藝考生專題講義33 外接球

考點(diǎn)33外接球知識(shí)梳理1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合(2)推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑秒殺公式：(4)圖示過(guò)程秒殺公式：2.漢堡模型(1)使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體(2)推導(dǎo)過(guò)程第一步：取底面的外心O1,，過(guò)外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得(3)秒殺公式：(4)圖示過(guò)程3.斗笠模型(1)使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上(2)推導(dǎo)過(guò)程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理(3)秒殺公式：(4)圖示過(guò)程4.切瓜模型(1)使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐(2)推導(dǎo)過(guò)程：第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N，過(guò)兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O，取BC的中點(diǎn)為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：(3)秒殺公式：(4)圖示過(guò)程精講精練題型一墻角模型【例1】(2024·平羅中學(xué)高三期末)已知長(zhǎng)方體的兩個(gè)底面是邊長(zhǎng)為的正方形，長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與底面成角，則此長(zhǎng)方體的外接球表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】記該長(zhǎng)方體為，為該長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線，其與底面所成角為，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，側(cè)棱底面，則為與底面所成角，即，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的兩個(gè)底面是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，則，所以，又長(zhǎng)方體的外接球直徑等于其體對(duì)角線的長(zhǎng)，即該長(zhǎng)方體外接球的直徑為，所以此長(zhǎng)方體的外接球表面積為.故選：A.【舉一反三】1．(2024·天津靜海區(qū)·高三月考)若棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑，所以棱長(zhǎng)為2的正方體外接球的直徑，所以該球的表面積.故選：A.2．(2024·河南高三月考)已知長(zhǎng)方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】作，垂足為，連接，.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以是與平面所成的平面角.又，.所以，解得.故該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為.設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，則，解得.所以該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為.故選B.3．(2024·四川瀘州市·高三一模)已知四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長(zhǎng)方體的外接球表示同一個(gè)球，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.題型二漢堡包模型【例2】(2024·陜西西安市·高三一模)三棱柱中，棱兩兩垂直，，底面是面積為2的等腰直角三角形，若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，則球O的表面積為()A．8 B． C． D．【答案】C【解析】底面是面積為2的等腰直角三角形，所以直角邊長(zhǎng)為2，所以三棱柱可以補(bǔ)充成邊長(zhǎng)為2的正方體，其外接球半徑為：，所以球O的表面積為，故選：C【舉一反三】1．(2024·陜西咸陽(yáng)市·高三一模)在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為()．A．4 B．3 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則直三棱柱的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)球的半徑為，則，解得，設(shè)直三棱柱的高為，則，即，解得，所以直三棱柱的高為，故選：D2．(2024·山西呂梁市·高三一模)四面體中，面，，，，則四面體外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)外接圓的圓心為，四面體外接球的球心為，半徑為連接由正弦定理可得，即，即四面體外接球的表面積為故選：A3．(2024·山東德州市·高三期末)如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，O為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)________．【答案】．【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)榈酌?，所以平面，是菱形，則，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四點(diǎn)距離相等，即為三棱錐的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱錐的外接球表面積為．故答案為：．題型三斗笠模型【例3】正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高上，記為O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面積，故選A.【舉一反三】1．(2024·江西吉安市·高三其他模擬)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，則該球的表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖示：正四棱錐中，高，底面正方形邊長(zhǎng),設(shè)正四棱錐的外接球半徑為，底面正四邊形外接圓半徑為則，由得：，解得：，∴.故選：B.2．(2024·安徽蕪湖市·高三期末)已知正四棱錐的體積為，側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱錐外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】如下圖所示，設(shè)正四棱錐的底面的中心為，連接、、，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則，由于為正四棱錐的底面的中心，則平面，由于正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，則，所以，是以為直角的等腰直角三角形，同理可知，是以為直角的等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，，，解得，，由直角三角形的性質(zhì)可得，即，所以，為正四棱錐外接球的球心，球的半徑為，該球的表面積為.故答案為：.3．(2024·秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué))已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，記球心為.

∵在正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，∴，∴.∵球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑長(zhǎng)，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面積為.故答案為：.題型四切瓜模型【例4】(2024·江西高三其他模擬)已知三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，三角形ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，三角形BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，則此三棱錐外接球的體積等于()A． B． C．16π D．32π【答案】A【解析】三棱錐中，側(cè)面底面，把該三棱錐放入長(zhǎng)方體中，如圖所示；設(shè)三棱錐外接球的球心為，取BC的中點(diǎn)M，BD的中點(diǎn)N，三角形ABC的重心G，連接OG，則，，，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為．故選：A．【舉一反三】1．(2024·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考)已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，，，，，，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),，為等腰三角形.取的中點(diǎn)，連接，，，,,又面面，面面，面，面，過(guò)點(diǎn)作的平行線，則球心一定在該直線上.設(shè)的外接圓的圓心為，,則點(diǎn)在上，連接,由球的性質(zhì)則，平面，則為矩形.在中，,則所以的外接圓的半徑所以，則則所以球的半徑為所以三棱錐的外接球的表面積為故選：B2．(2024·四川瀘州市·高三一模)已知三棱錐中，和是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且平面平面，該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以可證得平面，平面，取的外心，作，則四點(diǎn)共面，取的外心，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼矫?，則平面，所以點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，連接，可求得，所以，所以外接球的表面積為.故選：D.3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長(zhǎng)為