2022-2024北京重點(diǎn)校高二（上）期末匯編：平面向量的應(yīng)用

2022-2024北京重點(diǎn)校高二（上）期末匯編

平面向量的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024北京海淀高二上期末）在VA3C中，AB=5,BC=3,sinZBAC=~,則我.昌等于（）

A.-16B.-9C.9D.16

二、填空題

2.（2023北京延慶高二上期末）已知A48C中，b=2,c=6,3=30。，貝|sinC=,。=.

3.（2023北京清華附中高二上期末）若在?次=法2=+，且|叫=1,貝,CPAB的

最大值為.

三、解答題

4.（2022北京第五十七中高二上期末）如圖，在A慫C中，。是3C上的點(diǎn)，AB=36,BD=4,C=g再從

條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

（2）ACD的面積.

條件①：AD=\/1；條件②：AC-3.

5.（2023北京第五中學(xué)高二上期末）AW中，已知6cost+cos"+“=0.AC邊上的中線為

⑴求23；

（2）從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使A/8C存在且唯一確定，并求AC和的長度.

222

條件①：a-b+c-3c=0;條件②a=6；條件③5Ase=15A/5.

6.（2023北京清華附中高二上期末）在中，角A5,C所對的邊分別為a,6,c,現(xiàn)有下列四個(gè)條件：

①6（a?+c2-Z?2=-lac'②cos￡=；③a=A/3；④b=2.

（1）條件①和條件②可以同時(shí)成立嗎？請說明理由；

（2）請從上述四個(gè)條件中選擇三個(gè)條件作為已知，使得VA5C存在且唯一，并求VA5C的面積.

7.（2024北京海淀高二上期末）在銳角A46c中，sin2B=囪cos3/=1.

⑴求二3；

（2）求AN8C周長的最大值.

參考答案

1.C

【分析】利用正弦定理可得ZAC5=1TT,進(jìn)而得到.與匿夾角的余弦值，代入數(shù)量積公式即可求解.

BCAB

【詳解】在VABC中，由正弦定理可得

sinZBAC-sinZACB'

TT

所以sinZACB="sinZR4c=1,gpZACB=-,

BC2

3

令與CB的夾角為a,則cosa=cosNABC=cos^-ZBAC=sinZBAC=-

5

所以-CB=|ABl|CB|cos=9,

故選：C

3+V13

2.

4-2-

【分析】分別利用正弦定理和余弦定理列方程，解方程即可.

【詳解】根據(jù)正弦定理得正=」一，解得sinC=3,

sinCsin3004

解得”叵或土巫（舍

根據(jù)余弦定理得〃2=a2+。2-2accos30。，代入可得4=a2+3-2^3xa,

222

去）.

故答案為：①"；②把叵

42

3.2-2

【分析】由器2=1器F=4即可求,耳，結(jié)合已知條件可得C在過8點(diǎn)垂直于48的直線上，而P在以A為

圓心，1為半徑的圓周上，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷CPAB的最大時(shí)RC的位置，即可確定最大值.

【詳解】由翳斗翳三4，可得網(wǎng)=2,

由題設(shè)，c在過B點(diǎn)垂直于AB的直線上，而P在以A為圓心，1為半徑的圓周上，若CO=AB，如下圖示,

D

B

?e.CPAB=CPCD，要使的最大，只需4尸,8共線，CP在CO上的投影最短，

由圖知：A,P,B共線時(shí)，CP-AB的最大為-2.

故答案為：2,-2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知條件將向量轉(zhuǎn)化為圖形形式，數(shù)形結(jié)合法分析CPA3的最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置,

即可求最大值.

4.（1）5=2,具體選擇見解析；（2）述.

62

【解析】選擇條件①：（1）利用余弦定理即可求解；

（2）由（1）可得VABC為直角三角形，利用三角形的面積公式：S=：absinC即可求解.

選擇條件②：（1）利用正弦定理即可求解.

（2）由（1）可得VABC為直角三角形，利用三角形的面積公式：S=g“bsinC即可求解.

【詳解】選擇條件①：

解:（1）在4M￡>中48=3后,5。=4,4。=甘，

由余弦定理，得

AB2+BD2-AD2_（3局+4?-廳V3

C°-2AFBB-=2x373x4=T-

因?yàn)?<3<%，

所以8=三

（2）由（1）知，B=I，

6

因?yàn)閏=1，所以NBAC=].

所以VABC為直角三角形.

所以AC=3,BC=6.

又因?yàn)?。=4,所以CD=2.

所以S"=-AC-CDsinC=lx3x2x^=也.

2222

選擇條件②：

JT

解：（1）在VA6C中,AC=3,Afi=C=—.

上丁啟一苗ACAB/口.八1

由正弦定理得sm5=7.

smBsinC2

由題可知0<5<。=/，

所以3=三

（2）由（1）知，8=9，

O

因?yàn)閏=?所以NBAC=：

所以VABC為直角三角形，

得3c=6.

又因?yàn)锽D=4,所以CD=2.

所以S=-AC-CD-sinC=lx3x2x.^=空.

2222

27r

5.d)B=—

(2)選擇條件②和條件③；AC=14,BD=V19.

【分析】（1）利用三角恒等變換對已知等式進(jìn)行化簡，即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯(cuò)誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角形面積公式可

得c=10,利用余弦定理可得匕=14,在VABC中，利用正弦定理可得sinA=，進(jìn)而得到cosA=「，在

1414

中利用余弦定理可得M.

71

【詳解】（1）解：因?yàn)镚eosB1+cosf+B=0,

pill5/3cos—cosB+sin—sinB+cos—cosB-sin—sinB=0,

I33JI66J

6；cosB+^_sin5]+1-^cosB—；sin5=\/3cosB+sinB=2sinj=0,

TTDTT

又0<B〈不,解得：B+1=%，故3=彳.

27r

(2)解：由(1)得NA3C=-^~,

〃2+2_序1

又余弦定理得：cosWC/十一一，=」,所以—〃2=—的,

2ac2

而條件①中3c=0,所以a=—3,顯然不符合題意，即條件①錯(cuò)誤,

由條件②〃=6,條件③3ABe=gacsinZA5C=154，解得。=1。，

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosZA8C=36+100+60=196,所以6=14.

b,解得sinA考

在VABC中，由正弦定理可得

sinAsinZABC

JT13

X0<A<—,所以cosA=—,

因?yàn)?。為AC邊上的中線，所以AD=CZ）=7,

在中，由余弦定理可得BL＞。=482+402-245x40x854=19,解得

故AC=14,8D=&?.

2-A/2

（2）若選①③④時(shí)，VABC存在且唯一，此時(shí)面積為SMe

2

若選②③④時(shí)，存在且唯一，此時(shí)面積為

VABCAoC2

【分析】（）由余弦定理化簡①，由余弦函數(shù)的性質(zhì)化簡②，再由［兀＜＜兀與矛盾

13A=g從而得出結(jié)論;

D。

（2）結(jié)合（1）中的條件進(jìn)行分析，再由余弦定理得出。，利用三角形面積公式得出面積.

【詳解】（1）對于①：因?yàn)槭。ā?。2—廿）=一2改,

所以\/3x2accosB=-lac，

cos八.史

3

對于②：cos—=

22

由Ae（O,兀）可得［=2，A=g

263

227T

因?yàn)閏os—兀＞cos5,所以一兀＜5＜兀，與人=—矛盾

333

故①②兩個(gè)條件不可以同時(shí)成立.

（2）因?yàn)棰佗趦蓚€(gè)條件不可以同時(shí)成立，所以只能選①③④或②③④

選①③④時(shí)，因?yàn)閏os5=----—,a=A/3,b=2

3

所以由廿=+。2-2QCCOS8可得/+2c—1=0,

解得c-A/2-1,C=-1-V2（舍）

故S/XABC=；〃csin5=；xgx—l)x=2f

所以若選①③④時(shí)，VABC存在且唯一，此時(shí)面積為54品=二^.

ADC2

選②③④時(shí)，因?yàn)锳=/,〃=b=2

所以由a2=Z?2+c2-2bccosA^I^c2-2c+l=0,c=l

故SARC=—bcsinA=-x2xlx^-=^~，

2222

所以若選②③④時(shí)，VABC存在且唯一，此時(shí)面積為SABCM^-

7.(l)j

⑵3

【分析】(1)利用正弦的二倍角公式化簡求值即可;

(2)解法一：利用正弦定理可得a+6+c=￥(sinA+sinC)+l,結(jié)合正弦兩角差公式和輔助角公式求解即

可；解法二：利用余弦定理可得(a+c)2-l=3ac,再根據(jù)均值不等式求最值即可.

【詳解】⑴因?yàn)殇J角VABC,Bel0,^1,所以cos3>0,

所以sin23=2sin5cos3=^cos5,所以sin8=