2023-2024學年蘇科版數(shù)學八年級上冊專項練習：實數(shù)（章節(jié)復習+考點講練）解析版

2023-2024學年蘇科版數(shù)學八年級上冊同步專題熱點難點專項練習

專題4.4實數(shù)（章節(jié)復習+考點講練）

思維導圖知識索引

正有理數(shù)

有理數(shù)o有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

非負的平方很算術(shù)平方根

實按定義分負有理數(shù)

一個正數(shù)有兩個平方根數(shù)

平

的正無理數(shù)

。只有一個平方根，方無理數(shù)?無限不循環(huán)小數(shù)

平方根分

它是0本身糧負無理數(shù)

類

負數(shù)沒有平方根正實數(shù)

被開方數(shù)為非負數(shù)開平方按性質(zhì)符號分o

負實數(shù)

正數(shù)的立方根是正教

立

有關概念實數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)

0的立方根是0方

根與性質(zhì)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應

負數(shù)的立方根是負數(shù)

被開方數(shù)為任意實數(shù)開立方

實數(shù)的實數(shù)的大小比較

運算實數(shù)的混合運算

知識模塊精講講練

知識點01：平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)

符號表示±y!~a\[a

一個正數(shù)有兩個平方根，一個正數(shù)有一個正的立方根；

且互為相反數(shù)；一個負數(shù)有一個負的立方根；

性質(zhì)

零的平方根為零；零的立方根是零；

負數(shù)沒有平方根；

(V^)2=>0)(“V=a

重要結(jié)論a(a>0)

Ja1=時=<=a

-a(a<0)a--\[a

知識點02：實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類

①按定義分：

「有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)4

［無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

②按與o的大小關系分：

跖/正有理數(shù)

正數(shù)《十十B皿

［正無理數(shù)

實數(shù)0

負數(shù)(負有理數(shù)

負無理數(shù)

細節(jié)剖析：

(1)所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小

數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類①開方開不盡的數(shù)，如石,次等②有特殊意義的數(shù)，如g③有特定結(jié)

構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù),并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.

(4)實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應的.

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點-對應.

數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實教，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.

3.三類具有非負性的實數(shù)

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式:

(1)任何一個實數(shù)。的絕對值是非負數(shù)，即|。|20；

(2)任何一個實數(shù)。的平方是非負數(shù)，即

(3)任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即、份20(a>0).

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)非負數(shù)有最小值一一零；

(2)有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

(3)幾個非負數(shù)之和等于0,則每個非負數(shù)都等于0.

4.實數(shù)的運算

數(shù)。的相反數(shù)是二巴；一個正實數(shù)的絕對值是它本身:一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù):0的絕對值

是。

有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

(1)實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

(2)正數(shù)大于0,0大于負數(shù),正數(shù)大于一切負數(shù),兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小:

(3)兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

知識點03：近似數(shù)及精確度

1.近似數(shù)

接近準確值而不等于準確值的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.

一般采用四舍五入法取近似數(shù),只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.

2.精確度

近似數(shù)中，四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確

細節(jié)剖析：

(1)精確度是指近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度.

(2)精確度一般用“精確到哪一位”的形式的來表示，一般來說精確到哪一位表示誤差絕對值的大小,

例如精確到01米，說明結(jié)果與實際數(shù)相差不超過0.05米.

考點01；平方根

【典例精講】（2022秋?高新區(qū)校級月考）9■的平方根是±3.

42—

【思路點撥】根據(jù)平方根的定義解答即可.

【規(guī)范解答】解：9的平方根是土3.

42

故答案為：土國.

2

【考點評析】本題考查了平方根的運用.解題的關鍵是掌握平方根的定義，注意：一個正數(shù)有兩個平方

根，它們互為相反數(shù).

【變式訓練1-11（2022秋?海陵區(qū)校級期末）64的平方根是（）

A.±4B.4C.±8D.8

【思路點撥】±8的平方都等于64,可得64的平方根是±8.

【規(guī)范解答】解：：±8的平方都等于64；

A64的平方根是±8.

故選：C.

【考點評析】本題是基礎題，考查平方根的定義及簡單計算.

【變式訓練1-2]（2016秋?姜堰區(qū)期中）4的平方根是（）

A.2B.+2C.±A/2D.-2

【思路點撥】根據(jù)平方根的定義求出4的平方根即可.

【規(guī)范解答】解：4的平方根是±2；

故選：B.

【考點評析】此題考查了平方根，注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)

沒有平方根.

【變式訓練1-3】（2012秋?濱湖區(qū)校級期中）一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a-1和-a+2,則a=一

【思路點撥】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)可得關于a的方程，解出即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：2a-1+（-/2）=0,

解得：a=-1.

故答案為：-L

【考點評析】本題考查平方根的知識，難度不大，關鍵是掌握一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù).

【變式訓練『4】（2016秋?灌云縣月考）一個正數(shù)的x的平方根是2a-3與5-a,求a和x的值.

【思路點撥】根據(jù)平方根的定義得出2a-3+5-a=0,進而求出a的值，即可得出x的值.

【規(guī)范解答】解：,??一個正數(shù)的x的平方根是2a-3與5-a,

213-3+5-a=0,

解得：a--2,

x=（-7）2=49.

【考點評析】此題主要考查了平方根的定義，正確把握定義是解題關鍵.

星考點02：算術(shù)平方根

【典例精講】（2019春?崇川區(qū)校級期末）已知IX，是二元一次方程組[mx+ny=8的解，則勃-〃的算術(shù)

Iy=l[nx-my=l

平方根為2.

【思路點撥】由題意可解出〃，〃的值，從而求出的值，繼而得出其算術(shù)平方根.

【規(guī)范解答】解：將代入二元一次方程組

Iy=llnx-my=l

得]2me8,

[2n-m=l

解得：下3.

ln=2

：.2m-/7=4,而4的算術(shù)平方根為2.

故2〃-〃的算術(shù)平方根為2.

故答案為：2.

【考點評析】本題考查了算式平方根和二元一次方程組的解的知識，屬于基礎題，難度不大，注意細心

運算.

【變式訓練2-1】（2022?鼓樓區(qū)一模）下列說法正確的是（）

A.嗎■是耳的平方根B.0.2是0.4的平方根

C.-2是-4的平方根D.我是F的平方根

【思路點撥】根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案.

【規(guī)范解答】解：人名的平方根是±年_,故/不符合題意.

B、0.4的平方根是±公!匝，故6不符合題意.

10

C、-4沒有平方根，故C不符合題意.

D、/萬是血的平方根，故2符合題意.

故選：D.

【考點評析】本題考查算術(shù)平方根與立方根，解題的關鍵是正確理解立方根與平方根的定義，本題屬于

基礎題型.

【變式訓練2-2】(2017秋?豐縣期中)下列說法正確的是()

A.-9的平方根是-3B.9的平方根是3

C.9的算術(shù)平方根是3D.9的算術(shù)平方根是±3

【思路點撥】根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案.

【規(guī)范解答】解：T)負數(shù)沒有平方根，故4錯誤；

(方)9的平方根是±3,故夕錯誤；

(〃)9的算術(shù)平方根是3,故2錯誤；

故選：C.

【考點評析】本題考查立方根與平方根，解題的關鍵是熟練運用立方根與平方根的定義，本題屬于基礎

題型.

【變式訓練2-3】(2023春?清江浦區(qū)期末)±日=±2,(V3)2=3.

【思路點撥】根據(jù)平方根的定義、二次根式的性質(zhì)求出即可.

【規(guī)范解答】解：土?=土2,(V3)2=3,

故答案為：±2,3.

【考點評析】本題考查了平方根、算術(shù)平方根，二次根式的性質(zhì)的應用，主要考查學生的計算能力.

【變式訓練2-4】(2022秋?海陵區(qū)校級月考)我們知道，負數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對于三個互不相等的負

整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“完美組合數(shù)”.例如：-9,-4,-1這二

個數(shù)，-(-9)X(-4)=6,V(-9)X(-1)=3,V(-4)x(-1)=2,其結(jié)果6,3,2都是整數(shù)，所

以-1,-4,-9這三個數(shù)稱為“完美組合數(shù)”.

(1)-18,-8,-2這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請說明理由.

(2)若三個數(shù)-3,m,-12是“完美組合數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12,求加的值.

【思路點撥】(1)對于三個互不相等的負整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這

三個數(shù)為“完美組合數(shù)”，由此定義分別計算可作判斷；

(2)分兩種情況討論：①當/不=12時，②當4三^=12時，分別計算即可.

【規(guī)范解答［解：(1)-18,-8,-2這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”，理由如下：

vV(-18)X(-8)=12,V(-18)x(-2)=6,V(-8)x(-2)=4,

/.-18,-8,-2這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”；

⑵??7（-3）X（-12）=6,

分兩種情況討論：

①當U^i=12時，-3〃=144,

/.m=-48；

②當5/-12m=12時，-12〃=144,

：.m=-12（不符合題意，舍）；

綜上，力的值是-48.

【考點評析】本題考查算術(shù)平方根，理解“完美組合數(shù)”的意義是正確解答的前提，求出“任意兩個負

數(shù)乘積的算術(shù)平方根”是解決問題的關鍵.

￡考點03：非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

【典例精講】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）已知實數(shù)x,y滿足|3+x|W?工=0,則代數(shù)式（戶/皿的值

為1.

【思路點撥】由已知可求x=-3,y=2,則有x+尸-1,即可求解.

【規(guī)范解答】解：：|3+x1+V7及=0，

x=-3,尸=2,

（X+P）2。22的值1,

故答案為：1.

【考點評析】本題考查實數(shù)；熟練掌握絕對值和算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式訓練3-1】（2021秋?濱海縣期末）已知實數(shù)x,y滿足正工+（戶1）2=0,貝丘”等于（）

A.1B.-1C.-3D.3

【思路點撥】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.

【規(guī)范解答】解：工+（尹1）占0,而正工＞0，（片1）220,

C,x-2=0,產(chǎn)1=0,

解得x=2,y=-1,

x-y=2-(-1)=2+1=3.

故選：D.

【考點評析】本題考查了算術(shù)平方根非負數(shù)，平方數(shù)非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0,則每

一個算式都等于0列式是解題的關鍵.

【變式訓練3-2】（2018秋?宜興市校級期中）已知心話+%-1|=0,那么（a+6）??！醯闹禐椋ǎ?/p>

A.-1B.1C.32°i7D.-32017

【思路點撥】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、6的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.

【規(guī)范解答】解：由題意得，<3+2=0,b-1=0,

解得a=-2,b=l9

所以，（a+6）2017=（-2+1）2017=-1.

故選：A.

【考點評析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為。時，這幾個非負數(shù)都為0.

【變式訓練3-3】（2022秋?江都區(qū)期末）已知處方都是實數(shù)，若記+（b-3）2=0，則「-4-

5.

【思路點撥】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出協(xié)力的值，再代入代數(shù)式進行計算即可.

【規(guī)范解答】解：?..心歷+（b.3）2=o，

<3+2=0,b-3=0,

；?a~-2,b=3,

：.a-5=-2-3=-5.

故答案為：-5.

【考點評析】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，熟知當幾個非負數(shù)相加和為0時，則其中的每一項都必須等

于0是解題的關鍵.

【變式訓練3-4】（2021秋?無錫期末）已知也x+y-2與（x->3）?互為相反數(shù)，求（下+外的平方根.

【思路點撥】根據(jù)互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0列出關系式，利用非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的

解得到x與y的值.

【規(guī)范解答】解：??W2x4y-2與（x-尹3）2互為相反數(shù)，

V2x+y-2+（x-尸3）2=0,

又..W2x+y-220,（x-j+3）

.’2x號—2二。

x-y+3=0

'.1

X一丁

解得?,

V=~3

?"+尸T）鴻3普嚙，

.,.（4+y）的平方根為+—.

一3

【考點評析】本題主要考查解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握相反數(shù)的性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì)、

解二元一次方程組的能力及平方根的定義.

【變式訓練3-5】（2022春?綏棱縣校級期中）己知a、6滿足怎花+16-?|=0,解關于x的方程（K2）

x+B=a-1.

【思路點撥】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、6的值，然后代入方程得到關于x的方程，求解即可.

【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得，2a+8=0,b-V3—01

解得a=-4,b=y[3,

所以（-4+2）x+3=-4-1,即-2x=-8,

解得x=4.

【考點評析】本題考查了絕對值非負數(shù)，算術(shù)平方根非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0,則每

一個算式都等于0列式是解題的關鍵.

?考點04：立方根

【典例精講】（2010秋?蘇州校級期中）-27的立方根是-3,病的平方根是±3.

【思路點撥】根據(jù)平方根和立方根的知識點進行解答，若/=a,則矛=%，#=bQbNO）則了=

±Vb.據(jù)此得到答案.

【規(guī)范解答】解：-3的立方為-27,故-27的立方根為-3,

a1=9,故9的平方根為±3,

故答案為-3、±3.

【考點評析】本題主要考查立方根和平方根的知識點，基礎題，比較簡單，但注意個正數(shù)有兩個平方根,

它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負數(shù)沒有平方根.立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個負

數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根式0.

【變式訓練4-1】（2022秋?東臺市期中）下列計算正確的是（）

A.F=±2B.^27=-3C..（-4）2=-4D.^5=4

【思路點撥】根據(jù)平方根和立方根的定義逐一計算可得.

【規(guī)范解答】解：從返=2,此選項錯誤；

B、百二-3,此選項正確；

C、?（_4）2=,16=4,此選項錯誤；

D、S'無法計算，而丁正=4,此選項錯誤；

故選：B.

【考點評析】本題主要考查平方根和立方根，解題的關鍵是掌握平方根和立方根的定義.

【變式訓練4-2】（2021春?啟東市校級月考）如果我而心1.333,強心2.872,那么軻麗約等于

（）

A.28.72B.0.2872C.13.33D.0.1333

【思路點撥】根據(jù)立方根，即可解答.

【規(guī)范解答】解：：我市'-1.333,

-,?必2370=y12.37x1000^1.333X10=13.33.

故選：C.

【考點評析】本題考查了立方根，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義.

【變式訓練4-3】（2023春?射陽縣期末）已知3x+l的平方根為±2,2y-1的立方根為3,求｛2x+y的

值.

【思路點撥】首先依據(jù)平方根和立方根的定義求得x、y的值，從而可求得“2x+y的值.

【規(guī)范解答】解：：3x+l的平方根為土2,2y-1的立方根為3,

；.3x+l=4,2y-1=27,

x=1,y=14,

.--V2x+y=V16=4.

【考點評析】本題主要考查的是平方根和立方根的定義，熟練掌握相關定義是解題的關鍵.

【變式訓練4-4].（2022秋?儀征市期末）求x的值:

(1)4^-25=0；

(2)(x+1)3-64=0.

【思路點撥】(1)根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)立方根的性質(zhì)即可求解.

【規(guī)范解答】解：(1)44-25=0,

4於=25,

4型，

4

x=+—；

一2

(2)(e1)二64=0,

(x+1)3=64,

肝1=4,

x=3.

【考點評析】本題主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關鍵，特別要注意

正數(shù)有兩個平方根.

■;考點05：實數(shù)的性質(zhì)

【典例精講】(2022秋?蘇州期中)小明在學完立方根后研究了如下問題：如何求出-50653的立方根？

他進行了如下步驟：

①首先進行了估算：因為103=1000,1003=1000000,所以打50653是兩位數(shù);

②其次觀察了立方數(shù)：F=l,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想印50653的個位數(shù)字是7；

③接著將50653往前移動3位小數(shù)點后約為50,因為33=27,43=64,所以知50653的十位數(shù)字應為3,

于是猜想力50653=37,驗證得：50653的立方根是37；

④最后再依據(jù)“負數(shù)的立方根是負數(shù)”得到弘50653=-37,同時發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則

這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立.

請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：

⑴力-117649=--空-；

⑵若5-2x+相=0則?=3；

已知又x-2+2=x，且%3y-l與/l-2x互為相反數(shù),求甩y的值.

【思路點撥】（1）根據(jù)題中的猜想得出刃117649的個位數(shù)與十位數(shù)，再取其相反數(shù)即可；

（2）根據(jù)兩數(shù)相加等于0列出關于x的方程，求出x的值；由%三+2=x求出x的值，再根據(jù)相反數(shù)

的定義列出關于y的方程，求出y的值即可.

【規(guī)范解答】解:（1）V103=1000,1003=1000000,

郎117649是兩位數(shù)?

Vl3=l,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；斗門7649的個位數(shù)

字是9

?.?將117649往前移動3位小數(shù)點后約為H7,因為33=27,43=64,53=125,所以知50653的十位數(shù)字

應為4,

/.117649的立方根是49,.

..?兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，

；?為-117649=-49.

故答案為：-49；

⑵:知l-2x+狗=3

1-2x=-5,解得x=3.

,,,知x-2=x-2,

.??x-2=0,x-2=-1或x-2=1,解得x=2,1或3；

yj3y-l與A/1-2X互為相反數(shù)，

.'.3y-l=2x-1,即

當x=2時，3y-1=3,解得尸國；

當x=l時，3y-1=1,解得y=2；

3

當x=3時，3y-1=5,解得y=2.

故答案為：3；x=2時，y=—：x=l時，y=—；x=3時，y=2.

33

【考點評析】本題考查的是實數(shù)的性質(zhì)，熟知若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)

是解題關鍵.

【變式訓練5-1】.（2018秋?建鄴區(qū)期末）加的相反數(shù)是（）

A.V2B.-V2C.巨D(zhuǎn).一巨

22

【思路點撥】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為3由此求解即可.

【規(guī)范解答】解：&的相反數(shù)是-加.

故選：B.

【考點評析】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的

相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，。的相反數(shù)是0.學生易把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混

淆.

【變式訓練5-2]（2021秋?江陰市期末）V3-1的相反數(shù)是（）

A.1+>/3B.1—>\/3C.-1+V^D.-1—^3

【思路點撥】根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：愿-1的相反數(shù)是-（我-1）=1-43,

故選：B.

【考點評析】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了整體思想，把百-1看作整體，根據(jù)a的相反數(shù)是-a是

解題的關鍵.

【變式訓練5-3】（2009秋?宿遷校級期中）牛兩的相反數(shù)是2.

【思路點撥】根據(jù)a的相反數(shù)就是-a,直解寫出然后化簡即可.

【規(guī)范解答】解：言的相反數(shù)是-牛兩=2

故答案是2.

【考點評析】本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的

相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.

【變式訓練5-4】（2019秋?東臺市期末）V2-1的相反數(shù)是1-\萬.

【思路點撥】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得一個數(shù)的相反數(shù).

【規(guī)范解答】解：&-1的相反數(shù)是1-

故答案為：1-企.

【考點評析】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù).

牽考點06：實數(shù)與數(shù)軸

【典例精講】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在數(shù)軸上，點46表示的數(shù)分別為0、2,加工47于點⑹

且比'=1,連接/C,在4c上截取浙比；以/為圓心，的長為半徑畫弧，交線段相于點￡,則點￡

【思路點撥】根據(jù)勾股定理可得羔={AB2+BC2={22+12，由題意可得比WAD=AC-CD,

因為/￡=/〃即可得出答案.

【規(guī)范解答】解：?.?比-1,AB=2,

；?Ac=VAB2+BC2=A/22+12=正，

,:BC=Cg\,

'.AD=AC-CD=y[^-1，

:.AE=AD=娓-L

則點￡表示的實數(shù)是赤-1.

故答案為：VB_i-

【考點評析】本題主要考查了勾股定理及實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理及實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對

應關系進行求解是解決本題的關鍵.

【變式訓練6-1】（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點力表示的實數(shù)是（）

A.V5-1B.V5+1c.V3+1D.V3-1

【思路點撥】先根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)向右就用加法求解.

【規(guī)范解答】解：：丘于=遙，

所以點4表示的數(shù)為：-1+逐，

故選：A.

【考點評析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握勾股定理是解題的關鍵.

【變式訓練6-2】（2018秋?淮陰區(qū)期中）如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)小+1的點可能是（）

PQRS

----------1---------1~a_i?1?-------

0123456

A.PB.QC.RD.5

【思路點撥】先判斷出4+1的范圍，然后根據(jù)數(shù)軸判斷即可.

【規(guī)范解答】解：：4<7V9,

.\2<V7<3,

；.3<：4+1<4,

在數(shù)軸上表示實數(shù)J7+1的點可能是Q.

故選：B.

【考點評析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的大小，確定出4+1的范圍是解題的關鍵.

【變式訓練6-3】（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點C所表示的數(shù)是石

【思路點撥】根據(jù)勾股定定理，求得必，即可求解.

【規(guī)范解答】解：由題意可得：OALAB,04=3,AB=2,OC=OB,

由勾股定理可得：OC=OB=VOA2+AB2=V13-

故答案為：V13?

【考點評析】此題考查了勾股定理以及實數(shù)與數(shù)軸，解題的關鍵是求得0B.

【變式訓練6-4】(2015秋?南京校級月考)用直尺和圓規(guī)在如圖所示的數(shù)軸上作出表示后的點.

-6-5-4-3-2-10123456

【思路點撥】過。作垂線，再作直角三角形6。。，兩直角邊長分別為2,3,進而得到斜邊長為丁石，再

以。為圓心、呢長為半徑畫弧可得J石的位置.

【規(guī)范解答】解：如圖所示：

【考點評析】此題主要考查了運用勾股定理解答關于數(shù)軸上如何表示無理數(shù)的作法，熟練掌握基本作圖

方法是解題關鍵，屬中檔題.

【變式訓練6-5】(2020秋?贛榆區(qū)期末)如圖，一只螞蟻從點力沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點氏

點月表示-加，設點6所表示的數(shù)為加

(1)求I加11+1/-11的值；

(2)在數(shù)軸上還有C、〃兩點分別表示實數(shù)。和4且有|2c+d|與丁了正互為相反數(shù)，求2c-3d的平方

根.

?4??4?1?>

-2-10123

【思路點撥】(1)先化簡每一個絕對值，然后再進行計算即可；

(2)根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加和為0,求出c,d即可.

【規(guī)范解答】解：(1)由題意得：m=-V2+2-

m-1<0,

|研11+1%-11

=研1+1-m

=2；

(2)由題意得：12c+d[+>]d+4=。,

.\2c^-d=0,衣4=0,

d=-4,c=2,

；.2c-3d=16,

V16的平方根是±4,

；.2c-3d的平方根是土4.

【考點評析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，平方根，算術(shù)平方根，準確熟練的計算是解答正確的關

鍵.

“考點07：實數(shù)大小比較

【典例精講】（2023?常州）下列實數(shù)中，其相反數(shù)比本身大的是（）

A.-2023B.0C.—D.2023

2023

【思路點撥】求得各項的相反數(shù)后與原數(shù)比較大小即可.

【規(guī)范解答】解：-2023的相反數(shù)為2023>-2023,則A符合題意;

0的相反數(shù)為0,則方不符合題意;

1的相反數(shù)為-—±—<—則C不符合題意;

202320232023

2023的相反數(shù)為-2023V2023,則2不符合題意;

故選：A.

【考點評析】本題考查有理數(shù)的大小比較及相反數(shù)，熟練掌握比較有理數(shù)大小的方法是解題的關鍵.

【變式訓練7-1]（2022秋?祁江區(qū)期末）請你寫出一個大于1,且小于3的無理數(shù)是

【思路點撥】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)可以把1和3寫成帶根號的形式，再進一步寫出一個被開方數(shù)介于

兩者之間的數(shù)即可.

【規(guī)范解答】解：：1=4，3=對,

寫出一個大于1且小于3的無理數(shù)是

故答案為加（本題答案不唯一）.

【考點評析】此題考查了無理數(shù)大小的估算，熟悉算術(shù)平方根的性質(zhì).

【變式訓練7-2】（2023?儀征市二模）2娓,727,5三個數(shù)的大小關系是（）

A.5<727<276B.V27<5<2A/6C.2a<5〈收D.&?<2遙<5

【思路點撥】根據(jù)實數(shù)大小比較的方法即可求解.

【規(guī)范解答]解:2巫=則，

因為24<25<27,

所以怎<5<a7,

即2迎

故選：C.

【考點評析】本題考查了實數(shù)的大小比較法則，能熟記實數(shù)的大小比較法則是解此題的關鍵，注意：任

意兩個實數(shù)都可以比較大小.正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)比

大小，絕對值大的反而小.

【變式訓練7-3】（2020秋?蘇州期末）比較大?。?-\萬<1（填”或

【思路點撥】直接利用估算無理數(shù)的大小方法分析得出答案.

【規(guī)范解答】解：：1<注<2,

.,.0<2-V2<1>

故答案為：<.

【考點評析】此題主要考查了實數(shù)比較大小，正確估算無理數(shù)的大小是解題關鍵.

【變式訓練7-4】（2018秋?江都區(qū)期中）為了比較通+1與板的大小，小伍和小陸兩名同學對這個問題

分別進行了研究.

（1）小伍同學利用計算器得到了北心2.236,V10^3.162,所以確定JM+1>（填“>”或

或“=”）

（2）小陸同學受到前面學習在數(shù)軸上用點表示無理數(shù)的啟發(fā)，構(gòu)造出所示的圖形，其中NC=90°,BC=

3,〃在回上且請你利用此圖進行計算與推理，幫小陸同學對遙+1和技的大小做出準確

的判斷.

【思路點撥】（1）代入計算，再根據(jù)實數(shù)大小比較的方法進行比較即可求解；

（2）依據(jù)勾股定理即可得到「O=>\/CD2+AC2=AB=VAC2+BC2='B>AD=炳+\,再根

據(jù)中，AD^BD>AB,即可得到通

【規(guī)范解答】解：（1）VA/5^2.236,162,

.,.A/5+1^3.236,

V3.236>3.162,

.?.遙+]>V75.

故答案為：>;

（2）?.?NC=90°,BC=3,BD=AC=\,

：.CD=2,AD=>/CD2+AC2=V5>AB=-7AC2+BC2=,

：.BD^AD=y/5+l,

又?.?△力初中，AIABD>AB,

.，?V5+I>VTQ.

【考點評析】本題主要考查了三角形三邊關系以及勾股定理的運用，解題時注意：三角形兩邊之和大于

第三邊.

“考點08：估算無理數(shù)的大小

【典例精講】（2021秋?江都區(qū)月考）已知a<小<6,且a,6為兩個連續(xù)的整數(shù)，則K6=5.

【思路點撥】先估算出近的取值范圍，得出a,b的值，進而可得出結(jié)論.

【規(guī)范解答】解：：4<7<9,

.\2<V7<3.

?:a、6為兩個連續(xù)整數(shù)，

<3=2,6=3,

.?.a+6=2+3=5?

故答案為：5.

【考點評析】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，利用夾值法求出a,右的值是解答此題的關鍵.

【變式訓練8-1】（2021秋?亭湖區(qū)校級期中）估計丁7的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【思路點撥】根據(jù)平方數(shù)進行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：=2,V9=3,

而F<77〈病，

.-.2<V7<3,

估計小的值在2和3之間.

故選：B.

【考點評析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，要想準確地估算出無理數(shù)的取值范圍需要記住一些常用數(shù)

的平方.

【變式訓練8-2】（2022秋?江都區(qū)期中）估計5-、后的值在（）

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

【思路點撥】根據(jù)求平方和不等式的性質(zhì)進行求算.

【規(guī)范解答】解：〈百〈2,

-2<-Vs<-1>

.*.3<5-V3<4,

故選：B.

【考點評析】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握平方法和不等式的性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式訓練8-3】（2023春?儀征市期末）若丁五的值在兩個連續(xù)整數(shù)a與b之間，則a+6=7.

【思路點撥】由〈后，可得即可得出a、6的值，代入計算即可得出

答案.

【規(guī)范解答】解：?.?北

3<V11<4,

Aa=3,6=4,

.?.?3+6=3+4=7.

故答案為：7.

【考點評析】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，熟練應用估算無理數(shù)大小的方法進行求解是解決本題

的關鍵.

【變式訓練8-4】（2022秋?灌云縣月考）我們知道，血是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小

數(shù)部分.即加的整數(shù)部分是1,小數(shù)部分是、歷-1,請回答以下問題：

（1）的小數(shù)部分是標-3,5-J近的小數(shù)部分是4-示.

（2）若a是標的整數(shù)部分，力是百的小數(shù)部分.求a+力-f+1的平方根.

（3）若7+J5=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求x-尹述的值.

【思路點撥】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，估算無理數(shù)折，5-后的大小，進而確定它們的整數(shù)部

分、小數(shù)部分即可；

（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，估算無理數(shù)標，正的大小，進而確定它們的整數(shù)部分、小數(shù)部分，即

確定a、6的值，再代入計算出k6-百+1的值，最后求其平方根即可；

（3）估算無理數(shù)7+返的值，確定x、y的值，代入計算￡-方述的值即可.

【規(guī)范解答】解：（1）V3<V7O<4,

...折的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分為-3,

V3<V13<4,

/.-4<-A/13<-3,

.,.1<5-Vl3<2,

A5-的整數(shù)部分是1,小數(shù)部分為5-V13-1=4-V13.

故答案為：V10-3,4-y/13；

(2)vV81<V90<</100;即9<加5<10,

所的整數(shù)部分a=9,

的整數(shù)部分為1,愿的小數(shù)部分b=M-1>

a^b-A/3+I—9+^/3-1-^3+1—9,

a+Z?-A/S+1的平方根為土J0=±3；

(3)V2<V5<3,

/.9<7+V5<10,

又,；7+通=戶乃其中x是整數(shù)，且0<y<l,

；.x=9,y=7+通-9=遍-2,

產(chǎn)遙=9-V5+2+V5

=11,

答：x-產(chǎn)?的值為11.

【考點評析】本題考查平方根、算術(shù)平方根以及估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根、平方根的定義是

正確解答的前提，確定a、b、x、y的值是得出正確答案的關鍵.

【變式訓練8-5】(2022秋?興化市校級期末)材料1：2.5的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是0.5,小數(shù)部分可

以看成是2.5-2得來的，類比來看，企是無理數(shù)，而所以加的整數(shù)部分是1,于是可用

V2-1來表示正的小數(shù)部分.

材料2：若10-/&=>道，則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a,力要滿足a=10,b=-

—1.

2

根據(jù)以上材料，完成下列問題：

(1)的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是斤-4；

（2）3+愿也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+?<6,求a+6的算術(shù)平方根.

【思路點撥】（1）根據(jù)完全平方數(shù)，進行計算即可解答；

（2）先估算出我的值的范圍，從而估算出3+我的值的范圍，進而求出a,6的值，然后代入式子中進

行計算即可解答.

【規(guī)范解答】解：（1）V16<17<25,

；.4<近7<5,

???布的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是5-4,

故答案為：4,y/17-4；

（2）Vl<3<4,

.-.1<V3<2,

A4<3+V3<5,

：3+百也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<3+M<b,

.?.H=4,b=5,

??.界8=4+5=9,

的算術(shù)平方根是3.

【考點評析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關鍵.

■考點09：實數(shù)的運算

【典例精講】（2022秋?南京期末）計算：.（-3）2+我=5.

【思路點撥】原式利用二次根式性質(zhì)，以及立方根定義計算即可得到結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：原式=|-31+2=3+2=5,

故答案為：5

【考點評析】此題考查了實數(shù)的運算，涉及的知識有：二次根式性質(zhì)及立方根，熟練掌握運算法則是解

本題的關鍵.

【變式訓練97］（2022?鼓樓區(qū)校級開學）已知㈤為實數(shù)，規(guī)定運算：利=1-工，a3=l-a4=l-

ala2

—，a5=l-1-,…，a〃=l-二一.按上述方法計算：當綺=3時，物24的值等于（）

a3a4an-l

【思路點撥】化簡前幾個數(shù)，得到當以三個數(shù)為一組，不斷循環(huán)，因為2024+3=674...2,所以包曲

出再代數(shù)求值即可.

【規(guī)范解答】解：???冬=3,

?a—1-1—2

a13

為=1-~~~~

a22

包=1-」^=3,

a3

a—1-