2024-2025學年廣東省部分學校高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣東省部分學校高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學

檢測試題

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題

卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知集合”=卜區(qū)2°},8=卜值<3},則zn（CM）=（）

A.（0,+e）B,[0,+oo）c.（-a>,3]D,（3,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集、補集運算計算即可求得結(jié)果，再用區(qū)間表示可得答案.

【詳解】由5={小43}可知%5={小〉3},

又/={x|x20},故2門（（8）=（3,+oo）.

故選：D.

2.已知2=1—i,則z2=（）

Z

A.2iB.2+2iC.2+3iD.3i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算可得復數(shù)z,再平方，即可求解.

221-i2

【詳解】因為一=1—i,故z=-=二二=1+乙故z?=2i

z1-i1-i

故選：A.

3已知Q=?！鉢b=0.2\c=log7ro.2,貝!J()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用“0」分段法”確定正確答案.

【詳解】由兀°2>?！?1,0<0.2"<1,10gli0.2<log」=0,故。>b>c.

故選：D

4,已知2tan(a+/?)=3tana=6,貝1Jtan/?=()

2311

A.一B.-C.-D.一

3572

【答案】C

【解析】

【分析】由題設得tan(a+￡)=3,tana=2,結(jié)合和角正切公式列方程求目標函數(shù)值.

【詳解】因為2tan(a+￡)=3tana=6,所以tan(a+￡)=3,tana=2,

/介\tana+tan^2+tan/?「

所以tan(a+/)=----------=------—=3,

1-tanotan尸1-2tan^

故2+tan4=3-6tan4,解得tan/?=；.

故選：C

5.在△48C中，。為6C邊上靠近點。的三等分點，￡為線段40(含端點)上一動點，若

ED=AEB+/dEC(2,//GR),貝ij()

A.4+〃=1B.〃=24C.〃=3XD.A-u=--

3

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合圖形，運用平面向量的基本定理將近用而和沅線性表示，找到九4的數(shù)量關系即得.

【詳解】

HI)

________________________

如圖，當瓦。不重合時，ED^EB+BD=EB+-BC

3

=EB+-（EC-EB｝=-EB+-EC,即X=L,〃=2,

當E,D重合時，歷=0,此時，。=麗=左礪+2左反則必有〃=22成立，

綜上，都有〃=2%成立，即只有B始終成立.

故選：B.

s

6.設等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",且%%=3,%%0=9,則個久=（）

A.243B.244C.81D.82

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中項進行轉(zhuǎn)化，得到公比，再由等比數(shù)列的前"項和公式得到比值.：

【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得4%o=%%=9，

設｛4｝的公比為則4==3,

a^ci-j

q(i-

故率=一1—q—1一^/0=1+/=244.

(l-q51-/

S5ax

i—q

故選：B.

7.在四面體48CD中，AB=BC=AC=BD=2,AD=CD=6,且四面體48CD的各個頂點均在球

。的表面上，則球。的體積為（）

,16岳「32岳

R8A/3TI

-----D.----------------k_/.------D.2扃

27927

【答案】C

【解析】

【分析】取ZC的中點為E，根據(jù)已知條件證E為RtZUCD的外3且平面進而確定外接

球球心的位置，并求出半徑，即可得球的體積.

【詳解】如圖，取NC的中點為E,由48=8C,則8￡J_NC,

連接。E,又AD?+CD?=AC?,故ZDLCD,故E為RtZUCD的外心，

由題設，易得BE=道,DE=1,BD=2,所以BE?+DE?=BD?，即BE，ED,

又4CCED=E,且NC、EQu平面/C。，所以BE,平面/CD,

所以球心。在BE上，設球。的半徑為廠，

L2

在RtZkOEC中，0E-+CE2=0C2>BP(V3-r)2+12=：r2,解得廠=下，

所以球。的體積為廠=±仃3=±兀義?叵.

33927

故選：C

(J5,0)的直線/與。交于48兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線

》=—字和/于點MN,若HB|=WM,貝心的斜率可以為()

A.V3-2B.拒C.2D.2+指

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷出曲線C是雙曲線1一/=1的右支，設出直線/的方程并與曲線c的方程聯(lián)立，化簡寫

出根與系數(shù)關系，根據(jù)弦長公式求得根據(jù)兩者相等列方程，由此求得直線/的斜率.

【詳解】因為曲線C：X=JC+1?1，X2-/=1(X>1),所以C是雙曲線V—/=1的右支，

其焦點為少（血,0）,漸近線為y=±x.

由題意，設/子=左卜—血），且附＞1（故A選項可排除）,

y=k(x-6),

聯(lián)立《得(左2一1)/一2岳2x+2左2+1=0,4=4(/+])〉0,

x={y?+L

2辰22左2+1

所以q+馬=左2_1，//=r_]

左~|=Jl+父XJ(xJ/)2_4X/B

=J1+|x^—xB

2

“2〃+l2k~+2

=Jl+rX-4x———=—：---

k2-l\k--\

f

2左2+2+\[?2立

因為|48|=WM，所以

左2—1-網(wǎng)+—

F-12J

解得左=±（2+C

故選：D

【點睛】方法點睛：

聯(lián)立方程求交點：通過設出直線的方程并與曲線聯(lián)立，求得交點坐標.這一步主要是應用代數(shù)方法求解二

元一次方程組，是求解斜率的基礎.

弦長公式的應用：利用弦長公式計算兩點間的距離，并結(jié)合題意的垂直平分線性質(zhì)，建立方程求解.弦長

公式對于確定點間關系至關重要.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知曲線。：2爐+3/=12,則()

A.C的焦點在歹軸上B.C的短半軸長為2

c.C的右焦點坐標為(虛,0)D.c的離心率為］

【答案】BCD

【解析】

【分析】曲線經(jīng)過變形后可得橢圓標準方程，計算“c的值即可確定選項.

【詳解】設橢圓C的長半軸長為。，短半軸長為6,半焦距為J

由題意可得橢圓C的標準方程為《+己=1,所以橢圓C的焦點在x軸上，故選項A錯誤.

64

由橢圓C的標準方程為—+^=1,畚a=娓,b=2,c=yja2-b2=41，

64

故其短半軸長為2,右焦點坐標為(、歷,0),故選項B,C正確.

橢圓C的離心率e='=噌=@,故選項D正確.

。3

故選：BCD.

1II

10.已知正數(shù)滿足x—JV+1=-----,貝!J()

xy

A.lg(j-x+l)>0B.cosy>co&xC.2025》r〉lD.\y-2\>\x-2\

【答案】AC

【解析】

,IIIIi

【分析】由x—y+l=——；放縮得到不等式y(tǒng)——>x——,構(gòu)造函數(shù)/(久)=y—5,無>0,判斷其單調(diào)性,

xyyx

推得x<y,對于A,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即得；對于B,通過舉反例即可排除；對于C,利用指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性即得；對于D,與B項同，只需舉反例排除即可.

1,11

【詳解】由題意可得％-一+i=y-一一一，

xyx

令函數(shù)/(X)=久-：,久>0,易知/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由x一，<歹一1可得/(x)</(y),即可得x<y；

%y

對于A,由V>x,可得y-x+l>l,故lg(y-x+1)>0,故A正確；

對于B,分別取x=l(工，丫=二史>四，則cosy<0<cosx,故B錯誤；

對于D,分別取x=l<=,y=土―2|=直二<|x—2|=1,故D錯誤；

2222

對于C,因為y—x〉0,2025>1,貝。2025廣工>1，故C正確.

故選：AC.

11.已知定義在R上且不恒為0的函數(shù)/(x)對任意X/,有/(肛+/(》))=^(田+2,且/(x)的圖

象是一條連續(xù)不斷的曲線，則()

A./(x)的圖象存在對稱軸B./(x)的圖象有且僅有一個對稱中心

C./⑺是單調(diào)函數(shù)D./(x)為一次函數(shù)且表達式不唯一

【答案】AC

【解析】

【分析】先證明若/(a)=/(b)時，必有a=b,再通過賦值證明

/(x)=[/(2)-/(l)]x+/(/(2))-/(/(l)),設/(x)=sx+7,由恒等式求s/,由此可得結(jié)論.

【詳解】取兩個實數(shù)氏6,a^b,且/(a)#0,

用a替換x,b替換y,有/(ab+/(a))=40)+2,①

用Z,替換x,。替換九有/(仍+/(b))="(a)+2,②

假設/(a)=/(b),①一②可得("A)/(a)=0,

故a=6,這與假設矛盾，

所以awb時，/(a)jtf(b),

故若/(a)=/(b)時,必有a=6,

用/(a)替換x,b替換歹，則原式等價于/(/(a)b+/(/(a))=/(a)/(b)+2,

用/修)替換X,。替換則原式等價于/(/㈤/(/他))=/(。"伍)+2,

則/(a)b+/(/(a))=/0"+/(/0))，

令a=l,則/⑴"/(/⑴)=/(?+/(/(?),

令。=2,則/⑵"/(/⑵)=2/㈤+/(/0)),

兩式相減則可得/優(yōu))=[/⑵—/⑴]6+/(/(2))_/(/⑴)，

即/(司=卜(2)-/⑴]》+/(/(2))-/(/⑴)，

設/⑵-/⑴="0,/(/(2))-/(/(1))=^0,

則/(x)=sx+Z,代入原條件且令歹=X解得$2》+S/+/=比+2,

故/=f/(s+l)=2,解得s=/=l,

即/(x)=x+l,/(x)存在唯一表達式，D錯誤；

因為/(x)=x+l,所以函數(shù)/(x)是單調(diào)函數(shù)，C正確；

由表達式可知/(x)存在無數(shù)條對稱軸，且有無數(shù)個對稱中心，A正確，B錯誤.

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于先通過合理賦值先證明若/(。)=/("時，必有a=6,再通

過賦值確定該函數(shù)為一次函數(shù).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.樣本數(shù)據(jù)90,80,79,85,72,74,82,77的極差和第75百分位數(shù)分別為.

【答案】18,83.5

【解析】

【分析】根據(jù)極差和百分位數(shù)的定義計算即可.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：72,74,77,79,80,82,85,90,共8個，

極差為90—72=18,

82+85

因為8義75%=6,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為------=83.5.

2

故答案為：18,83.5.

13.已知函數(shù)/(切=5M|0、+1[(0〉0)在區(qū)間[0,；5)上有且僅有1個零點，則/(x)最小正周期的

最小值為.

71

【答案】-

2

【解析】

【分析】由x的范圍，確定+?/=,當0+冬，再結(jié)合兀〈生0+&W2兀即可求解.

3U123J123

【詳解】因為當xe［。，五］時，0x+］e)因為/(x)在區(qū)間［°，石"］上只有1個零點，

故兀<!|0+^42兀，解得|<0<4,故/(x)最小正周期的最小值為牛='.

兀

故答案為：一

2

11a

14.已知數(shù)列｛an｝中，％=l,%+i=〃％,則X——=.

k=lakan-k

【答案】1024

【解析】

Ua

【分析】先根據(jù)累乘法求得為=(〃—1)!,利用排列數(shù)可得X—J=C：°+C；o+C；o+…+C］,進而可

k=iakal2_k

得.

【詳?shù)挠深}意得T=〃*=〃T……>

故a”=a｛--^―-...”二lxlx2x3x...x(〃-l)=(〃-l)!,

an-\an-2a\

且經(jīng)檢驗為=0!=1滿足該通項公式，

V%］910!10!10!10!

T^akan_k占/——左)！0!10!1!9!10!0!

lo

=C>C；o+C^o+-+C=2=lO24.

故答案為：1024.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.仙人掌別名老鴉舌，神仙掌，這一獨特的仙人掌科草本植物，以其頑強的生命力和獨特的形態(tài)在自然

界中獨樹一幟，以其形似并攏手指的手掌，且?guī)в写痰奶卣鞫妹?仙人掌不僅具有極高的觀賞價值，還

具有一定的藥用價值，被譽為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分

進行儲藏來提高生存能力，我國某農(nóng)業(yè)大學植物研究所相關人員為了解仙人掌的植株高度V（單位:

cm）,與其根莖長度x（單位：cm）之間是否存在線性相關的關系，通過采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù):

樣本編號i1234

根莖長度玉10121416

植株高度N6286112132

參考數(shù)據(jù):20,2792,73490?59.1.

（1）由上表數(shù)據(jù)計算相關系數(shù)廠，并說明是否可用線性回歸模型擬合N與X的關系（若H>075,則可用

線性回歸模型擬合，計算結(jié)果精確到0.001）；

（2）求y關于X的線性回歸方程.

附：對于一組數(shù)據(jù)（西,％）,（%，%），…，（Z/"），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式，相關

【答案】（1）r=0.998,可用

（2）y=11.8x-55.4

【解析】

【分析】（1）利用相關系數(shù)公式結(jié)合條件即得;

（2）根據(jù)最小二乘法可得線性回歸直線方程.

【小問1詳解】

_1_1

易得X=Z(10+12+14+16)=13/=Z(62+86+112+132)=98,

(-36)+(-1)x(-12)+1x14+3x34=236

Z=1

236_236~59

?0.998.

J20>2792-4x,3490?59.1

則討>0.75,故可用線性回歸模型模擬.

【小問2詳解】

b=

ci—y—bx=98—11.8x13=—55.4,

故線性回歸方程為v=11.8x-55.4.

16.己知△45C中，角4民。的對邊分別為見“c,且2abeosC=a2sin25+b2sin24

（1）求C；

（2）若c=2,求△NBC面積的最大值.

77

【答案】（1）-

4

⑵V2+1

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換等知識求得C.

（2）利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，進而求得三角形面積的最大值.

【小問1詳解】

zy卜qinqinR

由正弦定理及倍角公式得2cosc=2sin25+上sin2Z=-——sin2B+-——sin2^

basin5sinZ

=2sirL4cos8+2sirtScosZ=2sin（Z+8）=2sinC,得cosC=sinC，

即tanC=l,Ce（0,兀），故。=

【小問2詳解】

由余弦定理可得,=4=/+〃-y[2ab＞（2-42^ab,

解得必44+28，

當且僅當a=b="+2虛時取等號，

△ABC的面積S="加111cV&+1.

2

故4ABC面積的最大值為V2+1.

17.如圖，五面體ZBCDW中，底面四邊形/5CD為邊長為4的正方形，MN=1.

(1)證明：AB//MN-,

(2)已知G為線段CD的中點，點M在平面48CD上的投影恰為線段5G的中點，直線MG與平面

ABCD所成角的正切值為名叵，求直線AN與平面ADM所成角的正弦值.

5

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

28

【解析】

【分析】(1)先證明Z8//平面CQW,由線面平行性質(zhì)定理證明ZB//MN；

(2)建立空間直角坐標系，求直線NN的方向向量和平面4a0的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.

【小問1詳解】

因為四邊形45CD是正方形，所以AB//CD,

又48(2平面cnw,CDu平面CDMN,所以48//平面cnw,

又平面ZBNWc平面=平面所以AB〃MN.

【小問2詳解】

記5G的中點為。，的中點為E,48上靠近點8的四等分點為尸，

連接?！?。尸,。河,拉6,則有0E//A8,OF//AD,OMABCD,

又OE,OPu平面45CD,所以(W_LOE,(W_LOP,

故OMQEQF兩兩相互垂直，

以。為坐標原點，OEQFQM所在的直線分別為x/,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-平，

z，

因為直線MG與平面ABCD所成的角為ZMGO,GO=-BG="+牛=

22

所以tanNMGO=W=3Q5，得MO=2。，

GO5

由題意得，^（3,2,0）,D（3,-2,0）,M（0,0,2V3）,N（-1,0,2塔,

所以病=卜4,—2,26）,方=（0,4,0）,加=卜3,2,2檔）.

設平面ADM的一個法向量丘=（x,y,z）,

n-DA=O14y=0

則〈___.，即〈r

n-DM=0-3x+2y+2j3z=0

令x=2,則y=0,z=G,

故為=(2,0,百)為平面/DM的一個法向量.

設直線AN與平面ADM所成的角為a,

|-8+0+6|_V14

則sina-cos〈4N,n）\=-~~?=：

,1?同ZN732x77—28

所以直線NN與平面NZW所成角的正弦值巫.

28

a0,

18.已知函數(shù)/(x)=—x-ae+eInx.

2J

(1)當a=l時，求/(x)的最小值；

(2)當a<0時，求/(x)零點的個數(shù);

(3)當時，/(x)>e(x-l),求。的取值范圍.

【答案】(1)---

2e

(2)2

(3)[2,+oo)

【解析】

【分析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，極值，最值即可；

(2)法一、令g(x)=|x-ae+e",/z(x)=lnx,將原函數(shù)分解成兩個函數(shù)的乘積，分區(qū)間討論結(jié)合零點

存在性定理求函數(shù)的零點即可；法二、直接解方程分析即可；

(3)構(gòu)造差函數(shù)，由特殊點分類討論確定aW1時不符合題意，再在a〉1的情形下取特殊值/(e)?0,構(gòu)

造函數(shù)r(a)=-￡e+e〃-e?+e,利用不等式恒成立得出一個必要條件ae[2,+co),再證充分性，變換

主元構(gòu)造q(a)=|x-ae+e",得其單調(diào)遞增，從而只證。=2時滿足題意，利用多次求導判定/(e)20即

可.

【小問1詳解】

a=1時，此時f(x)=gxlnx(x>0),/'(%)=g(lnx+1),

令/'(x)=0,解得x=5，

當xe,.]時，單調(diào)遞減，

當X,+00

時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

故/(X)有唯一極小值點即為最小值點.

1

則/(x)min=f

2e

【小問2詳解】

解法一：令g(x)=1^-起+6",〃(%)=lnx,則/(x)=g(x)/(x),

①當xe(0,l)時，g(x)>g(l)=-ofe-1-j+ea>0,A(x)</z(l)<0,則/(x)<0,

②當x=l時，/(x)=0,

、

③當X>1時，A(x)>/z(l)>0,當l,2e------時，/(x)>0,

Ia)

’2e。\

當xe2e-------,+co時，/(x)<0,即x=2e------為/(x)的一個零點,

\a)a

綜上所述，/(X)共有兩個零點.

解法二：

令/(x)=°，則lru=0或唯一公+』=0,即x=1或x=2e-至-,

2a

2ea2ea

因為a<0時，x=2e------〉2e,故2e-------#1,

aa

故有兩個零點

【小問3詳解】

x=l時，等號兩邊成立，滿足題意,

(aa)1/e—aea

令/(x)=I—x—tze+eJlux-e(x-1),/=-luxH-------------e+—

(2e")

①當a<0時，由(2)知/2e------<0,不符合題意;

、a?

②當a=0時，/(x)=liu-e(x-l),/(e)<0,不符合題意;

③當0<a<l時，r(l)=e"—ae—e+"1"=e(e"T—1)+冬1—2e)<0,

則必然存在xw(1,d)使得/'3<0,即/(x)在xe(1,名)上單調(diào)遞減,

而/⑴=0,則/(x)在xe(l,d)上為負,不符合題意；

④當a=l時，Z(x)=^-xlnx-e(x-l),/(2)=ln2-e<0,不符合題意；

⑤當a〉l時，首先/⑴應當滿足/(e)?0,即—|e+e〃—e2+eN0,

令r(a)=—■1e+e"—e?+e,則/(a)=—ge+e"〉0在該定義域內(nèi)恒成立,

即r(a)單調(diào)遞增，

又注意到「(2)=0,至此，我們得到了滿足題意的一個必要條件ae[2,+8).

下面我們證明其充分性:

=-|-x-(2e+e4Z,/(Q)=gx-e+e">0

即對于一個給定的(〃)單調(diào)遞增，

從而證明Q=2的情形即可，此時/(x)=(x—2e+e2)lnx—e(x—l)/(x)=lnx+匚空—e+1,

re+e

令夕(x)=/'(%)=lnx+^———-e+1,；2(x)=--2^=0,解得x=e2-2e，

JCJC

得到/'(x)在(1,e2-2e)上單調(diào)遞減，W-2e,+“)上單調(diào)遞增，

又/'(e)=0可知％=6為/(x)的極小值點，

又/(e)=0可知Z(x)>0對任意xe［1,+“)恒成立，充分性證畢，

綜上所述，。的取值范圍是［2,+co).

【點睛】思路點睛：第三問先利