2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）點尸（5,—5）到直線4》—3卜=0的距離為（）

A.1B.3C.5D.7

2.（5分）圓G:J+J/?+2%-6?-26=0與圓。2：X?+J67?89-4%+2歹+4=0的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

3.（5分）記,為等差數(shù)列也｝的前〃項和.若%+%=24,06=48,則也｝的公差為（）

A.1B.2C.4D.8

22

4.（5分）“2＜機＜6”是“方程上^+一0=1為橢圓”的（）

m-26—m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

5.（5分）已知數(shù)列｛4｝滿足%=1,。什］=———,則牝=（）

111

A.一B.-C.一

789

6.（5分）若點。和點尸分別為橢圓工+匕=1的中心和左焦點，點尸為橢圓上的任意一點，則

43

麗?麗的最大值為（）

A.2B.3C.6D.8

7.（5分）已知尸是橢圓C的一個焦點，5是短軸的一個端點，線段AF的延長線交橢圓C于點。，且

而=2而，則橢圓C的離心率為（）

Vs/T1

A.—B.J3C.-D.3

33

8.（5分）已知尸為拋物線C:/=4x的焦點，過尸作兩條互相垂直的直線/”乙，直線4與C交于

48兩點，直線4與C交于。、E兩點，則|46|+|。國的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

9.（5分）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)

列.其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2,4,7,11,16從第二項起，每一項與前一

項的差組成的新數(shù)列2,3,4,5是等差數(shù)列，則稱數(shù)列2,4,7,11,16為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等

差數(shù)列｛%｝，其前六項分別為1,3,6,10,15,21,則七里的最小值為（）

〃+1

133

A.—B.—C.1D.一

242

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）

10.（多選）（5分）下列說法正確的是（）

A.“。=—1”是“直線/x—了+1=。與直線》—即―2=0互相垂直”的充要條件

B.經(jīng)過點（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

C.已知直線〉=技，則直線的傾斜角為60°

D.若兩直線4:（3+a）x+4y=5-4a與（：2x+（5+=9平行，則a=-7

3

11.（多選）（5分）已知等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，且%=1,。2a4=4,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.數(shù)列｛4｝的公差為—gB.a?=-1?+|

C.數(shù)列｛。必“｝是公差為—1的等差數(shù)列D.%%+%=—1

12.（多選）（5分）己知尸是左、右焦點分別為大，鳥的橢圓;+；=1上的動點，M（0,2）,下列說法

正確的有（）

A.|尸國+|尸閭=4B.|尸國尸閭的最大值為2四

C.存在點尸，使/耳隼=120。D.|〃可的最大值為2+J5

13.（多選）（5分）已知圓C:（x—2）2+/=1,點尸是直線/：x+〉=0上一動點，過點P作圓C的切

線PA,PB,切點分別是Z和8,下列說法正確的為（）

A.圓C上恰有一個點到直線/的距離為！B.四邊形ZCAP面積的最小值為1

2

C.切線長尸幺的最小值為1D.直線A8恒過定點［T，—

三、填空題：本大題共5小題，共20分.

14.（3分）已知直線＞=日—左+1,則直線過定點為.

15.（3分）與雙曲線上-匕=1共漸近線且過點RJ5,-3）的雙曲線方程.

16.（3分）在數(shù)列｛a“｝中，%=4,a,,+i=一2,則氏=.

17.（3分）已知48為橢圓與+馬=1（?！?〉0）上的左右頂點，設(shè)點尸為粗圓上異于48的任意一

ab

巧

點，直線尸4尸3的斜率分別為左,右，若橢圓離心率為事，則左1?左2為.

18.（3分）己知橢圓C:]+，=l和直線/:y=Mx+l,若對任意的機eR,直線/與橢圓C恒有公

共點，則實數(shù)6的取值范圍是.

四、解答題：本題共8小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

19.（10分）已知數(shù)列｛4｝是一個等差數(shù)列，且出=1,。5=一5.

（I）求｛?！埃耐椫?；

（II）求也｝前〃項和S,,的最大值.

20.（12分）如圖，已知等腰直角三角形48C的斜邊48所在直線方程為y=2x-5,其中Z點在8點

上方，直角頂點C的坐標為（1,2）.

（1）求48邊上的高線Ca所在直線的方程；

（2）求三角形4BC的面積.

21.（12分）已知橢圓的焦點為片（—6,0）8（6,0）,該粗圓經(jīng)過點尸（5,2）

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上的點/（飛，%）滿足〃耳，〃與，求為的值.

22.（12分）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂。離水面高4米，水面寬度48=10米.現(xiàn)有一船只運送一堆

由小貨箱碼成的長方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面

與水面持平.

（1）問船只能否順利通過該橋？

（2）已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm.若每層小貨

箱高3cm,且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央

通過？

23.（12分）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長

50%o預(yù)計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入

下一年的生產(chǎn)。設(shè)第〃年年底扣除消費資金后的剩余資金為%萬元.

（1）用x表示%,%，并寫出?！?1與?！钡年P(guān)系式；

（2）若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精

確到萬元）。

22

24.（12分）已知直線y=2與雙曲線C:二—4=1（a〉08〉0）交于48兩點，E是。的左焦點，

ab

^.AFVAB\BF\=2\AF\.

（1）求雙曲線。的方程；

2

（2）若P,0是雙曲線。上的兩點，/是C的右頂點，且直線40與〃。的斜率之積為-證明直線

尸。恒過定點，并求出該定點的坐標.

2

25.（12分）已知正項數(shù)列｛4｝前〃項和為Sn,且滿足4S?=（a?+l）.

（1）求4;

（2）令〃=卷三,記數(shù)列也｝前〃項和為北，若對任意的,均有

（3〃+4）機》（2〃—5）（號—7；；2"恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

26.（12分）已知圓。經(jīng)過2（-2,0）,8。,道）兩點，且圓心C在直線/1：y=x上.

(2)已知過點尸(1,2)的直線乙與圓。相交截得的弦長為26，求直線4的方程；

(3)已知點拉(1,1),在平面內(nèi)是否存在異于點"的定點N,對于圓C上的任意動點0,都有言為

定值？若存在求出定點N的坐標，若不存在說明理由.

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.

15x4-3x(-5、

【解答】解：設(shè)點尸(5,—5)到直線4》—3了=0的距離為"，則~履3；

故選：D.

【點評】本題主要考查點到直線的距離公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【分析】化圓的一般方程為標準方程，求得兩圓的圓心坐標與半徑，再由圓心距與兩個圓的半徑的關(guān)系

相等得答案.

【解答】解：化圓CjY+j?+2x—6y—26=0為(x+l)2+(y—3)2=36,

得圓心坐標為G(T,3)，半徑今=6；

化圓4x+2y+4=0為(x—2)2+(y+l)2=1,

得圓心坐標為。2(2,-1)，半徑弓=1.

??.iQQl="(-1-2)2+(3+12=5=「弓，

.?.圓G與圓。2的位置關(guān)系是內(nèi)切.

故選：A.

【點評】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定，考查化圓的一般方程為標準方程，是基礎(chǔ)題.

3?【分析】利用等差數(shù)列通項公式及前〃項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出｛4｝的公

差.

【解答】解：?.?S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，%+%=244=48,

%+3d+%+4d—24

,6x5.,

6alH-------d=48

l'2

解得Q]=—2,d=4,

｛4｝的公差為4.

故選：C.

【點評】本題考查等差數(shù)列公式的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合

理運用.

4?【分析】求出方程二^+=匚=1為橢圓方程的充要條件，根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

m—26—m

22

【解答】解：若方程上一+二一=1為橢圓方程，

m—26—m

m-2>0

則<6-加〉0,解得：2<m<6,且加。4,

m—2w6—m

22

故"2（加<6”是“方程+^^=1為橢圓方程”的必要不充分條件，

m—26—m

故選：B.

【點評】本題考查了充分必要條件，考查橢圓的定義，是一道基礎(chǔ)題.

5.【分析】由題意可得：數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項公式

的求法求解即可.

【解答】解：已知數(shù)列1,｝滿足%=1,“1=—，

24+]

貝!J=F2,

4+1%

即數(shù)列I'1是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

即J-=1+4X2=9,

%

則%=g.

故選：C.

【點評】本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式，重點考查了等差數(shù)列的通項公式的求法，屬基礎(chǔ)

題.

6?【分析】先求出左焦點坐標尸，設(shè)尸（/，九），根據(jù)尸（%,九）在橢圓上可得到與、%的關(guān)系式，表示

出向量"、。尸，根據(jù)數(shù)量積的運算將與、為的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進而可確定答案.

【解答】解：由題意，F(xiàn)（-1,O）,設(shè)點尸（與,八）,則有也「+二=1,解得％2=31—也「

43I4.

因為尸尸=（%+1,%）,00=（%,%）,

所以麗?麗=%(%+1)+4=^-+/+3,

此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為/=-2,

2

__k2

因為一2V/V2,所以當%=2時，麗?所取得最大值1+2+3=6,

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，

考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合應(yīng)用能力、運算能力.

22

7.【分析】不妨設(shè)橢圓方程為1r+3=1伍〉6〉0）,半焦距為c,且設(shè)廠（一。,0）,8（0力）,￡＞（%,為）,

3c

%o=-------

結(jié)合麗=2而，可得｛；,再將。（％,%）代入粗圓方程，并結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：不妨設(shè)橢圓方程為0+2=1（?！?〉0）,半焦距為c,

且設(shè)尸（一。,0）,5（08）,。（%,九）,

,/BF=2FD,(一0,一6)=2(%+c,%),

2

b

%=一

2

9*人2

。（玉）,九）在橢圓上,^-+—ry—1，

4。4b

a3

故選：A.

【點評】本題主要考查粗圓的性質(zhì)，考查向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

8?【分析】方法一：根據(jù)題意可判斷當/與。,5與E關(guān)于x軸對稱，即直線的斜率為1,

|45|+|。同最小，根據(jù)弦長公式計算即可.

7T7T

方法二：設(shè)直線4的傾斜角為。，則4的傾斜角為或。-］，利用焦點弦的弦長公式分別表示出

\AB\\DE\,整理求得答案

【解答】解：方法一：如圖，IJk，直線4與C交于2、8兩點，

直線，2與。交于。、￡兩點，由圖象知要使|48|+|。￡|最小，

則幺與。,8與E關(guān)于x軸對稱，即直線DE的斜率為1,

又直線，2過點（1刀），

則直線4的方程為y=x—i，

聯(lián)立方程組—'則>2—4y—4=0,

J=x-1

,%+%=4,%必=-4，

.?.|。司=/7^.必-%|=也義而=8,

：.\AB\+\DE\的最小值為2|Z>?=16,

7T7T

方法二：設(shè)直線4的傾斜角為夕，則4的傾斜角為:+夕或

根據(jù)焦點弦長公式可得

11sin2^sin2^

\\=_1P_=

DEsir?住+--力=湛8

:.\AB\+\DE\==—2、2=,

sin26^cos??sin26^cos2^sin226^

?「0<sin226^<1,

則sin22^^l,

兀

/.20=左兀+5,左eZ,

即。號+%"，

當左=0時，或左=1時，

...9=工或。=型，

44

.?.當或。=弓時，HH+Q目的最小，最小為16,故選：A.

【點評】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟

練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍屬于中檔題.

9.【分析】先得出遞推公式，疊加法求通項公式，再用基本不等式求最小值即可.

【解答】解：數(shù)列也｝前六項分別為1,3,6,10,15,21,

aa=an

依題知a2-ax=2,%~i~3,%~34,…，~n-\~，

…+、

疊加可得：。“一%=2+3+-?+〃=--------------（72>2）,

2

整理得見=彳囚("22),

當〃=1時，/=1+1=],滿足％="+"

12”2

n2+n

所以a”=-------

"2

所以11=3+'T+』1享2卜!

〃+12〃+1

當且僅當‘里=’時,

即〃=&-1時，等號成立,

277+1

又〃GN*,所以等號取不了，所以最小值在”=1取得,

所以最小值為1.

故選：C.

【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的遞推關(guān)系，考查用函數(shù)方法研究數(shù)列性質(zhì)，屬中檔題.

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。)

10?【分析】直接利用直線間的位置關(guān)系以及直線平行和垂直的充要條件求出結(jié)果.

【解答】解：對于A：直線。2》—y+1=0與“直線x—即—2=0互相垂直”的充要條件是：

a2+a=0,解得。=0或—1,故A錯誤；

對于B：經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0或＞=n，故B錯誤；

對于C：已知直線^=也》，則直線的傾斜角為滿足0〃9=百，故傾斜角9=60°,故C正確；

對于D：若兩直線4:(3+a)x+4y=5-4a與4：2x+(5+a)y=9平行，(a+3)(a+5)-8=0,解得:

a=-7或-1,當a=-l時，兩直線重合，故a=-l舍去，故D正確.

故選：CD.

【點評】本題考查的知識要點：直線間的位置關(guān)系，兩直線垂直和平行的充要條件，主要考查學(xué)生的理解

能力和計算能力，屬于中檔題.

11.【分析】根據(jù)已知條件求出首項和公差，得到通項公式，再依次判斷四個選項即可.

【解答】解：等差數(shù)列也J為遞減數(shù)列，且%=1嗎%="由題意知，出+%=2%=2，

13

■■a4=于°2.?

.?.公差"=幺*=—！，故A正確；

又a、=a?—d=2,:.a—n+—,故B正確;

由上可知=2%,則當〃22時,2an-2ar_1=2(an-)=2x

當〃=1時，a；=4,

???數(shù)列｛。必“｝是首項為4,公差為-1的等差數(shù)列，故C正確;

故選：ABC.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項及性質(zhì)，屬中檔題.

12.【分析】由橢圓的定義與性質(zhì)逐個選項判斷正誤即可.

【解答】解：由題設(shè)可得：a=2,b=42=c,

由橢圓的定義可得：|尸公|+|尸閭=2。=4,故選項A正確；

由橢圓的性質(zhì)可知：|尸胤歸閨閭=2c=2&（當尸為植圓的右頂點時取“=”），故選項B正確;

又由橢圓的性質(zhì)可知：當點尸為橢圓的上頂點或下頂點時，/片和最大，此時

tan"盧2=二=i<G,

2b

",2<60°,即/片尸g<120°,故選項C錯誤；

設(shè)尸geosaesine）,

則\MP\=J（2cos\—0）2+（亞sin?—2?=7-2sin2^-4V2sin^+8=J-2（sin8+互+12，

當sind=—1時，|"P|max=2+J^，故選項D正確，

故選：ABD.

【點評】本題主要考查橢圓的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【分析】對于A,利用圓心到直線/的距離公式，即可求解；對于B,由圓的性質(zhì)，切線長

|尸’=、pC［一）=、尸cF—1,當|PC|最小時，忸H有最小值，即可求解；對于C,四邊形

ZCAP的面積為=|尸山，即可求解；對于D,由題可知，48在以尸。為直徑的圓上，利用兩圓

方程，求得直線48的方程，即可求解.

【解答】解：對于A,?..圓C:（x—2）2+/=1,

圓心C（2,0）,半徑r=l,

圓心C到直線l:x+y=0的距離為且

V2

.,.直線與圓相離，

所以圓上任意一點到直線的距離的取值范圍為&-lVdW行+1,而后-1<工<行+1,故A錯誤;

2

對于C,由圓的性質(zhì)，切線長|尸/|=小尸CF一戶=J尸?！?,

當|PC|最小時，|尸⑷有最小值,

又I尸C1mhi=逝,則I尸小mm=l，故C正確;

對于四邊形的面積為：X

B,ZCAPS=SAACP+SBCP=2X^X\AP\\AC\=\AP^C^\=\AP\,

因為14Pl.=1,故四邊形ZCBP的面積為1,故B正確；

對于D,設(shè)尸&-7),

由題意知48在以尸。為直徑的圓上，又C(2,0),

(x7)(x-2)+(y+/)3-0)=0,

即x"+—(/+2)x+小+2t=0,

又圓C:（x—2）2+J?=1,即f+>2—4》+3=0,

聯(lián)立，相減，

即直線的方程為（2—。%+勿—3+2/=0,

即2x-3T（x-y-2）=0,

2x—3=031

由\，解得x=_,y=——，

x-y-2=02-2

即直線48恒過定點［m，—g］，故D正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，屬于中檔題.

三、填空題：本大題共5小題，共20分.

14?【分析】直線的方程中先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得它經(jīng)過的定點坐

標.

【解答】解：若左eR,直線》二履一左+1,即左—一y+l=0,

令x-l=0,-y+l=0,

解得x=l,y=l,

可得直線恒過定點(1,1),

故答案為：(1,1).

【點評】本題考查了直線系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【分析】依題意，設(shè)雙曲線的方程為9/—16/=力，將點&G,-3),代入可求4,即可求出雙曲

線的方程.

【解答】解：設(shè)與雙曲線上—上^=1有共同的漸近線的雙曲線的方程為9/—16/=幾，

169”

?.?該雙曲線經(jīng)過點

2=9x12-16x9=-36.

22

.?.所求的雙曲線方程為：9x2-16v2=-36,即〈—土=1

-94

4

22

故答案為：=1.

94

4

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，設(shè)出所求雙曲線的方程為9/—16/=%是關(guān)鍵，屬于中檔題.

16?【分析】利用構(gòu)造法求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【解答】解：因為%+1=34—2,6N*),

所以%+i-1=34-1),

所以—Q—1=3,

-1

所以數(shù)列｛4｝是一個等比數(shù)列，

所以4—1=(4—1>3'T=3",

所以?！?3"+1.

故答案為：3"+1.

【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

17?【分析】由題意可得/(-凡0),8(處0),設(shè)尸(%,人)，由題意可得ab的關(guān)系式，結(jié)合橢圓系數(shù)的關(guān)

系和離心率的定義可得。

【解答】解：由題意可得2（—見0）,5（處0）,設(shè)尸（為,為）,

2_2

則由P在橢圓上可得y；=y-b1,

a

b2

直線AP與BP的斜率之積為7

?.?橢圓離心率為立，可得g=

2a

即左］?左2二——>

故答案為：---.

4

【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，屬中檔題.

18?【分析】由已知直線過定點（0,1）,可得（0,1）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，然后分類討論得答案.

【解答】解：?.?直線/:y=mx+l恒過定點（0,1）,

要使直線/與橢圓。恒有公共點，

則（0,1）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上，

若橢圓C:工+匕=1是焦點在x軸上的橢圓，貝UlWb<4；

4b

若橢圓C：；+；=l是焦點在y軸上的橢圓，則b〉4.

實數(shù)6的取值范圍是：［1,4）U（4,+oo）.

故答案為：［1,4）U（4,+oo）.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線系方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔

題.

四、解答題：本題共8小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

19?【分析】（I）根據(jù)等差數(shù)列通項公式4=%+（〃—l）d變形有%=%,+（〃—機）d,則公差

d=MF可得公差d,再由通項公式4=出+（〃-2）d,即可得到所求;

n—m

（II）根據(jù)等差數(shù)列前“項和公式Sn=〃（.+“"）=叫+"（"Dd,配方得Sn=一（〃—2）2+4,根據(jù)

"22"

二次函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，當〃=2時，前〃項和取得最大值，最大值為4.

【解答】解：（I）由題意可得公差"==二七=一2,

5-25-2

所以-2）d-1+（〃-2）x（-2）--2〃+5；

2

（II）ax=3,Sn=3〃+（2--x（-2）=~n~+4〃=—（〃—2）+4,

當〃=2時，前〃項和取得最大值，最大值為4.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20?【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件可得C8的斜率，再利用點斜式寫出直線C8的方程；

（2）利用點到直線的距離公式求得|CH|,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與面積公式，求解即可.

【解答】解：（1）設(shè)CH的斜率為左”，

因為斜邊AB所在直線方程為y=2x-5,

所以左CH=一萬，

又C”經(jīng)過點C（l,2）,所以：y—2=——

即CH的直線方程為lCH;x+2y-5=0.

_l2"-5|“

（2）由題意知,——/---------

朽+(-1)2

因為△ZBC是等腰直角三角形，

所以|48|=2|。叫=2右，

所以△48C的面積為曰?！ú?8|=3*6義26=5.

【點評】本題主要考查直線方程的求法，熟練掌握兩條直線垂直的條件，點到直線的距離公式是解題的關(guān)

鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.【分析】（1）設(shè)出設(shè)出橢圓方程，利用已知條件求出橢圓的幾何量，得到橢圓方程.

（2）通過橢圓上的點河（/,九）滿足上明，〃與，利用數(shù)量積為0,求出M的縱坐標即可,

22

【解答】解：（1）依題意，設(shè)所求粗圓方程為二+3=1（。〉6〉0）,

ab

其半焦距c=6.

因為點尸（5,2）在橢圓上,

所以2Q=|尸片I+1尸7』=Js+e)1”+，(5二6^+2^=6后

所以Q=3A/5，從而b1=a2—c2=9

故所求橢圓的標準方程是—+^=1

459

(2)由MF[J_MF,得MF1?MF2=(—6—x0，—Vo)，(6—x(),—%)=x；—36+Vg=0

9

即x；=36—y；代入粗圓方程得：y1=-,

3

故為=±5

【點評】本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.

22?【分析】(1)以。為原點，過。垂直于48的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系：設(shè)拋物線

方程為根據(jù)題意知點8(5,-4)在拋物線上，求解拋物線方程，設(shè)C(3,-4),過C作Z8的垂

線，交拋物線于。(3,%)，求出CD,即可判斷貨箱是否能順利通過該橋.

(2)求出貨物超出高度，每減少一層，則船體連貨物高度整體下降3-1=2cm,由貨物與橋壁需留下

2cm間隙.然后求解需要減少2層可恰好能從中央通過.

【解答】解：(1)以。為原點，過。垂直于48的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系：

設(shè)拋物線方程為/=叼，根據(jù)題意知點8(5,-4)在拋物線上；

―“25225

25=-4m;:.m=----x=-------y；

44

可設(shè)C(3,—4),過C作AB的垂線，交拋物線于。(3,%)，

me2536

則9=-1%；.,.比=-石；

v|CD|=--+4=—>1.5,貨箱能順利通過該橋.

112525

(2)由題(1)知，貨物超出高度為|||—1.5)xl00=106cm,

每增加一層，則船體連貨物高度整體增加3+1=4cm,

由貨物與橋壁需留下2cm間隙.則需要增加層數(shù)為106-2=26，

答：船只能順利通過該橋，需要增加26層可恰好能從中央通過.

23.【分析】(1)根據(jù)題意直接得q=1500-=%(l+50%)-x，進而歸納出%+i=L5a“-x；

(2)由(1)可得=1.5"-%1-%(1+1.5+1.52+--+1.5"-2),利用等比數(shù)列的求和公式可得

an=1.5^(1500-3x)+2%,結(jié)合生=3000即可計算出d的值.

【解答】解：(1)由題意知，

=1000(l+50%)-x=1500-x,

a2=al(1+50%)-x=1.5%-x=1.5(1500-x)-x=2250-2.5%,

an+l=an(1+50%)-x=1.5a;I-x,

(2)由(1)可得，an+l=1.5an-x,

2

則an=L5a“_]-x=1.5(1.5。一2-x)-x=1.5an_2-1.5x-x

=...=1.5"T%—X0+1.5+1.52+…+1.5"-2)

所以a”=1.5”T(1500-x)-2x(1.5"T_1)=IS](1500-3x)+2x,

即=1,5H1(1500-3x)+2%,

當=3000時，1.5"-1(1500-3x)+2x=3000,

1500(20-3nl)

解得x=(?>3),

1500(25-

25-35

故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.

【點評】本題考查了數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.

24?【分析】(1)利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出枚c,即可求出雙曲線C的方程；

(2)設(shè)直線觸與"。的斜率分別為左，左2,分類討論：①當直線尸。不垂直于x軸時，利用“設(shè)而不求

法”求出機=2左，判斷出直線尸。過定點(—2,0).②當直線尸。垂直于軸時，設(shè)尸(/,〃)，解得/=—2,

判斷出直線0°過定點(—2,0).

【解答】解:(1)因為4F_L48,所以可=2,忸刊=4，M,=2G，

設(shè)雙曲線C的焦距為2c,

22

因為直線y=2與雙曲線C:5―4=1(?！?1〉0)交于48兩點，P是C的左焦點,

ab

由雙曲線的對稱性知\AB\=2C=2y/3,

設(shè)雙曲線C的右焦點為方,則怛司卜忸/卜忸可=2a=2,得a=l,

則b=y/c~-a~=y/2,

故雙曲線C的方程為——工=1.

2

(2)證明：由已知得〃(1,0),設(shè)直線上。與M0的斜率分別為3上2，

①當直線PQ不垂直于x軸時:

設(shè)直線PQ的斜率為k,PQ的方程為y=丘+機,P(占,%0(%,%)，

由得(k~-2)x?+2kmx+m~+2=0,

當A=—左2+2)〉0時，$+%=:km?，%%=：：+；

22

那,左左yxy2(kxx+m)(^x2+m)kxrx2+km(x1+x2)+m

(%1-l)(x2-1)(xj-l)(x2-1)xxx2-(%1+x2)+l

左2頗+2)2k2m22

?二"』嗎立"一U,得m=2k,符合題意.

m+22km(k+m)k+m3

F-2+F-2+

所以直線PQ的方程為y=左(x+2),恒過定點(-2,0).

②當直線尸0垂直于x軸時:

設(shè)尸(7,〃)，因為尸是。上的點，所以〃2=2/一2,

-h2_2-2r2_2(l+r)2

則上色解得/=—2,

(r-1)2-G-l)2-1-t3

故直線尸。過點(—2,0).

綜上，直線尸。恒過定點(-2,0).

【點評】本題考查了雙曲線的方程以及雙曲線中直線過定點的問題，屬于中檔題.

25?【分析】(1)根據(jù)4與S,的關(guān)系，即可得出答案；

42〃一52幾—5

(2)利用錯位相減法求解得北，利用分離變量法可得也2—恒成立，令求出最大

"92"