新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題07 立體幾何（單選+填空）（解析版）

專題07立體幾何（單選+填空）（新高考通用）一、單選題1．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空間中兩個不同的平面，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用空間中線面、面面的位置關(guān)系可判斷ABC選項；利用空間向量法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，A錯；對于B選項，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交，B錯；對于C選項，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交（不一定垂直），C錯；對于D選項，設(shè)直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的一個法向量分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，D對.故選：D.2．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先由線面平行的判定定理證得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，再結(jié)合錐體的體積公式即可得解.【詳解】因為在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，所以SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離相等，所以SKIPIF1<0故選：B..3．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在正棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0中點.當(dāng)四棱臺的體積最大時，平面SKIPIF1<0截該四棱臺的截面面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，上底面和下底面的中心分別為SKIPIF1<0，該四棱臺的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在上下底面由勾股定理可知，SKIPIF1<0.在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以該四棱臺的體積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，顯然有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此平面SKIPIF1<0就是截面.顯然SKIPIF1<0，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因此在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，同理在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在等腰梯形SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以梯形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)基本不等式求出體積最大值，結(jié)合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關(guān)鍵.4．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為3，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．若在正方形SKIPIF1<0內(nèi)有一動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡長為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】在棱SKIPIF1<0上分別取點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即可得點SKIPIF1<0的軌跡為線段SKIPIF1<0，再計算長度即可.【詳解】解：如圖，在棱SKIPIF1<0上分別取點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以，在正方形SKIPIF1<0內(nèi)有一動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0的軌跡為線段SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以，動點SKIPIF1<0的軌跡長為SKIPIF1<0故選：C5．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，SKIPIF1<0表示平面圖形的面積，SKIPIF1<0表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）．如圖，直角梯形SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則其重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意，用式子分別表示出直角梯形繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長，進(jìn)而求解答案.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，直角梯形繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為SKIPIF1<0；梯形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，故記重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：C.6．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知正方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E為平面SKIPIF1<0內(nèi)的動點，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則點SKIPIF1<0的軌跡所圍成的圖形面積的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】確定SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，計算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E在平面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為OE的圓，計算得到答案.【詳解】如圖所示，連接SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于O，連接EO，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以∠AEO是AE與平面SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0為正三棱錐，O為SKIPIF1<0的重心，如下圖所示，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又E在平面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為OE的圓，所以E在平面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡圍成的圖形面積SKIPIF1<0．故選：D7．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形AEFD繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至與四邊形SKIPIF1<0重合，則直線SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0在旋轉(zhuǎn)過程中（

）A．逐步變大 B．逐步變小C．先變小后變大 D．先變大后變小【答案】D【分析】根據(jù)初始時刻ED與BF所成角可判斷BC，由題可知SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的投影SKIPIF1<0一直落在直線SKIPIF1<0上，進(jìn)而某一時刻SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，可判斷AD.【詳解】由題可知初始時刻SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為0，故SKIPIF1<0錯誤，在四邊形AEFD繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)過程中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的投影SKIPIF1<0一直落在直線SKIPIF1<0上，所以一定存在某一時刻SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，然后SKIPIF1<0開始變小，故直線SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0在旋轉(zhuǎn)過程中先變大后變小，故選項A錯誤，選項D正確.故選：D.8．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）圖1中，正方體SKIPIF1<0的每條棱與正八面體SKIPIF1<0（八個面均為正三角形）的條棱垂直且互相平分．將該正方體的頂點與正八面體的頂點連結(jié)，得到圖2的十二面體，該十二面體能獨立密鋪三維空間．若SKIPIF1<0，則點M到直線SKIPIF1<0的距離等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】連接PR，MN，相交于點O，設(shè)MP與AB相交于點K，MQ與BC相交于點L，連接KL，利用正八面體SKIPIF1<0的性質(zhì)，由線面垂直的判定定理，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到MR為點M到直線SKIPIF1<0的距離，然后在SKIPIF1<0中，利用SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線求得正八面體的邊長即可.【詳解】解：如圖所示：連接PR，MN，相交于點O，設(shè)MP與AB相交于點K，MQ與BC相交于點L，連接KL，在正八面體SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又HG與RN相交，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則MR為點M到直線SKIPIF1<0的距離，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：A9．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）魯班鎖是我國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中的榫卯結(jié)構(gòu)，其內(nèi)部的凹凸部分嚙合十分精巧.圖1是一種魯班鎖玩具，圖2是其直觀圖.它的表面由八個正三角形和六個正八邊形構(gòu)成，其中每條棱長均為2.若該玩具可以在一個正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動（忽略摩擦），則此正方體表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】將魯班鎖補(bǔ)成正方體,建立空間直角坐標(biāo)系，求出魯班鎖某個頂點到另一個頂點的最大值，即可求解.【詳解】將魯班鎖補(bǔ)成正方體SKIPIF1<0，然后以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD、SKIPIF1<0所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在魯班鎖所在幾何體上任取一個頂點SKIPIF1<0，觀察圖形可知，P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點的距離的最大值在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中取得，結(jié)合圖形可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以P到魯班鎖所在幾何體上其他頂點的距離的最大值為SKIPIF1<0，所以，若該玩具可以在一個正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動（忽略摩擦），設(shè)該正方體的棱長的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，該正方體的表面積為SKIPIF1<0.故選：D.10．（2023春·廣東珠海·高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個面為梯形或平行四邊形（至多一個側(cè)面是平行四邊形），其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除SKIPIF1<0如圖所示，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】連接AC、BD交于點M，取EF的中點O，連接OM，求出OM的長，進(jìn)而求出OA的長，可知SKIPIF1<0，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】連接AC、BD交于點M，取EF的中點O，連接OM，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取BC的中點G，連接FG，作SKIPIF1<0，垂足為H，如圖所示，由題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：這個羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個羨除的外接球體積為SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即：點A到面SKIPIF1<0的距離等于點B到面SKIPIF1<0的距離，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴這個羨除的體積為SKIPIF1<0，∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為SKIPIF1<0.故選：A.11．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺．已知一個“方斗”的上底面與下底面的面積之比為SKIPIF1<0，高為2，體積為SKIPIF1<0，則該“方斗”的側(cè)面積為（

）A．24 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題意得正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，先計算側(cè)面的高，然后利用梯形的面積公式代入計算即可.【詳解】由題意可知，記正四棱臺為SKIPIF1<0，其底面為正方形，側(cè)面為四個等腰梯形，把該四棱臺補(bǔ)成正四棱錐如圖，設(shè)SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0上SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0上SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點則SKIPIF1<0是正四棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0為正四棱臺SKIPIF1<0的高，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則上、下底面的面積分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為PA的中點，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以側(cè)棱長SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，由勾股定理可得側(cè)面的高為SKIPIF1<0，所以側(cè)面積為SKIPIF1<0.故選：D12．（2023·廣東廣州·高三廣東實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）以等邊三角形ABC為底的兩個正三棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0內(nèi)接于同一個球，并且正三棱錐SKIPIF1<0的側(cè)面與底面ABC所成的角為SKIPIF1<0，記正三棱錐SKIPIF1<0和正三棱錐SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)外接球的幾何性質(zhì)結(jié)合正棱錐的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】兩個正三棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0內(nèi)接于同一個球，如圖，設(shè)SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交點為SKIPIF1<0，由于兩個正三棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0內(nèi)接于同一個球，所以SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的直徑，記SKIPIF1<0為球心，且由題意可知SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0的中心，因此SKIPIF1<0為正三棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，可得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0為正三棱錐SKIPIF1<0的側(cè)面與底面ABC所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，記球的半徑為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選:D.13．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四面體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】作出圖形，找出直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.【詳解】如圖，過點SKIPIF1<0向底面作垂線，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于G，連接SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值是SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.14．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0分別是底面SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為該正方體表面上的一個動點，且滿足SKIPIF1<0，記點SKIPIF1<0的軌跡所在的平面為SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0四點的球面被平面SKIPIF1<0截得的圓的周長是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到球心O和點SKIPIF1<0的軌跡，求出SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，利用幾何法求截面圓的半徑和周長.【詳解】取面對角線SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為直角三角形，所以SKIPIF1<0，因此點SKIPIF1<0即為三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，球半徑長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡為矩形SKIPIF1<0的四邊，如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，球面被平面SKIPIF1<0截得的圓的半徑SKIPIF1<0，圓的周長為SKIPIF1<0.故選：B【點睛】本題找球心O考查學(xué)生的空間想象能力，其余的計算和證明問題，則利用空間向量法.15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示，沿SKIPIF1<0將四邊形SKIPIF1<0翻折成SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，在翻折過程中，當(dāng)二面角SKIPIF1<0取得最大角，此時SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，然后利用定義法可得SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，然后求函數(shù)最大值時的SKIPIF1<0值即可.【詳解】過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，設(shè)SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取到最大值SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最大，即二面角SKIPIF1<0取得最大角.故選：B16．（2023秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）點SKIPIF1<0分別是棱長為2的正方體SKIPIF1<0中棱SKIPIF1<0的中點，動點SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0(包括邊界)內(nèi)運動.若SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點F，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取EF中點O，連結(jié)SKIPIF1<0，證明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而得到P的軌跡是線段，從而得出SKIPIF1<0長度范圍.【詳解】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點F，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取EF中點O，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵點M，N分別是棱長為2的正方體SKIPIF1<0中棱BC，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，而在平面SKIPIF1<0中，易證SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵動點P在正方形SKIPIF1<0（包括邊界）內(nèi)運動，且SKIPIF1<0平面AMN，∴點P的軌跡是線段EF，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)P與O重合時，SKIPIF1<0的長度取最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰三角形，∴SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0或者點SKIPIF1<0處時，此時SKIPIF1<0最大，最大值為SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的長度范圍為SKIPIF1<0故選：B．17．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0經(jīng)過點B、D，平面SKIPIF1<0經(jīng)過點A、SKIPIF1<0，當(dāng)平面SKIPIF1<0分別截正方體所得截面面積最大時，平面SKIPIF1<0所成的銳二面角大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)平面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的二面角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況討論，證明平面SKIPIF1<0經(jīng)過點B、D且截正方體所得截面面積最大時，平面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0重合，從而可得出答案.【詳解】平面SKIPIF1<0經(jīng)過點B、D且截正方體所得截面面積最大時，平面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0重合，證明：設(shè)平面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的二面角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，記平面SKIPIF1<0截正方體所得截面為面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，顯然平面SKIPIF1<0截正方體所得截面面積最大時，截面為面SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，平面SKIPIF1<0截正方體所得截面為SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0截正方體所得截面面積最大時截面為面SKIPIF1<0，同理平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0時，截正方體所得截面面積最大時截面為面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成銳二面角為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所成角大小為二面角SKIPIF1<0大小，因為SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成銳二面角大小為SKIPIF1<0.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于說明平面SKIPIF1<0經(jīng)過點B、D且截正方體所得截面面積最大時，平面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0重合，考查了分類討論思想和極限思想.二、填空題18．（2023春·遼寧本溪·高三校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，若D，E分別為棱PA，AB的中點，過C，D，E三點的平面截三棱錐P－ABC的外接球，則截面的面積為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】將三棱錐放入到一個正方體中，則三棱錐的外接球即為該正方體的外接球，利用正方體的棱長求出外接球半徑，用向量法求球心到截面距離，幾何法求截面面積.【詳解】由PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝CA＝CB＝2，將三棱錐P－ABC放入到一個正方體中（如圖），則三棱錐P－ABC的外接球即為該正方體的外接球，該外接球的球心為正方體的中心O（體對角線的中點），因為SKIPIF1<0，所以外接球的半徑SKIPIF1<0，以C為原點，SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面CDE的一個法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，點O到平面CDE的距離為SKIPIF1<0，所以平面CDE截球所得截面的半徑SKIPIF1<0，故所求截面的面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點睛】方法點睛：三垂直的四面體的外接球問題，把該四面體補(bǔ)充成正方體或者長方體.19．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）正三棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，過SKIPIF1<0作與棱SKIPIF1<0平行的平面，將三棱錐分為上下兩部分，設(shè)上?下兩部分的體積分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意，做出截面，然后利用向量的線性表示及共線定理推論可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0的值.【詳解】連接SKIPIF1<0并延長交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0即為過SKIPIF1<0作與棱SKIPIF1<0平行的平面，由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.20．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）若正方形SKIPIF1<0的頂點均在半徑為1的球SKIPIF1<0上，則四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為______.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】設(shè)正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，可得到四棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)的知識求得最大值即可求解【詳解】設(shè)正方