初中數(shù)學同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題1630°.45°和60°角的四種類型含答案及解析

專題1630°.45°和60°角的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、在60°頂點處構(gòu)造共頂點等邊三角形 1類型二、利用60°角的一邊上的點向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 3類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形 5類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形 7壓軸能力測評 81.等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個內(nèi)角相等性質(zhì)2：含30°角的直角三角形中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半2.等邊三角形的判定判定1：有三邊相等的三角形是等邊三角形判定2：兩個角是60°（三個內(nèi)角相等）的三角形是等邊三角形判定3：有一個內(nèi)角60°的等腰三角形是等邊三角形類型一、在60°頂點處構(gòu)造共頂點等邊三角形例．如圖，中，，點D、E分別在、上，，、相交于點O，于點G，求證：．【變式訓練1】．在等邊三角形外側(cè)作直線，點關(guān)于直線的對稱點為，連接，交于點，連接．(1)依題意補全如圖．(2)若，求．(3)若，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式訓練2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為______；②若，當B、D、E三點共線時，則的度數(shù)為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當?shù)拇笮≡诜秶鷥?nèi)之間任意改變，的度數(shù)是否隨之改變？請說明理由；(3)在（2）的條件下，F(xiàn)是延長線上一點，且，連接，如圖3，試探究之間的關(guān)系，并證明．【變式訓練3】．如圖，在四邊形中，垂直平分，，E是上一點，連接交于點F，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．類型二、利用60°角的一邊上的點向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 例．如圖，銳角中，，點在上，交于點E，連接，．(1)特例探索：如圖，若，求的度數(shù)；(2)類比遷移：如圖，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)拓展提升：在圖中，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【變式訓練1】．如圖，在中，，點在上，點在的延長線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點是外一點，連接，，，且平分，若，，求的長．【變式訓練2】．如圖，在中，，D是中點，，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長．【變式訓練3】．如圖，等腰中，，點D在上，點E在延長線上，連接，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的長．類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形例．等邊三角形和等腰直角三角形是我們熟悉的特殊三角形．數(shù)學課上，同學們探究得到了以下判定和性質(zhì)：①三個角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形；③等腰直角三角形的兩腰相等，兩銳角都是．請應用以上知識解決下列問題：已知線段，點C是平面內(nèi)一動點，且，連接，點D在右側(cè)，且，連接交于點E．

【初步應用】（1）如圖1，若，則_______°；【深化應用】（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于F，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應用】（3）若，當最長時，請直接寫出的長．【變式訓練1】．如圖1，在等腰直角三角形中，，，點在邊上，連接，，，連接，．(1)，請你說明理由．(2)求的度數(shù)．(3)點關(guān)于直線的對稱點為，連接，．補全圖形，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式訓練2】．如圖，已知，中，為的中點，求的度數(shù)

【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與直線相交于點；直線與軸交于點．(1)當時，求的面積；(2)若，求的值；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形例．如圖，在等邊中，點、分別在邊、上，，線段、交于點，連接．

(1)求的度數(shù)；(2)當時，用等式表示線段CF與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓練1】．如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點D，E．(1)求證：；(2)連接，請判斷的形狀，并說明理由．【變式訓練2】．已知，在中，，，為邊上一點，為射線上一點，連接、．(1)如圖1，若，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，若，，在，之間，且，求的長．【變式訓練3．如圖，四邊形ABCD中，，，，，，求CD的長．1．如圖，在中，點在上，，延長至，連接．過作，截取，連接．若．

(1)探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)求的值；(3)設與交于點，連接．若為等邊三角形，，求．2．如圖所示，在等邊中，，點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；點Q從點C出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，連接，．設運動時間為t秒，請回答：(1)當平分時，求t的值；(2)當t為何值時，點P在線段的垂直平分線上？(3)在運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．3．如圖，已知在中，，延長到點D，使，求的度數(shù)．4．數(shù)學中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點是平面上任意一點，設點到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．(2)如圖（2），當點在內(nèi)，已知，求的值．(3)如圖（3），當點在外，請直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．5．在數(shù)學課上，老師將同學們分成“智慧組”，“奮進組”和“創(chuàng)新組”三個數(shù)學活動小組，進一步探究等邊三角形的有關(guān)問題．(1)如圖①，“智慧組”在等邊中，作于點，經(jīng)過探究提出下面結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．①中等于的角為______直接填空；②求證：．(2)“奮進組”直接探究了下面的問題：已知：為等邊三角形，以為腰，在外作等腰，使，，連接，則的度數(shù)是個定值．①利用圖求出的度數(shù)；②“創(chuàng)新組”發(fā)現(xiàn)：取中點，連接并延長交直線于點，若，，則可得出線段的長請直接寫出線段的長．6．如圖1，在等邊三角形中，點D、E分別在邊上，,連接與相交于P．

(1)求證：；(2)如圖2，連接,當時，求證：．7．如圖(1)如圖1，等腰和等腰中，，B，E，D三點在同一直線上，求證：；(2)如圖2，等腰中，，，D是外一點，且，求證：；(3)如圖3，等邊中，D是外一點，且，①∠ADB的度數(shù)；②DA，DB，DC之間的關(guān)系．8．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是邊AB上的動點，連接CD，點B關(guān)于直線CD的對稱點為點E，射線AE與射線CD交于點F．（1）在圖中，依題意補全圖形；（2）記∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大?。唬ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?）若△BCE是等邊三角形，猜想EF和AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．9．數(shù)學理解（1）如圖1，在等邊內(nèi)，作，且，E是內(nèi)一點，且，，求的度數(shù)；聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點，解決下列問題）（2）如圖2，在中，，，E是內(nèi)一點，且，，連接DE，求的度數(shù)．10．△ABC是一塊鋼板余料，其中∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝20dm，現(xiàn)要從中剪裁出邊長為6dm的等邊△DEF，如圖所示，其中點D在BC上，點E和點F在AB上，求AE、BF的長（結(jié)果保留根號）．

專題1630°.45°和60°角的四種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、在60°頂點處構(gòu)造共頂點等邊三角形 1類型二、利用60°角的一邊上的點向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 10類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形 17類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形 26壓軸能力測評 321.等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個內(nèi)角相等性質(zhì)2：含30°角的直角三角形中，30°角所對直角邊等于斜邊的一半2.等邊三角形的判定判定1：有三邊相等的三角形是等邊三角形判定2：兩個角是60°（三個內(nèi)角相等）的三角形是等邊三角形判定3：有一個內(nèi)角60°的等腰三角形是等邊三角形類型一、在60°頂點處構(gòu)造共頂點等邊三角形例．如圖，中，，點D、E分別在、上，，、相交于點O，于點G，求證：．【答案】見解析【分析】延長至點M，使，連接，則，有，即可得到為等邊三角形，則，，，即可證明，，則．在中得到即可．【詳解】證明：延長至點M，使，連接，如圖，∵，∴，．∵，∴為等邊三角形，∴，．又，∴．在和中，∴，∴，∴．在中，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線并找到對應全等三角形．【變式訓練1】．在等邊三角形外側(cè)作直線，點關(guān)于直線的對稱點為，連接，交于點，連接．(1)依題意補全如圖．(2)若，求．(3)若，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)見解析；(2)；(3)，理由見解析．【分析】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）依題意補全圖形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)即可求解；（3）連接交于點，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：過點作直線的垂線，交于點，取點，使得，連接、，則點為點關(guān)于直線的對稱點，圖為所求的圖．

（2）解：如圖：連接，∵點與點關(guān)于直線對稱∴，，∴∴，即∵∴，∴∴∴在與中∴∵是等邊三角形∴∴∵，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：，理由：如圖，連接交于點，∵點與點關(guān)于直線對稱∴，，∴∴

即∵∴，∴∴∵∴在與中∴∵是等邊三角形∴∴∵，∴由線段構(gòu)成的三角形與全等，則又∵，∴，【變式訓練2】．已知等腰和等腰中，，．(1)如圖（1），①若，，在等腰可繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為______；②若，當B、D、E三點共線時，則的度數(shù)為______；(2)如圖（2），若，且C與D重合，．當?shù)拇笮≡诜秶鷥?nèi)之間任意改變，的度數(shù)是否隨之改變？請說明理由；(3)在（2）的條件下，F(xiàn)是延長線上一點，且，連接，如圖3，試探究之間的關(guān)系，并證明．【答案】(1)①10；②或(2)的度數(shù)不變，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）①連接，由，得，則線段的最大值為10，于是得到問題的答案；②分兩種情況討論，一是、、三點共線，且點在線段上，設交于點，由，，，得，，可證明，得，所以，則，即可求得；二是、、三點共線，且點在線段上，設交于點，則，，可證明，得，于是得到問題的答案；（2）由，得，，則，所以的度數(shù)不變．（3）在線段上截取，連接，可證明是等邊三角形，得，，由，得，則，再證明垂直平分，則，所以是等邊三角形，則，，可推導出，即可證明，得，所以．【詳解】（1）解：①如圖（1），連接，，，，，，線段的最大值為10，故答案為：10．②如圖（1）①，、、三點共線，且點在線段上，設交于點，，，，，，在和中，，，，，，，，；如圖（1）②，、、三點共線，且點在線段上，設交AB于點，，，，，，在和中，，，，故答案為：或．（2）的度數(shù)不變，理由：，，，且與重合，，，，，，的度數(shù)不變．（3），證明：如圖（3），在線段上截取，連接，，，是等邊三角形，，，，，，，，點、點都在的垂直平分線上，垂直平分，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．【變式訓練3】．如圖，在四邊形中，垂直平分，，E是上一點，連接交于點F，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由垂直平分，可得，證明是等邊三角形，，由，可得，則，進而結(jié)論得證；（2）如圖，連接交于，由垂直平分，可得，，則，，由是等邊三角形，可得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∵，∴是等邊三角形，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：如圖，連接交于，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴的長為2．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識．熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二、利用60°角的一邊上的點向另一邊作垂線構(gòu)造直角三角形 例．如圖，銳角中，，點在上，交于點E，連接，．(1)特例探索：如圖，若，求的度數(shù)；(2)類比遷移：如圖，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)拓展提升：在圖中，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)；(2)；(3)，理由見解析．【分析】（）首先證明是等邊三角形，由得到，從而求解；（）由，，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和與直角三角形的性質(zhì)即可求解；（）在上截，連接，則，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)即可求解；本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，∴是等邊三角形,∴，∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（3），理由如下：如圖，在上截，連接，∵∴則，由（）知，∴，∴，又∵，∴．【變式訓練1】．如圖，在中，，點在上，點在的延長線上，連接、，．(1)求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點是外一點，連接，，，且平分，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，得到，由三角形外角的性質(zhì)及角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）過點D作，交于點H，根據(jù)已知證明為等邊三角形，再證明，即可得出結(jié)論；（3）過點作于點，過點作的延長線于點，先證明，再證明，推出，設，則，建立關(guān)于m的一元一次方程，求出m即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴；（2）證明：過點D作，交于點H，，，為等邊三角形；，，,為等邊三角形；，由（1）知，，，在與中，，；，；（3）解：過點作于點，過點作的延長線于點，平分，，，，，；，，由（2）知為等邊三角形，，；，，，，，，，，，；設，則，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形綜合問題，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準確作出輔助線，靈活運用三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】．如圖，在中，，D是中點，，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）過D作于G，于H，利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進而利用證明與全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2），得到，進而推出，根據(jù)等邊三角形和含角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長，進而求出的長，即可．【詳解】（1）解：，理由如下：過D作于G，于H，∵，D是中點，，∴是等邊三角形，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角新的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．【變式訓練3】．如圖，等腰中，，點D在上，點E在延長線上，連接，且．

(1)求證：；(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）利用等邊對等角求得，利用三角形的外角性質(zhì)即可證明結(jié)論成立；（2）作于點F，證明是等邊三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵等腰中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：作于點F，

∵等腰中，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．類型三、利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形例．等邊三角形和等腰直角三角形是我們熟悉的特殊三角形．數(shù)學課上，同學們探究得到了以下判定和性質(zhì)：①三個角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形；③等腰直角三角形的兩腰相等，兩銳角都是．請應用以上知識解決下列問題：已知線段，點C是平面內(nèi)一動點，且，連接，點D在右側(cè)，且，連接交于點E．

【初步應用】（1）如圖1，若，則_______°；【深化應用】（2）如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于F，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展應用】（3）若，當最長時，請直接寫出的長．【答案】（1）15；（2），理由見解析；（3）的長為4【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合，得到等邊三角形，繼而得到，，結(jié)合，得到，繼而得到，解答即可；（2）過點B作于點G，根據(jù)（1）證明，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)證明即可．（3）過點B作于點B，且，再證明，得到，根據(jù)，得到當三點共線時，取得最大值，根據(jù)題意，得，證明，繼而得到，解答即可．【詳解】（1）∵，，∴等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，故答案為：15．（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由如下：過點B作于點G，根據(jù)（1）得，，∴，∵，的角平分線交于F，∴，∴，∴，∵，，

∴，∴．（3）過點B作于點B，且，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，故當三點共線時，取得最大值，

根據(jù)題意，得，

∴，∴，∴，∴當最長時，．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形不等式求最值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形不等式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】．如圖1，在等腰直角三角形中，，，點在邊上，連接，，，連接，．(1)，請你說明理由．(2)求的度數(shù)．(3)點關(guān)于直線的對稱點為，連接，．補全圖形，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)理由見解析(2)(3)補全圖形見解析，，理由見解析【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再證明，由全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由（1）可知，，，然后由求解即可；（3）根據(jù)題意補畫圖形，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)可得，，，進而證明，易得，結(jié)合可知，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）解：由（1）可知，，，∴；（3）如圖，，理由如下：∵點與關(guān)于對稱，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴．【變式訓練2】．如圖，已知，中，為的中點，求的度數(shù)

【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先作于點D，交于點E，在上截取，連接，得出是線段的垂直平分線，證明，結(jié)合角的等量代換以及角的運算，得出，即可作答．【詳解】解：作于點D，交于點E，在上截取，連接，則有，

設，則，∵，點D為的中點，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵（三角形外角性質(zhì)），∴，∴，∵，∴，，又，∴，∴，∴∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．【變式訓練3】．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與直線相交于點；直線與軸交于點．(1)當時，求的面積；(2)若，求的值；(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值為或【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）分別求出、、點坐標，再求的面積即可；（2）作交于，作軸，過點作交于，作于，證明，從而得出，再代入一次函數(shù)解析式計算即可得出答案；（3）分兩種情況：當時，當時，分別計算即可得出答案．【詳解】（1）解：當時，，當時，解得，此時，∴，在中，當時，，解得，即，在中，當時，，解得，即A?4,0，∴；（2）解：如圖，作交于，作軸，過點作交于，作于，，∴∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，，當時，解得，此時，∴，在中，當時，，即，∴，，∴，，∴，∴，解得：或，檢驗：當時，，是分式方程的解，當時，，是分式方程的解，∵直線與軸的夾角為的外角，，∴直線與軸的夾角大于，∴，∴；（3）解：由（1）可得A?4,0由（2）可得：，，如圖，當時，此時，，∴，解得：或，檢驗：當或時，，是分式方程的解，（不符合題意，舍去）如圖，當時，此時，即，解得：或，檢驗：當時，，是分式方程的解，是增根，舍去，綜上所述，的值為或．類型四、利用30°角構(gòu)造直角三角形例．如圖，在等邊中，點、分別在邊、上，，線段、交于點，連接．

(1)求的度數(shù)；(2)當時，用等式表示線段CF與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)；(2)，證明見解析．【分析】（）通過證明得出，再由即可推出結(jié)果；（）過點作，垂足為，通過證明得出，再根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)推出即可得出結(jié)論；本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，（2）證明：過點作，垂足為，

∴.∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【變式訓練1】．如圖，在中，，的垂直平分線分別交和于點D，E．(1)求證：；(2)連接，請判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)是等邊三角形，理由見解析【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)可求得，在中，由直角三角形的性質(zhì)可證得，則可證得結(jié)論；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得，且，可證明為等邊三角形．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，是的垂直平分線，，，，在中，，；（2）解：是等邊三角形，理由如下：連接．垂直平分，∴，，，，∴，，是等邊三角形．【變式訓練2】．已知，在中，，，為邊上一點，為射線上一點，連接、．(1)如圖1，若，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，若，，在，之間，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）證明得到，，根據(jù)等邊對等角得到，，則，即可由三角形外角的性質(zhì)得到；（2）如圖所示，在上找一點F，使得，連接，先證明，進而證明，得到，進一步證明，得到，即；（3）作交延長線于，連接，證明，證明為含的直角三角形即可得出答案．【詳解】（1）解：∵平分，，∴,在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，在上找一點F，使得，連接，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴；（3）解：如圖所示，過點C作交延長線于，連接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，,∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，三角形外角的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意作出輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3．如圖，四邊形ABCD中，，，，，，求CD的長．【答案】．【分析】本題主要查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．延長交于點E，證明是等邊三角形，可得，從而得到，再由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點E，

∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，∴．1．如圖，在中，點在上，，延長至，連接．過作，截取，連接．若．

(1)探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)求的值；(3)設與交于點，連接．若為等邊三角形，，求．【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）根據(jù)，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，根據(jù)、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理，得出與的數(shù)量關(guān)系即可；（2）過點作交延長線于，推出，利用證明，得出，利用證明，得出，推出，求出的值即可；（3）過點作交延長線于，標記交于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，結(jié)合，推出和是含度角的直角三角形，結(jié)合勾股定理表示出、，再根據(jù)計算整理得出答案即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖，過點作交延長線于，

又∵，∴，∵由（1）得：，∴，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，過點作交延長線于，標記交于點，

∵為等邊三角形，，，，∴，，，∴，∵由（2）得：，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、含度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握知識點、作輔助線推理證明是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，在等邊中，，點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；點Q從點C出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，連接，．設運動時間為t秒，請回答：(1)當平分時，求t的值；(2)當t為何值時，點P在線段的垂直平分線上？(3)在運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得當平分時，，根據(jù)距離，速度，時間的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)，列方程求解即可；（3）分和兩種情況討論，列方程求解即可．【詳解】（1）解：在等邊中，平分，點Q是的中點，，即，，（2）解：根據(jù)題意：，則，過點P作于點D，在等邊中，，點P在線段的垂直平分線上，，解得：，當時，點P在線段的垂直平分線上；（3）解：存在，當時，為直角三角形，因為，即，解得：，當時，為直角三角形，，即，解得：，綜上：或時，為直角三角形．3．如圖，已知在中，，延長到點D，使，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．作等邊，連接，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)，易證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作等邊，連接，，，，，，，，，在和中，，，．4．數(shù)學中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊，點是平面上任意一點，設點到邊、邊的距離分別為、，的邊上的高為．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點在三角形的邊上，、、存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．(2)如圖（2），當點在內(nèi)，已知，求的值．(3)如圖（3），當點在外，請直接寫出與、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【答案】(1)，證明見解析(2)10(3)【分析】（1）連結(jié)，設，則，則，，，由得到，即可證明；（2）連結(jié)、、，則，，，，由得到，則；（3）連結(jié)、、，則，，，，由得到，則．【詳解】（1）解：，證明如下：連結(jié)，如圖（1）所示：

設，是等邊三角形，，于點，于點，于點，，，，，，；（2）解：連結(jié)、、，如圖（2）所示：

設，是等邊三角形，，于點，于點，于點，于點，，，，，，，，，，的值為；（3）解：，理由如下：連結(jié)、、，如圖（3）所示：

設，是等邊三角形，，于點，于點，于點，于點，，，，，，，．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、根據(jù)面積等式證明其他線段之間的相等關(guān)系、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線并且列出相應的面積等式是解題的關(guān)鍵．5．在數(shù)學課上，老師將同學們分成“智慧組”，“奮進組”和“創(chuàng)新組”三個數(shù)學活動小組，進一步探究等邊三角形的有關(guān)問題．(1)如圖①，“智慧組”在等邊中，作于點，經(jīng)過探究提出下面結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．①中等于的角為______直接填空；②求證：．(2)“奮進組”直接探究了下面的問題：已知：為等邊三角形，以為腰，在外作等腰，使，，連接，則的度數(shù)是個定值．①利用圖求出的度數(shù)；②“創(chuàng)新組”發(fā)現(xiàn)：取中點，連接并延長交直線于點，若，，則可得出線段的長請直接寫出線段的長．【答案】(1)①；②見解析(2)①；②5【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出答案；由等邊三角形形的性質(zhì)可得出答案；（2）由等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)求出和的度數(shù)，則可得出答案；在上截取，連接，，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：；證明：是等邊三角形，，，，，．（2）是等邊三角形，，，，，，，，；在上截取，連接，，，為的中點，，，是的中垂線，，由可知，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，在等邊三角形中，點D、E分別在邊上，,連接與相交于P．

(1)求證：；(2)如圖2，連接,當時，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題是三角形綜合題，主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形三邊關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點作，交，于點，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】（1）解：證明：為等邊三角形，，，在和中，，，，；（2）過點作，交，于點，，

由（2）可知，，，，由（1）知，，在和中，，，，即．7．如圖(1)如圖1，等腰和等腰中，，B，E，D三點在同一直線上，求證：；(2)如圖2，等腰中，，，D是外一點，且，求證：；(3)如圖3，等邊中，D是外一點，且，①∠ADB的度數(shù)；②DA，DB，DC之間的關(guān)系．【答案】(1)證明見解析．(2)證明見解析．(3)①；②．【分析】（1）如圖1，先利用SAS證明，得到，進一步可得證；（2）如圖2，過作交于，利用ASA證明，得到，從而得證；（3）①如圖3-1，在三角形內(nèi)作，交于點，證得是等邊三角形，即可得證；②先利用SAS證明，得到，再利用等量代換可證得結(jié)論．【詳解】（1），∴，在和中，，，，，，，；（2）如圖2，過作交于得，，,，，，，在和中，，，，；∴．（3）①如圖3-1，在三角