隨機變量及其分布 超幾何分布 教學(xué)設(shè)計

PAGEPAGE3第七章 隨機變量及其分布7.4.2超幾何分布【教學(xué)內(nèi)容】超幾何分布的模型的特征、均值及其簡單應(yīng)用，二項分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別【教學(xué)目標(biāo)】1、通過比較放回和不放回隨機抽樣中次品數(shù)的分布，抽象出超幾何分布的特征，能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布2、能夠利用超幾何分布的知識解決實際問題，會求服從超幾何分布的隨機變量的分布列和均值3、結(jié)合具體實例，討論二項分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生有目的的觀察、歸納、類比、猜想等，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。【教學(xué)重難點】教學(xué)重點：超幾何分布的特征，均值，簡單應(yīng)用，二項分布和超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別教學(xué)難點：在實際問題中抽象出模型的特征，識別出超幾何分布的模型【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，抽象模型問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，采用有放回的方式隨機抽取4件。設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為，求隨機變量X的分布列。師生活動：學(xué)生獨立完成后回答?；卮穑河糜蟹呕氐姆绞匠槿?，每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立，因此X服從二項分布，即設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)二項分布，與后面超幾何分布形成對比，通過比較放回與不放回簡單隨機抽樣，歸納超幾何分布的模型特征。問題：如果采用不放回的方式抽取，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項分布？如果不服從，那么的分布列是什么？師生活動：學(xué)生能夠根據(jù)上節(jié)課的內(nèi)容判斷出不服從二項分布?；卮穑河貌环呕氐姆绞匠槿?，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個實驗，而且各次抽取結(jié)果也不獨立，不符合重伯努利試驗的特征，因此不服從二項分布。下面我們根據(jù)古典概率模型求解隨機變量X服從的分布列：首先，可能的取值為0,1,2,3,4,從100件產(chǎn)品中任取4件，樣本空間包含個樣本點，事件(k件次品，4?k件正品)包含的樣本數(shù)為，則設(shè)計意圖：超幾何分布是一種古典概率模型，根據(jù)古典概率模型可以求出概率，從而得到分布列。問題：計算結(jié)果數(shù)時，考慮抽取的次序和不考慮抽取的次序，對分布列的計算有影響嗎？回答：不考慮次序：，考慮抽取的次序：樣本空間樣本點數(shù)為，4件產(chǎn)品中有件次品的結(jié)果數(shù)為，則根據(jù)古典概率模型的概率計算公式。教師：由此，我們得到了問題當(dāng)中的隨機變量的分布列，而這就是我們將要學(xué)習(xí)的超幾何分布。同學(xué)們，你能從中抽象出超幾何分布的模型嗎？設(shè)計意圖：結(jié)合具體實例，引導(dǎo)學(xué)生有目的的觀察、歸納、類比、猜想等，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)二、引出概念，抽象特征教師：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品。從件產(chǎn)品中隨機抽取件（不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為其中，，，，,，如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布.教師：從超幾何分布的概念中我們能歸納出超幾何分布的以下特征：1、產(chǎn)品分成兩類；2、隨機抽取出固定數(shù)量的一部分，請注意是不放回抽取。如果是放回抽取，那么隨機變量將服從二項分布；3、隨機變量是選出的某一類物品數(shù)量，這里的與之前的對應(yīng)著同一類物品。教師：我們還應(yīng)當(dāng)注意到公式中字母的實際含義：—總體中的個體總數(shù)；—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))；—樣本容量；—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))。求分布列時可以直接利用組合數(shù)的意義列式計算,不必機械記憶這個概率分布列.設(shè)計意圖：概念的理解和深化問題：設(shè)10個球中有4個紅球，6個白球，(1)如果隨機摸出5個球，求其中紅球個數(shù)的分布列。(2)如果隨機摸出8個球，求其中紅球個數(shù)的分布列師生活動：學(xué)生獨立完成，教師補充完整教師：我們可以通過上面兩個特殊例子發(fā)現(xiàn)，分布列中的取值范圍應(yīng)從實際出發(fā)求解。三、結(jié)合實例，應(yīng)用模型例1從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率解：設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1），則X服從超幾何分布，且N=50,M=1,N=5，因此甲被選中的概率為。容易發(fā)現(xiàn)，每個人抽到的概率都是1/10。設(shè)計意圖：簡單隨機抽樣可以保證每個個體被抽到的概率相等。直觀上，從N名學(xué)生中隨機選出n名學(xué)生，每個人被選到的概率都相等，且這個概率為。這道例題的計算證明了這個結(jié)論。例2一批零件共有30個，其中有3個不合格。隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率。解：設(shè)抽取的10個零件中不合格品數(shù)為，則X服從超幾何分布，且,,，的分布列為，至少有1件不合格的概率為另解：設(shè)計意圖：這是一個典型的超幾何分布模型，根據(jù)題意定義隨機變量，將問題歸結(jié)為求,求出分布列后利用概率的加法公式或互為對立事件的概率性質(zhì)求解。四、探究超幾何分布的均值探究：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么？師生活動：設(shè)隨機變量服從超幾何分布，則可以解釋為從包含件次品的件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取件產(chǎn)品中的次品數(shù)。令，則是件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的件產(chǎn)品的次品率，因為均值反映了隨機變量取值的平均水平，我們可以猜想，即.證明如下：令，，由隨機變量均值的定義：當(dāng)時，，因為，所以設(shè)計意圖：根據(jù)超幾何分布的均值公式，我們只需要明確,,的大小即可五、體會二項分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別例3一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本，用表示樣本中黃球的個數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解:對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，因此服從二項分布，即，的分布列為對于不放回摸球，各次試驗的結(jié)果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為(2)利用統(tǒng)計軟件可以計算出兩個分布列具體的概率值，如左表所示.樣本中黃球的比例是一個隨機變量，根據(jù)上表計算得,有放回摸球：不放回摸球：因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些。兩種摸球方式下，隨機變量X分別服從二項分布和超幾何分布。雖然這兩種分布有相等的均值（都是8），但從兩種分布的概率分布圖看，超幾何分布更集中在均值附近。二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同。對于不放回抽樣，當(dāng)n遠遠小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似。六、歸納小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課知識，回