2023年北京市八年級下期末數(shù)學分類匯編：新定義（原卷版）

2023.7北京市八年級下期末數(shù)學分類匯編一一新定義（原卷版）

1.（2023春?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標系xQy中，對于點尸（xo,yo）,給出如下定

義：若存在實數(shù)xi,X2,y\,>2使得xo-xi=xi-X2且yo-yi=yi->2,則稱點P為以點

（XI,J4）和（X2,二）為端點的線段的等差點.

（1）若線段加的兩個端點坐標分別為（1,2）和（3,-2）,則下列點是線段加等差點

的有;（填寫序號即可）

①尸1（-1，6）；

②尸2（2,0）；

③尸3（4,-4）；

④尸4（5,-6）.

（2）點/,3都在直線夕=-苫上，已知點/的橫坐標為-2,M（t,0）,NG+l,1）.

①如圖1,當t=-l時，線段的等差點在線段兒W上，求滿足條件的點3的坐標；

②如圖2,點3橫坐標為2,以45為對角線構(gòu)造正方形NC3O,在正方形/C8D的邊上

（包括頂點）任取兩點連接的線段中，若線段上存在其中某條線段的等差點，直接

寫出t的取值范圍.

y八y八

5-5-

4-

一5-4-3-24°_12345H-5-4-3-2-1)0_12345a;

-2

-3

-4-4

-5-5

圖一圖二

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2.(2023春?西城區(qū)期末)在平面直角坐標系xQy中，對于正方形/BCD和它的邊上的動點

尸，作等邊△OPP,且O,P,P'三點按順時針方向排列，稱點P是點P關(guān)于正方形/BCD

的"友好點已知/C-a,a),B(a,a),C(a,-a),DC-a,-a)(其中a>0).

(1)如圖1,若a=3,的中點為M,當點尸在正方形的邊上運動時，

①若點P和點P關(guān)于正方形/BCD的“友好點”點P,恰好都在正方形的邊上，

則點P的坐標為;點M關(guān)于正方形ABCD的“友好點”點M'

的坐標為;

②若記點P關(guān)于正方形43。的“友好點”為P",〃)，直接寫出〃與加的關(guān)系式

(不要求寫優(yōu)的取值范圍)；

(2)如圖2,E(-1,-1),F(2,2).當點尸在正方形/BCD的四條邊上運動時，若

線段斯上有且只有一個點P關(guān)于正方形/BCD的“友好點”，求。的取值范圍；

(3)當2WaW4時，直接寫出所有正方形/BCD的所有“友好點”組成圖形的面積.

圖1圖2圖3

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3.（2023春?東城區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，對于線段和點尸作出如下定義：

若點N分別是線段尸尸1,%2的中點，連接馬尸2,我們稱線段尸1P2的中點0是點P

關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)點”.

（1）已知點M（2,2）,點尸關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)點”是點。；

①若點P的坐標是（2,0）,則點。的坐標是；

②若點￡的坐標是（1,-1）,點尸的坐標是（3,-1）.點P是線段M上任意一點，

求線段尸。長的取值范圍；

（2）點/是直線Z：y=x+l上的動點.在矩形/BCD中，邊軸，4B=3,BC=2.點、

尸是矩形N38邊上的動點，點尸關(guān)于其所在邊的對邊的“關(guān)聯(lián)點”是點。.過點/作

x軸的垂線，垂足為點G.設(shè)點G的坐標是G,0）.當點4沿著直線/運動到點H時,

點G沿著x軸運動到點G，（什機，0）,點0覆蓋的區(qū)域的面積S滿足20WSW30,直接

X

4

3

2

1-

II__________1111A

-2-1012342

-1-

-2-

備用圖

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4.(2023春?朝陽區(qū)期末)在平面直角坐標系xQy中，對于點P(x,y)和點。給出如下定

義：若點。的坐標為(x,即)(?>0),則稱點。為點尸的“〃倍點

(1)①若點尸(3,3),點。為點尸的“工倍點”，則點。的坐標為；

3

②當P是直線y=x+l與x軸的交點時，點P的“〃倍點”的坐標為.

(2)已知點/(2.3),B(6,3),C(8,5),D(4,5)；

①若對于直線40上任意一點0,在直線y=2x+2上都有點尸，使得點0為點尸的“"

倍點”，求〃的值;

②點P是直線y=fcv+2左(左>0)上任意一點，若在四邊形/BCD的邊上存在點P的“n

倍點”，且〃=鼠直接寫出后的取值范圍.

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5.(2023春?豐臺區(qū)期末)在平面直角坐標系X0V中，如果點/,C為某個麥形一組對角的頂點,

且點C在直線y=x上，那么稱該菱形為點/,C的“關(guān)聯(lián)菱形例如，圖1中的四邊

形4BCD為點4,C的“關(guān)聯(lián)菱形”.

已知點1),點a).

(1)當a=3時，

①在點￡(2,1),F(1,3),G(-1,5)中，點能夠成為點尸的“關(guān)

聯(lián)菱形”的頂點；

②當點尸的“關(guān)聯(lián)菱形”MVP。的面積為8時，求點N的坐標.

(2)已知直線y=-2x+b與x軸交于點/,與y軸交于點8,若線段4BW5,且點/是

點、M,P的“關(guān)聯(lián)菱形”的頂點，直接寫出。的取值范圍.

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6.(2023春?大興區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點yi),N(x2,

y2)我們將|xi-知+歷稱為點M與點N的"直角距離"，記作辦w.

例如：點M(-2,4)與點N(5,3)的“直角距離"dMN=\-2-5|+|4-3|=8.

(1)已知點尸1(1.3),尸2(-2,-3),尸3(-9，S),在這三個點中，與原點。的

22

“直角距離”等于4的點是；

(2)若直線》=區(qū)+6上恰好有兩個點與原點。的“直角距離”等于4,直接寫出b的

4

取值范圍；

(3)已知點/Cm,2),B(切+5,2),若線段N2上有且只有一點C,使得tfco=4,直

接寫出機的取值范圍.

5

4

3

2

1-

II[II_______

-5-4-3-2-10~12345%

—1■

-2-

-3-

-4-

-5-

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7.（2023春?石景山區(qū)期末）在平面直角坐標系xQy中，如果點P到原點。的距離為0,點

M到點P的距離是a的后倍“為正整數(shù)），那么稱點M為點尸的左倍關(guān)聯(lián)點.

（1）當點Pi的坐標為（0,1）時，

①如果點尸1的2倍關(guān)聯(lián)點M在y軸上，那么點M的坐標是；

如果點P1的2倍關(guān)聯(lián)點M在x軸上，那么點M的坐標是；

②如果點y）是點尸1的左倍關(guān)聯(lián)點，且滿足y=-2,-1WXW4,那么發(fā)的最大

值為;

（2）如果點尸2的坐標為（1,1）,且在函數(shù)y=x+6的圖象上存在P2的2倍關(guān)聯(lián)點，直

接寫出6的取值范圍.

yA

5-

j??ia

-3-2-102345%

-1

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8.(2023春?通州區(qū)期末)在平面直角坐標系xQy中，點/(0,2),點2(2,0),點C(0,

-2),點。(-2,0),M為四邊形N8CD邊上一點.對于點尸(6,0)給出如下定義：

若點P在x軸下方，點P關(guān)于原點的對稱點為0,我們稱點

。為點尸關(guān)于點M為直角頂點的“變換點”.

(1)①在圖中分別畫出點尸關(guān)于點/和點8直角頂點的“變換點”G、R；

②連結(jié)GR,用等式表示線段GR與N3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)直線y=fcc+3左(^0)上存在點尸關(guān)于點M為直角頂點的“變換點”，直接寫出左

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9.（2023春?延慶區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，對于直線/和圖形印給出如下定義：

若直線/與圖形少有且只有一個交點，則稱直線/是圖形少的“獨立關(guān)聯(lián)直線”.

如圖1,直線/是菱形/BCD的“獨立關(guān)聯(lián)直線”.

（1）如圖2,點/（1,0）,點。（3,1）是矩形/5CD的頂點，若一次函數(shù)y=fcc-l

廿0）的圖象是這個矩形的“獨立關(guān)聯(lián)直線”，求左的值；

（2）點凡"是直線y=x上的兩點，點廠的橫坐標為a,點〃的橫坐標為a+1；將正方

形EFGH的邊HE,EF,尸G稱為圖形”（其中點E的橫坐標為a）,若直線/：y=-2x+2

是圖形M的“獨立關(guān)聯(lián)直線”，直接寫出。的取值范圍.

ykyAyA

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“24x234K

備用圖

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10.(2023春?昌平區(qū)期末)對于點P和圖形憶若點尸關(guān)于圖形印上任意的一點的對稱點

為點。，所有點。組成的圖形為則稱圖形M為點尸關(guān)于圖形少的“對稱圖形在

平面直角坐標系中，已知點/(-1,-2),3(2,-2),C(2,1),D(-1,1).

(1)①在點￡(-2,-4),F(0,-4),G(3,-3)中，是點0關(guān)于線段的“對

稱圖形”上的點有.

②畫出點。關(guān)于四邊形/BCD的“對稱圖形”；

(2)點TG,0)是x軸上的一動點.

①若點T關(guān)于四邊形N3CD的“對稱圖形”與。關(guān)于四邊形N3CA的“對稱圖形”有

公共點，求才的取值范圍；

②直線y=x7與x軸交于點7,與y軸交于點"，線段7H上存在點K,使得點K是點

7關(guān)于四邊形/BCD的“對稱圖形”上的點，直接寫出f的取值范圍.

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11.(2023春?密云區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，對于尸、。兩點給出如下定義：若點P

到兩坐標軸的距離之和等于點。到兩坐標軸的距離之和，則稱P、。兩點為垂距等點.如

圖所示尸、。兩點即為垂距等點.

(1)已知點/的坐標為(-2,3).

①在點4),N(7,-2),7(-5,0)中，為點/的垂距等點的是；

②若點B在y軸的負半軸上.且兩點為垂距等點，則點B的坐標為；

(2)直線/：y=x-4與x軸交于點C,與y軸交于點D

①當￡為線段CO上一點時，若在直線工=〃上存在點R使得￡、尸兩點為垂距等點，

求n的取值范圍；

②已知正方形N5KL的邊長為2,(60)是對角線NK、5Z的交點，且正方形的任何一

條邊均與某條坐標軸垂直.當￡為直線/上一動點時，若該正方形的邊上存在點G,使

得E,G兩點為垂距等點，直接寫出，的取值范圍.

yA

6-

5-

y八

54-

p4-3-

32-

Q

21-

1

一6一5—4一3一2曰°123456%

-3-2-lf12345%-2

-2-3

-3-4

-5

-6

備用圖

第11頁(共17頁)

12.（2023春?順義區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：若在圖形M上存在

一點尸，且點尸的縱坐標是橫坐標的〃（”為正整數(shù)）倍，則稱點尸為圖形M的““倍點”.

例如，點（1,4）是直線y=-x+5的“4倍點”.

（1）在點P（1,2）,尸2（2,0）,尸3（2,4）,尸4（2，A）中，是直

55

線＞=-2x+4的“2倍點”；

（2）已知點/的坐標為（m,0）,點2的坐標為（加+2,0）,以線段為矩形的一邊

向上作矩形48CD.

①若機=1,AD=4,判斷是否存在矩形48co的“3倍點”，若存在，求出矩形4BCD

的“3倍點”的坐標，若不存在，請說明理由；

②若且存在矩形A8CD的“〃倍點”，直接寫出機的取值范圍.

第12頁（共17頁）

13.(2023春?房山區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，不同的兩點N(xi,yi),B(x2,J2),

給出如下定義：

若b2-川=,2-刈,則稱點4,8互為“等距點”.例如，點M(3,2),N(2,3)互為

”等距點”.

(1)Pi(1,2),Pi(1,1),po(72,-1)，尸4(1，-1)四個點中，能與坐標原

點互為“等距點”的

是.

(2)已知/(1,0),

①若點B是點A的等距點，且滿足的面積為1,求點B的坐標.

②若以點TG,3)為中心，邊長為2正方形上存在一點P與點/互為等距點，請直接

寫出/的取值范圍.

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14.(2023春?平谷區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標系xOy中，對于矩形0/2C其中/(4,

0),B(4,2),C(0,2),給出如下定義：連接/C,交于點尸，將點尸關(guān)于直線y

=kx+b(左=0)對稱得到點。，我們稱。為矩形OABC的有緣點.

(1)若左=1,6=0請在，2中畫出矩形0/3C的有緣點。，并求出點0的坐標；

5

4

-5-4-3-2-1O2345力

-1

234

圖1圖2

(2)已知正方形ODERD(-5,0),￡(-5,5),F(0,5),當左=1時，若正方形

?！?防上存在矩形OABC的有緣點，求6的值.

第14頁(共17頁)

15.(2023春?懷柔區(qū)期末)對于平面直角坐標系xOy中的圖形M和點4,2給出如下定義：

點尸是圖形M上任意一點，如果平面內(nèi)存在一點。，使/,B,P,。為頂點的四邊形是平

行四邊形，則稱點。是圖形”的關(guān)于點力,2的“平行連接點”.對點/(2,0),點2(0,

-1).

(1)如圖1,若圖形M是點尸(0,2),

①Q(mào)(2,3),Q(2,1),0(-2,1)中不是圖形M的關(guān)于點力,3的“平行連接點”

的為;

②若點0是圖形M的關(guān)于點/,B的“平行連接點”，直線尸。：y=kx+b中k

=，b=.

(2)如圖2,若圖形〃■是以點。(-2,2),￡(-3,1),F(-1,0)為頂點的三角

形，點。是圖形M的關(guān)于點力,2的“平行連接點”，直線P。：中b的取值范

4A

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