圓錐曲線常見(jiàn)結(jié)論的應(yīng)用+小題限時(shí)訓(xùn)練 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

圓錐曲線常見(jiàn)結(jié)論的應(yīng)用(時(shí)間：40分鐘滿分：73分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.[2023·南昌調(diào)研]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若△PF1F2的周長(zhǎng)為4，則a＝()A.2 B.3 C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,4)2.[2024·昭通調(diào)研]雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A.a B.eq\r(a2＋3) C.2eq\r(3) D.eq\r(3)3.[2024·涼山調(diào)研]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為x＋y＝0，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D.eq\r(5)4.[2024·遼寧朝陽(yáng)調(diào)研]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，若直線AP，AQ的斜率之積為－eq\f(2,5)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(15),5) B.eq\f(\r(10),5) C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(5),3)5.[2024·天津南開(kāi)區(qū)調(diào)研]過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦被稱(chēng)為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱(chēng)圓的直徑為通徑.已知圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的一條通徑與拋物線y2＝2px(p＞0)的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則p＝()A.eq\f(1,2) B.1 C.2 D.46.[2024·石家莊模擬]開(kāi)普勒第一定律也稱(chēng)橢圓定律、軌道定律，其內(nèi)容如下：每一顆行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.將某行星H看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，H繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌跡近似成曲線eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)，行星H在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離太陽(yáng)最近的距離稱(chēng)為近日點(diǎn)距離，距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的距離稱(chēng)為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星H的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18(距離單位：億千米)，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則m＋n＝()A.39 B.52 C.86 D.977.[2023·內(nèi)江三診]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上有不同的三點(diǎn)A，B，P，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB，且kPA·kPB＝eq\f(3,4)，則離心率e的值為()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(7),2) C.eq\r(2) D.eq\f(\r(6),2)8.[2024·平頂山調(diào)研]已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為eq\r(2)，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為N(1，2)，則直線l的斜率為()A.－1 B.1 C.eq\r(2) D.2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.[2023·長(zhǎng)沙質(zhì)檢]已知雙曲線的方程為eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1，則()A.漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x B.焦距為8eq\r(5)C.離心率為eq\f(\r(5),2) D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為810.[2024·福州質(zhì)檢]已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1，則下列說(shuō)法正確的是()A.若m＞eq\r(2)，則C是橢圓B.若－eq\r(2)＜m＜eq\r(2)，則C是雙曲線C.當(dāng)C是橢圓時(shí)，若|m|越大，則C越接近于圓D.當(dāng)C是雙曲線時(shí)，若|m|越小，則C的張口越大11.[2024·鹽城調(diào)研]《文心雕龍》中說(shuō)“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對(duì)的.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：x＝eq\f(9,2)的距離的比是常數(shù)eq\f(2,3).若某條直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱(chēng)該直線為“成雙直線”.則下列結(jié)論正確的是()A.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1B.直線l1：2x－y－5＝0為成雙直線C.若直線y＝kx與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為點(diǎn)P的軌跡上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－eq\f(5,9)D.若M點(diǎn)為P的軌跡上的任意一點(diǎn)，Q(－2，0)，∠FMQ＝60°，則△MFQ的面積為eq\f(\r(15),3)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.[2023·唐山質(zhì)檢]已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為eq\r(3)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則△AOB的面積為_(kāi)_________.13.[2024·成都調(diào)研]已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為_(kāi)_________.14.[2024·濟(jì)南調(diào)研]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，直線AF1與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若∠AF2B＝120°，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______.

圓錐曲線常見(jiàn)結(jié)論的應(yīng)用1.D[設(shè)橢圓C的焦距為2c，則c2＋1＝a2，△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c＝4，解得c＝eq\f(3,4)，a＝eq\f(5,4)，故選D.]2.D[雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(c，0)，一條漸近線是eq\r(3)x－ay＝0，c2＝a2＋3，由點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是eq\f(|\r(3)c－a×0|,\r(a2＋3))＝eq\r(3).故選D.]3.B[因?yàn)殡p曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為x＋y＝0，所以eq\f(b,a)＝1，所以雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，故選B.]4.A[由題意可知：A(a，0)，設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，則Q(－x0，－y0)，可得kAP＝eq\f(y0,x0－a)，kAQ＝eq\f(－y0,－x0－a)＝eq\f(y0,x0＋a)，則kAP·kAQ＝eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)，又因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，則eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，整理得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2,a2)(a2－xeq\o\al(2,0))，可得kAP·kAQ＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(\f(b2,a2)（a2－xeq\o\al(2,0)）,xeq\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，即－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(2,5)，所以C的離心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(2,5))＝eq\f(\r(15),5).故選A.]5.C[圓的通徑長(zhǎng)為直徑長(zhǎng)等于4，拋物線通徑長(zhǎng)為2p，則2p＝4，即p＝2.故選C.]6.D[根據(jù)橢圓方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)，得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝eq\r(m)，半焦距c＝eq\r(m－n)，近日點(diǎn)距離為a－c＝eq\r(m)－eq\r(m－n)，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為a＋c＝eq\r(m)＋eq\r(m－n)，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是eq\r(m)－eq\r(m－n)＋eq\r(m)＋eq\r(m－n)＝18，近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是(eq\r(m)－eq\r(m－n))(eq\r(m)＋eq\r(m－n))＝16，解得m＝81，n＝16，則m＋n＝97.故選D.]7.B[設(shè)A(x1，y1)，P(x2，y2)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，知B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝eq\f(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)).因?yàn)辄c(diǎn)A，P在雙曲線上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減，得eq\f(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1),a2)＝eq\f(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1),b2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))，所以kPA·kPB＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(7,4)，所以e＝eq\f(\r(7),2).故選B.]8.B[因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，所以它的一個(gè)焦點(diǎn)為(c，0)，一條漸近線方程為bx－y＝0，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝eq\f(bc,\r(b2＋1))＝eq\r(2)，化簡(jiǎn)得b2c2＝2(b2＋1)，又c2＝b2＋1，故解得b2＝2.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以xeq\o\al(2,1)－eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①xeq\o\al(2,2)－eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得，(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))－eq\f(1,2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，化簡(jiǎn)得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為N(1，2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，代入③，整理得x1－x2＝y(tǒng)1－y2，顯然x1≠x2，y1≠y2，所以直線l的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1.故選B.]9.BC[eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，故漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±2x，A錯(cuò)誤；c2＝64＋16＝80，故c＝4eq\r(5)，故焦距為8eq\r(5)，B正確；離心率為eq\f(c,a)＝eq\f(4\r(5),8)＝eq\f(\r(5),2)，C正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±4eq\r(5))，故焦點(diǎn)到漸近線y＝±2x的距離為eq\f(|±4\r(5)|,\r(4＋1))＝4，D錯(cuò)誤.故選BC.]10.BD[對(duì)于A，m＝2滿足m＞eq\r(2)，代入曲線C中，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,4)＝1，即x2＋y2＝4，表示以(0，0)為圓心，半徑為2的圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)－eq\r(2)＜m＜eq\r(2)時(shí)，－4≤2m2－4＜0，所以4(2m2－4)＜0，故C是雙曲線，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)|m|＝eq\r(3)時(shí)，方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，為焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2eq\r(2)，焦距為2eq\r(2)的橢圓，離心率為eq\f(\r(2),2)，當(dāng)|m|＝eq\r(6)時(shí)，方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1，為焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4eq\r(2)，短軸長(zhǎng)為4，焦距為4的橢圓，離心率為eq\f(\r(2),2)，所以當(dāng)|m|＝eq\r(3)和|m|＝eq\r(6)時(shí)，兩個(gè)橢圓的扁平程度一樣，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1為雙曲線時(shí)，2m2－4＜0，整理成eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4－2m2)＝1，則a＝2，b＝eq\r(4－2m2)，c＝eq\r(8－2m2)，若|m|越小，則c＝eq\r(8－2m2)越大，因?yàn)轫旤c(diǎn)不變，此時(shí)焦點(diǎn)離頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，圖象的張口就越大，故D正確.故選BD.]11.BC[對(duì)A，設(shè)P(x，y)，則eq\f(\r(（x－2）2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－x)))＝eq\f(2,3)，即9(x－2)2＋9y2＝81－36x＋4x2，化簡(jiǎn)得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故A錯(cuò)；對(duì)B，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,5)＝1，,2x－y－5＝0，))消去y得41x2－180x＋180＝0，Δ＝(－180)2－4×41×180＞0，故直線l1上存在這樣的點(diǎn)P，所以l1：2x－y－5＝0為成雙直線，故B正確；對(duì)C，設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，則k1＝eq\f(y1－y0,x1－x0)，k2＝eq\f(y1＋y0,x1＋x0)，∴k1k2＝eq\f(y1－y0,x1－x0)·eq\f(y1＋y0,x1＋x0)＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,0))＝eq\f(5（1－\f(xeq\o\al(2,1),9)）－5（1－\f(xeq\o\al(2,0),9)）,xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(5,9)，故C正確；對(duì)D，易得Q，F(xiàn)分別為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)，∠FMQ＝60°，故△MFQ的面積為5taneq\f(60°,2)＝eq\f(5\r(3),3)，故D錯(cuò)誤；故選BC.]12.eq\f(4\r(,3),3)[由拋物線方程知：F(1，0)，則直線l：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,y2＝4x))消y得3x2－10x＋3＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,3)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3)，又坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d＝eq\f(\r(3),\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)