2025屆上海師大學(xué)附中高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2025屆上海師大學(xué)附中高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④2．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．3．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．4．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．5．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．7．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行8．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中左視圖中三角形為等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是（）A． B．C． D．9．已知數(shù)列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（）A． B． C． D．10．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點是平面內(nèi)一點，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)__________.14．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_____．15．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__．16．設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求證：18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)和交點的交點為，求的面積．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實數(shù)、、滿足，求證：.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.21．（12分）已知，，為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點分別為，若三角形的面積大于，求參數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內(nèi)過點作直線的垂線，則直線，又因為，設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖，可得直觀圖為直三棱柱，并且底面為等腰直角三角形，即可求得外接球的半徑，即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖，上下底面為腰長為的等腰直角三角形，三棱柱的高為4，其外接球半徑為，所以體積為.故選：C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意球心的確定.9、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項的正誤即可．【詳解】當(dāng)時，．所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．10、B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當(dāng)，不充分故是必要不充分條件，答案選B【點睛】本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.11、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構(gòu)造新的函數(shù)，將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)切線的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【點睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點的坐標(biāo)，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長，利用定義可得，進(jìn)而求出?！驹斀狻坑芍裹c，所以直線：，代入得，即，設(shè)，，故由定義有，，所以?！军c睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長的求法，注意直線過焦點，位置特殊，采取合適的弦長公式，簡化運算。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證．【詳解】（1）∵，∴.∴當(dāng)時，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴.令，.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時，.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，屬中檔題．本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的恒成立問題，其中解答中根據(jù)絕對值的定義，合理去掉絕對值號，及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.18、（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.（2）將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得兩個曲線交點的極坐標(biāo)，即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為．所以的極坐標(biāo)方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當(dāng)（）時，，當(dāng)（）時，．所以和的交點極坐標(biāo)為：,.所以．故的面積為．【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，利用極坐標(biāo)求三角形面積，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）采用零點分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式為，解得當(dāng)時，不等式為，解得當(dāng)時，不等式為，解得∴原不等式的解集為（2）當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴，∴∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）同理可得，∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見的絕對值不等式解法：零點分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時，注意說明取等號的條件.20、（1）在為增函數(shù)；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數(shù)；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，.記，則，當(dāng)時，，.所以，所以在單調(diào)遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數(shù).（2）由題意，得，記，則，令，則，當(dāng)時，，，所以，所以在為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)，，恒成立，所以為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以在為增函數(shù)，所以所以滿足題意.②當(dāng)，，令，，因為，所以，故在單調(diào)遞增，故，即.故，又在單調(diào)遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，所以，此時在為減函數(shù)，所以，不合題意，應(yīng)舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點及不等式恒成立等問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想，考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中