《三 猜想與證明》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)-北京版-2024-2025學(xué)年

《三猜想與證明》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、已知數(shù)列{an}中，a1=3，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，有an+1=an+2n。求a4的值。A.9B.11C.13D.152、若等差數(shù)列{an}的第一項(xiàng)為a1，公差為d，則該數(shù)列的第n項(xiàng)an可以表示為：A.a1+(n-1)dB.a1+ndC.a1-(n-1)dD.a1-nd3、已知在等邊三角形ABC中，AB=BC=CA，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，且AD=2BD。請(qǐng)問(wèn)∠ADB的度數(shù)是多少？A.30°B.45°C.60°D.90°4、在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O。如果OA=3cm，OB=4cm，AC=10cm，那么BD的長(zhǎng)度是多少？A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm5、已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1=3，a3+a5=12，求d的值。A.2B.3C.4D.56、若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=2，公比q=3，則第n項(xiàng)bn=？A.3^n-1B.2*3^(n-1)C.3^n+1D.2*3^n7、在下列各組數(shù)中，能構(gòu)成等差數(shù)列的是（）A.1,3,5,7B.2,4,8,16C.3,6,12,24D.1,2,3,48、若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2，則數(shù)列的第10項(xiàng)an是（）A.28B.29C.30D.319、已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an(an+1)，求證：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^n-1。A.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1，這與假設(shè)矛盾，所以原命題成立。B.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，所以原命題成立。C.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設(shè)矛盾，所以原命題不成立。D.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設(shè)矛盾，所以原命題不成立。10、在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，d=2，求第10項(xiàng)與第15項(xiàng)的差的平方。A.36B.64C.100D.144二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AB=10cm。求BC和AC的長(zhǎng)度。第二題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8cm。點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，且AE=3cm。連接DE，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F。（1）求證：DE=DF；（2）若BE=6cm，求三角形ABF的面積。第三題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足以下條件：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1。（1）求證：數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比為q，求q的值。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足an+1=an+3，a1=1。求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有an=3n-2。第二題：已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為1，3，7，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有an+2=2an+1-an。求證：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^n-1。第三題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，且∠BAC=60°。求證：AD也是三角形ABC的角平分線。第四題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足：（1）a1=1；（2）an+1=2an-1，對(duì)任意n∈N*成立。（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）若Sn+1=2Sn，求n的值。第五題已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別是1，3，7，且滿(mǎn)足an=2an-1+1。求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。第六題：已知在等邊三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C的度數(shù)相等，且AB=AC。點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的一點(diǎn)，使得DE平行于AC。（1）請(qǐng)證明：DE=AC；（2）若∠AEC=30°，求∠EAB的度數(shù)。第七題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足以下條件：（1）a1=2；（2）對(duì)于任意正整數(shù)n，都有an=2*(a1+a2+…+an-1)。（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an?！度孪肱c證明》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、已知數(shù)列{an}中，a1=3，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，有an+1=an+2n。求a4的值。A.9B.11C.13D.15答案：C解析：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，我們可以逐步求出數(shù)列的各項(xiàng)值。a2=a1+2*1=3+2=5a3=a2+2*2=5+4=9a4=a3+2*3=9+6=15因此，a4的值為15，所以正確答案是C。2、若等差數(shù)列{an}的第一項(xiàng)為a1，公差為d，則該數(shù)列的第n項(xiàng)an可以表示為：A.a1+(n-1)dB.a1+ndC.a1-(n-1)dD.a1-nd答案：A解析：根據(jù)等差數(shù)列的定義，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之差是常數(shù)，即公差d。因此，數(shù)列的第n項(xiàng)an可以表示為第一項(xiàng)a1加上公差d乘以項(xiàng)數(shù)減1，即：an=a1+(n-1)d所以正確答案是A。3、已知在等邊三角形ABC中，AB=BC=CA，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，且AD=2BD。請(qǐng)問(wèn)∠ADB的度數(shù)是多少？A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解析：由于三角形ABC是等邊三角形，所以每個(gè)角都是60°。又因?yàn)锳D=2BD，所以在三角形ABD中，AD是BD的兩倍，即AD是AB的一半。這意味著∠ADB是等邊三角形ABC的一半，因此∠ADB=60°/2=30°。但是，這只是一個(gè)中間角度。我們注意到∠ADB是三角形ABD的外角，所以它等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和。因?yàn)椤螦BD是60°（等邊三角形的一半），所以∠ADB=∠ABD+∠BAD=60°+60°=120°。這顯然不正確，因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道三角形ABC是等邊三角形，所以∠ABD=60°。因此，我們考慮∠ADB是三角形ABD的外角，它等于非相鄰內(nèi)角的和，即∠ADB=∠BAD+∠ABD=60°+60°=120°。所以最終答案是∠ADB=120°，這與選項(xiàng)C相符。但由于我們的計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，我們重新檢查：在等邊三角形ABC中，∠ADB應(yīng)該是∠ABD的兩倍，因?yàn)锳D是AB的一半。所以∠ADB=2×60°=120°，但由于這是一個(gè)錯(cuò)誤，我們?cè)俅螜z查。實(shí)際上，由于AD是AB的一半，所以∠ADB=60°，因?yàn)樗堑冗吶切蜛BC內(nèi)角的一半。因此，正確答案是C，即60°。4、在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O。如果OA=3cm，OB=4cm，AC=10cm，那么BD的長(zhǎng)度是多少？A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm答案：B解析：在平行四邊形中，對(duì)角線互相平分。這意味著O是AC和BD的中點(diǎn)。因此，AC的一半是OA，BD的一半是OB。已知OA=3cm，OB=4cm，所以AC=2×OA=2×3cm=6cm。由于AC的長(zhǎng)度是10cm，這與我們計(jì)算的結(jié)果不符，說(shuō)明我們的假設(shè)有誤。實(shí)際上，AC=10cm，所以O(shè)A=AC/2=10cm/2=5cm?，F(xiàn)在我們知道OA=5cm，OB=4cm，所以BD=2×OB=2×4cm=8cm。因此，BD的長(zhǎng)度是8cm，與選項(xiàng)B相符。5、已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1=3，a3+a5=12，求d的值。A.2B.3C.4D.5答案：C解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a3=a1+2d，a5=a1+4d。根據(jù)題目中的條件，a3+a5=12，代入得3+2d+3+4d=12，即6+6d=12，解得d=1。故選C。6、若等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=2，公比q=3，則第n項(xiàng)bn=？A.3^n-1B.2*3^(n-1)C.3^n+1D.2*3^n答案：B解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知，bn=b1*q^(n-1)。代入題目中的條件，得bn=2*3^(n-1)。故選B。7、在下列各組數(shù)中，能構(gòu)成等差數(shù)列的是（）A.1,3,5,7B.2,4,8,16C.3,6,12,24D.1,2,3,4答案：A解析：等差數(shù)列的特征是相鄰兩項(xiàng)的差值相等。在選項(xiàng)A中，3-1=2，5-3=2，7-5=2，相鄰兩項(xiàng)的差值均為2，因此選項(xiàng)A構(gòu)成等差數(shù)列。而其他選項(xiàng)中，相鄰兩項(xiàng)的差值不相等，因此不構(gòu)成等差數(shù)列。8、若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2，則數(shù)列的第10項(xiàng)an是（）A.28B.29C.30D.31答案：B解析：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n-2，將n=10代入公式中，得到a10=3*10-2=30-2=28。因此，數(shù)列的第10項(xiàng)an是28，選項(xiàng)B正確。9、已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an(an+1)，求證：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^n-1。A.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1，這與假設(shè)矛盾，所以原命題成立。B.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，所以原命題成立。C.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設(shè)矛盾，所以原命題不成立。D.證明：a1=1，假設(shè)an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設(shè)矛盾，所以原命題不成立。答案：B解析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，首先驗(yàn)證n=1時(shí)，a1=2^1-1=1，命題成立。然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即ak=2^k-1，接下來(lái)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。根據(jù)題目條件，有ak+1=ak(ak+1)=(2^k-1)(2^(k+1)-1)=2^(2k+1)-2^k+1=2^(k+1)-1，所以命題在n=k+1時(shí)也成立。由數(shù)學(xué)歸納法可知，命題對(duì)于所有自然數(shù)n都成立。10、在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，d=2，求第10項(xiàng)與第15項(xiàng)的差的平方。A.36B.64C.100D.144答案：D解析：等差數(shù)列的第n項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d。根據(jù)題目條件，a1=3，d=2，所以第10項(xiàng)a10=3+(10-1)×2=3+18=21，第15項(xiàng)a15=3+(15-1)×2=3+28=31。因此，第10項(xiàng)與第15項(xiàng)的差為31-21=10，差的平方為10^2=100。所以正確答案為D。二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AB=10cm。求BC和AC的長(zhǎng)度。答案：BC=10√3cm，AC=10√2cm。解析：首先，由三角形內(nèi)角和定理可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°。由正弦定理可得：AB/sinC=BC/sinA代入已知值可得：10/sin105°=BC/sin45°化簡(jiǎn)得：BC=10*sin45°/sin105°利用三角函數(shù)的和差公式可得：sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°代入計(jì)算得：BC=10*(√2/2)/(√3/2+1/2)化簡(jiǎn)得：BC=10√3cm同理，由正弦定理可得：AB/sinC=AC/sinB代入已知值可得：10/sin105°=AC/sin30°化簡(jiǎn)得：AC=10*sin30°/sin105°代入計(jì)算得：AC=10*(1/2)/(√3/2+1/2)化簡(jiǎn)得：AC=10√2cm綜上，BC=10√3cm，AC=10√2cm。第二題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8cm。點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，且AE=3cm。連接DE，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F。（1）求證：DE=DF；（2）若BE=6cm，求三角形ABF的面積。答案：（1）證明：因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC=BC/2=8cm/2=4cm。在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以AD垂直平分BC，即AD⊥BC。由于D是中點(diǎn)，所以DE=DF（垂直平分線性質(zhì)）。（2）解：因?yàn)锽E=6cm，而B(niǎo)C=8cm，所以EC=BC-BE=8cm-6cm=2cm。在直角三角形ADE中，AD是斜邊，AE和DE是直角邊，根據(jù)勾股定理：AD2=AE2+DE2AD2=3cm2+DE2由于DE=DF，且DF=BD-DE=4cm-DE，所以：AD2=3cm2+(4cm-DE)2AD2=9cm2+16cm2-8cmDE+DE2AD2=25cm2-8cmDE又因?yàn)镈E=DF，所以：AD2=25cm2-8cm*DF在直角三角形ABD中，同樣使用勾股定理：AB2=AD2+BD2AB2=(25cm2-8cmDF)+4cm2AB2=29cm2-8cmDF因?yàn)锳B=AC，所以AC2=AB2=29cm2-8cm*DF。在直角三角形ACE中，AC是斜邊，AE和EC是直角邊，同樣使用勾股定理：AC2=AE2+EC229cm2-8cmDF=3cm2+2cm229cm2-8cmDF=5cm28cmDF=29cm2-5cm28cmDF=24cm2DF=24cm2/8cmDF=3cm因此，AB2=29cm2-8cm*3cm=29cm2-24cm2=5cm2AB=√5cm三角形ABF的面積可以通過(guò)底乘以高除以2來(lái)計(jì)算。這里高是DF，底是AB。三角形ABF的面積=(AB*DF)/2三角形ABF的面積=(√5cm*3cm)/2三角形ABF的面積=(3√5cm2)/2三角形ABF的面積=3√5cm2/2解析：（1）通過(guò)證明DE=DF，使用了等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)。（2）通過(guò)勾股定理計(jì)算出了AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而計(jì)算出了三角形ABF的面積。在計(jì)算過(guò)程中注意到了等腰三角形中的性質(zhì)和直角三角形的勾股定理的應(yīng)用。第三題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足以下條件：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1。（1）求證：數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比為q，求q的值。答案：（1）證明：由題意知，a1=1，且an=Sn-Sn-1。當(dāng)n=2時(shí)，a2=S2-S1=S1+S2-S1=S2，所以a2=1。當(dāng)n=3時(shí)，a3=S3-S2=S2+S3-S2=S3，所以a3=2。以此類(lèi)推，可以得到an=n?，F(xiàn)在來(lái)證明數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列。對(duì)于任意的n≥2，有：an/an-1=n/(n-1)當(dāng)n≥3時(shí)，有：an/an-1=n/(n-1)=(n-1+1)/(n-1)=1+1/(n-1)由于1/(n-1)是一個(gè)正數(shù)，所以an/an-1>1。因此，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列。（2）求q的值：由于數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，所以有an=a1*q^(n-1)。將an=n代入上式，得到：n=1*q^(n-1)當(dāng)n=2時(shí)，得到：2=q因此，數(shù)列{an}的公比q的值為2。解析：（1）首先，根據(jù)題意，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn和Sn-1的關(guān)系，推導(dǎo)出an的表達(dá)式。然后，通過(guò)計(jì)算an/an-1的值，證明數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列。（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，將an代入an=a1*q^(n-1)的公式中，求解公比q的值。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足an+1=an+3，a1=1。求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有an=3n-2。答案：證明：（1）首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a1=3*1-2=1，成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，an=3k-2成立，即ak=3k-2。（3）那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有：ak+1=ak+3=(3k-2)+3=3k+1=3(k+1)-2所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，an=3(k+1)-2也成立。（4）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)于任意的正整數(shù)n，an=3n-2成立。解析：本題目主要考察了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立。然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，再證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，即可得到對(duì)于任意的正整數(shù)n，an=3n-2成立。第二題：已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為1，3，7，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有an+2=2an+1-an。求證：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^n-1。答案：證明：設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^n-1。首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a1=2^1-1=1，符合數(shù)列的前三項(xiàng)。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=2k-1成立，即ak=2k-1。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，有：ak+2=2ak+1-ak=2(2k-1)-2k+1=2k+2-2k+1=2^k+1由歸納假設(shè)可知，ak=2^k-1，代入上式得：ak+2=2k+1=2(k+1)-1因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+2也符合數(shù)列的遞推公式。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)于任意的正整數(shù)n，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^n-1。解析：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用。通過(guò)驗(yàn)證數(shù)列的前三項(xiàng)，以及根據(jù)數(shù)列的遞推公式進(jìn)行歸納假設(shè)和證明，最終得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的數(shù)學(xué)證明方法，對(duì)于證明與正整數(shù)有關(guān)的命題具有重要作用。第三題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，且∠BAC=60°。求證：AD也是三角形ABC的角平分線。答案：證明：作輔助線：連接BD和CD。因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB。又因?yàn)椤螧AC=60°，所以∠ABC+∠ACB=120°。由三角形內(nèi)角和定理，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，代入步驟3的結(jié)果，得∠ABC+∠ACB=60°。由于∠ABC=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB=30°。在直角三角形ABD中，∠BAD=90°，∠BAC=60°，所以∠ADB=∠BAC=60°。在直角三角形CDB中，∠CDB=90°，∠BCD=30°，所以∠CBD=∠CDB=60°。由步驟6和步驟7，得到∠ADB=∠CBD。根據(jù)等角定理，如果兩個(gè)角的對(duì)應(yīng)邊分別相等，那么這兩個(gè)角相等。因?yàn)锳D和CD是三角形ABC的兩邊，所以∠ADB=∠CBD。所以AD是三角形ABC的角平分線。解析：本題通過(guò)構(gòu)造輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，證明了AD是等腰三角形ABC的角平分線。解題的關(guān)鍵在于證明∠ADB=∠CBD，從而利用等角定理得出AD是角平分線的結(jié)論。第四題：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足：（1）a1=1；（2）an+1=2an-1，對(duì)任意n∈N*成立。（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）若Sn+1=2Sn，求n的值。答案：（1）證明：由條件（2）可得：a2=2a1-1=1，a3=2a2-1=2*1-1=1，以此類(lèi)推，可以推得：an=2an-1-1。假設(shè)ak=2ak-1-1，對(duì)任意k≥2成立，那么：ak+1=2ak-1=2(2ak-1-1)-1=4ak-2-3=2(2ak-2-1)-1。因此，對(duì)任意n≥2，有an=2an-1-1，即數(shù)列{an}是等差數(shù)列。（2）解：由（1）可知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，公差d=2（由a2-a1=1得到）。因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。（3）解：根據(jù)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，有：Sn=n(a1+an)/2=n(1+(2n-1))/2=n(2n)/2=n^2。由題意，Sn+1=2Sn，代入Sn的表達(dá)式得：n^2+1=2n^2。移項(xiàng)得：n^2=1。因此，n=1。解析：（1）首先通過(guò)遞推關(guān)系式推導(dǎo)出數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）利用等差數(shù)列的定義，得到通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)Sn+1=2Sn的條件，代入Sn的表達(dá)式，解得n的值。第五題已知數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別是1，3，7，且滿(mǎn)足an=2an-1+1。求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：an=2^n-1解析：首先，我們根據(jù)題目給出的數(shù)列前兩項(xiàng)，可以計(jì)算出第四項(xiàng)a4的值：a4=2a3+1=2*7+1=15。接著，我們觀察數(shù)列的前四項(xiàng)：1，3，7，15，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的兩倍再加一。為了找到通項(xiàng)公式，我們嘗試將每一項(xiàng)表示為2的冪減去1的形式。對(duì)于a1，我們有：a1=2^1-1。對(duì)于a2，我們有：a2=2^2-1。對(duì)于a3，我們有：a3=2^3-1。對(duì)于a4，我們剛剛計(jì)算得到：a4=2^4-1。由此可以推斷，數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)該是：an=2^n-1。為了驗(yàn)證這個(gè)公式是否正確，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)公式，a1=2^1-1=1，與數(shù)列的第一項(xiàng)相符。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式an=2^k-1成立，即ak=2^k-1。（3）那么當(dāng)n=k+1時(shí)，根據(jù)數(shù)列的定義，我們有：ak+1=2ak+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)-2+1=2^(k+1)-1。因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，公式同樣成立。由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)于所有正整數(shù)n，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2^n-1都是正確的。第六題：已知在等邊三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C的度數(shù)相等，且AB=AC。點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的一點(diǎn)，使得DE平行于AC。（1）請(qǐng)證明：DE=AC；（2）若∠AEC=30°，求∠EAB的度數(shù)。答案：（1）證明：由于三角形ABC是等邊三角形，所以AB=AC=BC，且∠A=∠B=∠C=60°。因?yàn)镈E平行于AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，我們有∠DEB=∠A（同位角相等）。又因?yàn)椤螦=60°，所以∠DEB也是60°。在等邊三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C=60°。由于D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，我們有∠BDC=∠B=60°?，F(xiàn)在在三角形DEB中，∠DEB=60°，