第六章 單形和聚形

第6章

單形與聚形第6章

單形和聚形SimpleformandcombinationsSchoolof

MaterialsScienceand

Engineering共八十頁第6章 單形與聚形

單形的概念(gàiniàn)及特點(diǎn)*

單形符號*

單形的推導(dǎo)

47種幾何單形的形態(tài)特點(diǎn)**

單形的類型*

聚形*School

ofMaterialsScienceand

Engineering主要(zhǔyào)教學(xué)內(nèi)容共八十頁第6章 單形與聚形6.1 單形的概念(gàiniàn)及特點(diǎn)Schoolof

MaterialsScience

and

Engineering共八十頁第6章

單形與聚形6.1單形的概念(gàiniàn)及特點(diǎn)

概念(gàiniàn)：晶體上彼此間能夠?qū)ΨQ重復(fù)的一組晶面的組合。也就是說，單形是一個(gè)晶體上能夠借助于所有對稱要素而使它們相互重復(fù)的一組晶面。＝點(diǎn)群全部對稱要素的作用而相互聯(lián)系起來的一組晶面的組合。

特點(diǎn)

同一單形的晶面必能對稱重復(fù)。

理想條件下，同一單形的晶面同形等大。

同一單形的晶面與對稱要素的關(guān)系一致。School

of

MaterialsScienceand

Engineering共八十頁第6章

單形與聚形6.2 單形符號(fúhào)Schoolof

MaterialsScience

andEngineering共八十頁第6章

單形與聚形單形符號及構(gòu)成? 單形符號（簡稱形號）：以簡單的數(shù)字符號形式來表征一個(gè)單形的所有組成(zǔchénɡ)晶面及其在晶體上取向的一種晶體學(xué)符號。?單形符號的構(gòu)成：在同一單形的各個(gè)晶面中，按一定的原則選擇一個(gè)代表晶面，將它的晶面指數(shù)順序連寫而置于大括號內(nèi)，例如寫成{hk

l}，用以代表整個(gè)單形。? 代表晶面的選擇原則：–

代表晶面應(yīng)選擇單形中正指數(shù)最多的晶面，也即選擇第一象限

內(nèi)的晶面，在此前提下，對于中級晶族晶體來說，還要求盡可

能使│h│≥│k│；在高級晶族中，則要求盡可能為│h│≥│k│≥│l│，至少應(yīng)使

│

l│為最小。School

ofMaterialsScience

andEngineering6.2 單形符號(fúhào)共八十頁第6章

單形與聚形單形代表晶面的選擇? 根據(jù)以上原則，結(jié)合各晶族的對稱特點(diǎn)和定向法則，從而(cóngér)得出選擇代表晶面的具體法則是：–

在中、低級晶族的單形中，按“先上、次前、后右”的法則選擇代表晶面;–

在高級晶族中，則為“先前、次右、后上”。–

前、右、上的標(biāo)準(zhǔn)是，在三軸定向中，均以x軸、y軸和z軸正端所指的方向分別為前、右、上；在四軸定向中，則以x軸正端和u軸負(fù)端間的分角線方向?yàn)榍?，右和上的?biāo)準(zhǔn)不變。School

of

MaterialsScienceandEngineering6.2 單形符號(fúhào)共八十頁第6章 單形與聚形單形符號舉例(jǔlì)：?

四方晶系?上－－

Z軸正端(111)，(1-11)，(-111)，(-1-11)?

前－－X軸正端(111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1)?

右－－

Y軸正端(111)，(11-1)，(-111)，(-11-1)四方柱{110}{111}Schoolof

MaterialsScienceandEngineering6.2 單形符號(fúhào)共八十頁第6章 單形與聚形001111_111111_111110101011011_110__101100010110101011__110_101100001010111111_111_111?

等軸晶系?

前－－X軸正端?

右－－

Y軸正端?

上－－Z軸正端單形符號(fúhào)舉例：6.2 單形符號(fúhào)Schoolof

MaterialsScience

and

Engineering共八十頁第6章

單形與聚形單形符號(fúhào)舉例：注意(zhùyì):

六八面體{321}School

ofMaterialsScienceandEngineering6.2 單形符號共八十頁第6章

單形與聚形6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)School

ofMaterialsScience

and

Engineering共八十頁第6章

單形與聚形? 根據(jù)單形的定義，我們可以得知：–第一，若已知某個(gè)單形中的任一晶面，通過對稱型中全部對稱要素的作用后，必可導(dǎo)出該單形的所有晶面，也就是整個(gè)單形本身。即以單形中的任意(rènyì)一個(gè)晶面作為原始晶面，可以推導(dǎo)出整個(gè)單形。–

第二，若單形中原始晶面與對稱要素間的相對方位關(guān)系不同時(shí)，則可以導(dǎo)出不同形狀的單形（見下頁圖），所以，在某一具體的對稱型中，可以根據(jù)原始晶面與對稱要素的空間方位關(guān)系來進(jìn)行單形的推導(dǎo)。School

of

MaterialsScience

and

Engineering6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形這四個(gè)單形形狀完全不同，但對稱型是一樣的。即對稱型一樣的晶體(jīngtǐ)，形態(tài)可以完全不同。這是因?yàn)榫媾c對稱要素的關(guān)系不同。例如(lìrú)：（示范模型）6.3 單形的推導(dǎo)Schoolof

MaterialsScienceand

Engineering共八十頁第6章

單形與聚形L2

對稱(duìchèn)型：

L22PP2P1P2P1School

of

MaterialsScience

andEngineering

改變原始(yuánshǐ)晶面與對稱要素的相對位置：垂直、平行、斜交。

對32種對稱型可以逐一進(jìn)行推導(dǎo)。6.3 單形的推導(dǎo)共八十頁第6章 單形與聚形P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)

位置1：

原始晶面與L2和2P 都垂直。

單面School

of

MaterialsScience

and

Engineering共八十頁第6章 單形與聚形P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)

位置2：

原始晶面與P2垂直。與L2和P1平行，

平行雙面

位置3：

原始晶面與與P1垂直,

L2和P2平行。

平行雙面Schoolof

MaterialsScience

andEngineeringP1P2共八十頁第6章 單形與聚形P1P2

位置(wèizhi)4：

原始晶面與L2平行，與2P斜交

斜方柱6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)School

ofMaterialsScienceandEngineering共八十頁第6章 單形與聚形6.3 單形的推導(dǎo)

位置5

原始(yuánshǐ)晶面與P1垂直,與L2和P2斜交。

雙面

位置6：

原始晶面與P2垂直,與L2和P1斜交，。

雙面SchoolofMaterialsScience

andEngineeringP1P2P2P1共八十頁第6章 單形與聚形

位置7：

原始(yuánshǐ)晶面與L2和2P都斜交。

斜方單錐P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)School

of

MaterialsScience

and

Engineering共八十頁第6章

單形與聚形School

of

MaterialsScienceandEngineering

原始晶面有7種不同位置(wèizhi)

位置1：單面；

位置2、3：平行雙面；

位置4、5：雙面；

位置6：斜方柱；

位置7：斜方單椎。? 共導(dǎo)出5種單形P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形?對不同晶系的對稱型（點(diǎn)群），原始晶面與對稱要素的交截關(guān)系不同，因此，在投影網(wǎng)上其初始位置(wèizhi)的選擇也有差異。1)對低級晶族的點(diǎn)群,考慮如下位置:{hkl},{0kl},

{h0l},{hk0},{100},{010},{001}2)對四方晶系的點(diǎn)群,考慮如下位置:{hkl),

{hhl},{h0l}+{0kl},

{hk0},{110},

{100},{001}3)對三六方晶系點(diǎn)群,考慮如下位置:{hk-il},{hh-2hl},{h0-hl},{hk-i0}

{11-20},{10-10},{0001}4)對高級晶族的點(diǎn)群,

考慮如下位置:{hkl},{hhl},

{hkk},{hk0},{111},{110},{100}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形低級晶族單形mmm1.

{hkl}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影(tóuyǐng)? 紅色圓圈為原始晶面? 綠色圖形是經(jīng)過對稱操作后投影的晶面? 此單形共8個(gè)晶面,

每個(gè)晶面均與晶軸相交? 判斷此單形為斜方雙錐c(hkl)mmm6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形低級晶族單形mmm2.{0kl}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 紅色圓圈(yuánquān)為原始晶面? 綠色圖形是經(jīng)過對稱操作后投影的晶面? 此單形共4個(gè)晶面,

每個(gè)晶面均與晶軸相交? 判斷此單形為斜方柱c(0kl)mmm6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形低級(dījí)晶族單形mmm: 3.

{h0l},4.{hk0}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影(tóuyǐng)? 紅色圓圈為原始晶面? 綠色圖形是經(jīng)過對稱操作后投影的晶面? 此兩者單形各4個(gè)晶面,

判斷此單形為斜方柱c(h0l)(hk0)mmmcmmm6.3 單形的推導(dǎo)共八十頁第6章

單形與聚形低級(dījí)晶族單形mmm:5.

{100},

6.

{010},7.

{001}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 紅色者為(001)晶面? 綠色者為(010)晶面? 黃色者為(100)晶面? 此三種(sānzhǒnɡ)單形各2個(gè)晶面,

判斷此單形為平行雙面c(001)mmm(100)(010)6.3 單形的推導(dǎo)共八十頁第6章

單形與聚形四方晶系單形4/mmm:1.

{hkl}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 紅色圓圈為(hkl)原始晶面? 綠色(lǜsè)者為對稱操作后的晶面? 此單形有16個(gè)晶面,

判斷此單形為復(fù)四方雙錐c4/mmm(hkl)6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形四方晶系單形4/mmm:2.

{hhl}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影(tóuyǐng)? 紅色圓圈為(hhl)原始晶面? 綠色者為對稱操作后的晶面? 此單形有8個(gè)晶面,判斷此單形為四方雙錐? {h0l}和{0kl}也為四方雙錐c4/mmm(hhl)6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形等軸晶系單形m3m:? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 可考慮(kǎolǜ)圖中的弧三角形,

共7種位置cm3m{hkl}{hhl}{hkk}4.{111}5.{hk0}6.

{110}7.

{100}12745636.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形等軸晶系單形m3m:1.{hkl}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 紅色(hóngsè)圓圈為原始晶面?

綠色圖形為對稱操作后的晶面投影，此單形為共48個(gè)晶面，為六八面體? 自己推導(dǎo)其他位置的可能單形cm3m6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形2.{hhl}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形等軸晶系單形m3m:2.{hhl}? 藍(lán)色圖形(túxíng)為對稱要素投影? 紅色圓圈為原始晶面? 黑色圖形為對稱操作后的晶面投影此單形為共24個(gè)晶面,

為三角三八面體6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形3.

{hkk}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形等軸晶系單形m3m:3.{hkk}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 紅色圓圈為原始(yuánshǐ)晶面? 黑色圖形為對稱操作后的晶面投影此單形為共24個(gè)晶面,為四角三八面體6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形4.{hk0}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形等軸晶系單形m3m:4.

{hk0}? 藍(lán)色圖形為對稱要素投影? 紅色(hóngsè)圓圈為原始晶面? 黑色圖形為對稱操作后的晶面投影此單形為共24個(gè)晶面,為四六面體6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形6.3 單形的推導(dǎo)? 對于每一種對稱型，晶面與對稱要素的位置關(guān)

系最多只有7種。? 每種對稱型最多只能導(dǎo)出7種單形。? 如果對32種對稱型逐一進(jìn)行推導(dǎo)，最終將導(dǎo)出146種結(jié)晶單形（70—73頁表）。? 如果不涉及對稱因素、僅考慮單形單獨(dú)存在的

幾何形態(tài)，146種結(jié)晶單形可歸并為47種幾何(jǐhé)形態(tài)不同的單形，即47種幾何單形。共八十頁第6章 單形與聚形6.4 47種幾何(jǐhé)單形共八十頁第6章 單形與聚形6.4 47種幾何單形幾何單形的形態(tài)描述(miáoshù)：

整個(gè)單形的形態(tài)：柱、錐、立方體等；

單形橫截面的形態(tài)：如斜方柱、六方柱等；

晶面數(shù)：單面、八面體等；

晶面形態(tài)+晶面數(shù)：菱形十二面體、五角十二面體等共八十頁第6章 單形與聚形⑴低級(dījí)晶族的單形（7種）3.雙面1.單面2.平行(píngxíng)雙面共八十頁第6章 單形與聚形5.斜方單椎7.斜方四面體4.斜方柱6.斜方雙椎橫截面形狀(xíngzhuàn)⑴低級(dījí)晶族的單形（7種）共八十頁第6章

單形與聚形⑵

中級(zhōngjí)晶族的單形(25種）①柱類8.三方柱10.六方柱9.四方(sìfāng)柱12.復(fù)四方柱13.復(fù)六方柱11.復(fù)三方柱共八十頁第6章

單形與聚形②單椎類15.四方(sìfāng)單椎14.三方(sānfānɡ)單椎16.六方單椎18.復(fù)四方單椎17.復(fù)三方單椎19.復(fù)六方單椎⑵中級晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形③雙椎類20.三方(sānfānɡ)雙椎21.四方(sìfāng)雙椎22.六方雙椎24.復(fù)四方雙椎23.復(fù)三方雙椎25.復(fù)六方雙椎⑵中級晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形④偏方面(fāngmiàn)體類27.四方(sìfāng)偏方面體28.六方偏方面體26.三方偏方面體⑵中級晶族的單形(25種）共八十頁第6章 單形與聚形⑤四方(sìfāng)四面體與復(fù)四方偏三角面體29.四方(sìfāng)四面體30.復(fù)四方偏三角面體⑵

中級晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形⑥菱面體與復(fù)三方(sānfānɡ)偏三角面體31.菱面體32.復(fù)三方(sānfānɡ)偏三角面體⑵

中級晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形①八面體組33.八面體35.四角(sìjiǎo)三八面體37.六八面體36.五角三八面體34.三角(sānjiǎo)三八面

體⑶高級晶族的單形(15種）共八十頁第6章 單形與聚形38.四面體40.四角(sìjiǎo)三四面體②四面體組42.六四面體39.三角(sānjiǎo)三四面體41.五角三四面體⑶高級晶族的單形(15種）共八十頁第6章

單形與聚形③立方體組45.五角十二面體

46.偏方(piānfāng)復(fù)十二面體43.立方體47.菱形(línɡxínɡ)十二面體44.四六面體⑶高級晶族的單形(15種）共八十頁第6章6.4 47種幾何單形（相似(xiānɡsì)單形的區(qū)別）單形與聚形

六方柱與復(fù)三方柱共八十頁第6章 單形與聚形

六方雙椎與六方偏方面(fāngmiàn)體6.4相似(xiānɡsì)單形的區(qū)別共八十頁第6章

單形與聚形6.4相似單形的區(qū)別(qūbié)

三方雙椎、菱面體、及三方偏方面體共八十頁第6章

單形與聚形6.4相似(xiānɡsì)單形的區(qū)別? 八面體與四方雙椎共八十頁第6章 單形與聚形注意? 必須指出，在不同的對稱型中，或在不同的晶系

以至不同的晶族中，雖然可能出現(xiàn)幾何上相同的

單形，即命名相同的單形，但它們在對稱性上必

定存在差異。因此，146種結(jié)晶單形都是結(jié)晶學(xué)上

不同的單形。? 幾何單形只考慮(kǎolǜ)幾何形態(tài)，結(jié)晶單形不但考慮外形，還考慮對稱型（點(diǎn)群）。共八十頁第6章

單形與聚形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形6.5 單形的類型⑴特殊形與一般形

單形晶面垂直或平行于某一對稱要素，或與相同

對稱要素以固定角度相交，稱特殊形，反之稱一般形。

每一種對稱型的單形中，只有(zhǐyǒu)1種一般形，其余為特殊形。共八十頁第6章 單形與聚形6.5 單形的類型L22P

特殊(tèshū)形

單面

平行雙面

斜方柱

雙面

一般形

斜方單椎共八十頁第6章 單形與聚形6.5 單形的類型⑵

左形和右形

互為鏡象，但不能通過旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)操作使之重合的兩個(gè)單形，稱為左形和右形。

有左右形之分的單形有：

偏方面體類；

五角三四面體類；

五角三八面體類。共八十頁第6章

單形與聚形偏方面(fāngmiàn)體類左形右形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形左形

五角三四面體類右形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形左形

五角三八面體類右形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形⑶正形和負(fù)形

同一晶體上取向不同的兩個(gè)同種單形，如果能借旋轉(zhuǎn)90o（四軸定向(dìnɡxiànɡ)時(shí)60o)重復(fù)者，則一個(gè)為正形，另一個(gè)為負(fù)形。四面體的正、負(fù)形菱面體的正、負(fù)形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形⑷

開形與閉形

由一個(gè)單形本身的晶面能圍成閉合的凸多面體者，

稱為(chēnɡwéi)閉形；凡單形的晶面不能封閉空間的稱開形。開形閉形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形⑸定形和變形(biànxíng)

單形晶面間的夾角恒定者稱定形，反之，即為變形。6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形定形(dìnɡxínɡ)6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形變形(biànxíng)6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形6.6 聚

形共八十頁第6章 單形與聚形6.6聚形

聚形的概念：是兩個(gè)或兩個(gè)(liǎnɡɡè)以上單形的聚合。共八十頁第6章 單形與聚形6.6聚

形? 晶體中出現(xiàn)聚形的必然性：–

由于晶體是一個(gè)封閉的凸幾何多面體，而單獨(dú)一個(gè)開形不能封閉空間，因而它們必然要組成聚形。至于閉形，既可在晶體上單獨(dú)存在，也可參與(cānyù)組成聚形。–

聚形既可全由開形組成，也可以全由閉形組成，或者開形與閉形混合組成。? 單形相聚原則：–在任何情況下，單形的相聚必定遵循對稱性一致的原則，即在146種結(jié)晶學(xué)單形中，只有屬于同一對稱型的單形才

會(huì)相聚!!!

因此，在表5-1至表5-11列出的146種結(jié)晶單形中，只有同一個(gè)對稱型下列的那些單形可以相聚。共八十頁第6章

單形與聚形?

聚形中單形的種數(shù)和個(gè)數(shù)：–在每一對稱型中，可能出現(xiàn)的單形的種數(shù)都是有限的，最多不會(huì)超過七種；但在一個(gè)聚形上所可能出現(xiàn)的單形，其個(gè)數(shù)和種數(shù)卻無一定限制，可以有兩個(gè)或幾個(gè)同種的

單形同時(shí)并存，但此時(shí)它們在晶體(jīngtǐ)上的相對方位肯定是不同的，具有指數(shù)值不同的單形符號。?聚形分析：–

同一單形的晶面形狀，大小，性質(zhì)完全相同；–

一個(gè)聚形最多可能由7種單形相聚；–

一個(gè)聚形中所有單形的對稱性均屬于同一對成型(點(diǎn)群)。6.6聚形共八十頁第6章 單形與聚形聚形分析的方法、步驟：

確定晶體的對稱型、晶系和晶族3L44L36L2

9PC

根據(jù)原則進(jìn)行晶體定向

確定單形數(shù)目，以及(yǐjí)每種單形的晶面數(shù)，與對稱要素間關(guān)系等

確定單形名稱

立方體

八面體

菱形十二面體

檢查、核對。6.6聚形共八十頁第6章 單形與聚形School

of

MaterialsScienceand

En四方(sìfāng)柱和四方(sìfāng)雙錐的聚形相聚示意圖立方體和菱形(línɡxínɡ)十二面體及其聚形gineering6.6聚形共八十頁第6章

單形與聚形?橄欖石晶體形態(tài)聚形分析(fēnxī)a