山東省臨沂市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

第一學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)診斷試題高一數(shù)學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（）A. B.C. D.2.的值為（）A. B. C. D.3.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A. B.C. D.4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知命題p：，命題q：，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.[﹣1，2] B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（﹣1，2）7.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C D.8.如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形.設(shè)弧的長(zhǎng)度是，弧的長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，扇形周長(zhǎng)為定值，圓心角為，若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，圓心角為的值為（）A1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小相等B.C.若，則為第一或第四象限角D.經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過弧度10.已知，且為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C D.11.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.為奇函數(shù) B.在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)C.的周期是 D.的最大值為12.已知函數(shù)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)正確的為（）A.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2B.實(shí)數(shù)的取值范圍為C.函數(shù)無最值D.函數(shù)在上單調(diào)遞增三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的值為______．14.若，則_________.15.已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是______.16.已知函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，則________，________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.（1）求的值；（2）求的值.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程；（2）解關(guān)于的不等式.19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.若的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間.20.已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)取何值時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立：（2）若在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．22.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意都有．（1）求證：是奇函數(shù)；（2）設(shè)，且當(dāng)x＞1時(shí)，，求不等式的解．2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)診斷試題高一數(shù)學(xué)2024.01一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)鈍角的范圍，即可得出選項(xiàng)C正確，再由第二象限角的范圍，即可判斷出選項(xiàng)ABD的正誤，從而得出結(jié)果.【解析】因?yàn)殁g角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故選項(xiàng)C正確，又第二象限角的范圍為，不妨取，此時(shí)是第二象限角，但，所以選項(xiàng)ABD均錯(cuò)誤，故選：C.2.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和差公式化簡(jiǎn)求值即可.【解析】.故選：A.3.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析和與1和0的關(guān)系，由正切函數(shù)性質(zhì)分析與1和0的關(guān)系，即可得出答案.【解析】，即，，且，即，由正切函數(shù)性質(zhì)可知，即，故，故選：A.4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)又在上是增函數(shù)，所以A正確.因?yàn)槎x域?yàn)椋栽诤褪窃龊瘮?shù)，所以B錯(cuò)誤.因?yàn)槭桥己瘮?shù)不是奇函數(shù)，所以C錯(cuò)誤.因?yàn)槎x域?yàn)椴痪邆淦媾夹?，所以D錯(cuò)誤.故選：A5.已知函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，所以，從而求出的取值范圍．【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是故選：C.6.已知命題p：，命題q：，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.[﹣1，2] B.（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D.（﹣1，2）【答案】B【解析】【分析】由是的充分不必要條件,則是的充分不必要條件,由得或，只需,即可.【解析】由得或,因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件,所以是的充分不必要條件,所以,解得或.故選:.【小結(jié)】本題考查充分必要條件求參數(shù)取值范圍問題,難度一般.7.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷a，b，c所在區(qū)間作答.【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上都單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上都單調(diào)遞減，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，，即有，，則，而，即，所以.故選：A8.如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形.設(shè)弧的長(zhǎng)度是，弧的長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，扇形周長(zhǎng)為定值，圓心角為，若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，圓心角為的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用扇形的周長(zhǎng)得到推得，再利用扇形的面積公式將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，從而得解.【解析】依題意，知，則，，因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，則，因?yàn)樯刃沃荛L(zhǎng)為定值，所以，則，因?yàn)?，扇形的面積為，則，對(duì)于，其開口向下，對(duì)稱軸為，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，即取得最大值，此時(shí)，.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.兩個(gè)角的終邊相同，則它們的大小相等B.C.若，則為第一或第四象限角D.經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過弧度【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A，可利用終邊相同的角的關(guān)系判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，利用誘導(dǎo)公式及特殊角的函數(shù)值，即可判斷出選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，通過取特殊角，即可作出判斷；選項(xiàng)D，利用角的定義即可作出判斷，從而得出結(jié)果.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，終邊相同的角相差倍，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為軸線角，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過半個(gè)圓，由角的定義知，分針轉(zhuǎn)過弧度，所以選項(xiàng)D正確，故選：BD.10.已知，且為銳角，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，并結(jié)合為銳角求解即可.【解析】解：因?yàn)?，所以，即所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以，所以故選：ABD11.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.為奇函數(shù) B.在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)C.的周期是 D.的最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性判斷A，由二倍角公式變形函數(shù)式，結(jié)合方程判斷B，根據(jù)周期的定義判斷C，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷D．【解析】由題，A錯(cuò)；由，可得（舍去），又，因此有兩解，B正確；因?yàn)?，，因此不可能是的周期，C錯(cuò)；因?yàn)?，∴時(shí)，取得最大值，D正確．故選：BD．12.已知函數(shù)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)正確的為（）A.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2B.實(shí)數(shù)的取值范圍為C.函數(shù)無最值D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)圖像可以判斷ABD，而選項(xiàng)C，結(jié)合分段函數(shù)的圖像性質(zhì)，分析得到兩個(gè)不等的實(shí)根，最后根據(jù)二次方程根的分布求出參數(shù)的取值范圍即可.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，可得函數(shù)圖像如圖：由圖知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；函數(shù)沒有最值，故C選項(xiàng)正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令則有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)楹愠闪ⅲO(shè)兩個(gè)不等的實(shí)根為，由韋達(dá)定理知：，則異號(hào)，由圖可知：，所以，解得，故B選項(xiàng)正確；故選：ABC【小結(jié)】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的值為______．【答案】【解析】【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可【解析】14.若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求解.【解析】,故答案為：15.已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將看作一個(gè)整體，變形后結(jié)合基本不等式的計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解析】因?yàn)椋?，設(shè)，則，且，原式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：416.已知函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，則________，________．【答案】①.②.【解析】【解析】由圖知函數(shù)的周期是，又知，，時(shí)，，故答案為(1)；(2).【方法小結(jié)】本題主要通過已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求是解題的關(guān)鍵.求解析時(shí)求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求時(shí)，可以先求出的所有的值，再根據(jù)題設(shè)中的條件，取特殊值即可.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)的象限符號(hào)即可求解；（2）由同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.【小問1解析】∵角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為∴∵∴∴.【小問2解析】原式又∵∴原式18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到或，即可求出結(jié)果；（2）分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪ⅲ纯汕蟪鼋Y(jié)果；當(dāng)時(shí)，由，得到或，再對(duì)進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果.【小問1解析】當(dāng)時(shí)，由方程，得到，所以或，解得或，故方程的解為或.【小問2解析】由，可得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，原不等式等價(jià)于，解得，此時(shí)不等式解集為；當(dāng)時(shí)，由，得到或，②當(dāng)時(shí)，，由，得到或，此時(shí)不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，方程僅有一根，即，此時(shí)不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，，由，得到或，此時(shí)不等式解集為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，方不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為.19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.若的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象.（1）求解析式；（2）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖像求出的解析式，再根據(jù)伸縮變換得到的解析式；（2）整體代入法求單調(diào)區(qū)間.【小問1解析】由題可得，，則，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，解得，又因?yàn)?，故，所以，則.【小問2解析】由（1）可知，令，則，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.則時(shí)，在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.20.已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)取何值時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立：（2）若在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)a分類討論，結(jié)合二次函數(shù)圖象及判別式法求解；（2）對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類討論，結(jié)合判別式法及零點(diǎn)存在定理列式求解，另外需要注意討論零點(diǎn)在的臨界情況.小問1解析】為二次函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，不等式不對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則有，解得.故當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；【小問2解析】i.當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，由，此時(shí)零點(diǎn)，符合題意；ii.當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，①當(dāng)，則由解得另一個(gè)零點(diǎn)為，符合題意；②當(dāng)，則由解得另一個(gè)零點(diǎn)為，符合題意；③當(dāng)，由零點(diǎn)存在定理，則有，解得.綜上，在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)解析式計(jì)算可得結(jié)果；（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可得結(jié)果；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象列式可得結(jié)果.【小問1解析】.【小問2解析】