專題04 巧用中點(diǎn)解決幾何問題（原卷版）

專題04巧用中點(diǎn)解決幾何問題一、【知識回顧】方法與技巧：中點(diǎn)問題常見輔助線做法①遇到三角形邊上的中點(diǎn)，考慮構(gòu)造三角形的中位線②遇到直角三角形斜邊的中點(diǎn)，考慮直角三角形斜邊的中線性質(zhì)③遇到等腰三角形底邊的中點(diǎn)，考慮等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)④遇到中點(diǎn)+垂線，角平分線+垂線，考慮垂直平分線的性質(zhì)⑤遇到面積類型題，考慮三角形中線平分面積⑥遇到線段數(shù)量關(guān)系，考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：構(gòu)造三角形的中位線典例1：（2022秋·四川眉山·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若平分，，線段的長為（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式1】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧市第十五中學(xué)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，若，，則的長為（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022春·全國·八年級假期作業(yè)）已知：如圖，在中，中線交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．求證：（1）；（2）和互相平分．【變式3】（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BC．連結(jié)CD、EF，那么CD與EF相等嗎？請證明你的結(jié)論．考點(diǎn)2：直角三角形斜邊的鵝中線典例2：（2022秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在一塊含角的三角板（）的頂點(diǎn)處作，垂足為．在的右側(cè)作使，連接，的延長線交于．設(shè)，，則下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足，則線段長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【變式2】（2022秋·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線與交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，則的周長為（

）A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3【變式3】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．考點(diǎn)3：等腰三角形三線合一性質(zhì)典例3：（2023秋·江西南昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，中，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，交于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，求證：．【變式1】（2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O.若OA=3，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E點(diǎn)，DF⊥AC于點(diǎn)F，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD上任意一點(diǎn)到AB，AC兩邊的距離相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正確的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④【變式3】（2022秋·吉林長春·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動點(diǎn)，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．考點(diǎn)4：垂直平分線性質(zhì)典例4：（2022·新疆烏魯木齊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝4cm，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC，垂足為E，AE＝3CE，則DE的長為（

）A． B．2cm C． D．【變式1】（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，，對角線的垂直平分線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，則線段的長為__．【變式2】（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分，，的延長線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為__________．【變式3】（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于、．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求菱形的周長．考點(diǎn)5：中線平分面積典例5：（2022秋·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為，垂直的平分線于，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，于點(diǎn)P，已知的面積為，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2021秋·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值為（

）A．1.5 B．3 C．4.5 D．6【變式3】（2023春·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖，在平行四動形紙板中，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，連接，，．將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．考點(diǎn)6：倍長中線，構(gòu)全等典例6：（2022秋·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2021秋·河南信陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，則下列結(jié)論：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，D為邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且，若，，則______，線段AB的長度______．【變式3】（2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)是________．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2020秋·湖北黃石·八年級黃石八中?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，則AF的長度為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．32．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的長為（

）．A．2 B． C． D．33．（2021春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，BE垂直平分CD于點(diǎn)E，且∠BAD＝45°，AD＝3，則?ABCD的對角線AC的長為（）A． B．5 C．5 D．24．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對應(yīng)、3，作腰長為4的等腰，連接，以O(shè)為圓心，長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對應(yīng)的實(shí)數(shù)為（）A． B．4 C． D．2.55．（2023秋·廣東惠州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一動點(diǎn)．若腰上的中線長是3．則周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，，，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將沿AD翻折得到，連結(jié)BE，則線段BE的長為（）A．2 B． C． D．7．（2023秋·四川雅安·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連接，，且，，則的長是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，D是的中點(diǎn)，連接BD，若，，則線段的最大值為（

）A． B． C．3 D．49．（2022春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，中線、相交于點(diǎn)O，連接，則的面積與的面積比是（）A． B． C．2 D．410．（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，與不平行，，分別是、的中點(diǎn)，，，則的長可能是(

)A．4 B．6 C．8 D．1011．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正中，，，連接，若M、N分別為線段、的中點(diǎn)，則線段的長度等于（）A． B． C． D．312．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是邊的中點(diǎn)，連接，則的長是（）A． B．5 C． D．1013．（2022秋·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，射線射線CD，與的平分線交于點(diǎn)E，，點(diǎn)P是射線AB上的一動點(diǎn)，連結(jié)PE并延長交射線CD于點(diǎn)給出下列結(jié)論：是直角三角形；；設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是，其中正確的是

A． B． C． D．14．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，G分別在，邊上，且，，連接、，平分，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接，若正方形的邊長為4，則的長度是（）A． B． C． D．15．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延長BD到F，使DF＝DB，連接CF，過點(diǎn)C作CD⊥BF于點(diǎn)D，BD＝16，AC＝22，則邊BC的長為（）A．8 B．9 C．10 D．12二、填空題16．（2020·天津·中考真題）如圖，的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，點(diǎn)E在的延長線上，G為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長為_______．17．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是_____．18．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長是_______．19．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長為2，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，則的長等于___________．20．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，，則________．21．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形，，，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上．當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)也隨之在軸上運(yùn)動，在這個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為__．22．（2022秋·九年級單元測試）如圖，的半徑為2，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．24．（2023秋·江西宜春·八年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值是______________．26．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．若，則________．27．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則周長為________．28．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．29．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別為BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是_____．30．（2022春·江蘇無錫·七年級宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，且，若，則________．三、解答題31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長；(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；(3)求證：CE＝AB．32．（2021春·廣西南寧·八年級南寧市第四十七中學(xué)校考期中）已知：如圖，在中，，為的中點(diǎn)，、分別在、上，且于.求證：.33．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程）．34．（2022·山西朔州·八年級?？计谀﹩栴}背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖（1），在中，，，則．探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖（1），作邊上的中線，得到結(jié)論：①為等邊三角形；②與之間的數(shù)量關(guān)系為_________．（2）