2022年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案(附歷年10卷)

山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案（歷年10卷）

2022年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案

2021年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案

2020年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案

2019年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案解析

2018年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案解析

2017年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案

2016年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案解析

2015年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案解析

2014年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案解析

2013年山西中考數(shù)學(xué)試卷真題及答案解析

2022年山西中考數(shù)學(xué)試卷及答案

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，

請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.-6的相反數(shù)為（）

A.6B.AC.」D.-6

66

2.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船圓滿完成全部既定任務(wù)，順利返回地球家園.六個(gè)月的飛天之旅展現(xiàn)了中

國航天科技的新高度下列航天圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）

A.中國探火B(yǎng).中國次第C.中國行區(qū)探測D.航天神舟

3.糧食是人類賴以生存的重要物質(zhì)基礎(chǔ).2021年我國糧食總產(chǎn)量再創(chuàng)新高，達(dá)68285萬噸.該數(shù)據(jù)可用科學(xué)記數(shù)法表

示為（）

A.6.8235XI04噸B.68285X10」噸

C.6.8285XI（）7噸D.6.8285XI（）8噸

4.神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí).動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為

0.61處這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（)

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割

曾容的解集是＜

5.不等式組4)

A.B.x<2C.1?2D.x<l

2

6.如圖，RtZ\ABC是一塊直角三角板,其中NC=90°,ZBAC=30°.直尺的一邊DE經(jīng)過頂點(diǎn)A,若DE〃CB,則

ZDAB的度數(shù)為（）

C.135°D.150°

A.1B.a-3C.a+3D.1

a+3a-3

8.如圖，AABC內(nèi)接于0O,AD是。O的直徑，若NB=20°,則NCAD的度數(shù)是（)

B.65°C.70°D.75°

9.“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界普為“中國第王大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)

氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大賽”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放

在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機(jī)抽取?張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的兩張

郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）

D-i

10.如圖，扇形紙片AOB的半徑為3,沿AB折橙扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為

()

A.37C-3V3B.3K■林區(qū)C.2H-3V3D.6兀-

22

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

11.計(jì)算：患的結(jié)果為.

12.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)〃（Pa）是它的受力面積S

（m2）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)S=0.25〃z2時(shí)，該物體承受的壓強(qiáng)p的值

為Pa.

p，Pa▲

13.生物學(xué)研究表明，植物光合作用速率越高，單位時(shí)間內(nèi)合成的有機(jī)物越多,為了解甲、乙兩個(gè)品種大豆的光合作

用速率，科研人員從甲、乙兩個(gè)品種的大豆中各選五株，在同等實(shí)驗(yàn)條件下,測量它們的光合作用速率（單位：wnol

?江2?廣）,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

品種第一株第二株第三株第四株第五株平均數(shù)

甲323025pqzn25

乙282526242225

則兩個(gè)大豆品種中光合作用速率更穩(wěn)定的是（填“甲”或“乙”）.

14.某品牌護(hù)眼燈的進(jìn)價(jià)為240元，商店以320元的價(jià)格出售.“五一節(jié)”期間，商店為讓利于顧客，計(jì)劃以利潤率不

低于20%的價(jià)格降價(jià)出售，則該護(hù)眼燈最多可降價(jià)元.

15.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE=DF,連接EF交邊AD于

點(diǎn)G.過點(diǎn)A作AN_LEF,垂足為點(diǎn)M,交邊CD于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8,則線段AN的長為

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.(1)計(jì)算：(?3)2X3%(-5+2)+|-2|；

r2x-y=3,①

（2）解方程組:

x+y=6.②

17.如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線.

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O,交邊AD于點(diǎn)E,交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)

作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）,

（2）猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

18.2022年我國已成為全球最大的電動(dòng)汽車市場，電動(dòng)汽車在保障能源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明

顯優(yōu)勢，經(jīng)過對某款電動(dòng)汽車和某款燃油車的對比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)比燃油車平均每公里的加

油費(fèi)少0.6元.若充電費(fèi)和加油費(fèi)均為200元時(shí)，電動(dòng)汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款電動(dòng)汽車平均每公

里的充電費(fèi).

19.首屆全民閱讀大會(huì)于2022年4月23日在北京開幕，大會(huì)主題是“閱讀新時(shí)代?奮進(jìn)新征程”.某?！熬C合與實(shí)踐”

小組為了解全校3600名學(xué)生的讀書情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報(bào)告（不完整）：

XX中學(xué)學(xué)生讀書情況調(diào)查報(bào)告

調(diào)查XX中專學(xué)生讀書情況

主題

調(diào)查抽樣調(diào)查調(diào)查對象XX中學(xué)學(xué)生

方式

數(shù)據(jù)第一項(xiàng)您平均每周閱

的收讀課外書的時(shí)

集、間大約是（只

整理能單選，每項(xiàng)

與描含最小值，不

述含最大值）

A.8小時(shí)及以

上；

8.6?8小時(shí)；

C.4?6小時(shí)；

D0?4小時(shí).

第二項(xiàng)您閱讀的課外閱讀的保外書的主要來源調(diào)查統(tǒng)計(jì)圖

書的主要來源

是（可多選）

E.自行購買；

F.從圖書館借

閱；

G.免費(fèi)數(shù)字

閱讀；

H.向他人借

閱.

調(diào)查

結(jié)論

請根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告，解答下列問題:

（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)及這些學(xué)生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)；

（2）估計(jì)該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書時(shí)間在“8小時(shí)及以上”的人數(shù)：

（3）該小組要根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告在全班進(jìn)行交流，假如你是小組成員，請結(jié)合以上兩項(xiàng)調(diào)查數(shù)據(jù)分別寫出一條你

獲取的信息.

20.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)

用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程0?+笈+°=0（aW。）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=or2+Zu:+c（a

R0）的圖象（稱為拋物線）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有

兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、無交點(diǎn).與此相對應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、無實(shí)數(shù)根.因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

確定一元二次方程根的情況

下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-上，細(xì)口紅）和一元二次方程根的判別式△=爐-4ac,

2a4a

分別分a>0和a<Q兩種情況進(jìn)行分析：

（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上.

①當(dāng)A=6-4ac>0時(shí)，有4ac-62〈0.???。>0,二頂點(diǎn)縱坐標(biāo)白空二止<0.

4a

，頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）.

②當(dāng)A=6-4ac=0時(shí)，有4"-〃=0.二%〉。，，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)細(xì)￡」1=0.

4a

，頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）.

???一元二次方程“+公+。=0（oWO）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

③當(dāng)△=6-4*<0時(shí)，

（2）時(shí)，拋物線開口向下.

任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；

A.數(shù)形結(jié)合

B.統(tǒng)計(jì)思想

C.分類討論

D.轉(zhuǎn)化思想

（2）請參照小論文中當(dāng)。>0時(shí)①②的分析過程，寫出③中當(dāng)。>0,AV0時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過

程，并畫出相應(yīng)的示意圖；

(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)

一元一次方程的解.請你再舉出一例為

21.隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度.某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)

小組的同學(xué)要測星AB,CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：無人機(jī)在AB,CD兩樓之間

上方的點(diǎn)。處，點(diǎn)0距地面AC的高度為60m,此時(shí)觀測到樓AB底部點(diǎn)A處的倚角為70°,樓CD上點(diǎn)E處的俯

角為30°,沿水平方向由點(diǎn)O飛行24到達(dá)點(diǎn)F,測得點(diǎn)E處俯角為60°,其中點(diǎn)A,B,C,D,E,F,O均在同

一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):sin70°^0.94,cos70°

打0.34,tan70°02.75,孤心1.73).

22.綜合與實(shí)踐

問題情境：在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF中NEDF=90°,將三角板的直角頂點(diǎn)D

放在RtAABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE,DF分別與邊AB,AC交于點(diǎn)M,

N,猜想證明：

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由：問題

解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NB=NMDB時(shí)，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM二AN時(shí)，直接寫出線段AN的長.

BDCBDGCBD

圖①圖②圖③

23.綜合與探究

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第

一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.過點(diǎn)P作直線PDJ_x軸于點(diǎn)D,作直線BC交PD于

點(diǎn)E

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)4CEP是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接AC,過點(diǎn)P作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)F,連接DF.試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)P,使得

CE=FD,若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.-6的相反數(shù)是（Z）

A.6B.1

6

2.2022年4月160,神舟十三號(hào)載人飛船圓滿完成全部

既定任務(wù)，順利返回地球家園.六個(gè)月的飛天之旅展現(xiàn)

了中國航天科技的新高度.下列航天圖標(biāo)，其文字上方的d3

。中國探火中國火維中國行星探測航天”舟

圖案是中心對稱圖形的是（B）ABCD

3.糧食是人類賴以生存的重要物質(zhì)基礎(chǔ).2021年我國糧食總產(chǎn)量再創(chuàng)新高，達(dá)

68285萬噸.該數(shù)據(jù)可用科學(xué)記數(shù)法表示為（D）

A.6.8285xlO4噸B.68285x104

C.6.8285x1（）7噸D.6.8285xlO8噸

4.神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí).動(dòng)物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺

紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（D）

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱D.黃金分割

?11?

不等式組僵己造的解集是（C）

A.x>lB.x<2C.l<x<2D.x<1

如圖，是一塊直角三角板，其中/C=90。，乙切C=3（r.直尺的

邊座經(jīng)過頂點(diǎn)4若小〃C8,則。^的度數(shù)為（B）

（第6跑困）

化簡

1

a-3

如圖，C內(nèi)接于O。，仞是OO的直徑，若N8=20。,則ACAD的

度數(shù)是（C）（第8題圖）

A.60°B.65°

“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五大發(fā)明”.小

文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的

兩張送給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨

機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張,則小樂抽到的兩張

郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（C）

D.1

8

如圖，扇形紙片408的半徑為3,沿46折疊扇形紙片，點(diǎn)。恰好落在益

上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為（B）

B.3方-竽C."-34

A.3元-36D.6L孥

第n卷非選擇題（共9。分）（第10題圖）

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

計(jì)算：屈工出的結(jié)果為3.

根據(jù)物理學(xué)知識(shí)彳在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)P（Pa）是它

的受力面積S（m'）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)SW.Xn?時(shí)，

該物體承受的壓強(qiáng)P的值為400Pa

生物學(xué)研究表明,植物光合作用速率越高，單位時(shí)間內(nèi)合成的有機(jī)物越

多.為了解甲、乙兩個(gè)品種大豆的光合作用速率，科研人員從甲、乙兩

個(gè)品種的大豆中各選五株,在同等實(shí)驗(yàn)條件下，測量它們的光合作用速率Oai020304

（單位：unW?m"?『），結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：<（第12題圖）

品種第一株第二株第三株第四株第五株平均數(shù)

甲323025182025

乙282526242225

則兩個(gè)大豆品種中光合作用速率更穩(wěn)定的是上_（填“甲”或“乙”）.

14.某品牌護(hù)眼燈的進(jìn)價(jià)為240元，商店以320元的價(jià)格出售.“五一節(jié)”期間，商店為讓

利于顧客,i伐J以利潤率不低于20%的價(jià)格降價(jià)出售，則該螂則最笏僻匕_元.

如圖，在正方形力BCD中，點(diǎn)E是邊8C上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊CZ）的延長線上，/

旦BE=DF,連接EF交邊4）于點(diǎn)G.過點(diǎn)4作4N1防，垂足為點(diǎn)M,交邊8

于點(diǎn)N.若BE=5,CN=8,則線段/N的長為4A.

已耦懿耀智矗翁㈱寫出文字說明'?算步驟）京益

（1）計(jì)算：（-3）2X3"+（-5+2）+|-2|;

解：原式=9/+（-3）+2??????（4分）

=3+（-3）+2=2........（5分）

（2）解方程組:

解:①+②，得%=9,（6分）V=3............（9分）

x=3.（7分）所以原方程組的解為.%=3,...（io分）

將代入②，得（分）

x=33+y=6,…8）=3?

?12?

17.（本題8分）如圖，在矩形48co中，XC是對角線.

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段NC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)。，交邊

AD于點(diǎn)E,交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，

標(biāo)明字母）；

解：如圖，作圖正確并有痕跡；...........................（1分）

標(biāo)明字母...........................................（2分）

（2）猜想與證明：試猜想線段程與。戶的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

解：.證明如下：.................................（3分）

???四邊形是矩形，

...AD//BC............................................................................（4分）

.??4EA0=ZFC0,ZAEO=ZCFO....................................（5分）

v所為NC的垂直平分線，.?.OA=OC.........................................................（6分）

/.2AEOU2CFO..............................................................................................（7%）

???AE=CF..............................................................................................................（8分）

18.（本題7分）2022年我國已成為全球最大的電動(dòng)汽車市場，電動(dòng)汽車在保障能

源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明顯優(yōu)勢.經(jīng)過對某款電動(dòng)汽車和

某款燃油車的對比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)比燃油車平均每公

里的加油費(fèi)少0.6元.若充電費(fèi)和加油費(fèi)均為200元時(shí)，電動(dòng)汽車可行駛的總路

程是燃油車的4倍，求這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi).

解：設(shè)這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為x元..............................（1分）

200200,

根據(jù)題意，得一^=77^x4...................................................................................（4分）

XX+U.0

解，得x=0.2.........................................................................................................（5分）

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.2是原方程的根.........................................（6分）

答：這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為0.2元............................（7分）

19.（本題8分）首屆全民閱讀大會(huì)于2022年4月23日在北京開幕，大會(huì)主題是“閱

讀新時(shí)代?奮進(jìn)新征程”.某?！熬C合與實(shí)踐”小組為了解全校3600名學(xué)生的

讀書情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下周直報(bào)告（不完整）：

xx中學(xué)學(xué)生讀書情況調(diào)查報(bào)告

調(diào)查主題XX中學(xué)學(xué)生讀書情況

調(diào)青方式抽樣調(diào)查調(diào)查對象XX中學(xué)學(xué)生

平均氏輯外書的時(shí)同說霰統(tǒng)計(jì)圖

/'Aft/靖

第您平均每周閱讀課外書的時(shí)間大約是（只能單140123

120:96

選，每項(xiàng)含最小值，不含最大值）100

801

項(xiàng)A.8小時(shí)及以上；B.6~8小時(shí)；

6048

40

C.4Y小時(shí)；D.0~4小時(shí).

20

0

數(shù)據(jù)的收集、

播理與描述同諛的誣撲者的主賽來源調(diào)套統(tǒng)計(jì)EB

比

第80%卜

您閱讀的課外書的主要來源是（可多選）

60%162%

E.自行購買；F.從圖書館借閱；44gb

項(xiàng)40%k-

G,免費(fèi)數(shù)字閱讀；H.向他人借閱.喳

FCHx?H

調(diào)查結(jié)論....

請根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告，解答下列問題：

（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)及這些學(xué)生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)；

解：33+11%=300（人）.（解法不唯一）...................................（2分）

300x62%=186（人）................................................（3分）

答：參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為300人，這些學(xué)生中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)

為186人............................................................（4分）

（2）估計(jì)該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書時(shí)間在“8小時(shí)及以上”的人數(shù)；

解：3600x32%=1152（人）.................................................（5分）

答：該校3600名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書時(shí)間在“8小時(shí)及以上”的人數(shù)有1152人.

.............................................................................................................................................（6分）

?13?

（3）該小組要根據(jù)以上調(diào)查報(bào)告在全班進(jìn)行交流，假如你是小組成員，請結(jié)合以上兩項(xiàng)調(diào)

查數(shù)據(jù)分別寫出一條你獲取的信息.

解：答案不唯一.例如：

第一項(xiàng)：①平均每周閱讀課外書的時(shí)間在“4E小時(shí)”的人數(shù)最多；②平均每周閱讀課

外書的時(shí)間在“X小時(shí)”的人數(shù)最少；③平均每周閱讀課外書的時(shí)間在“8小時(shí)及

以上”的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的32%,等..............................（7分）

第二項(xiàng)：①閱讀的課外書的主要來源中選擇“從圖書館借閱”的人數(shù)最多；②閱讀的

課外書的主要來源中選擇“向他人借閱”的人數(shù)最少，等.................（8分）

20.（本題8分）閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

?》用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程ax2+/>x+c=0（a*0）的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ar2+dx+c（a#0）

”的圖象（稱為拋物線）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).拋物線與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一

個(gè)交點(diǎn)、無交點(diǎn).與此相對應(yīng)，一元二次方程的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)

，。相等的實(shí)數(shù)根、無實(shí)數(shù)根.因此可用拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定一元二次方程根的情況.

<?下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2,處心）和一元二次方程根的判別式&=biac,分別從

2a4a

a>0和。<。兩種情況進(jìn)行分析：

（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上.

4ac-b2

（D當(dāng)A=〃-4ac>0時(shí)，有4ac-b2Vo.?.?。>0,頂點(diǎn)飄坐標(biāo)

頂點(diǎn)在X軸的下方，拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）.4a

一元二次方程欠2+及+。=03=0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

2

②當(dāng)A=/-4ac=0時(shí)，有4噸一/=0...。>0,.?.頂點(diǎn)縱坐標(biāo)4ac-b

頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）.4a

/.一元二次方程ox?+bx+c=0（ax0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

③當(dāng)A=/-4農(nóng)<0時(shí)，

（第20題圖2）

（2）a<0時(shí)，拋物線開口向下.

任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是AC（或AD或CD）（從下面選

項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；

A.數(shù)形結(jié)合B.統(tǒng)計(jì)思想C.分類討論D.轉(zhuǎn)化思想......（2分）

（2）請參照小論文中當(dāng)a>0時(shí)①@的分析過程，寫出③中當(dāng)a>0,A<0時(shí)，一元二次方

程根的情況的分析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖；

解：A0時(shí)，拋物線開口向上.

當(dāng)A=〃_4ac<0時(shí)，有4ac-〃>o..............................（3分）

4/7/?—目

???。>0,???頂點(diǎn)縱坐標(biāo)片」->0...............................（4分）

4a

.??頂點(diǎn)在x軸的上方，拋物線與x軸無交點(diǎn)（如圖）...................（5分）

V..........................................（6分）

0|

???一元二次方程ar2+w+c=0（aH0）無實(shí)數(shù)根.....................（7分）

（3）實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí).例如：

可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元一次方程的解.請你再舉出一例為可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)二元

一次方程組的解.（答案不唯一.又如：可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元一次不等式的解集，等）

............................................................（8分）

2L（本題8分）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距

離和角度.某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測量彳屎CZ）兩庫樓之間的距離.工：一

他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：無人機(jī)在血。兩樓之間上方的點(diǎn)。處，〔不二

點(diǎn)。距地面4C的高度為60m,此時(shí)觀測到樓池底部點(diǎn)4處的俯角為70°,樓CD

?14?

上點(diǎn)E處的俯角為30°,沿水平方向由點(diǎn)。飛行24m到達(dá)點(diǎn)尸，測得點(diǎn)E處

俯角為60。，其中點(diǎn)4B,C,D,E,尸，O均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)

以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：

sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,6~1.73）.

解：延長力5和CD分別與直線。尸交于點(diǎn)G和點(diǎn)H,...........（1分）

M4Go=/￡"。=90。.

又???NG4c=90°,四邊形4a7G是矩形.GH=AC.（2分）

由題意，得水7=60,OF=24,ZAOgH,4＞尸=30°,Z￡/7/=60P.

在Rt2\4GO中，N4GO=90。，tanZAOGAG

OG

AG6060…

OG二---------?-------21.8.......（4分）

tanZAOGtan70°2.75

NEFH是AEOF的外角,

AFEO=Z.EFH-/.EOF=60°-30°=30°.

/.EOF=￡FEO./.EF=OF=2A.................................................................（5分）

FH

在Rt/XEHF中，N￡HF=90°,cosZ￡FH=—,

EF

??.77Z=EFcosZ￡FH=24xcos60°=12.........................................................（6分）

4c=GH=GO+O尸+切=21.8+24+12=58（m）.............................................（7分）

答：樓43與CO之間的距離NC的長約為581n.........................................................（8分）

22.（本題13分）綜合與實(shí)踐

問題情境：在RIA45C中，ZA4c=90。，45=6,NC=8.直角三角板EZW中心皮廬=90°,將

三角板的直角頂點(diǎn)。放在RtZUBC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的

兩邊09分別與邊相，4c交于點(diǎn)M,N.

猜想證明：

（1）如圖①.在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn)M為邊池的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四

邊形力MDN的形狀，并說明理由；/

解：四邊形AMDN為矩形.......:..........................（1分）X/X/

理由如下：?.?點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)。為5c的中點(diǎn)，

/.MDIIAC...........................................（2分）B-------D--------c

4MD+4=180。.4=90。，4MD=90。.???（3分）（第2218圖①）

?.?Z￡DF=90°,NA=NAMD=NMDN=90。.

/.四邊形/MDN為矩形.........................................（4分）

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求線段CN的長;

解法一：

22

解：在Rt△疑C中，4=90。，AB=6tNC=8,:.N5+NC=90。，BC=ylAB+AC=10.

,*,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，/.CD=—BC=5（5分）

2

???ZEDF=90°,ZWB+Z1=9O°.

Z1=ZC...................（6分）

??.ND=NC.

過點(diǎn)N作NG18C于點(diǎn)G,則/CGN=90°.（7分）

???CG=-CD=~........................................（8分）

22

ZC=ZC,ZCG7V=ZG45=90°,/.^CGN^LCAB.（9分）

5

空二絲.即5二CN

CACB810

解法二：

解：連接40..................................................................................

在RlZ^45C中，ZA4C=90°,AB=6,AC=8t

?15?

???Z5+ZG^0°,BC=>JAB2+AC2=10.

點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，???CD、BC=5?.....................................................（6分）

12

同時(shí)，AD=-BC=CD./.Z2=ZC..................................................................（7分）

2

?/NEO尸=90。，ZW5+Z1=9O°.vZ5=ZWB,/.Z1=ZC.…（8分）

??.Z1=Z2.???ZC=ZC,???ACDNs^CAD......................................（9分）

如圖，二次函數(shù)》=方x+4的圖象與x軸交于4,3兩點(diǎn)（點(diǎn)/

在點(diǎn)5的左側(cè)），與丁軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)?是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)過點(diǎn)P相宣或PO_Lx軸于點(diǎn)D,

作直線BC交PD于點(diǎn)E

（1）親4B,C三點(diǎn)前坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；

解:由y=,/+之4+4得，

42（第23題圖）

當(dāng)x=0時(shí)，"4..??點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）................當(dāng)分）

2

當(dāng)1y=0時(shí)，—―x+--X+4=0-解，得玉=-2,x2=8.

42

???點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)，???點(diǎn)4,5的坐標(biāo)分別為/（-2,0）,8（8,0）.…（3分）

直線3c的函數(shù)表達(dá)式為y=-gx+4..................................................................（4分）

（2）當(dāng)尸是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

解：:點(diǎn)尸在第一象限拋物線上，橫坐標(biāo)為冽，且PDlx軸于點(diǎn)O,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（加，一；町2+jm+4）,0D=m.

114Z

/.PD=—m2+—m+4......................................................（5分）

42

v點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,

08=8,OC=4.

過點(diǎn)C作CGLPD于點(diǎn)G,則ZCGD=90°.

ZPDO=ZCOD=90°,/.四邊形C8G是矩形.

.??CGHO