2024北京東直門高一（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京東直門高一（上）期中數(shù)學(xué)2024.11命題人：宋陽審題人：李偉峰考試時(shí)間：120分鐘總分150分第一部分一.選擇題：（本題有12道小題，每小題4分，共48分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，，則等于（）A. B. C. D.3.已知命題，則命題的否定為（）A. B.C. D.4.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則5.不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.不等式的解集是（）A. B.C. D.7.函數(shù)，的值域是（）A. B. C. D.8.函數(shù)與的圖象大致是（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)10.“，”是“”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件11.小王同學(xué)在研究函數(shù)的圖象時(shí)，發(fā)現(xiàn)有如下結(jié)論：①該函數(shù)有最小值；②該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)隨的增大而增大；④該函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱；⑤直線與該函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則上述結(jié)論中正確的為（）A.①④⑤ B.①②④ C.②③④ D.②④⑤12.按照“碳達(dá)峰”?“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動(dòng)力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：）與放電電流I（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中n為Peukert常數(shù)，為了測算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.2第二部分二.填空題：（本題有8道小題，每小題5分，共40分）13.已知集合，若，則__________．14.的值是________.15.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝16，則f(－4)的值等于________．16.函數(shù)的定義域?yàn)開____17.若集合中有2個(gè)元素，則的取值范圍是______.18.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_______________．19.設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，則a的取值范圍是_____．20.給定數(shù)集，若對(duì)于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號(hào)是______.①集合是閉集合；②正整數(shù)集不是閉集合；③集合是閉集合；④若集合、為閉集合，則為閉集合.三.解答題（本題有6小題，共62分）21.設(shè)A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}.（1）求a，b的值及A，B；（2）求(A∪B)∩C.22.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，其中且.（1）求的值：（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.23.如圖所示，某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建一個(gè)長方形公園ABCD，公園由長方形的休閑區(qū)（陰影部分）和環(huán)公園人行道組成.已知長方形休閑區(qū)的面積為，人行道的寬分別為4m和10m.（1）設(shè)長方形休閑區(qū)的長，求長方形公園ABCD所占面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；（2）要使長方形公園所占總面積最小，長方形休閑區(qū)的長和寬該如何設(shè)計(jì)?24.已知二次函數(shù)，若不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域：（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值.25.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性并證明；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性并證明；（3）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.26.給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對(duì)任意，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．（1）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；（2）若集合具有性質(zhì)，求的值；（3）若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．

參考答案第一部分一.選擇題：（本題有12道小題，每小題4分，共48分）1.【答案】B【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系及交集的定義判斷可得.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：B2.【答案】C【分析】根據(jù)集合中的元素為點(diǎn)集，所以利用方程組來求點(diǎn)集即可.【詳解】由，解得因?yàn)?，，所以，故選：C.3.【答案】C【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可得解.【詳解】因?yàn)槊}，所以命題的否定為：，故選：C.4.【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，兩邊平方得，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，如，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.【答案】A【分析】由題意得只需讓即可.【詳解】不等式在上恒成立，只需滿足，解得，故選：A.6.【答案】D【分析】左邊配方成完全平方可得.【詳解】解:由原不等式左邊配方得，，.故解集為:故選:D7.【答案】D【分析】用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的值域.【詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，在[0,1]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)，的值域是，故選：D.8.【答案】A【分析】由時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性和判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故選：A9.【答案】A【詳解】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且即函?shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.10.【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別判斷即可.【詳解】當(dāng)，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以“，”是“”的充分條件；當(dāng)，時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，”不是“”的必要條件，所以“，”是“”的充分而不必要條件，故選：C.11.【答案】B【分析】由已知利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象和函數(shù)的增減性的特征即可判斷①②③④，將函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，利用判別式即可判斷⑤.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，列表：畫出函?shù)圖象如圖：觀察圖象：①該函數(shù)有最小值，正確；②該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，正確；③當(dāng)時(shí)隨的增大而增大，不正確；④該函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，正確；⑤令，整理得或，因?yàn)椋灾本€與函數(shù)和各有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線與該函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，故⑤錯(cuò)誤；綜上，以上結(jié)論正確的有①②④.故選：.12.【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，兩式相比結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及換底公式即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得，，兩式相比得，即，所以.故選：B.第二部分二.填空題：（本題有8道小題，每小題5分，共40分）13.【答案】2【詳解】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：，且：結(jié)合，可得2.14.【答案】1【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡，即可求解結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，意在考查運(yùn)算與求解能力，屬于容易題.15.【答案】16【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求解冪函數(shù)的解析式，再求解函數(shù)值即可.【詳解】設(shè)f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2

∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.故答案為：1616.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及根式的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?17.【答案】【分析】根據(jù)條件，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，所以，解得且，所以的取值范圍是，故答案為：.18.【答案】和【分析】作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法：1．利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性與圖象：只需作出函數(shù)的圖象便可判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性；2．性質(zhì)法：（1）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)，減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)；（2）函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性相反；（3）時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相反（）；時(shí)，函數(shù)與的單調(diào)性相同（）．2．導(dǎo)數(shù)法：在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；在區(qū)間D上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．4．定義法：作差法與作商法（常用來函數(shù)單調(diào)性的證明，一般使用作差法）．【注】分段函數(shù)的單調(diào)性要求每段函數(shù)都滿足原函數(shù)的整體單調(diào)性，還需注意斷點(diǎn)處兩邊函19.【答案】①.②.[0，2]【分析】（1）先求出分段函數(shù)的每一段的最小值，再求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)分兩種情況討論，若a＜0，不滿足條件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝（x）2≥（）2，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x22，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)的最小值為，（2）由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）≥2，此時(shí)的最小值為2，若a＜0，則當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）＝0，此時(shí)f（0）不是最小值，不滿足條件．若a≥0，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2為減函數(shù)，則當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，則f（0）＝a2≤2，即0≤a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，]【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值的求法，考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20.【答案】②③【分析】對(duì)于①，令，，即可判斷；對(duì)于②，兩個(gè)正整數(shù)的差可能是負(fù)整數(shù)，即可判斷；對(duì)于③，任取，，則，，，，結(jié)合新定義即可判斷；對(duì)于④，令，，結(jié)合新定義即可判斷.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，，但是，所以不是閉集合，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，對(duì)于正整數(shù)集，因?yàn)?，但是，所以正整數(shù)集不是閉集合，故②正確；對(duì)于③，任取，，則，，，，則，，，所以，，，所以是閉集合，故③正確；對(duì)于④，由③可得是閉集合，是閉集合，所以或，則有，，但，則不是閉集合，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決集合知識(shí)和新定義的問題，在解答過程當(dāng)中應(yīng)充分體會(huì)新定義問題概念的確定性，與集合子集個(gè)數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律.三.解答題（本題有6小題，共62分）21.【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2，6}，B＝{2，－5}.（2）{2}【分析】（1）根據(jù)已知是方程的解，代入方程即可求出；進(jìn)而求出；（2）按并集、交集定義，即可求解.【詳解】（1）∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}.（2）∵A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}.【點(diǎn)睛】本題考查由交集結(jié)果求參數(shù)、集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.22.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)即可得；（2）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即得．【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，即；【小問2詳解】，即，所以，，所以的范圍是．23.【答案】（1）（2）長為100米，寬為40米【分析】（1）由題意列式求解；（2）由（1）結(jié)合基本不等式求解.【小問1詳解】由m，得m，故（）【小問2詳解】由（）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故長方形休閑區(qū)的長為100米，寬為40米時(shí)，長方形公園所占總面積最小，24.【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）根據(jù)解集可求得結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)稱軸和單調(diào)性確定值域；（3）根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系分情況討論確定最小值.【小問1詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，解得，所以的值?；【小問2詳解】由（1）可得，所以，二次函數(shù)的圖像開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?；【小?詳解】因?yàn)?，二次函?shù)的圖像開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，所以；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，所以的最小值.25.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【分析】（1）判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；（2）判斷出函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，然后任取、，且，作差，因式分解后判斷的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義可得出結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性結(jié)合f2x+1>f3【小問1詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，證明如下：任取、，且，即，則=x1-所以，函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù).【小問3詳解】由（2）可知，函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，由f2x+1>f3，可得2x+1>3，即因此，滿足不等式f2x+1>f3的26.【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)（2）（3），，或【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個(gè)集合是否滿足；（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；（3）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】集合中的，，所以集合不具有性質(zhì)，集合中的任何兩個(gè)相同