2023中考數(shù)學(xué)常見幾何模型《最值模型-阿氏圓問(wèn)題》含答案解析

專題U最值模型-阿氏圓問(wèn)題

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查

轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專題

就最值模型中的阿氏圓問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=k-PB（原1）的點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)圓，

這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、8都在。。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，

已知鼻Q8,連接PA、PB,則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，尸點(diǎn)的位置如何確定？

圖3

如圖2,在線段0B上截取0c使0C=kr,則可說(shuō)明小BP0與△PC0相似，即kPB=PC。

故本題求“PA+左的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC''的最小值，

其中與A與C為定點(diǎn)，尸為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“E4+PC”值最小。如圖3

所示：

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見識(shí)了“kRl+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而

當(dāng)尸點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。

例1.（2022?安徽?九年級(jí)期末）如圖，在R/S4BC中，S4CB=90。，CB=7,AC=9,以C為

圓心、3為半徑作國(guó)C,P為回C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則gAP+BP的最小值為（）

A.7B.572C.4+V10D.2萬(wàn)

例2.（2020?廣西中考真題）如圖，在RtA3c中，45=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是扇形&所的EF上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,貝的最小值是.

例3.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方A2CD的邊長(zhǎng)為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)

尸是圓2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則加-的最大值為一.

例4.（2022?浙江?舟山九年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以B為圓心，

以BC為半徑畫圓交邊48于點(diǎn)E,點(diǎn)P是弧CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)P2PA,貝丹AP+OP

的最小值為（）

DC

A.s/lQB.vnC.屈

例5.(2022?廣東?廣州市第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),

B(0,2),C(4,0),0(5,3),點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且NAP8=135。，則4PD+2PC的

最小值為

例6.(2021?浙江金華?一模)問(wèn)題提出：

如圖1,在等邊0ABC中，42=9,回C半徑為3,尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,BP,求AP+；

8尸的最小值

⑴嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路，通過(guò)構(gòu)造一對(duì)相似三角形，將;

8尸轉(zhuǎn)化為某一條線段長(zhǎng)，具體方法如下：(請(qǐng)把下面的過(guò)程填寫完整)

如圖2,連結(jié)。尸，在C3上取點(diǎn)，使8=1,貝I有C少D=C君P=31

又團(tuán)團(tuán)PCD=團(tuán)

回回團(tuán)

0-=-^\PD=-BP

BP33

胤4尸+-BP=AP+PD

3

團(tuán)當(dāng)A,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PO取到最小值

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為.

（2）自主探索：如圖3,矩形ABC。中，BC=6,AB=8,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且尸8=4,則：

AP+PC的最小值為.（請(qǐng)?jiān)趫D3中添加相應(yīng)的輔助線）

⑶拓展延伸：如圖4,在扇形C。。中，。為圓心，ECOD=120°,0c=4.。4=2,。8=3,

點(diǎn)尸是CZ）上一點(diǎn)，求2B4+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過(guò)程.

例7.（2022?廣東?二模）（1）初步研究：如圖1,在△外8中，已知外=2,A8=4,。為48

上一點(diǎn)且4。=1,證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2,已知正方形42。的邊長(zhǎng)為4,

0A的半徑為2,點(diǎn)P是0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+P8的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,

已知菱形ABCQ的邊長(zhǎng)為4,0A=60。，0A的半徑為2,點(diǎn)尸是0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC-PB

的最大值.

圖1圖2圖3

例8.（2022,江蘇?蘇州九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

pA

已知平面上兩點(diǎn)A,B,則所有符合==以左＞0且左w1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先

由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在X軸，y軸上分別有點(diǎn)c（根,0）,0（0,〃），點(diǎn)P是平

OP

面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP=r,^—=k,求尸C+HZ＞的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在0D上取點(diǎn)使得OM:OP=OP:OD=k；

第二步：證明狂第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過(guò)程（部分）：

解：在。。上取點(diǎn)使得OM:OP=QP:OD=M

又QAPOD=AMOP,:NPOM:NDOP.

任務(wù)：（1）將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.（2）如圖2,在RtABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,D

2

為，ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD=2,利用⑴中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出的最小值.

B

圖2

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?福建南平九年級(jí)期中）如圖，在RtHABC中，0ACB=90°,CB=7,AC=9,以C

為圓心、3為半徑作回C,P為團(tuán)C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則;AP+BP的最小值為（）

A.30.B.C.375D.5a

2.（2022,江蘇?無(wú)錫市九年級(jí)期中）如圖，回。與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,

回。半徑為3,點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)8（2,0）,點(diǎn)尸在弧MN上移動(dòng)，連接B4,貝U3陰+P8

的最小值為

3.（2022?陜西?三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=2g,對(duì)角線

AC=2,ABAC=ZACD=60°,設(shè)AD=b3￡?,則上的最小值為

4.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿足育=k

PD

（左為定值）的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為"阿氏圓"，

【問(wèn)題解決】如圖，在0ABe中，CB=4,AB=2AC,則0ABe面積的最大值為.

A

5.（2022?浙江?九年級(jí)期中）如圖，在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E

分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。E=4,尸是。E的中點(diǎn)，連接B4,PB,則%

4

的最小值為一.

6.（2022?江蘇?蘇州九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為邊AD上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊。上，且線段EF=4,點(diǎn)G為線段EE的中點(diǎn)，連接BG、CG,貝U8G+

7.（2022?山西?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在.ASC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓

心作圓B與AC相切，點(diǎn)P為圓8上任一動(dòng)點(diǎn)，則PA+1gPC的最小值是.

2

8.（2022?湖北?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,EIB的半徑為2,點(diǎn)P

是國(guó)B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-yPC的最大值為

9.（2022?北京?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為團(tuán)。，尸是團(tuán)。上一動(dòng)

點(diǎn)，則0PA+PB的最小值為.

10.（2022?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtABC中，NACB=90。，CB=4,C4=6,

圓C半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接”，臺(tái)p原+1^最小值__________.+尸最

2---------------3

小值__________.

11.（2022?重慶?九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,圓8的半徑

22

為6,點(diǎn)尸是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PO+耳尸C的最小值為的最大值為

（2）如圖2,已知菱形A8CD的邊長(zhǎng)為4,&8=60。，圓B的半徑為2,點(diǎn)尸是圓B上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+[PC的最小值為，PD-\PC的最大值為.

2—2一

ADAD

12.(2022?江蘇淮安?九年級(jí)期中)問(wèn)題提出：如圖1,在等邊國(guó)ABC中，AB=12,回C半徑為

6,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,BP,求AP+^BP的最小值.

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上

取點(diǎn)D,使CD=3,則有笠.=空=：,又團(tuán)團(tuán)PCD=?BCP,00PCDMBCP,IS-=y,團(tuán)PD=；

CPCB2BP22

BP,0AP+yBP=AP+PD.請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+；BP的最小值為.

(2)自主探索：如圖1,矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3,1AP+PC

的最小值為.(3)拓展延伸:如圖2,扇形COD中，。為圓心，0COD=12O°,0C=4,0A=2,

0B=3,點(diǎn)P是CO上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過(guò)程.

13.（2022?湖北,九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1,己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓8的半徑

為2,點(diǎn)尸是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+JPC的最小值，0尸D+4PC的最小值，PD-^PC

的最大值.

（2）如圖2,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,圓8的半徑為6,點(diǎn)尸是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

求尸O+=PC的最小值，尸O—PC的最大值，PC+變產(chǎn)。的最小值.

333

（3）如圖3,已知菱形A5CD的邊長(zhǎng)為4,/3=60。，圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓2上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+4尸C的最小值和也》-3女的最大值.PC+且PD的最小值

226

14.（2022?山東聊城二模）如圖，拋物線y=+/+C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（<-4）,B（0,4）,直線

AC的解析式為y=-；x-6,且與y軸相交于點(diǎn)C,若點(diǎn)E是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

E作砂，x軸交AC于點(diǎn)E

（1）求拋物線>=一/+法+。的解析式；（2）點(diǎn)”是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E

運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形出切是矩形?求出此時(shí)點(diǎn)E,"的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，

以點(diǎn)E為圓心，即長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為E上以動(dòng)點(diǎn)，求!AM+CM的最小值.

2

15.（2022?江蘇泰州?一模）如圖，已知RtAABC中，ZC=90°,AC=6,AB=9,E是AB

上的一點(diǎn)，3E=5,點(diǎn)。是線段2C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿AD折疊AACD,點(diǎn)C與C'重合，連

接3C'.

（1）求證：AAEC'SAAC'B；（2）若點(diǎn)尸是3c上的一點(diǎn)，且BFf,①若ABC'F與ABC'E

的面積比是。，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的AACD（保留作圖痕

跡，不寫作法）；②求8C'+：FC'的最小值.

圖1圖2圖3

16.（2022?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,已知正方形ABC，AB=4,以頂點(diǎn)B為直角頂

點(diǎn)的等腰RtSBEP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，BE=BF=回,連接AE,CF.

（1）求證：0AB030CBF.（2）如圖2,連接。E,當(dāng)。E=8E時(shí)，求S—CE的值.（S-CF表示

&BCP的面積）（3）如圖3,當(dāng)RtaBEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABC。外部，且線段AE與線段CP存在

交點(diǎn)G時(shí),若"是CD的中點(diǎn),P是線段OG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)滿足0Mp+PG的值最小時(shí)，

求MP的值.

17.（2022?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在R7EIABC中，0ACB=9O。，CB=4,CA=6,

圓C的半徑為2,點(diǎn)尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,求：

@AP+^-BP,②2AP+5P,③;AP+8P,④AP+33尸的最小值

專題11最值模型-阿氏圓問(wèn)題

最值問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查

轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專題

就最值模型中的阿氏圓問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=k-PB（原1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，

這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

【模型解讀】如圖1所示，。。的半徑為廣，點(diǎn)A、8都在外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，

已知片408,連接PA、PB,則當(dāng)"PA+k-PB”的值最小時(shí)，尸點(diǎn)的位置如何確定？

圖3

如圖2,在線段0B上截取0C使OC=k-r,則可說(shuō)明小BPO與4PCO相似，即kPB=PC。

故本題求“PA+EPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“E4+PC”值最小。如圖3

所示：

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：

在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見識(shí)了“kM+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而

當(dāng)尸點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題.

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。

例1.（2022?安徽?九年級(jí)期末）如圖，在吊0ABe中，0ACB=90°,CB=7,AC=9,以C為

圓心、3為半徑作團(tuán)C,P為回C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則的最小值為（）

A.7B.5&C.4+710D.2^/13

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接尸M,PC,BM.利用相

似三角形的性質(zhì)證明|AP+BP^PM+PB>BM,利用勾股定理求出即可

解決問(wèn)題.

答案詳解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

：PC=3,CM=1,CA=9,:.PO=CM?CA,：.—=——，

CACP

PMPC1

'：ZPCM=ZACP：.APCM^AACP,——=—=-,

fPAAC3

：.PM=-PA,：.-AP+BP^PM+PB,

33

"：PM+PB>BM,在RtABCM中，'：ZBCM=90°,CM=1,BC=1,

；.BM7f+72=50,：.^AP+BP>5y/2，；?的最小值為5啦.故選：B.

例2.（2020?廣西中考真題）如圖，在Rtj.ABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是扇形&所的EF上任意一點(diǎn)，連接BP,CP,則gBP+CP的最小值是.

【答案]V17.

【分析】在上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接PT,PA,CT.證明,4Ts,54。，推出二

PB

AP1]]

=——=一，推出PT=一PB,推出一PB+CP=CP+PT,根據(jù)PC+PT^TC,求出CT即可

AB222

解決問(wèn)題.

【詳解】解：在A8上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸7,PA,CT.

,PAAB

：B4=2.AT=1,AB=4,：.B^=4=AT-AB,：.——=——，

ATPA

PTAP111

VZB4T=ZE4B,；.PAT^BAP,；?——=——=—,:.PT=—PB,：.—PB+CP

PBAB222

=CP+PT,

'：PC+PT>TC,在Rt_ACT中，"：ZCAT=90°,AT=1,AC=4,

**-CT=y]AT-+AC2=V17，:.三PB+Pr&i,；.；PB+PC的最小值為故答

案為g.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三

角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方A8CC的邊長(zhǎng)為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)

尸是圓8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.

3

【分析】如圖，連接5P,在3c上取一點(diǎn)M,使得=進(jìn)而證明△BPMS/XBCP,

則在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=；PC,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接

PD,在EIPOM中，PD-PM<DM,故當(dāng)。、M、尸共線時(shí)，為最大值，勾股定理

即可求得DM.

3

【詳解】如圖，連接成在2c上取一點(diǎn)使得.二,

3

BP31.BMBP

，

BM_1BC-6-2,,^P-BC

BP~2

MPBM11

ZPBM=ZCBPABPM^ABCP「.——=——=—1.MP=—PC

PCBP22

:.PD--PC=PD-MD

2

在13Pz加f中，PD-PM<DM,當(dāng)。、M、尸共線時(shí)，為最大值,

四邊形ABCD是正方形，ZC=90°

在咫CDA/中，DM=《DC。+MC2=卜+肖故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的

2

關(guān)鍵.

例4.（2022?浙江?舟山九年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,以B為圓心，

以3c為半徑畫圓交邊AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P是弧CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PRPA,則:AP+DP

的最小值為（）

A.MB.VTTC.V13D.而

【答案】C

【分析】連接BP,取BE的中點(diǎn)G,連接PG,通過(guò)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，證明

BPGBAP,得到尸G=^AP,則LAP+Z)P=PG+DP,當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最

22

小值，求出DG的長(zhǎng)得到最小值.

【詳解】解：如圖，連接BP,取BE的中點(diǎn)G,連接PG,

BP21

團(tuán)AD=BC=BP=2,AB=4,團(tuán)——=—,

BA42

BG1BPBG

團(tuán)G是BE的中點(diǎn)團(tuán)---——,團(tuán)-------,

BP2BABP

PGBP11

國(guó)NPBG=NABP,國(guó)BPGBAP,回一=—=—,回尸G=—AP,

APBA22

則+=+當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即DG長(zhǎng),

2

DG=ylAD1+AG2=y/4+9=y/vi-故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形和圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似

三角形將尸轉(zhuǎn)換成尸G,再根據(jù)三點(diǎn)共線求出最小值.

例5.(2022?廣東?廣州市第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0),

8(0,2),C(4,0),￡)(5,3),點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且NAP3=135。，則4PC+2PC的

最小值為.

【答案】20

【分析】取一點(diǎn)7(1,0),連接OP,PT,TD,首先利用四點(diǎn)共圓證明。尸=2,再利用相似三

角形的性質(zhì)證明PT=；PC,推出4PD+2PC=4(PD+1PC)=4(PD+PT),根據(jù)PD+PT>DT,

過(guò)點(diǎn)D作。E1.OC交0C于點(diǎn)E,即可求出。T的最小值，即可得.

【詳解】解：如圖所示，取一點(diǎn)7(1,0),連接。尸，PT,TD,

0A(2,0),B(0,2),C(4,0),^\OA=OB=2,OC=4,

以。為圓心，0A為半徑作C。，在優(yōu)弧A2上取一點(diǎn)。，連接QB,QA,

0Z2=1zAOB=45°,ZAPS=135°,0Z2+ZAPB=45°+135O=18O°,

0A,P,B,。四點(diǎn)共圓，回OP=Q4=2,

OPOT

0OP=2,OT=1,OC=4,回Op2=OC?OT,0—=—,

PTOP11

團(tuán)/尸OT=NPOC,HAPOr-ACOP,0—=——=-,aPT=-PC,

PCOC22

04PD+2PC=4（PD+1PC）=4（PD+PT）,過(guò)點(diǎn)。作DE_LOC交OC于點(diǎn)E,

SD的坐標(biāo)為（5,3）,回點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（5,0）,TE=4,0￡>T=A/32+42=5

SPD+PT>DT,EI4PD+2PC>20,134ao+2PC的最小值是20,故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌

握這些知識(shí)點(diǎn).

例6.（2021?浙江金華,一模）問(wèn)題提出：

如圖1,在等邊0ABe中，AB=9,回C半徑為3,尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,BP,求AP+g

8尸的最小值

⑴嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路，通過(guò)構(gòu)造一對(duì)相似三角形，將g

8戶轉(zhuǎn)化為某一條線段長(zhǎng)，具體方法如下：（請(qǐng)把下面的過(guò)程填寫完整）

如圖2,連結(jié)CP,在CB上取點(diǎn)。，使8=1,則有C方D=MCP=g1

又團(tuán)團(tuán)PCD=團(tuán)

團(tuán)團(tuán)團(tuán)

0—=-^\PD=-BP

BP33

胤4尸+-BP=AP+PD

3

團(tuán)當(dāng)A,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD取到最小值

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+；BP的最小值為.

⑵自主探索：如圖3,矩形ABC。中，BC=6,AB=S,尸為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且尸2=4,則g

AP+PC的最小值為.（請(qǐng)?jiān)趫D3中添加相應(yīng)的輔助線）

⑶拓展延伸：如圖4,在扇形C。。中，。為圓心，0COD=12O°,0C=4.0A=2,0B=3,

點(diǎn)尸是CD上一點(diǎn)，求2B4+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過(guò)程.

【答案】（1）BCP,PCD,BCP,土吧；（2）2^10;（3）作圖與求解過(guò)程見解析，2B4+P8

2

的最小值為質(zhì).

【分析】（1）連結(jié)A。，過(guò)點(diǎn)A作AH3cB于點(diǎn)F,AP+^BP=AP+PD,要使AP+；8P最小，

AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,。在同一條直線時(shí)，AP+A。最小，即可求解；

⑵在A8上截取8尸=2,連接PF,PC,AB=8,PB=4,BF=2,證明0ABpEBPBF,當(dāng)點(diǎn)F,

點(diǎn)P,點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，即可求解；

0A1Qp

⑶延長(zhǎng)0C,使3=4,連接3凡OP,PF,過(guò)點(diǎn)尸作尸施。。于點(diǎn)=-=—,

OP2OF

且她。尸=她。尸，0AOP00POF,當(dāng)點(diǎn)F,點(diǎn)尸，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，2A尸+PB的值最小，即可

求解.

【詳解】解：⑴如圖1,

A

圖1

連結(jié)AD,過(guò)點(diǎn)A作A尿C2于點(diǎn)R

^AP+^BP^AP+PD,要使AP+；8P最〃、，

0AP+4。最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,D在同一條直線時(shí)，AP+A。最小，即：AP+；BP最小值為AD,

0AC=9,AfBBC,EIACB=6OO0CF=3,AF=^~；

2

SDF=CF-CD=3-1=2,HAD=VAF2+DF2=,

2

0AP+：BP的最小值為立亙；故答案為：立亙；

322

(2汝口圖2,

在AB上截取BF=2,連接尸況PC,0X2=8,尸3=4,BF=2,

Bp]BF

0—=-=—,且EL4BP=EL48P,00ABP00PBF,

AB2BP

FPBP1ii

0—=—=-,^PF=-AP,S-AP+PC=PF+PC,

APAB222

回當(dāng)點(diǎn)R點(diǎn)P,點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PC的值最小，

回CP=VBF2+BC2=V62+22=2^0，

*AP+PC的值最小值為2M，故答案為：29；

（3）如圖3,延長(zhǎng)0C,使Cr=4,連接BROP,PF,過(guò)點(diǎn)尸作尸況1。。于點(diǎn)M,

0OC=4,FC=4,團(tuán)尸。=8,且OP=4,OA=2,

OA1OP

0一=一=一，且她。尸=MOPfflAO尸釀尸。尸

OP2OF

APOA1

E——=——=一，0PF=2API32E4+PB=PF+PB,

PFOF2

回當(dāng)點(diǎn)R點(diǎn)P,點(diǎn)2三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，

00COD=12O°,00FOM=6O°,且尸0=8,FMSOM

E1OM=4,FM=46SMB=OM+OB=4+3=7

^FB=>JFM2+MB2=屈，S2PA+PB的最小值為國(guó).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)

鍵是根據(jù)材料中的思路構(gòu)造出相似三角形..

例7.（2022?廣東?二模）（1）初步研究：如圖1,在△B4B中，已知出=2,AB=4,。為AB

上一點(diǎn)且AQ=1,證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2,已知正方形A8CQ的邊長(zhǎng)為4,

0A的半徑為2,點(diǎn)尸是0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3,

已知菱形A8CD的邊長(zhǎng)為4,EIA=60o,0A的半徑為2,點(diǎn)P是0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC-PB

的最大值.

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）10；（3）2A/37

【分析】（1）證明△以?；谹BAP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PB=2PQ

（2）在AB上取一點(diǎn)。，使得4。=1,由（1）得PB=2PQ,推出當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，

PC+P。的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+P8的最小值；（3）作出如圖的輔助線，

同（2）法推出當(dāng)點(diǎn)尸在C。交媯的點(diǎn)P時(shí)，PC-尸。的值最大，再利用勾股定理即可求得

2PC-PB的最大值.

【詳解】解：(1)證明：0B4=2,AB=4,AQ=1,0B42=A2-AB=4.0—=-J.

A。rA

PQpA1

又EEA=0A,S^PAQ^BAP.EI-^-=—=-.^\PB=2PQ；

(2)如圖，在AB上取一點(diǎn)Q,使得AQ=1,連接4P,PQ,CQ.

0AP=2,AB=4,AQ=1.由(1)MPB=2PQ,S2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).

^\PC+PQ>QC,田當(dāng)點(diǎn)C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，PC+P。的值最小.

@QC=QQB2+BC?=5,mPC+PB=2(PC+PQ)>W.回2尸C+PB的最〃、值為10.

(3)如圖，在A8上取一點(diǎn)Q,使得40=1,連接AP,PQ,CQ,延長(zhǎng)C。交她于點(diǎn)P,

過(guò)點(diǎn)C作C//垂直AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X.易得AP=2,AB=4,AQ=1.

由(1)得PB=2PQ,S2PC-PB=2PC-2PQ=2(PC-PQ),

^\PC-PQ<QC,且當(dāng)點(diǎn)P在C。交0A的點(diǎn)P時(shí)，PC-P。的值最大.

^QC^^QH-+CH2=屈，02PC-PB=2(PC-PQ)42屈.回2PC-PB的最大值為2折'.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓有關(guān)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、

兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想

思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決.

例8.(2022?江蘇?蘇州九年級(jí)階段練習(xí))閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

pA

已知平面上兩點(diǎn)A,B,則所有符合詬=以4>0且％片1)的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先

由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在X軸，y軸上分別有點(diǎn)c("2,o),o(o,〃)，點(diǎn)尸是平

面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且。尸=廠，設(shè)==%，求PC+APD的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在。。上取點(diǎn)使得OM:。尸=。尸:8=左；

第二步：證明狂＞_D=PW；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過(guò)程（部分）：

解：在。。上取點(diǎn)使得OM:OP=OP:OD=k,

又QAPOD=AMOP,:NPOM:NDOP.

任務(wù)：⑴將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.⑵如圖2,在RtABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D

為ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD=2,利用⑴中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出+的最小值.

【分析】國(guó)將PC+kPD轉(zhuǎn)化成PC+MP,當(dāng)PC+kPD最小，即PC+MP最小，圖中可以

看出當(dāng)C、P、M共線最小，利用勾股定理求出即可；

0根據(jù)上一問(wèn)得出的結(jié)果，把圖2的各個(gè)點(diǎn)與圖1對(duì)應(yīng)代入,C對(duì)應(yīng)0,D對(duì)應(yīng)P,A對(duì)應(yīng)C,

B對(duì)應(yīng)M,當(dāng)D在AB上時(shí)AO+|B。為最小值，所以+==

【詳解】解⑴尸力>=匕尸=如。，

;.PC+kPD=PC+MP,當(dāng)PC+H>D取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C,尸，/三點(diǎn)共線

時(shí)有最小值，利用勾股定理得CM=\l0C2+0M。=[+（kr）~=Jm1+kd.

（2）AD+^BD的最小值為巫,

33

提示：,AC=m=4,|cr>=^=|,">+輛的最小值為卜m半.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義的理解與應(yīng)用，快速準(zhǔn)確的掌握新定義并能舉一反三是解題

的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022?福建南平九年級(jí)期中）如圖，在RfflABC中，0ACB=9O°,CB=7,AC=9,以C

為圓心、3為半徑作團(tuán)C,尸為團(tuán)C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則gAP+BP的最小值為（）

A.372.B.4石C.36D.5近

【答案】D

【分析】作輔助線構(gòu)造相似三角形，進(jìn)而找到P在何時(shí)會(huì)使得;AP+8P有最小值，進(jìn)而得

到答案.

【詳解】解：如圖，連接CP,作PE交AC于點(diǎn)E,使NCPE=S1C

prFP|

^\ZPCE=ZACP[?].PCE^lAAPC團(tuán)——=——AC=9,PC=3^\EP=-AP

ACAP3

^AP+BP=EP+BP,當(dāng)B、尸、E三點(diǎn)共線，即P運(yùn)動(dòng)P時(shí)有最小值EB

=團(tuán)后。=1^\EB=y/EC2+CB2=5yf2回￡AP+3P的最/J、值為50故選：D.

yACj

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題

的關(guān)鍵.

2.(2022?江蘇?無(wú)錫市九年級(jí)期中)如圖，回。與y軸、無(wú)軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,

回。半徑為3,點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)8(2,0),點(diǎn)尸在弧MN上移動(dòng)，連接B4,PB,貝U3必+PB

的最小值為

【答案】V85

C)AApi

【分析】如圖，在y軸上取一點(diǎn)C(0,9),連接PC,根據(jù)僚=舞=(,她。尸是公共角,

可得0Aop0SPOC,得PC=3朋，當(dāng)8,C,尸三點(diǎn)共線時(shí)，3以+PB的值最小為BC,利用勾股定

理求出3C的長(zhǎng)即可得答案.

【詳解】如圖，在y軸上取一點(diǎn)C(0,9),連接尸C,

030半徑為3,點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(2,0),回。尸=3,OA=1,OB=2,OC=9,

OAOP1

0—=-=j,0A。尸是公共角，HBAOPEEIPOC,0PC=3E4,

^PA+PB=PC+PB,^B,C,P三點(diǎn)共線時(shí)，3E4+PB最小值為BC,

團(tuán)BC=Joe?+OB2=的2+2?=庖，團(tuán)3出+P8的最小值為相.故答案為：底

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及最小值問(wèn)題，正確理解C、尸、B三點(diǎn)在

同一條直線上時(shí)3B4+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

3.(2022?陜西?三模)如圖，在四邊形ABCD中，AB=2^/3,對(duì)角線

AC=2,ZBAC=ZACD=60°,設(shè)AD=k*BD,則發(fā)的最小值為.

【答案】V2-l##-l+V2

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作C7,鉆于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)B作交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)在

A3的上方構(gòu)造必/VIBE,使得ABEsMBD,取BE的中點(diǎn)/，連接ARDF.由

RFAD)R

ABEs.MBD,推出一=—=%=2,/BAE=NM=90。,設(shè)BD=〃z,則3E=2祖，由勾

DBMB6

股定理求得。尸，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得4。的最小值，進(jìn)而根據(jù)4)=心跳＞,即可求

解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作C/LAB于點(diǎn)J,過(guò)點(diǎn)8作3加，DC交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

在AB的上方構(gòu)造使得.ABES,MBD,取8E的中點(diǎn)尸，連接ARDF.

E

在RfAC7中，AC=2,ZGV=60°,0CJ=AC-sin60°=A/3,0ZACD=ZBAC=60°,0

AB//CD,

0BM±CACJAB,團(tuán)四邊形BJCM是矩形，?BM=CJ=6ZMBJ=90°,

RFADO/o

0ABEsMBD,—=—=^=2,ZBAE=ZM=90°,回設(shè)8￡>=利，則3￡=2加,

0DBMB6

SiEF=FB,^AF=^BE=m^ZABE=ZMBD,^ZEBD=ZABM=90°,0

DF=A/BF2+BD2=啟n，

0AD2DF-AF=6m-m，HAD的最小值為0機(jī)一”，

^AD=kBD,瞅是最小值為叵二二=近一1.故答案為：V2-1.

m

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱問(wèn)題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是相似構(gòu)

造相似三角形解決問(wèn)題.

pA

4.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,所有滿足不；=k

（左為定值）的尸點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓",

【問(wèn)題解決】如圖，在0ABe中，CB=4，AB=2AC,則面積的最大值為

【答案】y

【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在I3ABC外部作13cAp=IBABC,AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,

證出ElAPCEBBPA,列出比例式可得BP=2AP,CP=1-AP,從而求出AP、BP和CP,即可求出點(diǎn)

A的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后找出距離BC最遠(yuǎn)的A點(diǎn)的位置即可求出結(jié)論.

【詳解】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在回ABC外部作EICAPWABC,AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

P,

00APC=0BPA,AB=2AC130APCEI0BPA,

APCPAC11

0一=一=一=-EBP=2AP,CP=-AP

BPAPAB22

B］BP—CP=BC=4EI2AP-4AP=4解得:AP=-0BP=—,CP=-,即點(diǎn)P為定點(diǎn)

2333

Q

回點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，］為半徑的圓上，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交圓P

于點(diǎn)Ai,此時(shí)Ai到BC的距離最大，即0ABe的面積最大

SAAIBC=；BGAIP=；x4x，即［3ABC面積的最大值為與■故答案為：學(xué).

//3333

【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和求三角形的面積，掌

握相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵.

5.（2022?浙江?九年級(jí)期中）如圖，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,D、E

分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。E=4,P是。E的中點(diǎn)，連接B4,PB,則朋

4

的最小值為.

B

【解答】解：如圖，在