《信號與系統(tǒng)》課件第五章

第五章離散時間系統(tǒng)的時域分析5.1離散序列與基本運算5.2

LTI離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法5.3離散時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.4離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.5離散序列卷積(和)5.6離散時間系統(tǒng)的完全響應(yīng)與系統(tǒng)特性5.7基于MATLAB的離散時域分析5.1離散序列與基本運算5.1.1離散時間信號——序列的描述

離散信號可以從模擬信號中采樣得到，樣值用f(n)表示（表示在離散時間點nT上的樣值）。也可以由離散信號或由系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生，在處理過程中只要知道樣值的先后順序即可，所以可以用序列來表示離散的時間信號，它們的一般項為f(n)。f={f(n)}-∞<n<∞={…,f(-2),f(-1),f(0),f(1)，f(2),…}(5.1-1)

為簡便起見，常用一般項f(n)表示序列，稱為序列f(n)。例如解小箭頭表示n=0時所對應(yīng)的樣值。圖5.1-1f1(n)的波形5.1.2常用典型序列

1.單位脈沖序列單位脈沖序列也稱單位樣值序列，用δ(n)表示，定義為(5.1-2)單位脈沖序列δ(n)如圖5.1-2所示。圖5.1-2單位脈沖序列2.單位階躍序列

單位階躍序列用u(n)表示，定義為(5.1-3)單位階躍序列u(n)如圖5.1-3所示。還可用δ(n)表示u(n),即亦可用u(n)表示δ(n)，即δ(n)=u(n)-u(n-1)(5.1-4)(5.1-5)圖5.1-3單位階躍序列3.單位矩形序列

單位矩形序列用RN(n)表示，定義為亦可用δ(n)、u(n)表示RN(n)，即圖5.1-4單位矩形序列圖5.1-5斜變序列4.斜變序列斜變序列是包絡(luò)為線性變化的序列，表示式為如圖5.1-5所示。

5.實指數(shù)序列實指數(shù)序列an是包絡(luò)為指數(shù)函數(shù)的序列。|a|>1，序列發(fā)散；|a|<1，序列收斂；a<0，序列正、負(fù)擺動。實指數(shù)序列的四種波形如圖5.1－6所示。圖5.1-6實指數(shù)序列的四種波形

6.正弦型序列

正弦型序列是包絡(luò)為正、余弦變化的序列。如sinnθ0,cosnθ0，若θ0=π/5， ，即每10點重復(fù)一次正、余弦變化，如圖5.1-7所示。正弦型序列一般表示為x(n)=Acos(nθ0+φn)對模擬正弦型信號采樣可以得到正弦型序列。如xa(t)=sinω0t

x(n)=xa(nT)=sinnω0T=sinnθ0其中,θ0=ω0T是數(shù)字域頻率，T為采樣周期。數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對采樣頻率取歸一化值，即圖5.1-7正弦型序列7.復(fù)指數(shù)序列其中，|x(n)|=eσn,*8.周期序列則為周期序列，周期為N點。

對模擬周期信號采樣得到的序列，未必是周期序列。例如模擬正弦型采樣信號一般表示為式中，fs為采樣頻率，f0為模擬周期信號頻率。

可由以下條件判斷x(n)是否為周期序列：

(1）N為整數(shù)，則x(n)是周期序列，周期為N。例如sinnθ0，若θ0=π/5， 如圖5.1-7所示。

(2） L、N為整數(shù)，則x(n)是周期序列，周期為N=SL。例如sinnθ0，若θ0=8π/3，N=3，如圖5.1-8所示。

(3）為無理數(shù)，則x(n)=Acos(nθ0+φn)不是周期序列。例如sinnθ0，若θ0=1/4，2π/θ0=π/2為無理數(shù)，將n=0,1,2,3,4,5,…分別代入sinnθ0，得到［00.24740.479430.681640.841470.94898…］,是非周期序列?！鼒D5.1-8sin(8nπ/3)9.任意序列

單位取樣脈沖表示為任意序列可以用單位取樣脈沖序列的加權(quán)和表示為式中,…、x(-1),x(0),x(1)、…為加權(quán)系數(shù)。(5.1-6)10.序列的能量(5.1-7)5.1.3序列的運算

1.相加

z(n)=x(n)+y(n)(5.1-8)z(n)是兩個序列x(n)、y(n)對應(yīng)項相加形成的序列。

2.相乘

z(n)=x(n)·y(n)(5.1-9)z(n)是兩個序列x(n)、y(n)對應(yīng)項相乘形成的序列。標(biāo)量相乘

z(n)=ax(n) (5.1-10)z(n)是x(n)每項乘以常數(shù)a形成的序列。3.時移（時延、移序、移位、位移）

m>0

{z(n)}={x(n-m)}(5.1-11)z(n)是原序列{x(n)}每項右移m位形成的序列。

{z(n)}={x(n+m)} (5.1-12)z(n)是原序列{x(n)}每項左移m位形成的序列。如圖5.1-9所示x(n)、x(n-1)、x(n+1)。圖5.1-9序列的移序

例5.1-1已知x(n)=［0.51.51-0.5］，求y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)↑

解 x(n-2)=［00.51.51-0.5］ ↑y(n)=x(n)+2x(n)x(n-2)=［0.51.52-2］4.折疊及其位移

{y(n)}={x(-n)}(5.1-13)是以縱軸為對稱軸翻轉(zhuǎn)180°形成的序列。折疊位移序列

{z(n)}={x(-n±m(xù))}(5.1-14)z(n)是由{x(-n)}向右或向左移m位形成的序列。折疊序列與折疊位移序列如圖5.1-10所示。圖5.1-10序列的折疊位移5.尺度變換

y(n)=x(mn)，這是x(n)序列每隔m點取一點形成的，即時間軸n壓縮了m倍。例如m=2時，如圖5.1-11所示。圖5.1-11序列的壓縮

y(n)=x(n/m)，這是x(n)序列每一點加m-1個零值點形成的，即時間軸n擴展了m倍。例如m=2時，如圖5.1-12所示。圖5.1-12序列的擴展5.2LTI離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法

離散時間系統(tǒng)的作用是將輸入序列轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂蛄?，系統(tǒng)的功能是完成將輸入x(n)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鰕(n)的運算，記為y(n)=T［x(n)］（5.2-1）離散時間系統(tǒng)的作用如圖5.2-1所示。圖5.2-1離散時間系統(tǒng)的作用示意圖5.2.1LTI離散系統(tǒng)與連續(xù)LTI系統(tǒng)相同，LTI離散系統(tǒng)應(yīng)滿足可分解、線性（疊加、比例）以及非時變特性。離散系統(tǒng)的線性與非時變特性的示意圖分別如圖5.2－2和圖5.2－3所示。圖5.2-2系統(tǒng)的線性圖5.2-3系統(tǒng)的非時變性

例5.2-1判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。

(1)y(n)=T［x(n)］=ax(n)+b；

(2)解

(1)T［x1(n)］=ax1(n)+b=y1(n)T［x2(n)］=ax2(n)+b=y2(n)T［x1(n)+x2(n)］=a［x1(n)+x2(n)］+b

=ax1(n)+ax2(n)+b ≠y1(n)+y2(n)所以是非線性系統(tǒng)。(2)所以是線性系統(tǒng)。

例5.2-2

判斷下列系統(tǒng)是否為線性非時變系統(tǒng)。

(1)y(n)=T［x(n)］=ax(n)+b；

(2)y(n)=T［x(n)］=nx(n)。

解

(1)T［x(n-n0)］=ax(n-n0)+b=y(n-n0)，是非時變系統(tǒng)；

(2)T［x(n-n0)］=nx(n-n0)≠y(n-n0)=(n-n0)y(n-n0)，是時變系統(tǒng)。5.2.2LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——差分方程

LTI離散系統(tǒng)的基本運算有延時（移序）、乘法、加法，基本運算可以由基本運算單元實現(xiàn)，由基本運算單元可以構(gòu)成LTI離散系統(tǒng)。

1.LTI離散系統(tǒng)基本運算單元的框圖及流圖表示

(1)延時器的框圖及流圖如圖5.2-4所示。圖5.2-4延時器框圖及流圖表示(2)加法器的框圖及流圖如圖5.2-5所示。圖5.2-5延時器框圖及流圖表示(3)乘法器的框圖及流圖如圖5.2-6所示。圖5.2-6乘法器框圖及流圖表示

2.LTI離散系統(tǒng)的差分方程

線性時不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的，而線性時不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。在差分方程中構(gòu)成方程的各項包含有未知離散變量的y(n)，以及y(n+1),y(n+2),…,y(n-1),y(n-2),…。下面舉例說明系統(tǒng)差分方程的建立。

例5.2-3系統(tǒng)方框如圖5.2-7所示,寫出其差分方程。

解

y(n)=ay(n-1)+x(n)

或 y(n)-ay(n-1)=x(n) (5.2-2)

式(5.2-2)左邊由未知序列y(n)及其移位序列y(n-1)構(gòu)成，因為僅差一個移位序列，所以是一階差分方程。若還包括未知序列的移位項y(n-2),…,y(n-N),則構(gòu)成N階差分方程。未知(待求)序列變量序號最高與最低值之差是差分方程階數(shù)；各未知序列序號以遞減方式給出y(n)、y(n-1)、y(n-2)、…:、y(n-N)，稱為后向形式差分方程。一般因果系統(tǒng)用后向形式比較方便。各未知序列序號以遞增方式給出y(n)、y(n+1)、y(n+2)、…、y(n+N)，稱為前向形式差分方程。在狀態(tài)變量分析中習(xí)慣用前向形式。圖5.2-7例5.2-3離散時間系統(tǒng)例5.2-4

系統(tǒng)方框如圖5.2-8所示,寫出其差分方程。解或(5.2-3)

這是一階前向差分方程，與后向差分方程形式相比較，僅是輸出信號的輸出端不同。前者是從延時器的輸入端取出，后者是從延時器的輸出端取出。當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)不高，并且激勵不復(fù)雜時，用迭代（遞推）法我們可以求解差分方程。圖5.2-8例5.2-離散時間系統(tǒng)

例5.2-5已知y(n)=ay(n-1)+x(n)，且y(n)=0，n<0，x(n)=δ(n)，求y(n)。最后3.數(shù)學(xué)模型的建立及求解方法

例5.2-6

電路如圖5.2-9所示，已知邊界條件v(0)=E，v(N)=0，求第n個節(jié)點電壓v(n)的差分方程。

解與任意節(jié)點v(n-1)關(guān)聯(lián)的電路如圖5.2-10所示，由此對任意節(jié)點v(n-1)可寫出節(jié)點方程為整理得到

v(n-2)=3v(n-1)-v(n) v(n)-3v(n-1)+v(n-2)=0

N階LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)N階線性差分方程，它的一般形式是或(5.2-4)圖5.2-9例5.2-6離散時間系統(tǒng)

圖5.2-10例5.2-6任意節(jié)點電路5.2.3線性差分方程的求解方法一般差分方程的求解方法有下列四種：

(1)遞推(迭代）法此法直觀簡便，但往往不易得到一般項的解析式(閉式或封閉解答)，它一般為數(shù)值解，如例5.2-5。

(2)時域法與連續(xù)系統(tǒng)的時域法相同，分別求解離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，完全響應(yīng)為二者之和。其中零輸入響應(yīng)是齊次差分方程的解，零狀態(tài)響應(yīng)可由卷積的方法求得，這也是本章的重點。(3)時域經(jīng)典法與微分方程求解相同，分別求差分方程的通解(齊次解)與特解，二者之和為完全解，再代入邊界條件后確定完全解的待定系數(shù)。

(4)變域法與連續(xù)系統(tǒng)中用拉氏變換相似，離散系統(tǒng)可利用Z變換求解響應(yīng)，優(yōu)點是可簡化求解過程。5.3離散時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.3.1一階線性時不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 一階線性時不變離散系統(tǒng)的齊次差分方程的一般形式為（5.3-1）將差分方程改寫為y(n)-ay(n-1)=0用遞推(迭代)法，y(n)僅與前一時刻y(n-1)有關(guān)，以y(0)為起點:當(dāng)n≥0時，齊次方程解為（5.3-2）

由式（5.3-2）可見，y(n)是一個公比為a的幾何級數(shù)，其中C取決于初始條件y(0)，這是式（5.3-1）一階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。利用遞推(迭代)法的結(jié)果，我們可以直接寫出一階差分方程解的一般形式。因為一階差分方程的特征方程為

α-a=0

（5.3-3）由特征方程解出其特征根α=a

與齊次微分方程相似，得到特征根a后，就得到一階差分方程齊次解的一般模式為C(a)n，其中C由初始條件y(0)決定。5.3.2N階線性時不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)有了一階齊次差分方程解的一般方法，將其推廣至N階齊次差分方程，我們有（5.3-4）N階齊次差分方程的特征方程（5.3-5）(1)當(dāng)特征根均為單根時，特征方程可以分解為（5.3-6）利用一階齊次差分方程解的一般形式，可類推得N階線性齊次差分方程的解是這N個線性無關(guān)解的線性組合，即（5.3-7）式中，C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N-1)N個邊界條件確定。（5.3-8）寫為矩陣形式即其系數(shù)解為(5.3-10)(5.3-11)(5.3-9)(2)當(dāng)特征方程中α1是m階重根時，其特征方程為（5.3-12）式中,(α-α1)m對應(yīng)的解為(C1+C2n+…+Cmnm-1)α1n，此時零輸入解的模式為（5.3-13）

式中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N-1)N個邊界條件確定。

例5.3-1

已知某離散系統(tǒng)的差分方程

y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=0且y(0)=0，y(1)=-2，y(2)=2，求零輸入響應(yīng)y(n)。

解這是三階差分方程，其特征方程為

α3+6α2+12α+8=0

(α+2)3=0，α=-2是三重根，y(n)的模式為

y(n)=(C1+C2n+C3n2)(-2)n代入邊界條件整理:解出最后得到(3)與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，對實系數(shù)的特征方程，若有復(fù)根必為共軛成對出現(xiàn)，形成振蕩(增、減、等幅)序列。一般共軛復(fù)根既可當(dāng)單根處理，最后整理成實序列，亦可看作整體因子。因為所以解的一般形式為（5.3-14）

代入初始條件可以計算系數(shù)A、B。

例5.3-2

已知某系統(tǒng)差分方程y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)-2y(n-3)+y(n-4)=0且y(1)=1，y(2)=0，y(3)=1，y(5)=1，求y(n)。

解這是四階差分方程，其特征方程為α4-2α3+2α2-2α+1=0(α-1)2(α+1)2=0特征根α1=1(二階)，α3=j，α4=-j

方法一：

y(n)=(C1+C2n)(1)n+C3jn+C4(-j)n

代入邊界條件y(1)=C1+C2+jC3-jC4=1 (A)y(2)=C1+2C2-C3-C4=0 (B)y(3)=C1+3C2-jC3+jC4=1 (C)y(5)=C1+5C2+jC3-jC4=1 (D)由式(A)-式(D)得-4C2=0,C2=0由式(A)+式(C)得2C1=2,C1=1代入式(C)，得C3=C4。由式(B)解出方法二：(A′)(B′)(C′)(D′)由式(D′)-式(A′)得由式(D′)-式(C′)得2B=0,B=0分別代入式(A′)、式(B′)，解出C1=1,A=1，則由此例可見，N階差分方程的N個邊界條件可以不順序給出。5.4離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.4.1離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移（傳輸）算子類似連續(xù)時間系統(tǒng)的微分算子，離散系統(tǒng)也可用移序算子表示。由此可得到差分方程的移序算子方程，由算子方程的基本形式可得出對應(yīng)的轉(zhuǎn)移算子H(E)。移序（離散）算子定義：

(1)超前算子E

x(n+1)=Ex(n)

x(n+m)=Emx(n) (5.4-1)（5.4-2）(2)滯后算子N階前向差分方程的一般形式為y(n+N)+aN-1y(n+N-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n)=bMx(n+M)+bM-1x(n+M-1)+…+b1x(n+1)+b0x(n)（5.4-3）用算子表示

可以改寫為（5.4-4）定義轉(zhuǎn)移（傳輸）算子（5.4-5）圖5.4-1簡單非因果離散時間系統(tǒng)5.4.2單位脈沖響應(yīng)h(n)1.迭代法例5.4-1已知某系統(tǒng)的差分方程為利用迭代法求h(n)。解一般項：…

當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)較高時，用迭代法不容易得到h(n)的一般項表示式，可以把δ(n)等效為起始條件，將問題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程(零輸入)的解。這種方法稱為轉(zhuǎn)移（傳輸）算子法。2.轉(zhuǎn)移算子法已知N階系統(tǒng)的傳輸算子為

設(shè)H(E)的分母多項式D(E)均為單根，即將H(E)部分分式展開，有則

（5.4-7）

（5.4-6）式（5.4-7）中任一子系統(tǒng)的傳輸算子為

（5.4-8）

由此得到任一子系統(tǒng)差分方程，并對其中任一子系統(tǒng)的傳輸算子求hi(n)（5.4-9）（5.4-10）

將式（5.4-10）的激勵等效為初始條件，把問題轉(zhuǎn)化為求解齊次方程(零輸入)的解。由于因果系統(tǒng)的hi(-1)=0，令n=-1,代入式（5.4-10）,得hi(0)-αihi(-1)=Aiδ(-1)=0解出h(0)=0。再令n=0，代入式（5.4-10)得hi(1)-αihi(0)=Aiδ(n)=Ai

解出hi(1)=Ai，即為等效的初始條件。

因為齊次方程解的形式為 ，代入等效邊界條件hi(1)=Cαi=Ai，解出 ，由此得出hi(n)的一般形式為（5.4-11）代入式（5.4-7），h(n)的一般形式為（5.4-12）若將H(E)展開為（5.4-13）（5.4-14）對應(yīng)的hi(n)為將式（5.4-11）代入上式，代入式（5.4-7），h(n)的一般形式為(5.4-15)

例5.4-2已知某系統(tǒng)的差分方程為

y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=x(n)-3x(n-2)求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(n)。解方程同時移序2個位序

(E2-5E+6)y(n)=(E2-3)x(n)

5.4.3零狀態(tài)響應(yīng)

已知任意離散信號可表示為 ，并且δ(n)→h(n)，那么與連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析法相同，基于離散LTI系統(tǒng)的線性與時不變特性，可以用時域方法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。因為δ(n)→h(n)由時不變性 δ(n-m)→h(n-m)由比例性 x(m)δ(n-m)→x(m)h(n-m)最后由疊加性（5.4-16）

式（5.4-16）是離散序列卷積公式。因為離散序列卷積是求和運算，所以又稱其為卷積和，也有稱其為卷和的。利用變量代換，卷積的另一種形式為（5.4-17）離散序列的卷積公式簡寫為yzs(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（5.4-18）5.5離散序列卷積（和）離散序列卷積的一般表達形式為若令f1(n)=x(n)，f2(n)=h(n)，正是求解零狀態(tài)響應(yīng)的式（5.4-16）。離散序列的卷積與連續(xù)信號的卷積有平行相似的性質(zhì)與運算關(guān)系，這里我們不加證明地給出結(jié)論。（5.5-1）5.5.1卷積的性質(zhì)(1)當(dāng)f1(n)、f2(n)、f3(n)分別滿足可和條件，卷積具有以下代數(shù)性質(zhì)：交換律分配律（5.5-3）（5.5-2）結(jié)合律（5.5-4）(2)任意序列與δ(n)卷積δ(n)*f(n)=f(n)δ(n-m)*f(n)=f(n-m)（5.5-5）（5.5-6）(3)任意序列與u(n)卷積（5.5-7a）(4)卷積的移序（5.5-8）（5.5-9）任意因果序列與u(n)卷積（5.5-7b）5.5.2卷積的運算

離散序列卷積計算的基本方法有圖解法，其步驟與連續(xù)信號的卷積相似，可以分為：兩個序列變量置換,任選其中一個序列折疊位移,兩個序列相乘,對相乘后的非零值序列求和這四步計算。

例5.5-1已知x(n)=RN(n)，h(n)=anu(n)，求yzs(n)，其中,0<a<1。解讓h(n)折疊位移，則當(dāng)n<0時，yzs(n)=0

當(dāng)0≤n<N-1時，當(dāng)n≥N-1時，圖5.5-1例5.5-1求解過程與結(jié)果

例5.5-2已知x(n)=［123］，h(n)=［321］,求y(n)。 ↑↑

解將兩個序列的樣值分成兩行排列，逐位豎式相乘得到（三行）：x(n)123h(n)32169246123y(n)381483

按從左到右的順序逐項將豎式相乘的乘積對位相加，結(jié)果是y(n)。y(n)=[381483]

也可以x(n)123h(n)321123246369y(n)381483

也可用MATLAB計算x(n)與h(n)的卷積。計算例5.5-2卷積的MATLAB程序與結(jié)果為

x=［1,2,3］;h=［3,2,1］;conv(x,h)%卷積計算

ans=3814835.6離散時間系統(tǒng)的完全響應(yīng)與系統(tǒng)特性5.6.1系統(tǒng)完全響應(yīng)的時域求解方法由前面的分析可知離散時間系統(tǒng)的全響應(yīng)y(n)可分為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，即(5.6-1)

例5.6-1已知系統(tǒng)的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),邊界條件y(-1)=0，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。

解（1）激勵在n=0時接入,且y(-1)=0，所以為零狀態(tài)，其解為零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子為單位脈沖響應(yīng) y(n)=0.9nu(n)響應(yīng)為 yzs(n)=(0.9)nu(n)*0.05u(n)查表5-2的第3條，可得n≥0

例5.6-2

已知系統(tǒng)的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),邊界條件y(-1)=1，求系統(tǒng)的全響應(yīng)。

解此題與上題除邊界條件不同外，其余都相同，可分別求其零狀態(tài)與零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)方程與解同上題y(n)=0.5-0.45(0.9)n

n≥0由yzi(n)-0.9yzi(n-1)=0，得零輸入響應(yīng)的一般表示yzi(n)=C(0.9)n

代入初始條件yzi(-1)=C(0.9)-1=1解出C=0.9，則yzi(n)=0.9(0.9)n全響應(yīng)y(n)=yzs(n)+yzi(n)=0.5+0.45(0.9)n

n≥05.6.2用經(jīng)典法求解完全響應(yīng)

這是與微分方程經(jīng)典法類似的解法，即先求齊次解(通解)yc(n)，然后求特解。特解形式與激勵模式一樣，完全解的形式確定后，再利用邊界條件求任意常數(shù)。一般N階差分方程應(yīng)給出N個邊界條件以確定N個任意常數(shù)C1、C2、…、CN。當(dāng)考慮特征方程無重根情況時，差分方程的通解為(5.6-2)差分方程的特解yp(n)由x(n)的形式確定，常見特解形式有

(1)激勵為多項式序列x(n)=nk時，則特解形式亦為多項式y(tǒng)p(n)=D0+D1n+D2n2+…+Dknk(5.6-3)(2)激勵為指數(shù)序列x(n)=an時,則特解形式亦為指數(shù)序列yp(n)=Dan(5.6-4)最后,差分方程的完全解(5.6-5)引入邊界條件(5.6-6)(5.6-7)上式可簡化為(5.6-8)式中，k為邊界條件的序位。借助范德蒙特逆陣可求得C矩陣的一般表示形式(5.6-9)則N階差分方程的全響應(yīng)為(5.6-10)其中,Ci由式(5.6-9)所確定。同理可推得特征方程有一m階重根時，差分方程的通解為則完全解為(5.6-11)(5.6-12)

例5.6-3y(n)-2y(n-1)=4，y(0)=0，用經(jīng)典法求y(n)。

解

(1)齊次解

(E-2)y(n)=0,yc(n)=C2n

(2)特解yp(n)=A，代入原方程得

A-2A=4,A=-4(3)完全解y(n)=C2n-4代入邊界條件y(0)=C20-4=0,C=4y(n)=4(2n-1)n≥0

例5.6-4

已知y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1),其中，x(n)=n2,y(-1)=-1,用經(jīng)典法求y(n)。

解齊次解

(E+2)y(n)=0

特征方程為E+2=0，通解為yc=C(-2)n。特解x(n)=n2，由x(n)-x(n-1)=n2-(n-1)2=2n-1，特解形式為D1n+D2，其中D1、D2為待定系數(shù)。代入原差分方程D1n+D2+2［D1(n-1)+D0］=2n-1整理得 3D1n+3D0-2D1=2n-1比較同次項系數(shù)完全解代入邊界條件5.6.3系統(tǒng)完全響應(yīng)分解與連續(xù)系統(tǒng)相同，完全響應(yīng)可按不同的分解方式，分解為零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。若完全響應(yīng)分解為零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)，由所給定的邊界值可分為零輸入邊界yzi(k),零狀態(tài)邊界yzs(k)兩部分。y(k)=yzi(k)+yzs(k)(5.6-13)在零輸入情況下，yp(k)=0,所以(5.6-14)在零狀態(tài)情況下而系數(shù)從而有:自然響應(yīng)強迫響應(yīng)(5.6-16)

同樣，完全響應(yīng)中不隨n增長而消失的分量為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，隨n增長而消失的分量為瞬態(tài)響應(yīng)。要指出的是以上分析中邊界條件可不按序號0、1、2、…、N-1給出，只要是N階方程有N個邊界條件即可。n=n0時接入激勵，對因果系統(tǒng)零狀態(tài)是指y(n0-1)=y(n0-2)=….=y(n0-N)=0特別地,若n0=0，則y(-1)=y(-2)=…=y(-N)=0系統(tǒng)的全響應(yīng)邊界條件中一般包含兩部分，一部分為系統(tǒng)零輸入時的邊界條件，另一部分為系統(tǒng)零狀態(tài)時的邊界條件。應(yīng)根據(jù)給定的情況正確判斷所給定的邊界條件。

例5.6-5已知系統(tǒng)的差分方程y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n),邊界條件y(-1)=1，用經(jīng)典法求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，并指出各響應(yīng)分量。

解齊次解yc(n)=C(0.9)n

n≥0

特解yp(n)=D,n≥0代入原方程D-0.9D=0.05,D=0.5

完全解為y(n)=C(0.9)n+0.5

再解出完全邊界條件。由y(0)-0.9y(-1)=0.05，解得y(0)=0.95，代入完全解y(0)=0.5+C=0.95,C=0.45所以完全解為

y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)其中0.45(0.9)n為自由響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)；0.5u(n)為強迫響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。此題與例5.6-2相同，所以yzs(n)=［0.5-0.45(0.9)n］u(n)yzi(n)=0.9(0.9)n

5.6.4系統(tǒng)特性單位脈沖響應(yīng)h(n)表征了系統(tǒng)本身的性能，所以在時域分析中，由系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，可判斷離散時間系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。具有因果性的系統(tǒng)，其輸出是激勵的結(jié)果，激勵是響應(yīng)的原因。由于輸出變化發(fā)生在輸入變化之后，因此y(n)只取決于此時及以前的激勵x(n)、x(n+1)、…

離散LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件為h(n)=0n<0 （5.6-17）或

h(n)=h(n)u(n) （5.6-18）

與連續(xù)系統(tǒng)相同，具有BIBO穩(wěn)定性的離散系統(tǒng)是輸入信號有界輸出必為有界的系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為單位脈沖響應(yīng)滿足絕對可和，即（5.6-19）（5.6-20）

由因果、穩(wěn)定系統(tǒng)的條件，離散LTI系統(tǒng)同時具有因果穩(wěn)定性的充分必要條件為

例5.6-6已知單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，判斷系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解因為n<0時，h(n)=0,所以是因果系統(tǒng)；且有|a|≥1由于|a|<1時系統(tǒng)穩(wěn)定，因此|a|≥1時為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 5.7基于MATLAB的離散時域分析

5.7.1序列的MATLAB程序

1.單位脈沖序列的產(chǎn)生

例5.7－1

單位脈沖序列的MATLAB程序如下：clear;

ns=-2;nf=7;np=0;

［x,n］=impseq(np,ns,nf);

stem(n,x,′filled′);

title(′單位脈沖序列′);

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);單位脈沖序列波形如圖5.7－1所示。圖5.7－1單位脈沖序列2.單位階躍序列的產(chǎn)生例5.7－2單位階躍序列的MATLAB程序如下：clear;

ns=-2;nf=7;np=0;

［x,n］=stepseq(np,ns,nf);

stem(n,x,′filled′);

title(′單位階躍序列′);

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);單位階躍序列波形如圖5.7－2所示。圖5.7－2單位階躍序列3.矩形序列的產(chǎn)生例5.7－3矩形序列的MATLAB程序如下：clear;

ns=-2;nf=8;np=0;np1=4;n=ns:nf;

x=stepseq(np,ns,nf)-stepseq(np1,ns,nf);

stem(n,x);

title(′矩形序列R4(n)′);

xlabel(′n′);ylabel(′R4(n)′);矩形序列波形如圖5.7－3所示。圖5.7－3單位矩形序列4.斜變序列的產(chǎn)生

例5.7－4斜變序列的MATLAB程序如下：clear;

n=0:10;a=1

x=n.*a;

stem(n,x);

title(′單位斜變序列x(n)′);

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);斜變序列波形如圖5.7－4所示。圖5.7－4單位斜變序列5.實指數(shù)序列的產(chǎn)生例5.7－5實指數(shù)序列的MATLAB程序如下：n=0:10;

a1=0.5;a2=-0.5;a3=1.2;a4=-1.2;

x1=a1.^n;x2=a2.^n;

x3=a3.^n;x4=a4.^n;

subplot(2,2,1),stem(n,x1);

title(′實指數(shù)序列(0<a1<1)′);

xlabel(′n′);ylabel(′x1(n)′);

subplot(2,2,2),stem(n,x2);

title(′實指數(shù)序列(-1<a2<0)′);line(［0,10］,［0,0］);

xlabel(′n′);ylabel(′x1(n)′);

subplot(2,2,3),stem(n,x3);

title(′實指數(shù)序列(1<a3)′);

xlabel(′n′);ylabel(′x1(n)′);

subplot(2,2,4),stem(n,x4);

line(［0,10］,［0,0］);

title(′實指數(shù)序列(a4<-1)′);

xlabel(′n′);

ylabel(′x1(n)′);圖5.7－5實指數(shù)序列6.正弦型序列的產(chǎn)生例5.7－6

正弦型序列的MATLAB程序如下：clear;

n=0:10;

w0=pi/5;w1=pi/4;

x=sin(n*w0+w1);

stem(n,x);

title(′正弦型序列′);

line(［0,10］,［0,0］);

xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);正弦型序列波形如圖5.7－6所示。圖5.7－6正弦型序列7.復(fù)指數(shù)序列的產(chǎn)生例5.7－7復(fù)指數(shù)序列的MATLAB程序如下：clear;

n=0:10;

delta=-0.2;w1=0.7;

x=exp((delta+j*w1)*n);

subplot(2,1,1),stem(n,real(x));

line(［0,10］,［0,0］);

title(′復(fù)指數(shù)序列′);

ylabel(′復(fù)指數(shù)序列的實部′);

subplot(2,1,2),stem(n,imag(x));

line(［0,10］,［0,0］);

ylabel(′復(fù)指數(shù)序列的虛部′);

xlabel(′n′);圖5.7－7復(fù)指數(shù)序列8.任意脈沖序列擴展函數(shù)

function［x,n］=impseq(np,ns,nf);

ifns>np|ns>nf|np>nf;

error(′輸入位置參數(shù)不滿足ns<=np<=nf′);

elsen=［ns:nf］;x=［(n-np)==0］;

end9.任意階躍序列擴展函數(shù)

function［x,n］=stepseq(np,ns,nf);

n=［ns:nf］;x=［(n-np)>=0］;5.7.2序列運算的MATLAB擴展程序1.序列加法擴展函數(shù)

function［y,n］=seqadd(x1,n1,x2,n2);

n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));

y1=zeros(1,length(n));y2=y1;

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;

y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;

y=y1+y2;2.序列乘法擴展函數(shù)

function［y,n］=seqmult(x1,n1,x2,n2);

n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));

y1=zeros(1,length(n));y2=y1;

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;

y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;

y=y1.*y2;3.序列移序擴展函數(shù)

function［y,ny］=seqshift(x,nx,k);

y=x;ny=nx+k;4.序列折疊擴展函數(shù)

function［y,ny］=seqfold(x,nx);

y=fliplr(x);ny=-fliplr(nx);5.序列卷積擴展函數(shù)

function［y,ny］=convwthn(x,nx,h,nh);

nys=nx(1)+nh(1);nyf=nx(end)+nh(end);

y=conv(x,h);ny=［nys:nyf］;5.7.3序列運算的MATLAB程序

例5.7－8計算例5.5－1的MATLAB程序如下：clear;

x=［0.5,1.5,1,-0.5］;n0=-1:2;a=2;

［x1,n1］=seqshift(x,n0,2);

%移位［ym1,n］=seqmult(x1,n1,x,n0);

%序列相乘ym=a*ym1;

%序列倍乘［ya,n］=seqadd(ym,n,x,n0);

%序列相加subplot(4,1,1);stem(n0,x);ylabel(′x′);

axis(［min(n),max(n),min(x),max(x)］);

line(［min(n),max(n)］,［0,0］);subplot(4,1,2);stem(n1,x1);ylabel(′x1′);

line(［min(n),max(n)］,［0,0］);

axis(［min(n),max(n),min(x1),max(x1)］);

subplot(4,1,3);stem(n,ym);

axis(［min(n),max(n),min(ym),max(ym)］);ylabel(′ym=2x(x1′);line(［min(n),max(n)］,［0,0］);

subplot(4,1,4);stem(n,ya);xlabel(′n′);ylabel(′ya=x+ym′);

axis(［min(n),max(n),min(ya),max(ya)］);

line(［min(n),max(n)］,［0,0］);例5.5－1波形如圖5.7－8所示。圖5.7－8例5.5－1輸入序列與輸出序列例5.7－9

計算例5.7－1序列x=［0,1,3,3,4,3,2,1］向右移序2位的MATLAB程序如下：↑clear;

x=［0,1,3,3,4,3,2,1］;nx=-2;k=2;

［y,ny］=seqshift(x,nx,k)

nf1=nx+length(x)-1;nf2=ny+length(y)-1;

n=min(min(nx),min(ny)):max(max(nf1),max(nf2));

x1=zeros(1,length(n));y1=x1;

x1(find((n>=nx)&(n<=nf1)==1))=x;

y1(find((n>=ny)&(n<=nf2)==1))=y;

subplot(2,1,1);stem(n,x1);xlabel(′n′);ylabel(′x′);

subplot(2,1,2);stem(n,y1);xlabel(′n′);ylabel(′y=x(n-k)′);圖5.7－9例5.7－1序列移序例5.7－10計算序列x=［0,1,3,3,4,3,2,↑1］折疊的MATLAB程序如下：

clear;

x=［0,1,3,3,4,3,2,1］;nx=-2;

［y,ny］=seqfold(x,nx)

nx1=nx+length(x)-1;

%x的終點

ny1=ny-length(y)+1; %y的起點

n=min(min(nx),min(ny1)):max(max(nx1),max(ny));%y的位置向量

y1=zeros(1,length(n));y2=y1;y1(find((n>=nx)&(n<=nx1)==1))=x;

y2(find((n>=ny1)&(n<=ny)==1))=y;

subplot(2,1,1);stem(n,y1);xlabel(′n′);ylabel(′x(n)′);

subplot(2,1,2);stem(n,y2);xlabel(′n′);ylabel(′y(n)=x(-n)′);波形如圖5.7－10所示。圖5.7－10序列折疊5.7.4序列能量的MATLAB程序

例5.7－11計算序列能量的MATLAB程序如下：

x(n)=n［u(n)-u(n-8)］-10e-0.3(n-10)［u(n-10)-u(n-16)］0≤n≤20能量的MATLAB程序：

clear;

n=［0:20］;x1=n.*(stepseq(0,0,20)-stepseq(8,