樣本相關(guān)系數(shù) 教學設計

教學設計

課程基本信息學科數(shù)學年級高二學期秋季課題8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)教科書書名：人教A版（2019版）教材出版社：人民教育出版社教學目標1.結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系。2.結(jié)合實例，會通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性。教學內(nèi)容重點：樣本相關(guān)系數(shù)的含義，通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性；難點：樣本相關(guān)系數(shù)的定義合理性、樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系。教學過程一、知識回顧在一次對人體脂肪含量百分比和年齡的關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：（其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？預設：由散點圖可知，人體的脂肪含量與年齡之間呈正相關(guān)關(guān)系，這種相關(guān)性是強還是弱呢？散點圖雖然直觀,但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小。能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣，引入一個適當?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢?二、知識建構(gòu)：探求刻畫相關(guān)關(guān)系程度的數(shù)字特征1、回憶必修二中關(guān)于標準差的定義?如何理解標準差的定義？標準差研究的對象是一組數(shù)據(jù)，首先對數(shù)據(jù)關(guān)于均值進行平移，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的這組數(shù)據(jù)均值為0，標準差定義中的刻畫的是樣本數(shù)據(jù)偏離均值的程度，而則是各個數(shù)據(jù)偏離均值的程度疊加的效果，最后，對疊加效果進行標準化，并統(tǒng)一數(shù)據(jù)的量綱單位，便得到標準差的定義.2、類比標準差的定義探求刻畫相關(guān)關(guān)系程度的數(shù)字特征①類比標準差的定義，將成對樣本數(shù)據(jù)關(guān)于均值平移，得到新的樣本數(shù)據(jù)：原始成對樣本數(shù)據(jù)平移后的成對樣本數(shù)據(jù)并作出對應的散點圖：從散點圖可知，絕大多數(shù)的散點分布在第一、三象限，散點的橫縱坐標符號相同，這個規(guī)律是由年齡與人體脂肪含量呈線性正相關(guān)關(guān)系決定的，一般地，如果兩個變量線性正相關(guān)，則平移后的散點大多數(shù)分布在第一、三象限，散點的橫縱坐標符號相同；如果兩個變量線性負相關(guān)，則平移后的散點大多數(shù)分布在第二、四象限，散點的橫縱坐標符號相反。思考：根據(jù)以上分析，類比標準差的定義過程，你能利用正相關(guān)變量和負相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的數(shù)字特征嗎？一般情形下，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)。思考：你認為，的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？預設：在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高的單位由米改為厘米，計算兩種情況下的值，的值變?yōu)樵瓉淼?00倍。但單位的改變并不會導致體重與身高之間相關(guān)程度的改變，因此，不能直接由的大小度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度。為什么會出現(xiàn)這種情況呢？這是由兩種情況的數(shù)值變化的幅值不同引起的，為了消除幅值的影響，我們需要對數(shù)據(jù)進一步標準化處理。而標準差本身反映了變量的幅值變化程度，因此，我們可以將平移后的數(shù)據(jù)除以變量的標準差。得到一組新的數(shù)據(jù)，仿照的構(gòu)造，可以得到。我們稱為變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)定義消除了兩個變量變化幅度的影響，對同組數(shù)據(jù)平移或伸縮時，不會影響相關(guān)系數(shù)的值.樣本標椎差的定義與樣本相關(guān)系數(shù)的定義對比表:三、知識建構(gòu)：探求樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負性和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？為此，我們先考察一下r的取值范圍.1、思考：觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)系二維向量、三維向量數(shù)量積的坐標表示，你有什么發(fā)現(xiàn)？答：將向量的維數(shù)推廣到維，維向量的數(shù)量積的定義為，其中為向量的夾角.類似于平面或空間向量的坐標表示，對于向量和，我們有2、思考：從向量的角度如何理解相關(guān)系數(shù)？思考：當|r|=1時，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？小結(jié)：關(guān)于相關(guān)系數(shù)，我們應該知道的：1、兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析，樣本相關(guān)系數(shù)可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度.2、.3、的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性.為正時，表明變量和線性正相關(guān)；為負時，表明變量和線性負相關(guān).4、的大小反映了兩個變量線性相關(guān)的程度，即散點集中于一條直線的程度.當越接近于1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當越接近于0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.小結(jié)：總體相關(guān)系數(shù)與樣本相關(guān)系數(shù)的關(guān)系四：知識運用：回歸情境問題例1：根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度？解：先畫出散點圖，如下圖所示：觀察散點圖，可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān)。根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義由，計算得，，可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)性很強.例2：有人收集了某城市居民年收入(即所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.畫出散點圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.解:畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖.從散點圖看，A商品銷售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.由樣本數(shù)據(jù)計算得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收人正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收人有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強.例3．在某校高一年級中隨機抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如表下所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?五、課堂練習1.由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系?為什么?答.樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系。一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小則越不可靠。一個極端的情況是，無論兩個變量之間是什么關(guān)系，如果樣本量取2,則計算可得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值都是1(在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下)，顯然據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)是不合理的。2.已知變量x和變量y的3對隨機觀測數(shù)據(jù)(2，2)，(3，-1)，(5，-7)，計算兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推出這兩個變量幾乎處處線性相關(guān)嗎?為什么?3.畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點圖，并計算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此，請你談談樣本相關(guān)系數(shù)在刻畫兩個變量間相關(guān)關(guān)系上的特點.(1)(-2，-3)，(-1，-1)，(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7);(2)(0，0)，(1，1)，(2，4)，(3，9)，(4，16);(3)(-2