。思考4 如果連續(xù)射擊次，表示中靶次數(shù)等于的結(jié)果有哪些？寫出中靶次數(shù)的分布列。表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有：,,,,,共6個(gè)。(2)中靶次數(shù)X的分布列為：師生活動(dòng)：學(xué)生類比探究1進(jìn)行分析，獨(dú)立解決思考4。老師引導(dǎo)學(xué)生觀察探究1和思考4中的兩個(gè)分布列，總結(jié)分布列的結(jié)構(gòu)特征，形成二項(xiàng)分布的概念。【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生獨(dú)立解決問題后，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)各個(gè)概率值的計(jì)算式中的系數(shù)進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是只關(guān)心在重伯努利試驗(yàn)中成功的次數(shù)，而不在意哪一次成功，因此與組合問題相通，充分理解的由來，形成二項(xiàng)分布的概念。三、概念生成與深化二項(xiàng)分布 一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布（binomialdistribution），記作。思考5 （1）二項(xiàng)分布中的各個(gè)量的意義是什么？（2）二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有何關(guān)系?兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即是n=1的二項(xiàng)分布；二項(xiàng)分布可以看做兩點(diǎn)分布的一般形式.對(duì)比二項(xiàng)分布和二項(xiàng)式定理，你能看出他們之間的聯(lián)系嗎？如果把p看成b，1-p看成a,則就是二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，由此才稱為二項(xiàng)分布。即【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注二項(xiàng)分布表達(dá)式中各個(gè)量的實(shí)際意義，對(duì)比二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)二者聯(lián)系，理解命名由來；并利用二項(xiàng)式定理完成分布列中各概率和為1的證明。同時(shí)，注意到兩點(diǎn)分布是只有兩種試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布，也就是伯努利試驗(yàn)的概率分布，自然的將其與二項(xiàng)分布進(jìn)行比較，并得出兩點(diǎn)分布是的二項(xiàng)分布，二項(xiàng)分布可以看做兩點(diǎn)分布的一般形式這一結(jié)論。知識(shí)回扣的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。四、結(jié)合實(shí)例，學(xué)以致用【例1】如圖是一塊高爾頓板的示意圖。在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘。小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃。將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中。格子從左到右分別編號(hào)為，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求的分布列。師生活動(dòng)：學(xué)生在老師帶領(lǐng)下進(jìn)行問題分析，之后學(xué)生獨(dú)立解決問題，教師巡視并答疑。預(yù)設(shè)答案： 【分析】小球落入哪個(gè)格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結(jié)果。設(shè)試驗(yàn)為觀察小球碰到小木釘后下落的方向，有“向左下落”和“后右下落”兩種可能結(jié)果，且概率都是。在下落的過程中，小球共碰撞小木釘次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響，因此這是一個(gè)重伯努利試驗(yàn)。小球最后落入格子的號(hào)碼等于向右落下的次數(shù)，因此服從二項(xiàng)分布?！窘馕觥吭O(shè)“向右下落”，則“向左下落”，且。因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘次，所以于是，的分布列為的概率分布圖如下圖所示：【歸納】一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗(yàn)及事件的意義，確定事件發(fā)生的概率；（2）確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；（3）設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則。五、引發(fā)思考，深化提升思考6：假設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,那么的均值和方差各是什么？思考7：我們知道兩點(diǎn)分布是的二項(xiàng)分布，兩點(diǎn)分布的期望和方差是什么？思考8：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布的期望和方差是什么？試著計(jì)算并觀察，說說你的發(fā)現(xiàn)。師生活動(dòng)：學(xué)生計(jì)算——猜想，老師帶領(lǐng)學(xué)生完成證明。分析過程：（1）當(dāng)時(shí)，服從兩點(diǎn)分布，分布列為均值和方差分別為（2）當(dāng)時(shí)，的分布列為均值和方差分別為猜想 如果，那么下面我們對(duì)均值進(jìn)行證明。令，由，可得令，則一般地，如果，那么【設(shè)計(jì)意圖】一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，其均值和方差也是我們關(guān)心的。從特殊的情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想，小心論證，得出結(jié)論?！纠?】一次數(shù)學(xué)測(cè)試由道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有