直線和圓的方程 直線與圓的位置關系 教學設計

第二章直線和圓的方程2．5．1直線與圓的位置關系【教學內(nèi)容】1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的實際問題．【教學目標】1．理解并掌握直線與圓的位置關系的判定方法，培養(yǎng)和提高數(shù)學直觀想象、數(shù)學運算能力；2．能用直線和圓的方程解決直線與圓的弦長及切線問題，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，培養(yǎng)和提高直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；3．借助圓的知識解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)．【教學重難點】教學重點：運用直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系；教學難點：運用直線與圓的方程解決簡單的問題．【教學過程】（一）直線與圓的位置關系1．我們知道，直線與圓有三種位置關系，它們分別是什么？【答案】（1）直線與圓相交，有兩個公共點；（2）直線與圓相切，有一個公共點；（3）直線與圓相離，沒有公共點．2．怎樣判斷直線與圓的位置關系？【答案】在初中，我們是利用圓心到直線的距離與半徑的關系，從而得到直線與圓的位置關系．到了高中，我們可以利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系．3．下面，我們通過具體例子進行研究．（二）典型例題例1．已知直線和圓心為C的圓，判斷直線與圓C的位置關系；如果相交，求直線被圓C所截得的弦長．解法1：聯(lián)立直線與圓C的方程，得①消去y，得，解得所以，直線與圓C相交，有兩個公共點．把分別代入方程①，得所以，直線與圓C的兩個交點是A(2,0)，B(1,3)，因此．解法2：圓C的方程可化為，因此圓心C的坐標為（0，1），半徑為，圓心C（0，1）到直線的距離．所以，直線與圓C相交，有兩個公共點．如圖2．5-1，由垂徑定理，得．歸納總結1．（代數(shù)法）要判斷直線和圓C:的位置關系，可以聯(lián)立它們的方程，通過判定方程組的解的個數(shù)，得出直線與圓的公共點的個數(shù)，進而判斷直線與圓的位置關系．若相交，可以由方程組解得兩交點坐標，利用兩點間的距離公式求得弦長．2．（綜合法d-r）我們還可以根據(jù)圓的方程求得圓心坐標與半徑r，從而求得圓心到直線的距離d，通過比較d與r的大小，判斷直線與圓的位置關系．若相交，則可利用垂徑定理和勾股定理求弦長．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法綜合法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0例2．過點P（2,1）作圓的切線，求切線的方程．解法1：設切線的斜率為k，則切線的方程為，即由圓心（0,0）到切線的距離等于圓的半徑1，得解得．因此，所求切線的方程為．解法2：設切線的斜率為k，則切線的方程為．因為直線與圓相切，所以方程組只有一組解．消去y，得①因為方程①只有一個解，所以解得．因此，所求切線的方程為．歸納總結1．（綜合法d-r）根據(jù)圖2．5-2容易知道，點P（2,1）位于圓外，經(jīng)過圓外一點有兩條直線與這個圓相切．我們設切線方程為，通過圓心（0,0）到切線的距離d等于圓的半徑1，可求出k的值．2．（代數(shù)法）直線和圓C:的相切，可以聯(lián)立它們的方程，通過方程組消元后，得出一元二次方程只有一個解，由，可求出k的值．（三）實際問題例3．圖2．5-3是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度（精確到0．01m）．解：建立如圖2．5-4所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在y軸上．由題意，點P，B的坐標分別為（0,4）,（10,0）．設圓心坐標是（0，b），圓的半徑是r,那么圓的方程是．因為P，B兩點都在圓上，所以它們的坐標（0,4）,（10,0）都滿足方程于是，得到方程組解得．所以，圓的方程是把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程，得（P2的縱坐標大于0，平方根取正值）．所以．答：支柱A2P2的高度約為3．86m．歸納總結本例使用坐標法，建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化為代數(shù)問題，利用點坐標求得圓的方程，進而求出點P2的縱坐標即支柱高度．例4．一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？解：以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖2．5-5所示的直角坐標系．為了運算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標為（0,3），輪船所在位置的坐標為（4,0）．這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為輪船航線所在直線的方程為聯(lián)立直線與圓O的方程，得消去y，得由，可知方程組無解．所以直線與圓O相離，輪船沿直線返航不會有觸礁危險．歸納總結1．坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何結論．2．思考：你還能用其他方法解決上述問題嗎？（四）課堂總結1．本節(jié)課，我們先通過具體例子，學習如何判斷直線與圓的位置關系，總結了兩種方法，分別是代數(shù)法和綜合法．2．再利用直線和圓的方程解決一些簡單的實際問題，體會用坐標法解決平面幾何問題．（五）答疑課程教學重點：運用直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關系．教學難點：運用直線與圓的方程解決簡單的實際問題．思想方法：代數(shù)方法處理幾何問題的思想方法．數(shù)學核心素養(yǎng)：1．理解并掌握直線與圓的位置關系的判定方法，培養(yǎng)和提高數(shù)學直觀想象、數(shù)學運算能力：．2．能用直線和圓的方程解決直線與圓的弦長及切線問題，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想，培養(yǎng)和提高直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；3．借助圓的知識解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)．易錯點1：由直線與圓的方程組成方程組，需要消元變?yōu)橐辉畏匠?，同學們計算能力不過關導致出錯．如例題2的解法2：設切線的斜率為k，則切線的方程為．因為直線與圓相切，所以方程組只有一組解．消去y，得①如課本114頁例7已知直線和橢圓公共點的個數(shù).由方程組消去y得易錯點2：同學們自己建立適當?shù)淖鴺讼?，在平面直角坐標系中用坐標和方程表示問題中的幾何要素，