鄭州市重點中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

鄭州市重點中學2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點是函數(shù)的一個對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．3．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內隨機取一點，則此點取自內切圓的概率是（）A． B． C． D．4．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．5．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．6．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則“”是“是偶函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知復數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．68．已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．910．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．11．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關系不能確定12．已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為，現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級為12人，則抽取的樣本容量為________人.14．已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是____.15．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.16．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數(shù)列{}前2020項和為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若關于的不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）為調研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實數(shù)的值；（2）若求證:.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）函數(shù)，若對于，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”．(Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．22．（10分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的短軸長為，直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為.當與連線的斜率為時，直線的傾斜角為（1）求橢圓的標準方程；（2）若是以為直徑的圓上的任意一點，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)最低點，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當時，，所以與有6個交點，設各個交點坐標依次為，則，所以③正確所以選C點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質，屬于中檔題．2、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】

利用直角三角形三邊與內切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內切圓的半徑為，所以向次三角形內投擲豆子，則落在其內切圓內的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.4、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎題．5、C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．6、A【解析】

求出函數(shù)的解析式，由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到的圖象對應函數(shù)的解析式為，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，當時，.因此，“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力與推理能力，屬于中等題.7、B【解析】

設，，利用復數(shù)幾何意義計算.【詳解】設，由已知，，所以點在單位圓上，而，表示點到的距離，故.故選：B.【點睛】本題考查求復數(shù)模的最大值，其實本題可以利用不等式來解決.8、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標運算.對于向量問題，若已知垂直，通常可得到兩個向量的數(shù)量積為0，繼而結合條件進行化簡、整理.9、D【解析】

根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質結合已知可得，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù)，滿足，，可得，

函數(shù)的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，

∴在區(qū)間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，

∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個，

故選D．【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．10、C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，即可得到結論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題11、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點睛】本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題．12、B【解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【點睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.【詳解】設抽取的樣本為，則由題意得，解得.故答案為：【點睛】本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)題意設為橢圓上任意一點,表達出,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關系分析最值求解即可.【詳解】因為橢圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因為以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點到點的距離的最大值為.設為橢圓上任意一點,則.所以因為的對稱軸為.(i)當時,在上單調遞增,在上單調遞減.此時,解得.(ii)當時,在上單調遞減.此時,解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓上的點到定點的距離最值問題,需要根據(jù)題意設橢圓上的點,再求出距離,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關系分析最值的取值點分類討論求解.屬于中檔題.15、.【解析】.16、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數(shù)列{}前2020項和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、數(shù)列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）按進行分類，得到等價不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；（2）將問題轉化為在時恒成立，按和分類討論，分別得到不等式恒成立時對應的的范圍，再取交集，得到答案.【詳解】解：（1）當時，等價于或或，解得或或，所以不等式的解集為：.（2）依題意即在時恒成立，當時，，即，所以對恒成立∴，得；當時，，即，所以對任意恒成立，∴，得∴，綜上，.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，分類討論研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.18、（1），，.（2）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關（3）詳見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表，再用的計算公式運算即可；（3）獲獎的概率為，隨機變量，再根據(jù)二項分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因為構成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎的人數(shù)為人，因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有人，不獲獎的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計獲獎61420不獲獎74306380合計80320400所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關.（3）由（2）可知，獲獎的概率為，的可能取值為0，1，2，，，，分布列如下：012數(shù)學期望為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計案例和離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的閱讀理解能力和計算能力，屬于中檔題．19、（1）1；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的最大值，進而求得的值.（2）利用（1）的結論，將轉化為，求得的取值范圍，利用換元法，結合函數(shù)的單調性，證得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）當時，取得最大值.（2）證明:由（1）得，，，當且僅當時等號成立，令，則在上單調遞減當時，.【點睛】本小題主要考查含有絕對值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進行證明，屬于中檔題.20、（1）當時，在上增；當時，在上減，在上增（2）【解析】

（1）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負，確定單調區(qū)間；（2）題意說明,利用導數(shù)求出的最小值，由（1）可得的最小值，從而得出結論．【詳解】解：（1）定義域為當時，即在上增；當時，即得得綜上所述，當時，在上增；當時，在上減，在上增（2）由題在上增由（1）當時，在上增，所以此時無最小值；當時，在上減，