2024北京平谷中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京平谷中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每小題只有一項(xiàng)符合題目要求．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x表示同一函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.4 B.1 C. D.4.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足①對(duì)于定義域內(nèi)的任意，都有，②存在區(qū)間，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.5.已知，則（）A. B. C. D.6.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)那么不等式的解集為（）A. B. C. D.9.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.10.劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長(zhǎng)大于）按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?，他從起點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡，他每跑，軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù)．已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰?，恰好回到起點(diǎn)，前的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10二、填空題：5小題，每小題5分，共25分．11.已知函數(shù)，則________．12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__.13.已知函數(shù)，若，則________．14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則能夠說(shuō)明“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_____________.15.設(shè)函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間是________；若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍是________．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知集合.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.已知指數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求指數(shù)函數(shù)的解析式；（2）若，，請(qǐng)寫(xiě)出的最大值；（3）求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性；（2）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.19.小明根據(jù)某市預(yù)報(bào)的某天（時(shí)）空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖，并選擇連續(xù)函數(shù)，來(lái)近似刻畫(huà)空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律（如圖）．（1）求、的值；（2）當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)大于時(shí)，有關(guān)部門(mén)建議該市市民外出活動(dòng)應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止某行業(yè)施工作業(yè)．請(qǐng)你結(jié)合小明選擇的函數(shù)模型，回答以下問(wèn)題：（?。┠惩瑢W(xué)該天出發(fā)上學(xué)，是否應(yīng)該戴防霧霾口罩？請(qǐng)說(shuō)明理由；（ⅱ）試問(wèn)該天之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時(shí)間最長(zhǎng)為多少小時(shí)？20.已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍；（3）求關(guān)于的不等式的解集．21.已知集合的元素個(gè)數(shù)為個(gè)且元素為正整數(shù)，將集合分成元素個(gè)數(shù)相同且兩兩沒(méi)有公共元素的三個(gè)集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素滿足，，，則稱(chēng)集合為“完美集合”．（1）若集合，，判斷集合和集合是否為“完美集合”？并說(shuō)明理由；（2）已知集合為“完美集合”，求正整數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每小題只有一項(xiàng)符合題目要求．1.【答案】B【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2.【答案】B【分析】分別判斷函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否和y＝x一致即可．【詳解】解：A．函數(shù)y＝（）2＝x的定義域?yàn)閧x|x≥0}，和y＝x定義域不相同，不是同一函數(shù)．B．函數(shù)y＝（）3＝x的定義域?yàn)镽，和y＝x的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)．C．函數(shù)y的定義域?yàn)镽，和y＝x的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)．D．函數(shù)yx的定義域{x|x≠0}，和y＝x的定義域不相同，對(duì)應(yīng)法則相同，不是同一函數(shù)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)就是判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同．3.【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)過(guò)的一點(diǎn)可求出具體表達(dá)式，再求即可.【詳解】是冪函數(shù)，依題意可設(shè)，又，即，解得，故，故.故選：C4.【答案】A【分析】對(duì)于A，計(jì)算可得，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在區(qū)間和單調(diào)遞減，對(duì)于B、C、D，分別判斷每個(gè)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，且存在區(qū)間，單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，不存在減區(qū)間，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，不存在減區(qū)間，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得出答案.【詳解】解：是增函數(shù)，故，而，故.故選：A.6.【答案】B【分析】由必要條件和充分條件的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到.【詳解】因?yàn)椋獾没?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以不是的充分條件；當(dāng)時(shí)，即，所以必要性成立，故若，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B7.【答案】C【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤．【詳解】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．8.【答案】C【分析】分析討論解不等式，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，令，整理可得，且，可得，即，分別作出y=fx和的圖象，結(jié)合圖象可知不等式的解集為0,4.故選：C.9.【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及基本不等式判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所以，b=lg且，所以，所以.故選：A.10.【答案】B【分析】利用環(huán)形道的周長(zhǎng)與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長(zhǎng)的范圍，再結(jié)合跑回原點(diǎn)的長(zhǎng)度建立方程，即可求解.【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長(zhǎng)為，劉老師總共跑的圈數(shù)為，（），則由題意，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，即劉老師總共跑的圈?shù)為8.故選：B二、填空題：5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.12.【答案】【分析】未給的取值范圍的，其定義域?yàn)槭购瘮?shù)表達(dá)式有意義的的取值范圍，偶次根式大于等于0,分母不為0，即可計(jì)算出答案．【詳解】故填【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，需掌握函數(shù)中未給的取值范圍的，其定義域?yàn)槭购瘮?shù)表達(dá)式有意義的的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．13.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分和兩種情況，解不方程即可.【詳解】若，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得（舍去）；綜上所述：.故答案為：.14.【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題，只需找到符合題意的一個(gè)函數(shù)解析式即可.【詳解】解：對(duì)于函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為，但是函數(shù)在上不具有單調(diào)性，故命題“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數(shù)”為假命題.故答案為：（答案不唯一）15.【答案】①.（區(qū)間開(kāi)閉均可）②.【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合圖象即可得單調(diào)區(qū)間；根據(jù)圖形分析可得，進(jìn)而求出范圍.【詳解】解：作出函數(shù)圖像如下由圖象可知的單調(diào)遞減區(qū)間是（區(qū)間開(kāi)閉均可）；若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足不妨設(shè)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以根據(jù)圖像可得所以，所以的取值范圍為.故答案為：（區(qū)間開(kāi)閉均可）；.三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.【答案】（1）；或（2）或【分析】（1）先解一元二次不等式，利用交集與補(bǔ)集的概念計(jì)算即可；（2）利用集合間的基本關(guān)系分類(lèi)討論計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由或，即或，則，且或，所以或.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，則，解得；若，則或，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.17.【答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）直接將點(diǎn)帶入函數(shù)得到答案；（2）由指數(shù)函數(shù)的值域即可得到的最大值；（3）代入化簡(jiǎn)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，解得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榍业膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又，得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，即，因?yàn)?，所以的最大值?【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，由得，即，則，所以或18.【答案】（1）奇函數(shù)（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可；（2）利用定義按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論的步驟完成即可；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而求出函數(shù)的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù).【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，且，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以.19.【答案】（1），；（2）（?。?yīng)該戴，理由見(jiàn)解析；（ⅱ）小時(shí).【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性可求得、的值；（2）（i）將代入函數(shù)解析式，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與比大小可得出結(jié)論；（ii）解不等式得的取值范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以，所以．所以，；（2）（?。┰撏瑢W(xué)應(yīng)該戴防霧霾口罩．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以該同學(xué)應(yīng)該戴防霧霾口罩；（ⅱ）令，即，解得．因?yàn)?，所以該行業(yè)可以施工作業(yè)的時(shí)間最長(zhǎng)為小時(shí)．20.【答案】（1）最大值為，最小值為（2）（3）答案見(jiàn)解析【分析】（1）首先求出函數(shù)解析式，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）依題意可得恒成立，則，即可得到不等式，解得即可；（3）依題意可得，再對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，即可求出不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則為的對(duì)稱(chēng)軸，所以，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)都成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即.【小問(wèn)3詳解】依題意，即，當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，解得或；綜上可得，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.21.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)定義判斷即可；（2）根據(jù)完美集合的定義可得中的最大元素就是，再根據(jù)三個(gè)集合的和的關(guān)系得到中各元素的和為，它是中去掉某個(gè)元素后余下4個(gè)元素的和，分類(lèi)討論后可得的值.【詳解】（1）對(duì)于集合，取，滿足，，，，且，所以集合為“完美集合”，若為“完美集合”，則存在，使得，，，，設(shè)中各元素的和為，中各元素的和為，中各元素的和為，則有且，所以，它不是整數(shù)，矛盾，故不是“