4.3.2（2）等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.2(2)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式

【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.【問題1】已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，

前n項和為Sn，證明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.證明：【問題1】已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，

前n項和為Sn，證明：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.【思考1】不用分類討論能否證明該結(jié)論？【思考2】為什么題目條件中強調(diào)“公比q≠-1”？數(shù)列{an}為公比不為-1的等比數(shù)列(或公比為-1，且n不是偶數(shù))，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n

仍構(gòu)成首項為_______，公比為_______等比數(shù)列.等比數(shù)列前n項和公式的片段和性質(zhì)注：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

√【問題2】類比等差數(shù)列前n項和性質(zhì)中的奇數(shù)項、偶數(shù)項的性質(zhì)，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，S偶=a2+a4+…+a2nS奇=a1+a3+…+a2n-1若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n+1項，S偶=a2+a4+…+a2nS奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，(1)在其前2n項中，(2)在其前2n+1項中，

等比數(shù)列前n項和公式的奇偶項和性質(zhì)

【例2】（1）已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為-240，且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80，則公比q=

.

2（2）若等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為

，項數(shù)為

.

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120【問題3】你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm，Sn來表示Sm+n？思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n

=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m

=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm.]等比數(shù)列{an}中的Sm，Sn來表示Sm+n=等比數(shù)列前n項和公式的下標性質(zhì)Sm+qmSn=Sn+qnSm【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.方法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，

【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.

【例1】在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.【例3】如圖，畫一個邊長為2的正方形，再將此正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，以此類推，記第n個正方形的面積為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn.（1）求{an}的通項公式及S2

024.（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？【變式】去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預算，請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5