2024-2025學年廣東省江門市高三年級上冊10月調(diào)研數(shù)學試題及答案

江門市2025屆普通高中高三調(diào)研測試

皿「、、九

數(shù)學

本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

L答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上，

2.做選擇題時，必須用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標號.

3.答非選擇題時，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.

5.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1已知集合1八I，，則（）

A.{x|0<x<9}B.{1,2,3}

C.{x|0<x<3}D.{0,1,2,3)

2.設九〃ER,則“0+1)3=昌'是"2加的()

A,充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

3.下列命題為真命題的是()

A.若Q>Z?>C>0,則"十"

bb+c

B.若a〉b>0,c<0,則

ab

C.a>b>0,則ac2>be2

...…a+b,

D.右a>b,則〃>---->b

2

e+e,x<2,

4.已知函數(shù)/(x)=<則“In27）=（

,x>2,

10728730

AB.C.---D.

IT27~Z7~

5.下列函數(shù)中，以兀為周期,且在區(qū)間兀上單調(diào)遞增的是(）

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

6.在正方形A3CD中，怎=而，衣=2而,AF與DE交于點M,貝UcosNEM/=()

7.金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存.已知金

針菇失去的新鮮度〃與其來摘后時間/(天)滿足的函數(shù)解析式為〃=加出"+。)(。>0).若采摘后1天，

金針菇失去的新鮮度為40%；若采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為

60%,則采摘后的天數(shù)為()(結(jié)果保留一位小數(shù)，V2?1.41)

A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1

8.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足q=1,%=2,a；-心―>%?！币?(V^3,neN+),則下列

結(jié)論中一定正確的是()

A.a8>124B,a20>1024

C.as<124D.a20<1204

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若函數(shù)〃x)=x(x—4在x=l處取得極大值，貝。()

A.c=l,或。=3

B.獷(x+l)<0的解集為(-1,0)

C,當0<x<|■時，/(cosx)〉/(cos/)

D./（2+x）+/（2-x）=4

10.在△ABC中，AB=\,AC=4,3C=JW，點。在邊3c上，AD為NA4c的角平分線，點E

為AC中點，則（

A.△ABC的面積為右B.BA-CA=2y/3

C.BEf

II.已知力(x)=sin2"x+cos2x"(neN+),則()

A.力（x）的最小正周期為］

,+@,0）左eZ）對稱

B.力（x）的圖象關于點

fn（%）的圖象關于直線x=］對稱

擊W力（上1

D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)〃x）=x4nx的單調(diào)遞減區(qū)間為

13.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x20時，/（%）=sin%（l+cosx）,則當x<0時,

〃力=

..4b+8

14.已知a〉0,6w0,且。+網(wǎng)=4,則,+的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點尸（4,-3）.

（1）求sin2。的值;

（2）若角尸滿足sin（a+，）=搐，求cos￡的值.

16.已知數(shù)列｛?！埃那?項和為S“，且3S"=4"+i—4（〃eN+）.

（1）證明：數(shù)列｛lOg24｝為等差數(shù)列；

、1111100

（2）記數(shù)列｛log2。,,｝的前幾項和為7；,+—+—+7,求滿足條件的最大整數(shù)”.

41273ln1U1

17.已知△ABC的三個內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為。,瓦c,且。=4,c=36,記△ABC的面積為S,內(nèi)

切圓半徑為廠，外接圓半徑為R.

(1)若b=也，求sinA；

(2)記〃=5(〃+/?+c),證明：丫=一；

(3)求歡的取值范圍：

18.設函數(shù)〃x)=lnx,g(x)=l-，(%>0).

(1)求/(x)在X=1處的切線方程；

(2)證明：/(x)>g(x)：

(3)若方程力'(x)=g(x)有兩個實根，求實數(shù)。的取值范圍，

19.如果定義域為[0』的函數(shù)“X)同時滿足以下三個條件：⑴對任意的xe[0,l],總有〃x)zo；

(2)/(1)=1；(3)當番20,%2?0，且時，/(再+々)2/(再)+/(%2)恒成立?則稱

/(X)為“友誼函數(shù)”.請解答下列問題：

(1)已知”X)為“友誼函數(shù)"，求“0)的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)=3工-x-是否為“友誼函數(shù)”？并說明理由；

(3)已知〃x)為“友誼函數(shù)”，存在不式0』，使得/5)式0』，且/(/函))=/，證明：

fM=x0.

江門市2025屆普通高中高三調(diào)研測試

皿「、、九

數(shù)學

本試卷共5頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

L答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上，

2.做選擇題時，必須用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標號.

3.答非選擇題時，必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規(guī)定的位置上.

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.

5.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

.備人A=N|0<x2<9],B=\xeN|0<x<101,4nR-

1.已知集合1>1'，n則（）

A.（x|0<x<9}B.{1,2,3}

C.{x|0<x<3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意求集合A3,集合交集運算求解.

【詳解】由題意可得:A={XGN|0<X2<9}={0,1,2,3},

B={xeN|0<x<10}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

所以AcB={0,l,2,3}.

故選：D.

2.設機,〃eR,則“（m+1）3=〃3"是"2"'<2"”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C,必要不充分條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分、必要條件的判定方法進行判斷.

【詳解】由（m+1）3=n3nm+1=nn2m+1=2'，

又2加<2m+1，所以2"'<2",故"（m+1）3=/"是“2m<2"”的充分條件;

又若2"'<2"，如/〃=0,n-2,此時（m+1）3=/不成立，

mn

所以“（加+1）3=%”是“2<2”的不必要條件.

綜上：“（m+1）3=”是“2m<2n”的充分不必要條件.

故選：A

3.下列命題為真命題的是（）

...八a〃+c

A.右a>b7>c>0,則一<----

bb+c

B.若a〉Z?〉0,c<0,則￡<9

ab

C.a>b>0,則〃<?>be2

D.若則〃〉"+

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)作差法比較大小或取特殊值判斷，即可得出結(jié)果.

aa+ca(b+c]-b(a+c]c(a-b)

【詳解】對于A,--7-=V\—-=77；V

bb+cb[b+c)b[b+c)

因為〃>Z?>c>0,所以o—b>0,b(/?+c)>0,

a〃+cc(a-b)

所以不一^一=77：—(>0,即af>a一+上c，故A錯誤；

bb+cbyb+c)bb+c

對于B,因為a〉Z?〉O,所以一<—，

ab

cc

又c<0,所以一>不，故B錯誤；

ab

對于C,當c=0時，ac2=be2=0故C錯誤;

對于D,若a>b,貝!J2〃〉〃+/?,〃+/?〉2/?,

所以。>"2>匕，故D正確.

2

故選：D.

eA'+e-x,x<2,

4.已知函數(shù)/(x)=<xc則〃ln27)=()

,%〉2,

810728730

A.-B.—C.---D.——

332727

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得答案.

【詳解】因為1=Ine<ln3<Ine?=2

e%+eK2

所以In27=ln33=3如3>3,又因為/(%)=<x

,x>2

ln2731n3ini

所以;■0n27)=f=/(ln3)=eln3+e-ln3=3+e'"3=3+-=—

"I"亍33

故選：B.

5.下列函數(shù)中，以兀為周期，且在區(qū)間兀上單調(diào)遞增的是()

A.y=sin|x|B.y=cosx

C.y=|tanx|D.y=|cos%|

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷各函數(shù)的最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可選擇判斷.

7n1..3n

【詳解】對于A：由sin--=1,sin----=-1,可知兀不是其周期，(也可說明其不是周期函數(shù))故錯

22

誤;

cosx,x>0COSXX0

對于B：y=cosx=<'-ycosx,其最小正周期為2兀，故錯誤;

cos(-x),x<0cosx,x<Q

對于C：y=|tan%|滿足kan(x+句口tanx|,以兀為周期,

當時，y=|tanx|=-tanx,由正切函數(shù)的單調(diào)性可知y=,anx|=—tanx在區(qū)間上單

調(diào)遞減，故錯誤；

對于D,丁=|以九了|滿足卜05(%+兀)=|＜：05工，以兀為周期，

當xe［,7r］時，j=|cosx|=-cosx,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，V=-cosx在區(qū)間［,兀］上單調(diào)遞

增，故正確；

故選:D

6.在正方形A3CD中，怎=麗，說=2而,AF與DE交于點M,貝!JcosNEM/=()

A.—B.-C.—D.—

551010

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的坐標計算夾角的余弦值即可.

建立平面直角坐標系，設正方形A5CD的棱長為2,

因為/=麗，的=2而，

則E(0,l),A(0,2),0(2,2),

所以/J］,—21，DE=(-2,-1),

V2

所以cosNETWFXT

故選：c

7.金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存.已知金

針菇失去的新鮮度用與其來摘后時間/（天）滿足的函數(shù)解析式為人=根111。+4）（4>0）.若采摘后1天，

金針菇失去的新鮮度為40%；若采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為

60%,則采摘后的天數(shù)為（）（結(jié)果保留一位小數(shù)，V2

A.1.5B.1.8C.2.0D.2.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得到兩個等式，兩個等式相除求出。的值，再根據(jù)兩個等式相除可求得結(jié)果.

mln(l+tz)=0.4'兩式相除l可n（3得+a"）

【詳解】由題可得<=2,

mln(3+a)=0.8

則ln(3+a)=21n(l+a),3+a=(l+tz)2,

解得a=1,

設/天后金針菇失去的新鮮度為60%，

則機ln?+l)=0.6,又陽物(1+1)=0.4,

...ln(/+l)=g,21n(/+l)=31n2,(z+l)2=23=8,r+1=272=2x1.41=2.82-

In22

則/=2.82—1=1.8221.8,

故選：B.

8.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛a"滿足勾=1,g=2,a；--anan_2>(n>3,neN+),則下列

結(jié)論中一定正確的是()

A.as>124B,a20>1024

C./<124D,a20<1204

【答案】B

【解析】

aaaa0

【分析】由。；一。3_nn-2>n-in-25N3,〃eN+）得（a“+）［a“一（a—+??-2）］>-由題意,

%>區(qū)”1+%-2,根據(jù)遞推公式可驗證B,通過對名賦值，可驗證ACD.

【詳解】由a；-<i-anan_2>an_lall_2（n>3,n,

得(a“+an_x)[a?~[an_x+an_2)]>0,

因為數(shù)列各項都為正數(shù)，

所以4+%>0,故%—(%+-)>°，即〉％+4.2，

所以。3>/+4=2+1=3,

對于A,設。3=4,則。4〉/+%=4+2=6,

設％=7,則。5〉。4+。3=7+4=11,

設。5=12,則〃6〉。5+。4=12+7=19,

設。6=20,則%>4+%=20+12=32,

設%=33,則/>%+《=33+20=53,

則。8可以為54<124,故A錯誤；

對于B,。4>。3+%〉3+2〉5,。5>〃4+〃3>5+3〉8,

。6>。5+〃4>8+5〉13,%>。6+。5>13+8>21,

%>%+4>21+13>34,%>。8+%>34+21〉55,

々io〉為+%>55+34>89,q1>4。+為〉89+55〉144,

a

〃i2>u+4o>144+89>233,>an+〃“>233+144>377,

〃i4>《3+《2>377+233>610,aX5>+?13>610+377>987,

%6>^15+^4>987+610>1597,axl>ai6+al5>1597+987>2584,

%8>《7+%6>2584+1597>4181,ai9>4181+2584>6765,

%o>勾9+〃i8>6765+4184>10946>1024,故B正確；

對于C,若。3=124,由于4>a〃_i+Q?2，貝IJ〃8>124,故c錯誤；

對于D,若。3=1。24,由于〃-2，貝故D錯誤；

故選：B

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若函數(shù)〃x)=x(x—4在x=l處取得極大值，則()

A.c=l,或。=3

B.燈'(x+l)<0的解集為(-1,0)

C,當0<x<]時，/(cosx)>/(cos2x^)

D./(2+x)+/(2-x)=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】A選項，由題可得r(l)=0,據(jù)此得C的可能值，驗證后可判斷選項正誤；B選項，由A分析，

可得獷(x+1)表達式，解相應不等式可判斷選項正誤；C選項，由A分析結(jié)合cosx,cos2x大小關系可判

斷選項正誤；D選項，由A分析，驗證等式是否成立可判斷選項正誤.

【詳解】A選項，由題/(x)=%3一2cd+c?》,則/<x)=3—-4cx+c2,

因在x=l處取得極大值，則/(1)=。2-4。+3=0=。=1或。=3.

當C=1時，/'(X)=3/—4x+l,令/'(x)〉0nxe[-”,g]D(l,+")；<0xe.

則〃x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在x=l處取得極小值，不合題

思；

當c=3時，f'(x)=3x2-12x+9,令/'(%)>00%€(-00,1)33,+00)；/'(x)<0nxe(l,3).

則在(-"/)，(3,+")上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，則在x=l處取得極大值，滿足題

忌；

貝Uc=3,故A錯誤；

B選項,由A可知，=x(x-3)2,則

獷(x+l)=x(x+l)(x-2)2<0nx(x+l)<0nxe(-1,0).

故B正確；

C選項，當0<x<],貝ij,則cos2x<cosx，由A分析，“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

則/(cosx)〉/(cos2x),故C正確；

D選項，4'x+2=m,2-x=n,由A可知，f(x)=x3-6x2+9x.

則f（x+2）+/（2-x）=/（m）+/（〃）

=m3-6m2+9m+n3-6n2+9n—［in+n^^iv2-mn+n2^-6^trr+zz2^+9（m+n）,

又zw+〃=4,則/（根）+/（"）=—4加"一2（加2+“2）+36=36-2（加+”）-=4,故D正確.

故選：BCD

10.在△ABC中，AB=l,AC=4,BC=V13>點。在邊BC上，AD為NA4c的角平分線，點E

為AC中點，則（）

A.AABC的面積為6B.BA-CA=2>j3

C.BE=43D.AD=^-

【答案】ACD

【解析】

jr

［分析］根據(jù)余弦定理可得ZA=|,進而可得面積判斷A,再結(jié)合向量的線性運算及向量數(shù)量積可判斷BC,

根據(jù)三角形面積及角分線的性質(zhì)可判斷D.

A

【詳解】

如圖所示，

fAB2+AC2-BC21+16-131

由余弦定理可知cosABAC=------------------------=-------------=-,

2ABAC2x1x42

而/B4c為三角形內(nèi)角，故NBAC=g,sinZBAC=—，

32

所以△ABC面積SuLAB-ACvinNBACuLxlxdx^：

=V3fA選項正確；

222

BA-G4=AB-AC=AB-AC-cosZBAC=lx4x1=2,

JB選項錯誤；

由點E為AC中點，則而=荏一通=1衣一通，

2

所以而2=|AC2+AB2-ABAC=4+1—2=3,則赤=6，C選項正確;

jr

由A。為/A4c的角平分線，則NR4D=NCAD=—,

6

所以S=LABAD-sinN8AD+ACADsinNG4。，

2

即百=LX1XLAD+LX4XLAD=3A。，則AD=逑,D選項正確;

222245-

故選：ACD.

II.已知力(%)=51!12"%+0)52"%(〃€^),則()

A.上（X）的最小正周期為］

（k7T

B.力（X）的圖象關于點-+v,0左eZ）對稱

k2o

C.力（x）的圖象關于直線x=］對稱

D.，r"（x）Kl

【答案】ACD

【解析】

【分析】用函數(shù)對稱性的定義及函數(shù)周期性的定義可判斷ABC選項的正誤；利用導數(shù)法可判斷D選項的

正誤.

2222

【詳解】力(％)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x|-2sinxcosx=l——sin2x

2

,11-cos4x3+cos4x

=1—x--------=---------

224

9ITTT

所以/（九）的最小正周期為T=二二”，故A正確;

42

..7T,_7Tkit

令4%=一+左兀，可rZ得c3%=一+—，左eZ,所以力（x）的圖象關于點—+~?-￡Z）對稱，故B錯誤;

284

對于C：/(萬一x)=[sin(?_x)丁〃+[cos(7一x)T〃=(sinx)21+(-cosx)2n

=sin2nx+cos2nX=/(%),

所以函數(shù)/（%）的圖象關于直線x對稱，C對;

對于D:,因為/[]+%]=sinf+x\

=(cosx)\2n+(/-si.nx)\2n

12

=sin2nx+cos2n/(x),

所以，函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且］是函數(shù)/(X)的一個周期，

只需求出函數(shù)/(x)在0,|上的值域，即為函數(shù)/(%)在R上的值域，

v/(x)=sin2nx+cos2nx,則

/r(x)=2nsin2n_1xcosx-2ncos2n_1xsinx=2nsinxcosxfsin2n-2x-cos2n_2x

7171

當時，0<cosx<—<sinx<B

4’22

因為〃之2且左wN*，則2〃—222,故sir?"一2%〉cos2〃-2%,此時廣(%)>0,

所以，函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增，

當xe［o，z］時，0<sinx<^^<cosx<l，

因為左22且左eN*，則2〃-212,故sin252尤〈cos?”?無，此時廣(%)<0,

所以，函數(shù)f(x)在0,?上單調(diào)遞減，

x

所以，當xe時，f(Ln=f

又因為“0)=/1，則

因此，函數(shù)/(X)的值域為-,1,D對.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)〃x)=x4nx的單調(diào)遞減區(qū)間為

-1

【答案】##(0,e]

【解析】

【分析】利用導數(shù)求得了(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)的定義域為(0,+功，V/,(x)=lnx+l.

令Inx+lVO得0<%vL

e

二函數(shù)/(%)=K山%的單調(diào)遞減區(qū)間是[0,，.

故答案為：^0,—

13.已知函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù)，當xNO時，/(x)=sinx(l+cosx),則當x<0時，

〃x)=----------

【答案】-sinx(l+cosx)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的奇偶性求解即可.

【詳解】因為當x20時，/(x)=sin%(l+cosx),

所以當x<0時，則-x>0,所以〃-x)=sin(-x)[l+cos(-x)]=-sinx(l+cosx),

又函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(￡)=/(-x)=—sinx(l+cosx).

故答案為：-sinx(l+cosx).

..4b+8

14.已知a〉0,6/0,且。+網(wǎng)=4,則,+的最小值為.

【答案】2+272.

【解析】

4b+848b48

【分析】先將所求式子化簡一a+F\b\T=—a+畝\b\+畝\b\，再根據(jù)基本不等式得到一a+畝\b\的最小值，則可判斷當

b<0,求得最小值.

4b+848Z?

【詳解】根據(jù)題意：一+工廠=一+而+而，

a\b\a\b\\b\

bb,

若〃>0,則—=1,若Z?>0,則面=一1，

因為a〉0,6w0,貝力6|>0,

48148、/⑺、°\b\2a\\b\2a廠

一+畝=：z(—+三)(。+例)=3+—+而>3+2—--j=3+2V2,

a\b\4a\b\a\b\'a\b\

當且僅當號=/即。=%J5-1)，例=4(2-V2)時取等號；

4b+848,「「

則當人<0時，-+-|^-=-+^|的最小值是3+20—1=2+2貶，

當且僅當a=4(、回—1),6=4(72-2)時取等號.

故答案為：2+26.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點尸（4,-3）.

（1）求sin2a的值；

（2）若角廠滿足sin（a+，）=搐，求cos￡的值.

24

【答案】（1）——

25

33f63

（2）——或----

6565

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求三角函數(shù)值，再根據(jù)二倍角公式，即可求解；

（2）利用角的變換cos￡=cos[（a+￡）-a],再結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.

【小問1詳解】

由題意可知，尸（4,-3）,則r=5,

…34

則sma=--,coscr,

24

sin2a=2sinacosa=-----

25

【小問2詳解】

512

sin(a+〃)=jj,所以cos(a+〃)=±值,

所以cos°=cos[(a+-a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+/)sina,

12124533

當cos(a+1)=R,所以COSP=JJX1+JJX

65

,（小12b,12145（3）63

當cos（a+0=-工，所以cos/=-/卜三+卜三―布，

綜上可知，cos￡的值為2或-3

6565

16.已知數(shù)列&｝的前〃項和為5“,且3s〃=4"+i-4（〃eN+）.

（1）證明：數(shù)列｛log2??｝為等差數(shù)列；

（2）記數(shù)列｛log2%｝的前幾項和為北，^―+—+—+,,-+—<—7,求滿足條件的最大整數(shù)”.

,1A’34

【答案】（1）證明見解析

（2）99

【解析】

【分析】（1）利用退一相減法可得4及l(fā)og?4,即可得證；

/、1111

（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得7；=〃（"+1）,則亍=而旬=力—一J，利用裂項相消法可得

1111,1

—+—+—+=1-------解不等式即可.

t《nTnn+1

【小問1詳解】

由已知3s“=4用—4,

當〃=1時，34=35\=4?—4=12,即q=4；

當“22時，3S,T=4"—4,

則3a?=3S?-3S,T=4"曲—4-4"+4=3?4",即4=4",

又〃=1時，%=4滿足％=4",

所以4=4〃=22",

2

TSZ?,,=log2=log22"=2n,%-2=2（〃+l）-2”=2,

即數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列，即數(shù)列｛log24｝為以2為首項2為公差的等差數(shù)列；

【小問2詳解】

由等差數(shù)列可知T”=（仿+；"）"=（2+；）2=〃（〃+°,

11_J___1_

則T=~T7

Tn小+1)nn+1

111111111i

所以方+方+^-'1^=1-二+二一二-1----1--------7=1------7，

T\T2T3Tn223n〃+ln+1

即(嗎

HeN,

n+\101+

解得“<100,

即滿足條件的最大整數(shù)"=99.

17.已知AABC的三個內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為a,0,c,且。=4,c=36,記△ABC的面積為S,內(nèi)

切圓半徑為乙外接圓半徑為R.

(1)若b=血，求sinA；

(2)記p=5(a+b+c),證明：r=一；

(3)求歡的取值范圍：

【答案】(1)迪

3

(2)證明見解析(3)

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求得cosA,進而求得sinA.

(2)根據(jù)三角形的面積公式證得結(jié)論成立.

(3)用6表示出，然后利用導數(shù)求得主的取值范圍.

【小問1詳解】

?二〃=4,。=y/~2，c-3V2，

上人」、…Ez■b-+c2-a22+18-161

由余弦定理，得BcosA=-------------=----------尸=一,

2bc2xjr2x3j23

V0<A<7i,sinA=A/1-cos2A=

3

【小問2詳解】

,/ZSABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,

11,11z,

/.Sn=—axr+—bxr+—cxr=—(a+b+cx]r,

2222、7

S_

又P=5("+b+c),S=pr,/1

P

【小問3詳解】

Ar\

由正弦定理得-=2R,得R=---二------二-----

sinA2sinA2sinAsinA

因為。=4,c=3b,

由(2)得5=pr=；r(4+b+3Z?)=(2+2Z?)r,

13b2

又因為S=—bcsinA=----xsinA,

22

3b2sinA3b2

所以r=所以Hr二—x------

4(1+。)21+b

他+3b〉4

由<7/C7解得l<b<2,

Z?+4>3Z?

3b2，/、36(6+2)

令/3)=上—d<b<2),/'(》)=—~甘〉o,

2(1+。)2(1+。)

3

則/S)在(1,2)上單調(diào)遞增，所以a</S)<2,

故主的取值范圍為

18.設函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=l__(x>0).

(1)求/(X)在X=1處的切線方程；

(2)證明：/(x)zg(x)：

(3)若方程/'(x)=g(x)有兩個實根，求實數(shù)。的取值范圍,

【答案】⑴x—y—1=0

(2)證明見解析(3)(0,l)u(L+s)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)切點和斜率求得切線方程.

(2)利用構造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得不等式成立.

（3）利用構造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)以及對。進行分類討論來求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

=則女=尸(1)=1,/(1)=0.

X

???/(%)在冗=1處的切線方程為丁=1一1,即％—y—1=0.

【小問2詳解】

令/z(x)=f(x)-g(x)=Inxd----1,XG(0,+。)

x

“、11x-1

h(x)=-----5=—^、

XXX

X—1

令”(%)=一—二0,解得x=l.

X

/.0<x<1,hr(x)<0；x>1,h\x)>0.

力(九)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

h(x)>h(l)=0,gp/(x)>g(x).

【小問3詳解】

令加⑴=/(x)-g(x)=6zlnx+--l,xe(0,+。),

問題轉(zhuǎn)化為皿%)在(0,+oo)上有兩個零點.

，/、a1ax-1

m(x)=-----—廠.

xxx

①當〃<0時，

m(x)<0,皿X)在(0,+8)遞減，皿元)至多只有一個零點，不符合要求.

②當〃>0時，

令加(%)=0,解得X--