2022-2023學年北師大版數(shù)學七年級上冊壓軸題：探索與表達規(guī)律（解析版）

2022-2023學年北師大版數(shù)學七年級上冊壓軸題專題精選匯編

專題05探索與表達規(guī)律

考試時間：120分鐘試卷滿分：100分

選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2022七上?城固期末）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的黑白兩種顏色的小正方形

組成的，按照這樣的規(guī)律，若組成的圖案中有2021個黑色小正方形，則這個圖案是（）

出種抬令

第1個圖案第2個圖案第3個圖案

A.第505個B.第506個C.第507個D.第508個

【答案】A

【完整解答】解：由圖可得，第1個圖案涂有黑色的小正方形的個數(shù)為5,

第2個圖案涂有黑色的小正方形的個數(shù)為5x2-l=9,

第3個圖案涂有黑色的小正方形的個數(shù)為5x3-2=13,

第n個圖案涂有黑色的小正方形的個數(shù)為5〃-（〃-1）=4〃+1,

4/7+1=2021

解得，/7=505.

故答案為：A.

【思路引導】由圖可得：第1個圖案涂有黑色的小正方形的個數(shù)為5；第2個圖案涂有黑色的小正方形的個

數(shù)為5*2-1=9；第3個圖案涂有黑色的小正方形的個數(shù)為5*3-2=13,推出第n個圖案涂有黑色的小正方形的

個數(shù)為4n+l,據(jù)此解答.

2.（2分）（2022七上?句容期末）觀察下列兩列數(shù)：

第一列：2,4,6,8,10,12,.......

第二列：2,5,8,11,14,17）.......

通過探究可以發(fā)現(xiàn)，第1個相同的數(shù)是2,第2相同的數(shù)是8,….…則第2022個相同的數(shù)在第一列中是

第（）個

A.6062B.6064C.6066D.6068

【答案】B

【完整解答】解：第1個相同的數(shù)是2,

第2個相同的數(shù)是8=2+6xl,

第3個相同的數(shù)是14=2+6x2,

第4個相同的數(shù)是20=2+6x3,

...9

第n個相同的數(shù)是2+6x（n-1）=6n-4,

...第2022個相同的數(shù)為6x2022-4=12128,

,第一列的數(shù)為2,4,6,8,10,…，2n,

12128=2n,

n=6064.

故答案為：B.

【思路引導】觀察可得：第n個相同的數(shù)是2+6x（n-D=6n-4,求出第2022個相同的數(shù)，第一列的數(shù)規(guī)律為

2n,據(jù)此計算.

3.（2分）（2021七上?章貢期末）根據(jù)下表中提供的四個數(shù)的變化規(guī)律，則X的值為（）

142638410n20

29320435554mX

第1個第2個第3個第4個第〃個

A.252B.209C.170D.135

【答案】B

【完整解答】解：觀察可知：

表格中左上的數(shù)為從1開始的連續(xù)自然數(shù)，

左下的數(shù)為從2開始的連續(xù)自然數(shù)，

右上的數(shù)為左下的數(shù)的2倍，

右下角的數(shù)等于右上角與左下角的兩個數(shù)的積與左上角數(shù)的和，

，11=20+2-1=9,m=20+2=10,

x=20m+n=209,

故答案為：B.

【思路引導】通過觀察可知，n所在的位置的數(shù)是1,2,3……的自然數(shù)，m=n+l,第一行第一個是2的

倍數(shù)，由20可知n=9,則可求出m=10,再由x=20m+n即可求解。

4.（2分）（2021七上?槐蔭期末）將一列有理數(shù)一1,2,-3,4,-5,6……按如圖所示進行排列，則2022

應(yīng)排在（）

810BD

“—?2/-/'ll-?-----/X

A.幺位置B.8位置C.。位置D.￡位置

【答案】A

【完整解答】解：由題可知，

每個凸起對應(yīng)5個數(shù)字，這些數(shù)字的奇數(shù)都是負數(shù)，偶數(shù)都是正數(shù)，

,/（2022-1）-5=2021-5=404……1,

A2022應(yīng)排在A位置，

故答案為：A.

【思路引導】根據(jù)圖中的數(shù)字可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而求得2022應(yīng)排在哪個位置即可得出答案。

5.（2分）（2021七上?封開期末）已知整數(shù)％、？、%、?4...........滿足下列條件：q=T,

a2=~\ax+2|,a3=-\a2+3|,a4=-|a3+4|,ail+i=-\an+n+]\（n為正整數(shù)）依此類推，則4022

的值為（）

A.-1010B.-2020C.-1011D.-2022

【答案】C

【完整解答】解：4=0

%=-+i|=—|o+i|=-1

%=-1。2+2]=-1-1+2|=-1

%=一回+*=-卜1+3|=-2

a5=—|o4+4|=—|—2+4|=-2

17—1VI

是奇數(shù)時，結(jié)果等于-，〃是偶數(shù)時，結(jié)果等于-一

22

口2022=-=-1011

故答案為：C

【思路引導】先將數(shù)據(jù)代入計算可得前幾項的結(jié)果，再通過觀察和歸納可得：n是奇數(shù)時，結(jié)果等于

17—1VI

-----，"是偶數(shù)時，結(jié)果等于-一，最后將n-2022代入計算即可。

22

6.（2分）（2021七上?黃埔期末）如圖所示，由一些點組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個頂點）

有n（n>l）個點，當n=ll時，該圖形總的點數(shù)是（）

}j=2w=3?j=4M=5

A.27B.30C.33D.36

【答案】B

【完整解答】解：當n=2時，有3x2-3=3個點，

當n=3時，有3x3-3=6個點，

當n=4時，有4、3-3=9個點，

第n個圖形中有3n-3個點，

當n=ll時，3n-3=3x11-3=30.

故答案為：B.

【思路引導】觀察已知圖形可得規(guī)律：第n個圖形中有（3n-3）個點，把n=l1時代入計算即可.

7.（2分）（2021七上?樂平期末）一段跑道長100米，兩端分別記為點A、B.甲、乙兩人分別從A、B兩

端同時出發(fā)，在這段跑道上來回練習跑步，甲跑步的速度是6m/s,乙跑步的速度為4m/s,練習了足夠長時

間，他們經(jīng)過了多次相遇，相遇點離A端不可能是（）

A.60米B.0米C.20米D.100米

【答案】B

【完整解答】解：設(shè)跑步時間為ts,

第一次相遇：100=6t+4t

/=10,

.??相遇點距A為60米，故A不符合題意；

第二次相遇：300=67+4f,

/=30,

6x30=180（米）,

...相遇點距A為20米，故C不符合題意；

第三次相遇：500=6t+4t,

t=50,

6x50=300（米），

.?.相遇點距A為100米，選項D說法符合題意，不符合題意；

第四次相遇：700=6t+4t,

t=70,

6x70=420（米），

???相遇點距A為20米；

第五次相遇：900=6t+4t,

t=90,

6x90=540（米9

.??相遇點距A為60米；

綜上，相遇點離A端不可能是0米，

故答案為：B.

【思路引導】設(shè)跑步時間為ts,第一次相遇：100=6/+由，第二次相遇：300=6/+射，第三次相遇：

500=6t+4t,第四次相遇：700=6t+4t,第五次相遇：900=6t+4t,分討論即可。

8.（2分）（2021七上?香洲期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20,第一次操作：分

別取線段AM和AN的中點M”N1；第二次操作：分別取線段AM1和ANi的中點M2,N2；第三次操作:

分別取線段AM2和AN?的中點M3,N3；…連續(xù)這樣操作10次，則MioNio=（）

A_*3V3kl立MMN3/

202020

A.2B.C.跡D.研

【答案】c

【完整解答】解：???線段MN=20,線段AM和AN的中點Ml，NP

AMiN^AMi-ANi

11

=-AM--AN

22

=—(AM-AN)

2

1

=-MN

2

=10.

???線段AMi和AN1的中點M2,N2；

.?.M2N2=AM2-AN2

11

=一AMi--ANi

22

1

=一(AMi-ANi)

1

=-MiNi

11

=-x—x20

22

1

丁20

=5.

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

1

乂”產(chǎn)就⑶

1

.'.MioNio=^yyx20.

故答案為：C.

【思路引導】先求出MiN]=10,再找出規(guī)律求出MnNn=1x20,最后作答即可。

9.（2分）（2021七上?鞍山期末）已知動點A在數(shù)軸上從原點開始運動，第一次向左移動1厘米，第二次

向右移動2厘米，第三次向左移動3厘米，第四次向右移動4厘米，……，移動第2022次到達點B,則點B

在點A點的（）

A.左側(cè)1010厘米B.右側(cè)1010厘米

C.左側(cè)1011厘米D.右側(cè)1011厘米

【答案】D

【完整解答】解：動點A在數(shù)軸上從原點開始運動，第一次向左移動1厘米，第二次向右移動2厘米,

則此時對應(yīng)的數(shù)為：-1+2=1,

第三次向左移動3厘米，第四次向右移動4厘米，

則此時對應(yīng)的數(shù)為：1+（-3）+4=2,

所以每兩次移動的結(jié)果是往右移動了1個單位長度，

?/2022+2=1011,

所以移動第2022次到達點B,則6對應(yīng)的數(shù)為：1011,

所以點B在點A點的右側(cè)1011厘米處.

故答案為：D

【思路引導】先根據(jù)題干中點移動的規(guī)律，求出前幾次的結(jié)果，即可得到規(guī)律，再利用2022+2=1011,即

可得到點B表示的數(shù)。

10.（2分）（2021七上?五常期末）觀察圖中給出的四個點陣，s表示每個點陣中的點的個數(shù)，按照圖形中

的點的個數(shù)變化規(guī)律，猜想第n個點陣中的點的個數(shù)$為（）.

第1個第2個第3個第4個

3=13=53=93=13

A.3n-2B.3n-lC.4n+lD.4n—3

【答案】D

【完整解答】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)是1,后邊是依次加4,則第n個點陣中的點的個數(shù)是

1+4（n-1）=4n-3.

故答案為：D.

【思路引導】由已知圖形可知第1個圖形點的個數(shù)是1,第2個圖形點的個數(shù)是1+4,第3個圖形點的個

數(shù)是1+4x2；第4個圖形點的個數(shù)是1+4x3；從而得出第n個圖形點的個數(shù)是1+4*（n-1）,據(jù)此判斷即可.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）（2022七上?巴中期末）如圖所示的幾何體都是由棱長為1個單位的正方體擺成的，經(jīng)計算可得

第①個幾何體的表面積為6個平方單位，第②個幾何體的表面積為18個平方單位，第③個幾何體的表面積

是36個平方單位，…依此規(guī)律，則第⑩個幾何體的表面積是個平方單位.

【答案】330

【完整解答】解：根據(jù)題意得：第①個幾何體的表面積為6=6x1個平方單位,

第②個幾何體的表面積為18=6x3=6x（l+2）個平方單位,

第③個幾何體的表面積是36=6x6=6x0+2+3）個平方單位,

由此發(fā)現(xiàn)，第⑩個幾何體的表面積是6x（l+2+3+---+10）=6x^|^=330個平方單位.

故答案為：330.

【思路引導】根據(jù)圖形可得：第①個幾何體的表面積為6=6x1個平方單位；第②個幾何體的表面積為

18=6x（l+2）個平方單位；第③個幾何體的表面積是36=6x（l+2+3）個平方單位，據(jù)此可推出第⑩個幾何體的

表面積.

12.（2分）（2022七上?匯川期末）如圖，1條直線最多將平面分成2個部分，2條直線最多將平面分成4個

部分，3條直線最多將平面分成7個部分，4條直線最多將平面分成11個部分，5條直線最多將平面分成

16個部分，6條直線最多將平面分成22個部分，則49條直線最多將平面分成個部分.

【答案】1226

【完整解答】解：1條直線最多將平面分成2個部分，而2=1+1,

2條直線最多將平面分成4個部分，而4=1+1+2,

3條直線最多將平面分成7個部分，而7=1+1+2+3,

4條直線最多將平面分成11個部分，而11=1+1+2+3+4,

5條直線最多將平面分成16個部分，而16=1+1+2+3+4+5,

6條直線最多將平面分成22個部分，而21=1+1+2+3+4+5+6,

總結(jié)歸納可得：

n條直線最多將平面分成1+1+2+3+…+〃=]+小+1）=小+1）+2個部分，

22

當19時，〃（什D+2=49x50+2“Ze,

22

所以49條直線最多將平面分成1226個部分.

故答案為：1226.

【思路引導】由圖形可得：1條直線最多將平面分成2=1+1個部分；2條直線最多將平面分成4=1+1+2個部

分；3條直線最多將平面分成7=1+1+2+3個部分；4條直線最多將平面分成11=1+1+2+3+4個部分，推出n

條直線最多將平面分成的個數(shù)，據(jù)此計算.

13.（2分）（2021七上?揭東期末）一只兔子落在數(shù)軸的某點P。上，第1次從P。向左跳1個單位到匕，第2

次從P1向右跳2個單位到P2，第3次從P2向左跳3個單位到P3，第4次從P3向右跳4個單位到P4，

若按以上規(guī)律跳了100次時，兔子落在數(shù)軸上的點P100所表示的數(shù)恰好是2021,則這只兔子的初始位置Po

所表示的數(shù)是.

【答案】1971

【完整解答】解：設(shè)這只小兔子的初始位置點Po所表示的數(shù)是a,

則Pi表示的數(shù)是a-1,

P2表示的數(shù)是a+1,

P3表示的數(shù)是a-2,

P4表示的數(shù)是a+2,

...,

「?P100表示的數(shù)是a+50,

???點Pioo所表示的數(shù)恰好是2021,

.*.a+50=2021,

解得a=1971,

故答案為：1971.

【思路引導】根據(jù)向左為負，向右為正，列出算式計算即可。

14.（2分）（2021七上?東莞期末）如圖是由一些火柴棒搭成的圖案：按照這種方式擺下去，則擺第

個圖案用了2021根火柴棒.

【答案】505

【完整解答】由題目得，第①個圖案所用的火柴數(shù)：1+4=1+4、1=5,

第②個圖案所用的火柴數(shù)：1+4+4=1+4X2=9,

第③個圖案所用的火柴數(shù)：1+4+4+4=1+4x3=13,

依此類推，

由規(guī)律可知5=4xl+l,9=4x2+l,13=4x3+1,

第n個圖案中，所用的火柴數(shù)為：l+4+4+...+4=l+4xn=4n+l；

故擺第n個圖案用的火柴棒是4n+l；

根據(jù)規(guī)律可知4n+1=2021得，n=505.

【思路引導】先求出由規(guī)律可知5=4xl+l,9=4x2+l,13=4x3+1,再求出擺第n個圖案用的火柴棒是4n+l,

最后列方程求解即可。

15.（2分）（2021七上?歷下期末）設(shè)一列數(shù)%,%，%，％，……中任意三個相鄰數(shù)之和都是50,已知

“3=%—3，口2021=17,則%022=-

【答案】15

【完整解答】解：；一列數(shù)為，。2，。3，%，……中任意三個相鄰數(shù)之和都是50,

.?.7-3=2...1,20214-3=673...2,

??ayJ^^2021,17,

?/a1+利+/=50,

貝|Jq+17+4—3=50,

解得q=18，

。3=。7—3=15,

?.■2022+3=674,

??^^2022^^3]5.

故答案為：15.

【思路引導】先求出卬+17+%—3=50,再求出q=18,最后計算求解即可。

16.（2分）（2022七上?松桃期末）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學思維，觀察下列算式和圖形:

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

請用上面的規(guī)律計算：

1001+1003+1005+1007+……+2019+2021=.

9春*京爍券

7爍自自決豪

5*煤*像0

3**爍0像

1券*自券春

【答案】772121

【完整解答】解：觀察以下算式：,

1=1=口，

1+3=4=22,

1+3+5=9=32,

1+3+5+7=16=42,

1+3+5+7+9=25=52,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

1+3+5+7+9+...+2n-l=n2.

二1+3+5+7+9+...+999=5002,

1+3+5+7+9+...+2021=10112,

.*.1001+1003+1005+1007+……+2019+2021=10112-5002=772121.

故答案為：772121.

【思路引導】觀察已知等式可得規(guī)律l+3+5+7+9+...+2n-l=n2,由于

1001+1003+1005+1007+……+2019+2021=（1+3+5+7+9+...+2021）-（1+3+5+7+9+...+999）,禾U用

規(guī)律計算即可.

17.（2分）（2021七上?海曙期末）小明同學利用計算機設(shè)計了一個程序，輸入和輸出的情況如下表。他發(fā)

現(xiàn)從第三個輸出項起的每一項都與這一項的前面兩個輸出項有關(guān)。按此規(guī)律，從1開始一直輸入到2022

后，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)的項共有個.

輸入12345678……

26310&26

輸出a3b24ab27加llab18ab29^ab……

【答案】674

【完整解答】解：輸入1時，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)；

輸入4時，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)；

輸入7時，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)；

輸入3n+l時，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)，

：2022=3X674

...從1開始一直輸入到2022后，輸出項的系數(shù)與次數(shù)均為奇數(shù)的項共有674個

故答案為：674.

【思路引導】單獨把滿足題意的項列出來，通過n找規(guī)律，從而得出結(jié)果。

18.（2分）（2020七上?南沙期末）已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64............22020-22019

的個位數(shù)字是.

【答案】8

【完整解答】解：'：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,

...每運算四次個位數(shù)循環(huán)一次，

?/22020-22019=22019(2-1)=22019,

：2019+4=504…3,

.?.22020_22019的個位數(shù)與23的尾數(shù)相同，

.?.22。2。-22。19的個位數(shù)字是8,

故答案為：8.

【思路引導】觀察己知等式可知每運算四次個位數(shù)循環(huán)一次，易求22。2。-22019=22019(2-1)=22019,由于

2019+4=504...3,可得22。K的個位數(shù)與23的尾數(shù)相同，即得結(jié)論.

19.(2分)(2021七上?云夢期末)一只昆蟲從點A處出發(fā)，以每分鐘2米的速度在一條直線上運動，它先

前進1米，再后退2米，又前進3米，再后退4米，…依此規(guī)律繼續(xù)走下去，則運動1小時時這只昆蟲與A

點相距米.

【答案】8

【完整解答】解：1小時=60分，

規(guī)定昆蟲每前進一次和后退一次為一運動周期，則設(shè)昆蟲的運動周期數(shù)為“，每一周期所用總時間為九

設(shè)每周期前進的距離為S,則s=2(〃—1)+1=2〃—1；

由題意可得：/=2(〃—1)+1.5=2〃—0.5；

假設(shè)昆蟲運動所用總時間為T；則

T=(2x1-0.5)+(2x2-0.5)+(2x3-0.5)+...+(2x?-0.5)=2(1+2+3+…+")-0.5〃=7+0.5〃；

當T=60分時，代入上式中可得〃=7但還剩余7.5分鐘，由公式/=2(〃—1)+1.5=2〃—0.5可得第8周

需要15.5分鐘，但是每一周期中后退時間比前進時間多0.5分鐘，所以在第8周期中前進時間為7.5分鐘,

后退時間為8分鐘.

由于運動一個周期后退一米，所以運動7個周期就后退7米，由于在60分鐘內(nèi)運動完7周期后正好剩余7.5

分鐘，這樣在第8周期就正好前進的距離5=2x8-1=15米，故運動1小時時這只昆蟲與N點相距為

15—7=8米.

故答案為：8.

【思路引導】由于這只昆蟲的速度為2米/分鐘，所以“前進1米，再后退2米”共用了1.5分鐘，此時實際

上向后只退了一米；“前進3米，再后退4米”共用了3.5分鐘，此時實際上也只向后退了一米.由此不難看

出，后一次運動比前一次多用2分鐘，每次實際上都是向后退一米.然后根據(jù)規(guī)律列式計算即可求解.

20.(2分)(2021七上?奉化期末)將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進行排列：

0②

圖中黑色圓點的個數(shù)依次為1,3,6,10,……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排

列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第10個數(shù)為,第55個數(shù)為.

【答案】120；3486

【完整解答】解：第①個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：1,

第②個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：2義（,+1）=3,

第③個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：3?＜（3+1）=6,

2

4x（4+*1）

第④個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：--—-=10,

2

第n個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為"（"+D，

2

.?.這列數(shù)為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,

,其中每3個數(shù)中，就有2個能被3整除，

10-2=5（組）,

二第10個能被3整除的數(shù)為原數(shù)列中的個數(shù)為5x3=15（個），

15x（15+1）

/.——---------=120,

2

V55-2=27（組）....1,

.?.第55個能被3整除的數(shù)為原數(shù)列中的個數(shù)為27x3+2=83（個）

83x（83+1）

?.——----------=3486,

2

故答案為：120,3486.

【思路引導】由前4幅圖黑色圓點的個數(shù)總結(jié)出規(guī)律：第n個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為:

2

再判斷其中能被3整除的個數(shù)，得出每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，再計算出第10和55個能被3整

除的數(shù)所在的組為原數(shù)列中的個數(shù)，代入式中計算即可.

三.解答題（共9題，滿分60分）

21.（5分）（2021七上?番禺期末）圖1中，有一個平行四邊形；

圖2中，由2個相同的平行四邊形拼成一排的圖形，這圖形中可以找到3個平行四邊形；

圖3中，由3個相同的平行四邊形拼成一排的圖形，這圖形中可以找到6個平行四邊形；

/-----7//7////

圖1圖2圖3

由此我們可以提出一個這樣的問題：

圖4中，由4個相同的平行四邊形拼成一排的圖形中，可以找到幾個平行四邊形？

/////

圖4

答：10個

請你根據(jù)以上事實，將一些相同的平行四邊形橫向或縱向拼接，由此提出一個數(shù)學問題，并寫出答案.

【答案】解：問題：第22個圖有多少個平行四邊形？

V圖1中平行四邊形的個數(shù)為：1,

圖2中平行四邊形的個數(shù)為：3=1+2,

圖3中平行四邊形的個數(shù)為：6=1+2+3,

圖4中平行四邊形的個數(shù)為：10=1+2+3+4,

二第n個圖中平行四邊形的個數(shù)為：1+2+3+...+//=-（-+1）,

2

二第22個圖中平行四邊形的個數(shù)為：22x（22+1）=253.

2

【思路引導】先結(jié)合圖形歸納總結(jié)出規(guī)律：第n個圖中平行四邊形的個數(shù)為：1+2+3+...+/;=-（-+1）,

2

再將n=22代入計算即可。

22.（5分）（2021七上?七星關(guān)期中）請你仔細閱讀下列材料，計算:

閱讀下列材料：計算

1111

解法一:原式==-?_____?_____

12312-412-12

解法二:原式=

解法三：原式的倒數(shù)為

—)x12

3412123412

上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤的解法，你認為解法是錯誤的.

請你選擇合適的解法解答下列問題：計算：（----）+（----------1---------）

3031065

11111

【答案】解：解法一：原式____I___

12312'412'124312

解法二：原式+小備小136」

126122

解法三：原式的倒數(shù)為

—)xl2=-xl2--xl2+—xl2=4-3+1=2,

34121234123412

上述得到的結(jié)果不同，所以我認為解法一是錯誤的;

故答案為一;

(一］)+c|一±+：一|')的倒數(shù)為

3031065

2112、，1、

(z----------1---------)+(------)

3106530

,2112、，…

=(---------1--------)x(—30)

31065

=|-x(-30)--^-x(-30)+-1x(-30)-1-x(-30)

31065

=-20+3-5+12

=-10；

1

10

【思路引導】根據(jù)題干提供的三種方法分別完成后面的步驟，然后比較結(jié)果，即可判斷；再根據(jù)解法三,

先計算原式的倒數(shù)，則可求出原式的值.

23.（5分）（2021七上?成都月考）從2開始，連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和的情況如下所示:

2=1x2

2+4=6=2*3

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

2+4+6+8+10=30=5x6

若用n表示連續(xù)相加的偶數(shù)的個數(shù)，用S表示其和，那么S與n之間有什么樣的關(guān)系？請用公式表示出

來，并由此計算2+4+6+...+2022的值.

【答案】解：觀察上述等式，所得的規(guī)律是：從2開始連續(xù)偶數(shù)的和，等于相加的偶數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)加1

的和的積，即5=2+4+64—+(2〃-2)+2〃=〃(〃+1)

???2+4+6+...+2022=1011x(1011+1)=1023132.

【思路引導】觀察上述等式，總結(jié)出規(guī)律：從2開始連續(xù)偶數(shù)的和，等于相加的偶數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)加1

的和的積，即S=n(n+1),根據(jù)規(guī)律代值計算即可.

24.(7分)(2020七上?河西期末)如圖所示，由一些點組成形如三角形的圖形，每條“邊”(包括兩個頂點)

有〃(〃>1)個點，每個圖形的總點數(shù)記為S.

???????

??????????????

n=2n=3n=4n=5

(1)(1分)當n=4時，S的值為；當n=6時，S的值為:

(2)(1分)每條地”有〃個點時的總點數(shù)S是(用含〃的式子表示)；

(3)(4分)當?=2021時，總點數(shù)S是多少？

【答案】⑴9；15

(2)S=3n-3

(3)解：當M=2021時，總點數(shù)S=3'(2021-1)=3x2020=6060個點

【完整解答】解：第一個圖形有S=3=3'(2-1)個點,

第二個圖形有S=6=3'(3-1)個點,

第三個圖形有S=3'(4-1)=9個點，

第四個圖形有S=3'(5-1)個圓，

故第n-1個圖形有$=3(〃-1)個圓，

(1)n=4,第三個圖形有S=3'(4-1)=9個點，

當n=6時，第五個圖形有S=3'(6-1)=15個點，

故答案為：9,15；

(2)每邊有n個點時，每邊減去一個頂點上的點，有(n-1)個點，一共三條邊，共有點數(shù)為S=3(n-1)

=(3n-3)個點；

【思路引導】根據(jù)題意可知屬于找規(guī)律題型，根據(jù)前四組圖形可得出規(guī)律為3（〃-1）,把4,6,2021代入

即求值即可.

25.（8分）（2021七上?順德期末）將連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7,9,……排成如圖所示的數(shù)表.

3133353739

（1）（4分）寫出數(shù)表所表示的規(guī)律；（至少寫出4個）

（2）（4分）若將方框上下左右移動，可框住另外的9個數(shù).若9個數(shù)之和等于297,求方框里中間數(shù)是

多少？

【答案】（1）解：規(guī)律有：①第一列個位數(shù)都是1,②每行只有5個奇數(shù)，③每行相鄰兩個數(shù)的和是2的倍

數(shù)，④每列相鄰的兩個數(shù)相差10.

（2）解：設(shè)方框里中間數(shù)為x,則另外8個數(shù)為x—2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,

x—8>x+8,

由題意得，x—2+x—2+x—lO+x+10+x—12+x+12+x—8+x+8+x=297

9x=297,

x=33,

則方框里中間數(shù)是33.

【思路引導】（1）根據(jù)數(shù)表寫出規(guī)律即可；

（2）設(shè)方框里中間數(shù)為x,則另外8個數(shù)為x—2,x+2,x-10,x+10,x-12,x+12,x-8,

x+8,9個數(shù)的和為297,列出方程求解即可。

26.（9分）（2021七上?和平期末）觀察圖，解答下列問題.

①②③④

QgO0

OO0

Oo0

OoOOI0

（1）（1分）圖中的圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓

圈，…，第六層有11個圓圈.如果要你繼續(xù)畫下去，第〃層有個圓圈.

(2)(1分)某一層上有65個圓圈，這是第________層.

(3)(3分)數(shù)圖中的圓圈個數(shù)可以有多種不同的方法.比如：前兩層的圓圈個數(shù)和為(1+3)或22,由

此得，1+3=22,同樣：由前三層的圓圈個數(shù)和得：1+3+5=32,由前四層的圓圈個數(shù)和得：

1+3+5+7=42,…根據(jù)上述規(guī)律，從1開始的"個連續(xù)奇數(shù)之和是多少？用"的代數(shù)式把它表示出來

(4)(4分)運用(3)中的規(guī)律計算：73+75+77+…+153.

【答案】(1)(2n-l)

(2)33

(3)解：?.,前兩層的圓圈個數(shù)和為1+3=22,由前三層的圓圈個數(shù)和得：1+3+5=32,由前四層的圓圈

個數(shù)和得：1+3+5+7=42,…

；?1+3+5+…+(2n-l)=n2；

故答案為：n2；

(4)解：原式=(1+3+5+…+153)-(1+3+5+…+71)

153+1o71+1、、、

=(-----)2-(-----)2==772-362=5929-1296=4633

22

【完整解答】解：(1)1?第一層有1個圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈，第六層有11個圓

圈.…

.?.第n層有(2n-l)個小圓圈；

故答案為：(2n-l)；

(2)令2n-l=65,

解得n=33.

,這是第33層；

故答案為：33；

【思路引導】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得每一層小圓圈的個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，據(jù)此即得規(guī)律：第n層有(2n-l)

個小圓圈；

(2)利用(1)規(guī)律解答即可；

(3)根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知：前n層的圓圈個數(shù)和等于首位數(shù)字平均數(shù)的平方，據(jù)此即得結(jié)論；

(4)根據(jù)(3)中的規(guī)律進行計算即可.

27.(5分)(2021七上?豐臺期末)“格子乘法”作為兩個數(shù)相乘的一種計算方法，最早在15世紀由意大利數(shù)

學家帕喬利提出，在明代數(shù)學家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書中被稱為“鋪地錦”.

例如：如圖1,計算46x71,將乘數(shù)46寫在方格上邊乘數(shù)71寫在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字

乘以乘數(shù)71的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加得3266

(1)(1分)如圖2用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，貝l|x=,y=；

(2)(1分)如圖3,用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，得2176,則m=,n=:

(3)(1分)如圖4,用“格子乘法”計算兩個兩位數(shù)相乘，貝ijk=.

【答案】(1)3；2

(2)1；2

(3)5

【完整解答】解：(1)解：設(shè)方格右邊的兩位數(shù)的十位數(shù)字為r,由“格子乘法”法則可知，

9r=63,解得，r=7；

所以，7x=21,解得，x=3；

10+j=3x4,解得，y=2-

故答案為：3,2

x9

(2)由題意bd=16.QC=18,be=10m+2,ad-10〃+4,

aded=(10〃+4)(10加+2)=16x18=288,

畫出“格子乘法”如圖：

因為積為三位數(shù)，故左上角數(shù)字為0,陰影斜行和為2,當mn=l時，m=l,n=l三個三角形中只有中間的

數(shù)為mn,另兩個為0,不符合題意；當mn=2時，三個三角形中只有中間的數(shù)為mn,另兩個為0,其他格

子填數(shù)如圖；

根據(jù)“格子乘法”法則得，mn=2,4加+2〃=8,

因為m、n為正整數(shù)，

和n的值分別為1和2.

另解：根據(jù)乘積為2176可知表格如圖:

由“格子乘法''法則得，"+8+加=11,即〃+加=3,當冽=1,〃=2時，符合題意當加=2,〃=1時,

be=22,因為22=2x11=1x22,不符合題意，舍去；

故答案為：1,2

（3）解：設(shè)方格右邊的兩位數(shù)的十位數(shù)字為e,由“格子乘法”法則可知,

則有10（6—左一e）+左+2=7e,

因為k、e為正整數(shù)，

解得：k=5,e=l.

故答案為：5

【思路引導】（1）由7x=21,10+y=3x4,即可求出x、y的值；

（2）由題意得出bd=16.ac=18,be=10m+2,ad=10?+4,即可得出m、n的值；

（3）根據(jù)運算法則，將表格補充，得出10（6-左-e）+左+2=7e即可求出k的值。

28.（7分）（2021七上?上虞期末）如圖是一個運算程序的示意圖.輸入一個整數(shù)便能按圖中程序進行計算.

（1）（1分）設(shè)輸入數(shù)x為18,那么根據(jù)程序，第1次計算的結(jié)果是9,第2次計算的結(jié)果是4…，按這

樣的程序計算下去，第5次計算的結(jié)果為；程序最終輸出結(jié)果為

（2）（5分）若輸入某數(shù)x后，程序依次交替進行兩種運算，且最后輸出結(jié)果為1.請嘗試通過分析，判

斷輸入數(shù)x是奇數(shù)還是偶數(shù)？進一步借助計算，直接寫出該輸入數(shù)X.

【答案】（1）-4；-4

（2）解：根據(jù)題意，交替進行兩種運算，則

第2021次計算的結(jié)果為1=1+6x0,則第2020次計算的結(jié)果為2=2x（l+6x0）,

第2019次計算的結(jié)果為7=1+6x1,則第2018次計算的結(jié)果為14=2x（l+6xl）,

第2017次計算的結(jié)果為19=l+6xl+6x2,則第2016次計算的結(jié)果為38=（l+6xl+6x2）x2,

第2015次計算的結(jié)果為43=1+6+6x1+6x2+6x4,則第2014次計算的結(jié)果為

86=2x0+6+6x1+6x2+6x4）,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第〃次（奇數(shù)次）計算的結(jié)果為1+6x2。+6x21+6x2?+…+6X2*T（〃為小于

2017的奇數(shù)），

（2021-"

則第（?-1）次計算的結(jié)果為2x1+6x2°+6x2*+6X22+---+6X22（n為小于2017的奇

7

數(shù)）,

則第3次計算的結(jié)果為1+6x2°+6x21+6x2?+…+6x2^8,則第2次計算的結(jié)果為

2x（1+6x2°+6x2*+6X22+---+6X21008）

???第一次輸入的數(shù)為1+6x2°+6x21+