2023中考數(shù)學常見幾何模型《全等模型-半角模型》含答案解析

試題

專題02全等模型--半角模型

全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本

專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型

【模型解讀】

過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為

半角模型。

【常見模型及證法】

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形

通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形,從而進行等量代換,然后證明與半角形成的三角形全等,

再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利

用旋轉(zhuǎn)一一證全等一一得到相關(guān)結(jié)論.

1.（2022?湖北十堰,中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形48cD中，AB=AD,

NB+ND=180°,點、E,尸分別在BC,CD±.,若NBAD=2NEAF,則EF=BE+DF.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形/8CZ）.已知

CD=CB=100m,ND=60。，ZABC=120°,ZBCD=150°,道路4D,NB上分別有景點

M,N,且DM=100m,BN=50（g-l）m,若在M,N之間修一條直路,則路線MfN

的長比路線/-N的長少m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）.

試題1

試題

2.（2022?河北邢臺?九年級期末）學完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學們出了這樣一道題：

“如圖1,在正方形4BCD中，乙EAF=45°,求證：EF^BE+DF."

小明同學的思路：???四邊形〃是正方形，.?.48=/。，4B=UDC=90°.

把A45E繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)到AADE，的位置，然后證明AAFE2△4FE',從而可得斯=￡戶.

E'F=E'D+DF=BE+DF,從而使問題得證.

（1）【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題：如圖2,在四邊形N2CD中，AB=AD,

乙8=乙0=90。，ZEAF=-ZBAD>直接寫出即，BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.（2）【應(yīng)用】如圖

2

3,在四邊形N5CD中，AB=AD,48+40=180。，ZEAF=-ZBAD<求證：EF=BE+

2

。?⑶【知識遷移】如圖4,四邊形/8PC是。。的內(nèi)接四邊形，8c是直徑，AB=AC,請

直接寫出PB+PC與AP的關(guān)系.

圖1

3.（2022?福建?龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,在正方形/BCD中，點、E,F分別是2C,CD邊上的動點，且NE4F=45。，求證:

E尸=。尸+8E.小明發(fā)現(xiàn)，當把△4BE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至ANOG,使43與/。重合

時能夠證明，請你給出證明過程.

（2）【類比引申】①如圖2,在正方形/BCO中，如果點E,尸分別是C8,DC延長線上

的動點，且NE/尸=45。，貝|]（D中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出EF,BE,DF之

試題2

試題

間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）

②如圖3,如果點E,尸分別是BC,延長線上的動點，且NE4F=45。，則E尸，BE,

。尸之間的數(shù)量關(guān)系是（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形/BCD的

邊長為6,AE=345,求NF的長.

4.（2022?山東省青島第二十六中學九年級期中）【模型引入】

當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為"半角模型"

【模型探究】（1）如圖1,在正方形N8C。中，E、尸分別是/8、8c邊上的點，S.AEDF=

45。，探究圖中線段ERAE,尸C之間的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,如果四邊形48c。中，AB=AD,4BAD=LBCD=90°,乙EAF=

45°,且3c=7,Z）C=13,。斤=5,求的長.

【拓展提高】（3）如圖3,在四邊形48CD中，AB=AD,乙48c與乙4OC互補，點￡、尸分

別在射線C3、DC上，且NE4尸一,乙B4D.當2C=4,DC=7,CB=1時，ACE尸的周長等

于.

（4）如圖4,正方形/BCD中，ANMV的頂點M、N分別在BC、CD邊上，AHVMN,且

=AB,連接AD分別交/〃、AN于點、E、F,若MH=2,NH=3,DF=2四,求斯的

長.

（5）如圖5,已知菱形48co中，A8=60。，點E、廠分別是邊2C,CD上的動點（不與端

點重合），且NE4尸=60。.連接3。分別與邊4E;AF交于M、N,當乙D4F=15。時，求證：

MN2+DN2=BM2.

試題3

試題

圖5

課后專項訓練：

1.（2022?重慶市育才中學二模）回答問題

（1）【初步探索】如圖1：在四邊形/5CZ）中，AB=AD,乙B=UDC=90。,E、尸分別是3C、

CD上的點，S.EF=BE+FD,探究圖中乙B4E1、/.FAD,乙以尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學探究此問題的方法是：延長陽到點G,使DG=2E.連接/G,先證明

△ABEmAADG,再證明八4斯三A4GR可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

（2）【靈活運用】如圖2,若在四邊形中，AB=AD,z5+zD=180°.E、尸分別是BC、

CD上的點，且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（3）【拓展延伸】知在四邊形/BCD中，^ABC+zADC=180°,AB=AD,若點E在C2的延

長線上，點尸在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,請直接寫出4瓦4尸與

的數(shù)量關(guān)系.

試題4

試題

G

圖1圖2圖3

2.（2022?江西九江,一模）如圖（1）,在四邊形N8CD中，ZS+Z￡>=180°,48=40,以

點/為頂點作NE4F,S.ZEAF=^ZBAD,連接ER⑴觀察猜想如圖（2）,當

ABAD=ZB=ND=90°時,

①四邊形N8CD是（填特殊四邊形的名稱）；@BE,DF,族之間的數(shù)量關(guān)系為

.（2）類比探究如圖（1）,線段BE,DF,即之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成

立，請加以證明；若不成立，請說明理由.⑶解決問題如圖（3）,在中，

ABAC=9Q°,AB=AC=4,點、D,E均在邊BC上，且ND/￡=45。，若BD=C，求

的長.

（圖1）（圖2）（圖3）

3.（2022?山東聊城?九年級期末）（1）如圖1,點E,尸分別在正方形/8C。的邊8C,CD

上，ZEAF=45°,連接E尸，求證：EF=BE+DF,試說明理由.

圖1圖3

試題5

試題

（2）類比引申：如圖2,四邊形48CD中，AB=AD,4840=90。，點E,尸分別在邊

BC,CD上，㈤尸=45。，若D5、ND都不是直角，則當B8與滿足等量關(guān)系時,

仍有EF=BE+DF,試說明理由.

（3）聯(lián)想拓展：如圖3,在△NBC中，ZBAC=90°,4B=AC,點、D,￡均在邊BC上,

且N￡UE=45,若BD=1,EC=2,求DE■的長.

4.（2022?黑龍江九年級階段練習）已知：正方形48CD中，ZA僅N=45。，4憶4N繞點N順

時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交C8、DC（或它們的延長線）于點M、N.當NM4N繞點/旋轉(zhuǎn)

到BM=DN時，（如圖1）,易證BM+DN^MN.

⑴當ZA勿N繞點N旋轉(zhuǎn)到時（如圖2）,線段8M、DN和九W之間有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？寫出猜想，并加以證明；（2）當43N繞點/旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段皿公ON和

之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.

5.（2022?重慶南川?九年級期中）如圖，正方形中，ZMAN=45°,NK4N繞點A順

時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交2C、DC（或它們的延長線）于點M、N.

試題6

試題

⑴當NM4N繞點A旋轉(zhuǎn)到8M=DV時（如圖1）,證明：MN=2BM；（2）繞點A旋轉(zhuǎn)到

BMwDN時（如圖2）,求證：MN=BM+DN-,⑶當NM4N繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時,

線段BM、ZW和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明.

6.（2022?江西景德鎮(zhèn)?九年級期中）（1）【特例探究】

如圖1,在四邊形48C。中，AB=AD,ZABC=ZADC=90a,NB4D=1QQ°,ZEAF=50°,

猜想并寫出線段BE,DF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；

（2）【遷移推廣】如圖2,在四邊形/BCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=,

ZBAD=2ZEAF.請寫出線段BE,DF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,在海上軍事演習時，艦艇在指揮中心（。處）北偏東20。的A

處.艦艇乙在指揮中心南偏西50。的B處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指

令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60。的方向以90海

里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達C,。處，且指揮中

心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75。.請直接寫出此時兩艦艇之間的距離.

7.（2022?上海?九年級專題練習）小明遇到這樣一個問題如圖1,在中，乙BAC=

90°,AB=AC,點、D,￡在邊8c上，乙0/￡=45。.若5D=3,CE=1,求。￡的長.

試題7

試題

小明發(fā)現(xiàn)，將A4AD繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到△/（下,聯(lián)結(jié)所（如圖2）,由圖

形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及乙CUE=45。，可證△E4E三△可￡,得FE=

DE.解△“￡,可求得尸￡（即DE）的長.⑴請回答在圖2中，Z.FCE的度數(shù)是,

DE的長為.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

（2汝口圖3,在四邊形N8CD中，AB=AD,乙8+4。=180。.E,尸分別是邊8C,CD上的點,

且NE/尸猜想線段BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

8.（2022?黑龍江?哈爾濱市九年級階段練習）已知四邊形/BCD是正方形，一個等腰直角

三角板的一個銳角頂點與4點重合，將此三角板繞/點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線2C,CD

于MN.

（1）如圖1,當M,N分別在邊2C,CD上時，求證：BM+DN^MN

（2汝口圖2,當跖N分別在邊2C,CZ）的延長線上時，請直接寫出線段DN,之間

的數(shù)量關(guān)系______________

（3）如圖3,直線NN與BC交于尸點，MN=10,CN=6,MC=8,求CP的長.

試題8

試題

9.（2022?浙江?九年級階段練習）如圖1,等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形

的頂點/重合，將此三角板繞點N旋轉(zhuǎn),使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊8C,

DC于點、E,F,連接EF.

（1）猜想BE、EF、。下三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）在圖1中，過點/作斯于點請直接寫出和48的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2,將比A42C沿斜邊NC翻折得到必A4DC,E,尸分別是2C,CD邊上的點,

Z.EAF=^BAD,連接斯，過點/作/Ml斯于點"，試猜想與48之間的數(shù)量關(guān)

系.并證明你的猜想.

10.（2022?北京四中九年級期中）如圖，在A4BC中，乙4c8=90。，C/=C8,點尸在線段45

上，作射線CP（0?！匆?cp<45。），射線CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到射線C0,過點/

作ND1CP于點。，交C。于點瓦連接8E.⑴依題意補全圖形；（2）用等式表示線段/D,

DE,2E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

試題9

試題

專題02全等模型--半角模型

全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本

專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型

【模型解讀】

過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為

半角模型。

【常見模型及證法】

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形

通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形,從而進行等量代換,然后證明與半角形成的三角形全等,

再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利

用旋轉(zhuǎn)一一證全等一一得到相關(guān)結(jié)論.

1.（2022?湖北十堰,中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形48cD中，AB=AD,

NB+ND=180°,點、E,尸分別在BC,CD±.,若NBAD=2NEAF,則EF=BE+DF.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形/8CZ）.已知

CD=CB=100m,ND=60。，ZABC=120°,ZBCD=150°,道路4D,NB上分別有景點

M,N,且DM=100m,BN=50（g-l）m,若在M,N之間修一條直路,則路線MfN

的長比路線/-N的長少m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）.

試題10

試題

【答案】370

【分析】延長/民。。交于點￡,根據(jù)已知條件求得/￡=90。,進而根據(jù)含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，求得EC,EB,AE,AD,從而求得NN+的長，根據(jù)材料可得跖V=DM+2N,

即可求解.

【詳解】解：如圖，延長交于點￡,連接CA/,CN,

ZD=60°,ZABC=nO°,NBC。=150°,=30°,/￡=90°,

DC=DM=100.?.ADCA/是等邊三角形，.?./。0/=60。,，/33=90。，

在RM8CE中，SC=100,ZECB=1800-ZBCD=30°,

EB=；BC=5Q,EC=43EB=5073,DE=DC+EC=100+5043,

RLA/OE中，AD=2DE=200+100。,=百。￡=1006+150,

AM=AD-DM=200+1006-100=100+100A/3,

AN=AB-BN=(AE-EB)-BN=(100A/3+150-50)-50(V3-1]=5073+150,

+NN=100+10073+5073+150=250+15073,R3CMB中，

BM=ylBC2+CM2=100V2

?--EN=E8+8N=5O+5O(G-1)=5OK=EC,AECN是等腰直角三角形

ZNCM=NBCM-NNCB=ZBCM-(ZNCE-/BCE、=75°=-ZDCB

試題11

試題

由閱讀材料可得AGV=DM+^=100+50(73-1)=50(73+1),

.1路線MfN的長比路線Mf4fN的長少250+15073-50(V3+1)=200+100A/3?370

m.答案：370.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?河北邢臺?九年級期末）學完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學們出了這樣一道題:

“如圖L在正方形/BCD中，4E4F=45°,求證：EF=BE+DF."

小明同學的思路：???四邊形是正方形，.?.48=/。，AB=AADC=90°.

把A4AB繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)到4ADE'的位置，然后證明AAFE^/\AFE',從而可得斯=￡戶.

E'F=E'D+DF=BE+DF,從而使問題得證.

圖1

（1）【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題：如圖2,在四邊形/BCD中，AB=AD,

乙B=ZD=90。，ZEAF=-ZBAD^直接寫出即，BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.（2）【應(yīng)用】如圖

2

3,在四邊形N2CD中，AB=AD,48+40=180。，NE4F」NB4D，求證：EF=BE+

2

。足⑶【知識遷移】如圖4,四邊形48PC是0°的內(nèi)接四邊形，8C是直徑，AB=AC,請

直接寫出PB+PC與AP的關(guān)系.

【答案】（1）8￡+。尸=EF（2）證明見解（3）PB+PC=叵PA

【分析】（1）將A45E繞/點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于如。得△/￡）￡，，證明

AAEF=/\AE'F,等量代換即得結(jié)論；（2）將A48E繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于4B4D,

先證明乙&4尸=NEFF,再證明A4E尸三△/￡戶，等量代換即得結(jié)論（3）將A4AP繞點Z逆

時針旋轉(zhuǎn)90。得到△/CP,先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明尸，C,〃在同一直線上，再證

明△打〃為等腰直角三角形，等量代換即得結(jié)論.

（1）解：結(jié)論：BE+DF=EF,理由如下：

試題12

試題

證明:將A48E繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于N8/O,使得N8與40重合，點E轉(zhuǎn)到點￡

的位置，如圖所示，

E'

7\

/

BEC

可知AABEmAADE',：.BE=DE'.

由N4DC+NNZ）￡C=180。知，C、D、￡'共線，

???NEAF=|NBAD,/.BAF+/-DAF=/.EAF,

:/DAE'+^DAF=^EAF=ZE'AF,

■■/^AEF=AAE'F,；.EF=E'F=BE+DF.

（2）證明：將A48E繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于4BAD,使得N8與/。重合，點E轉(zhuǎn)

到點牙的位置，如圖所示，

由旋轉(zhuǎn)可知絲△/〃￡1',.?.5E=DE',NB=NADE',NBAE=NDAE',AE=AE'.

?./3+Z/WC=180。，.?.N/OC+NND￡'=180°,.?.點c,D,夕在同一條直線上.

ZEAF=-ZBAD,ZBAE+ZDAF=-ABAD,

22

/.DAE'+ZDAF=-BAD,ZFAE'=-ZBAD,-.ZEAF=ZFAE'.

22

■■AF^AF,.-./^FAE'^/^FAE,：.FE=FE',gpBE+DF^EF.

(3)結(jié)論：PB+PC=4iPA,理由如下：

證明：將A42P繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△/(?「，使得48與NC重合，如圖所示，

試題13

試題

由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得：^ACP'+^ACP=1SO°,

即尸，C,P在同一直線上..?.8P=CP,AP=AP,

■：BC為直徑,；ZB4C=9O°=44P+4P4C=4CAP'+乙PAC=NP/P,

??.△P/P為等腰直角三角形，???/＞「=揚'，即P3+PC=0P/.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與全等三角形的綜合應(yīng)用、直徑所對的圓周角是直角、圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)等知識點.解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角

形.

3.（2022?福建?龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】

如圖1,在正方形48c。中，點、E,尸分別是2C,C。邊上的動點，且NE4尸=45。，求證:

E尸=。尸+8E.小明發(fā)現(xiàn)，當把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至ANOG,使43與4。重合

時能夠證明，請你給出證明過程.

（2）【類比引申】①如圖2,在正方形"BCD中，如果點E,尸分別是C8,℃延長線上

的動點，且NE/F=45。，貝|]（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出E尸，BE,DF之

間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）

②如圖3,如果點E,廠分別是BC,C。延長線上的動點，且NE/F=45。，則E尸，BE,

。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系是（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1,若正方形/BCD的

邊長為6,AE=3#,求""的長.

【答案】（1）見解析；（2）①不成立，結(jié)論：EF=DF-BE；@BE=EF+DF,見解析;

試題14

試題

(3)2A/10

【分析】(1)證明A￡4F=AG4F,可得出EF=FG,則結(jié)論得證；

(2)①將AA8E繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至A4DM根據(jù)“S可證明AE/尸=AM4F,可得

EF=FM,則結(jié)論得證；②將根。尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至A48N,證明=

可得出所=加，則結(jié)論得證；

(3)求出。G=2,設(shè)。尸=x,則EF=PG=x+3,CF=6-x,在RtAEFC中，得出關(guān)于x

的方程，解出》則可得解.

【詳解】(1)證明：把AA8E繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。至A4OG,如圖1,

ZBAE=ZDAG,AE=AG,ZB=ZADG=90°,

AADF+AADG=\^°,：.F,D,G三點共線，

???AEAF=45°,:.ZBAE+ZFAD=45°,

ZDAG+/.FAD=45°,NEAF=ZFAG,

AF=AF,A￡4F=AGAF(SAS),

:.EF=FG=DF+DG,EF=DF+BE■,

(2)①不成立，結(jié)論：EF=DF-BE；

證明：如圖2,將\ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至\ADM,

試題15

試題

ZEAB=ZMAD,AE=AM,ZEAM=90°,BE=DM,

ZFAM=450=ZEAFf

??,AF=AF,??=\MAF(SAS),

EF=FM=DF-DM=DF-BE；

②如圖3,將ZUO尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至AA8N,

圖3

/.AN=AF,/NAF=90。,

?/ZEAF=45°,;.NNAE=45。,:.NNAE=NFAE,

vAE=AE,A\AFE^\ANE{SAS),：.EF=EN,

:.BE=BN+NE=DF+EF,

即5E=E/+。尸.故答案為：BE=EF+DF.

(3)解：由(1)可知4石=46=3指，

試題16

試題

圖4

正方形ABCD的邊長為6,ADC=BC=AD=6,

22

DG=yjAG-AD=J（3病2-62=3.

BE=DG=3,:.CE=BC-BE=6-3=3,

設(shè)。E=x,貝!|￡F=尸G=x+3,CF=6-x,

在五以￡尸C中，CF2+CE2=EF-,.-.（6-%）2+32=（X+3）2,

解得：x=2.,-.DF=2,

AF=^AD2+DF2=A/62+22=2廂.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角

形的對應(yīng)邊相等進行推導.

4.（2022?山東省青島第二十六中學九年級期中）【模型引入】

當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為"半角模型"

【模型探究】（1）如圖1,在正方形/BCD中，E、尸分別是/8、8C邊上的點，且乙紅甲=

45。，探究圖中線段ERAE,BC之間的數(shù)量關(guān)系.

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,如果四邊形4BCZ）中，AB=AD,LB4D=KBCD=9N,4EAF=

45°,且2c=7,DC=13,CF=5,求AE■的長.

【拓展提高】（3）如圖3,在四邊形中，AB=AD,乙48c與乙LDC互補，點￡、尸分

別在射線C2、OC上，且乙取尸—5乙8/0.當2c=4,DC=7,C戶=1時，ACE尸的周長等

于.

（4）如圖4,正方形N8CD中，A/MN的頂點M、N分別在3C、CD邊上，AHLMN,且

=AB,連接RD分別交/"、AN于點、E、F,若MH=2,NH=3,DF=25，求所的

長.

試題17

試題

(5)如圖5,已知菱形/BCD中，乙8=60。，點￡、尸分別是邊2C,CD上的動點(不與端

點重合)，且NE4F=60。.連接AD分別與邊/￡、4F交于“、N,當ZD4F=15。時，求證：

圖4圖5

【答案】(1)EF=FC+AE,理由見解析；(2)BE=5；(3)13；(4)EF==；(5)見解析

2

【分析】(1)求證△￡)￡p三△￡)〃？，即可推出￡尸與EW的數(shù)量關(guān)系；

(2)在DC上取一點G,使得。G=8￡,證明A43E三A<DG(MS),推出/￡=/G,

乙BAE=d)AG,證明△AFE三A4尸G(.SAS),推出EF=FG,設(shè)BE=x,貝l|CG=13-x,

EF=FG=18-x,在放△￡(?/中，根據(jù)E772=EC2+cp,構(gòu)建方程求出x即可解決問題；

(3)證明AlDAf三AIBE(SAS)和△￡/尸三△M4F,即可求解；

(4)先求出BM,DN,進而求出正方形的邊長，再判斷出N￡NF=45。，借助探究的結(jié)論即可

得出結(jié)論.

(5)將尸繞/順時針旋轉(zhuǎn)120。，與重合，尸轉(zhuǎn)至UG,在NG上取N〃=/N,連

接BH、MH,利用△AB/feAlDN和ZUMfeAOW,證明DN=BH,再證明△AWH

為直角三角形即可.

【詳解】(1)EF=FC+AE,理由如下：

證明：將￡繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCM,???△/)/￡三ADCW,

：.DE=DM,AE=CM,UDEuCDM,B、C,M三點共線，

?./EDF=45°，:.UDE+^FDC=ACDM+AFDC=AMDF=45°,

在ADEF和△DA/F中,

試題18

試題

DE=DM

</EDF=/MDF=45。，；,ADEFwADMF(SAS),，EF=FM

DF=DF

??.EF=FM=FC+CM=FC+AE；

(2)解：如圖，在。。上取一點G,使得。

???乙BAD=乙BCD=90°,???43C+zD=180°,UBE+UBC=180°,,4BE=m

??,AB=AD,BE=DG,'.AABE=AADG("S),；.AE=AG,乙BAE二乙DAG,

vz￡L4F=45o,，乙EAB+乙BAF=ZJ)AG+乙BAF=45°,

,.ZBAD=90°,???^FAG=dAE=45°,

,：AE=AG,AF=AF,.-.AAFE=AAFG(S/S),：.EF=FG,

設(shè)BE=x,貝lj￡C=防+5G=x+7,EF=FG=18-x,

在用產(chǎn)中，-EF2=EC2^CF2,

???52+(7+x)2=(18-x)2,???x=5,:.BE=5；

(3)解：在上截取

圖3

，叱D+~LBC=Z-ABE-\-Z-ABC=180°,?,?Z-D=Z-ABE,

乙二乙

-AD=AB,.-.AADM=AABE(SAS)f：.AM=AE,DAMBAE；

?.2EAF=乙BAE+Z-BAF=—乙BAD,：/MAF二—乙BAD,:，EAF=Z-MAF；

22

,?弘尸是△￡AF與方的公共邊，???△EAF三AMAF,:.EF=MF；

試題19

試題

■：MF=DF-DM=DF-BE,：.EF=DF-BE.

:ACEF的周長=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=13,故答案為：13；

(4)解：???四邊形N8CO是正方形，UBC=UDC=9Q°,

?:AHLMN,；HM=^ABC=90°,在此ZUA/8和M中，

AM=AM

……，：.Rt^AMBmRtAAMH,：/MAB=LMAH,BM=MH=2,

AB=AH

同理可證用A4A?三比DN=NH=3,

：2AMAH+2^NAH=90°,；.^MAH+乙NAH=45°,

.?.ZA￡4N=45。.設(shè)正方形的邊長為a,.?.CM=a-2,CN=a-3,

2

根據(jù)勾股定理得，(a-2)2+(a-3)=25,

■■.a=-l(舍)或a=6,：.BC=6,；.BD=6G,

逆時針旋轉(zhuǎn)至AADG,

.■.AABE=AADG,：.AE=AG,UBE=UDG=45°,

；ZGDF=UDG+UDB=9O°,連接GF,根據(jù)勾股定理得，GF2^DG2+DF2^BE2+DF2,

■：AABE=AADG,；.AE=AG,4BAE=3AG,

???乙GAF=4DAG+乙DAF=￡BAE+乙DAF=90°-4EAF=45°=LE4F,

:AF=AF,.?.△GAFm4EAF,：.GF=EF,：.EF2=BE2+AD2；

設(shè)也.：72_

EF=x,?:BD=&6,DF=2.BE=&2A/2_X=441.x,

?-?(4V2-x)2+(272)2=x2,解得x=￡Z,；.EF=也;

22

(3)將AID尸繞/順時針旋轉(zhuǎn)120。，此時4D與48重合，尸轉(zhuǎn)到G,在/G上取

連接BH、MH,如圖：

試題20

試題

???AADF繞/順時針旋轉(zhuǎn)得A45G,.?.乙B/G=ZZ%R

又AH=AN,AB=AD,.-.AABH=AADN(&4S),:.DN=BH,/ABH=/-ADN,

?./3=60°,且4EAF=60°.；.乙BAD=120°,；.乙DAF+4BAE=4EAF=60°,

；/BAG+乙BAEMEAF,即而/〃=/N,AM=AM,

:.4AMHm4AMN(SAS),^AMN=^AMH,

???菱形/BCD4=60。，：./-ABD=/-ADB=30°,:.乙HBD=UBH+UBD=60°,

■.■^DAF=15°,N￡/F=60°,中，乙DAM=UMD=75°,：.UMN=AMH=75°,

.■.^HMB=1S00-^AMN-AAMH=30°,.-.^BHM=90O,-.BH2+MH-=BM2,.-.D^+MN^BM2.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的

性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是學會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線,

構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用探究的結(jié)論解決新的問題，屬于中考壓軸題.

課后專項訓練：

1.(2022?重慶市育才中學二模)回答問題

(1)【初步探索】如圖1：在四邊形48cA中，AB=AD,乙B=UDC=9Q°,E、尸分別是2C、

CD上的點，且EF=BE+FD,探究圖中N8/E、乙FAD、NE/尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G,使DG=BE.連接NG,先證明

△ABE三4ADG,再證明△AEF三△/GF可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

(2)【靈活運用】如圖2,若在四邊形4BCD中，AB=AD,乙B+zD=180。.E、尸分別是2C、

CD上的點，且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

(3)【拓展延伸】知在四邊形/BCD中，AABC+^ADC=180°,AB=AD,若點￡在C8的延

試題21

試題

長線上，點尸在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,請直接寫出乙以尸與

乙D/2的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)4BAE+乙FADEEAF；(2)仍成立，理由見解析；(3)乙EAF=18Q°-=4D4B

2

【分析】(1)延長FD到點G,使。G=8￡,連接/G,可判定三A4DG,進而得出

乙BAE=")AG,AE=AG,再判定△AE7WA4GR可得出

/.EAF=/.GAF=U)AG+/-DAF=/-BAE+/-DAF,據(jù)此得出結(jié)論；

(2)延長ED到點G,使。G=2E,連接/G,先判定A45E三A4DG,進而得出

乙BAEMDAG,AE=AG,再判定A/1E尸三△/GF,可得出

^EAF=Z.GAF=ZJDAG+^DAF=ABAE+^DAF；

(3)在DC延長線上取一點G,使得。G=5E,連接/G,先判定A4DG三A42E,再判定

AAEF=AAGF,得出ZK4E=Z"G,最后根據(jù)NE4E+NE4G+NG/E=360。，推導得到

2^FAEMDAB=360°,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)Z^AE+/.FAD=/.EAF.理由：

如圖1,延長FD到點G,使DG=BE,連接NG,

■■AB=^ADF=90°,UDG=UDF=90°,:zB=UDG=90°,

又?:AB=AD,;&BE三想DG(SAS),???乙BAE=￡DAG,AE=AG,

■■EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,:&EFmAAGF(SSS),

:.乙EAF=LGAF=LDAG+乙DAF=LBAE+3AF：故答案為：4BAE+乙FAD=4EAF；

試題22

試題

(2)仍成立，理由：如圖2,延長尸。到點G,使DG二BE,連接4G,

-^B+^ADF=180°fZADG+^ADF=18O°f“B二乙4DG,

又?；AB=AD,.??△ABE三AADG(SAS),；/BAE二乙DAG,AE=AG,

?；EF二BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,.'.AAEF=AAGF(SSS),

???乙EAF=乙GAF二功AG+乙DAF=(BAE+乙DAF；

(3)4EAF=180°-g4D4B.證明：如圖3,在。C延長線上取一點G,使得DG=8E,連接

AG,

■.■^ABC+^ADC=180°,^ABC+AABE=180a,“DC4BE,

又?:AB=AD,:.△ADGmAABE(SAS),：.AG=AE,乙DAG=cBAE,

■.■EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,:.LAEFmAAGF(SSS),；zFAE〃FAG,

■：/-FAE+/-FAG+/.GAE=3&0°,；24FAE+(4GAB+乙BAE)=360°,

；2乙FAE+QGAB+3AG)=360°,BP2^FAE+/LDAB=360°,：.^EAF=1?>G°-L^DAB.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜

合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進行推

導變形.解題時注意：同角的補角相等.

2.（2022?江西九江?一模）如圖（1）,在四邊形/5CD中，NB+ZD=180。，AB=AD,以

點/為頂點作N及4尸，且=連接EG⑴觀察猜想如圖（2）,當

ABAD=ZB=ND=90°時,

①四邊形N2CD是（填特殊四邊形的名稱）；②BE,DF,所之間的數(shù)量關(guān)系為

.（2）類比探究如圖（1）,線段BE,DF,即之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成

立，請加以證明；若不成立，請說明理由.（3）解決問題如圖（3）,在A/BC中，

ABAC=90°,AB=AC=4,點、D,E均在邊3C上，且ZD/E=45。，若BD=M,求DE

的長.

試題23

試題

（圖1）（圖2）（圖3）

【答案】⑴①正方形；②2￡+。尸=斯（2）詳見解析⑶詳見解析

【分析】（1）①根據(jù)正方形的判定定理即可得出；

②延長CD至點G,使得DG=BE,證得會A4DG,得出/E=/G,由

/LEAF=\ABAD,證得A/E尸多A/G尸，從而得出8￡,DF,之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同