《三 猜想與證明》（同步訓練）初中數(shù)學七年級下冊-北京版-2024-2025學年

《三猜想與證明》同步訓練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、已知數(shù)列{an}中，a1=3，且對于任意的正整數(shù)n，有an+1=an+2n。求a4的值。A.9B.11C.13D.152、若等差數(shù)列{an}的第一項為a1，公差為d，則該數(shù)列的第n項an可以表示為：A.a1+(n-1)dB.a1+ndC.a1-(n-1)dD.a1-nd3、已知在等邊三角形ABC中，AB=BC=CA，點D是邊AB上的一點，且AD=2BD。請問∠ADB的度數(shù)是多少？A.30°B.45°C.60°D.90°4、在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O。如果OA=3cm，OB=4cm，AC=10cm，那么BD的長度是多少？A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm5、已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1=3，a3+a5=12，求d的值。A.2B.3C.4D.56、若等比數(shù)列{bn}的首項b1=2，公比q=3，則第n項bn=？A.3^n-1B.2*3^(n-1)C.3^n+1D.2*3^n7、在下列各組數(shù)中，能構成等差數(shù)列的是（）A.1,3,5,7B.2,4,8,16C.3,6,12,24D.1,2,3,48、若數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2，則數(shù)列的第10項an是（）A.28B.29C.30D.319、已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an(an+1)，求證：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1。A.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1，這與假設矛盾，所以原命題成立。B.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，所以原命題成立。C.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設矛盾，所以原命題不成立。D.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設矛盾，所以原命題不成立。10、在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，d=2，求第10項與第15項的差的平方。A.36B.64C.100D.144二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AB=10cm。求BC和AC的長度。第二題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8cm。點D是BC的中點，E是AC上的一點，且AE=3cm。連接DE，延長DE交AB于點F。（1）求證：DE=DF；（2）若BE=6cm，求三角形ABF的面積。第三題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足以下條件：當n=1時，a1=1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1。（1）求證：數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比為q，求q的值。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+1=an+3，a1=1。求證：對于任意的正整數(shù)n，有an=3n-2。第二題：已知數(shù)列{an}的前三項分別為1，3，7，且對于任意的正整數(shù)n，都有an+2=2an+1-an。求證：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1。第三題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，且∠BAC=60°。求證：AD也是三角形ABC的角平分線。第四題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：（1）a1=1；（2）an+1=2an-1，對任意n∈N*成立。（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）若Sn+1=2Sn，求n的值。第五題已知數(shù)列{an}的前三項分別是1，3，7，且滿足an=2an-1+1。求該數(shù)列的通項公式。第六題：已知在等邊三角形ABC中，內角A、B、C的度數(shù)相等，且AB=AC。點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的一點，使得DE平行于AC。（1）請證明：DE=AC；（2）若∠AEC=30°，求∠EAB的度數(shù)。第七題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足以下條件：（1）a1=2；（2）對于任意正整數(shù)n，都有an=2*(a1+a2+…+an-1)。（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式an?！度孪肱c證明》同步訓練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、已知數(shù)列{an}中，a1=3，且對于任意的正整數(shù)n，有an+1=an+2n。求a4的值。A.9B.11C.13D.15答案：C解析：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，我們可以逐步求出數(shù)列的各項值。a2=a1+2*1=3+2=5a3=a2+2*2=5+4=9a4=a3+2*3=9+6=15因此，a4的值為15，所以正確答案是C。2、若等差數(shù)列{an}的第一項為a1，公差為d，則該數(shù)列的第n項an可以表示為：A.a1+(n-1)dB.a1+ndC.a1-(n-1)dD.a1-nd答案：A解析：根據(jù)等差數(shù)列的定義，每一項與其前一項之差是常數(shù)，即公差d。因此，數(shù)列的第n項an可以表示為第一項a1加上公差d乘以項數(shù)減1，即：an=a1+(n-1)d所以正確答案是A。3、已知在等邊三角形ABC中，AB=BC=CA，點D是邊AB上的一點，且AD=2BD。請問∠ADB的度數(shù)是多少？A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解析：由于三角形ABC是等邊三角形，所以每個角都是60°。又因為AD=2BD，所以在三角形ABD中，AD是BD的兩倍，即AD是AB的一半。這意味著∠ADB是等邊三角形ABC的一半，因此∠ADB=60°/2=30°。但是，這只是一個中間角度。我們注意到∠ADB是三角形ABD的外角，所以它等于另外兩個內角的和。因為∠ABD是60°（等邊三角形的一半），所以∠ADB=∠ABD+∠BAD=60°+60°=120°。這顯然不正確，因為我們已經知道三角形ABC是等邊三角形，所以∠ABD=60°。因此，我們考慮∠ADB是三角形ABD的外角，它等于非相鄰內角的和，即∠ADB=∠BAD+∠ABD=60°+60°=120°。所以最終答案是∠ADB=120°，這與選項C相符。但由于我們的計算過程中出現(xiàn)錯誤，我們重新檢查：在等邊三角形ABC中，∠ADB應該是∠ABD的兩倍，因為AD是AB的一半。所以∠ADB=2×60°=120°，但由于這是一個錯誤，我們再次檢查。實際上，由于AD是AB的一半，所以∠ADB=60°，因為它是等邊三角形ABC內角的一半。因此，正確答案是C，即60°。4、在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O。如果OA=3cm，OB=4cm，AC=10cm，那么BD的長度是多少？A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm答案：B解析：在平行四邊形中，對角線互相平分。這意味著O是AC和BD的中點。因此，AC的一半是OA，BD的一半是OB。已知OA=3cm，OB=4cm，所以AC=2×OA=2×3cm=6cm。由于AC的長度是10cm，這與我們計算的結果不符，說明我們的假設有誤。實際上，AC=10cm，所以OA=AC/2=10cm/2=5cm?，F(xiàn)在我們知道OA=5cm，OB=4cm，所以BD=2×OB=2×4cm=8cm。因此，BD的長度是8cm，與選項B相符。5、已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1=3，a3+a5=12，求d的值。A.2B.3C.4D.5答案：C解析：由等差數(shù)列的性質知，a3=a1+2d，a5=a1+4d。根據(jù)題目中的條件，a3+a5=12，代入得3+2d+3+4d=12，即6+6d=12，解得d=1。故選C。6、若等比數(shù)列{bn}的首項b1=2，公比q=3，則第n項bn=？A.3^n-1B.2*3^(n-1)C.3^n+1D.2*3^n答案：B解析：由等比數(shù)列的通項公式知，bn=b1*q^(n-1)。代入題目中的條件，得bn=2*3^(n-1)。故選B。7、在下列各組數(shù)中，能構成等差數(shù)列的是（）A.1,3,5,7B.2,4,8,16C.3,6,12,24D.1,2,3,4答案：A解析：等差數(shù)列的特征是相鄰兩項的差值相等。在選項A中，3-1=2，5-3=2，7-5=2，相鄰兩項的差值均為2，因此選項A構成等差數(shù)列。而其他選項中，相鄰兩項的差值不相等，因此不構成等差數(shù)列。8、若數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2，則數(shù)列的第10項an是（）A.28B.29C.30D.31答案：B解析：根據(jù)數(shù)列的通項公式an=3n-2，將n=10代入公式中，得到a10=3*10-2=30-2=28。因此，數(shù)列的第10項an是28，選項B正確。9、已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an(an+1)，求證：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1。A.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1，這與假設矛盾，所以原命題成立。B.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，所以原命題成立。C.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設矛盾，所以原命題不成立。D.證明：a1=1，假設an=2^n-1，則an+1=an(an+1)=(2^n-1)(2^(n+1)-1)=2^(2n+1)-2^n+1=2^(n+1)-1，這與假設矛盾，所以原命題不成立。答案：B解析：根據(jù)數(shù)學歸納法，首先驗證n=1時，a1=2^1-1=1，命題成立。然后假設當n=k時，命題成立，即ak=2^k-1，接下來證明當n=k+1時，命題也成立。根據(jù)題目條件，有ak+1=ak(ak+1)=(2^k-1)(2^(k+1)-1)=2^(2k+1)-2^k+1=2^(k+1)-1，所以命題在n=k+1時也成立。由數(shù)學歸納法可知，命題對于所有自然數(shù)n都成立。10、在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，d=2，求第10項與第15項的差的平方。A.36B.64C.100D.144答案：D解析：等差數(shù)列的第n項公式為an=a1+(n-1)d。根據(jù)題目條件，a1=3，d=2，所以第10項a10=3+(10-1)×2=3+18=21，第15項a15=3+(15-1)×2=3+28=31。因此，第10項與第15項的差為31-21=10，差的平方為10^2=100。所以正確答案為D。二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AB=10cm。求BC和AC的長度。答案：BC=10√3cm，AC=10√2cm。解析：首先，由三角形內角和定理可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°。由正弦定理可得：AB/sinC=BC/sinA代入已知值可得：10/sin105°=BC/sin45°化簡得：BC=10*sin45°/sin105°利用三角函數(shù)的和差公式可得：sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°代入計算得：BC=10*(√2/2)/(√3/2+1/2)化簡得：BC=10√3cm同理，由正弦定理可得：AB/sinC=AC/sinB代入已知值可得：10/sin105°=AC/sin30°化簡得：AC=10*sin30°/sin105°代入計算得：AC=10*(1/2)/(√3/2+1/2)化簡得：AC=10√2cm綜上，BC=10√3cm，AC=10√2cm。第二題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=8cm。點D是BC的中點，E是AC上的一點，且AE=3cm。連接DE，延長DE交AB于點F。（1）求證：DE=DF；（2）若BE=6cm，求三角形ABF的面積。答案：（1）證明：因為D是BC的中點，所以BD=DC=BC/2=8cm/2=4cm。在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以AD垂直平分BC，即AD⊥BC。由于D是中點，所以DE=DF（垂直平分線性質）。（2）解：因為BE=6cm，而BC=8cm，所以EC=BC-BE=8cm-6cm=2cm。在直角三角形ADE中，AD是斜邊，AE和DE是直角邊，根據(jù)勾股定理：AD2=AE2+DE2AD2=3cm2+DE2由于DE=DF，且DF=BD-DE=4cm-DE，所以：AD2=3cm2+(4cm-DE)2AD2=9cm2+16cm2-8cmDE+DE2AD2=25cm2-8cmDE又因為DE=DF，所以：AD2=25cm2-8cm*DF在直角三角形ABD中，同樣使用勾股定理：AB2=AD2+BD2AB2=(25cm2-8cmDF)+4cm2AB2=29cm2-8cmDF因為AB=AC，所以AC2=AB2=29cm2-8cm*DF。在直角三角形ACE中，AC是斜邊，AE和EC是直角邊，同樣使用勾股定理：AC2=AE2+EC229cm2-8cmDF=3cm2+2cm229cm2-8cmDF=5cm28cmDF=29cm2-5cm28cmDF=24cm2DF=24cm2/8cmDF=3cm因此，AB2=29cm2-8cm*3cm=29cm2-24cm2=5cm2AB=√5cm三角形ABF的面積可以通過底乘以高除以2來計算。這里高是DF，底是AB。三角形ABF的面積=(AB*DF)/2三角形ABF的面積=(√5cm*3cm)/2三角形ABF的面積=(3√5cm2)/2三角形ABF的面積=3√5cm2/2解析：（1）通過證明DE=DF，使用了等腰三角形的性質和垂直平分線的性質。（2）通過勾股定理計算出了AB的長度，進而計算出了三角形ABF的面積。在計算過程中注意到了等腰三角形中的性質和直角三角形的勾股定理的應用。第三題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足以下條件：當n=1時，a1=1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1。（1）求證：數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比為q，求q的值。答案：（1）證明：由題意知，a1=1，且an=Sn-Sn-1。當n=2時，a2=S2-S1=S1+S2-S1=S2，所以a2=1。當n=3時，a3=S3-S2=S2+S3-S2=S3，所以a3=2。以此類推，可以得到an=n?，F(xiàn)在來證明數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列。對于任意的n≥2，有：an/an-1=n/(n-1)當n≥3時，有：an/an-1=n/(n-1)=(n-1+1)/(n-1)=1+1/(n-1)由于1/(n-1)是一個正數(shù)，所以an/an-1>1。因此，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列。（2）求q的值：由于數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，所以有an=a1*q^(n-1)。將an=n代入上式，得到：n=1*q^(n-1)當n=2時，得到：2=q因此，數(shù)列{an}的公比q的值為2。解析：（1）首先，根據(jù)題意，利用數(shù)列的前n項和Sn和Sn-1的關系，推導出an的表達式。然后，通過計算an/an-1的值，證明數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列。（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，將an代入an=a1*q^(n-1)的公式中，求解公比q的值。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+1=an+3，a1=1。求證：對于任意的正整數(shù)n，有an=3n-2。答案：證明：（1）首先驗證當n=1時，a1=3*1-2=1，成立。（2）假設當n=k時，an=3k-2成立，即ak=3k-2。（3）那么當n=k+1時，有：ak+1=ak+3=(3k-2)+3=3k+1=3(k+1)-2所以，當n=k+1時，an=3(k+1)-2也成立。（4）根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對于任意的正整數(shù)n，an=3n-2成立。解析：本題目主要考察了數(shù)學歸納法的應用。首先驗證當n=1時，結論成立。然后假設當n=k時，結論成立，再證明當n=k+1時，結論也成立。根據(jù)數(shù)學歸納法原理，即可得到對于任意的正整數(shù)n，an=3n-2成立。第二題：已知數(shù)列{an}的前三項分別為1，3，7，且對于任意的正整數(shù)n，都有an+2=2an+1-an。求證：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1。答案：證明：設數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1。首先驗證當n=1時，a1=2^1-1=1，符合數(shù)列的前三項。假設當n=k時，ak=2k-1成立，即ak=2k-1。那么當n=k+1時，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，有：ak+2=2ak+1-ak=2(2k-1)-2k+1=2k+2-2k+1=2^k+1由歸納假設可知，ak=2^k-1，代入上式得：ak+2=2k+1=2(k+1)-1因此，當n=k+1時，ak+2也符合數(shù)列的遞推公式。根據(jù)數(shù)學歸納法，對于任意的正整數(shù)n，數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1。解析：本題考查了數(shù)學歸納法證明數(shù)列通項公式的應用。通過驗證數(shù)列的前三項，以及根據(jù)數(shù)列的遞推公式進行歸納假設和證明，最終得到數(shù)列的通項公式。數(shù)學歸納法是一種常用的數(shù)學證明方法，對于證明與正整數(shù)有關的命題具有重要作用。第三題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，且∠BAC=60°。求證：AD也是三角形ABC的角平分線。答案：證明：作輔助線：連接BD和CD。因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。又因為∠BAC=60°，所以∠ABC+∠ACB=120°。由三角形內角和定理，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，代入步驟3的結果，得∠ABC+∠ACB=60°。由于∠ABC=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB=30°。在直角三角形ABD中，∠BAD=90°，∠BAC=60°，所以∠ADB=∠BAC=60°。在直角三角形CDB中，∠CDB=90°，∠BCD=30°，所以∠CBD=∠CDB=60°。由步驟6和步驟7，得到∠ADB=∠CBD。根據(jù)等角定理，如果兩個角的對應邊分別相等，那么這兩個角相等。因為AD和CD是三角形ABC的兩邊，所以∠ADB=∠CBD。所以AD是三角形ABC的角平分線。解析：本題通過構造輔助線，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理，證明了AD是等腰三角形ABC的角平分線。解題的關鍵在于證明∠ADB=∠CBD，從而利用等角定理得出AD是角平分線的結論。第四題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：（1）a1=1；（2）an+1=2an-1，對任意n∈N*成立。（1）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）若Sn+1=2Sn，求n的值。答案：（1）證明：由條件（2）可得：a2=2a1-1=1，a3=2a2-1=2*1-1=1，以此類推，可以推得：an=2an-1-1。假設ak=2ak-1-1，對任意k≥2成立，那么：ak+1=2ak-1=2(2ak-1-1)-1=4ak-2-3=2(2ak-2-1)-1。因此，對任意n≥2，有an=2an-1-1，即數(shù)列{an}是等差數(shù)列。（2）解：由（1）可知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，公差d=2（由a2-a1=1得到）。因此，數(shù)列{an}的通項公式為：an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。（3）解：根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式，有：Sn=n(a1+an)/2=n(1+(2n-1))/2=n(2n)/2=n^2。由題意，Sn+1=2Sn，代入Sn的表達式得：n^2+1=2n^2。移項得：n^2=1。因此，n=1。解析：（1）首先通過遞推關系式推導出數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）利用等差數(shù)列的定義，得到通項公式；（3）根據(jù)Sn+1=2Sn的條件，代入Sn的表達式，解得n的值。第五題已知數(shù)列{an}的前三項分別是1，3，7，且滿足an=2an-1+1。求該數(shù)列的通項公式。答案：an=2^n-1解析：首先，我們根據(jù)題目給出的數(shù)列前兩項，可以計算出第四項a4的值：a4=2a3+1=2*7+1=15。接著，我們觀察數(shù)列的前四項：1，3，7，15，可以發(fā)現(xiàn)每一項都是前一項的兩倍再加一。為了找到通項公式，我們嘗試將每一項表示為2的冪減去1的形式。對于a1，我們有：a1=2^1-1。對于a2，我們有：a2=2^2-1。對于a3，我們有：a3=2^3-1。對于a4，我們剛剛計算得到：a4=2^4-1。由此可以推斷，數(shù)列的通項公式應該是：an=2^n-1。為了驗證這個公式是否正確，我們可以用數(shù)學歸納法來證明：（1）當n=1時，根據(jù)公式，a1=2^1-1=1，與數(shù)列的第一項相符。（2）假設當n=k時，公式an=2^k-1成立，即ak=2^k-1。（3）那么當n=k+1時，根據(jù)數(shù)列的定義，我們有：ak+1=2ak+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)-2+1=2^(k+1)-1。因此，當n=k+1時，公式同樣成立。由數(shù)學歸納法可知，對于所有正整數(shù)n，數(shù)列{an}的通項公式an=2^n-1都是正確的。第六題：已知在等邊三角形ABC中，內角A、B、C的度數(shù)相等，且AB=AC。點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的一點，使得DE平行于AC。（1）請證明：DE=AC；（2）若∠AEC=30°，求∠EAB的度數(shù)。答案：（1）證明：由于三角形ABC是等邊三角形，所以AB=AC=BC，且∠A=∠B=∠C=60°。因為DE平行于AC，根據(jù)平行線的性質，我們有∠DEB=∠A（同位角相等）。又因為∠A=60°，所以∠DEB也是60°。在等邊三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C=60°。由于D是BC的中點，根據(jù)等腰三角形的性質，我們有∠BDC=∠B=60°。現(xiàn)在在三角形DEB中，∠DEB=60°，