2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題（含參討論問(wèn)題）（學(xué)生版+解析）

專題03利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

（含參討論問(wèn)題）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

二、典型題型..............................................2

題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）......2

題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式

分解型................................................4

題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型........5

三、專項(xiàng)訓(xùn)練..............................................6

一、必備秘籍

一、含參問(wèn)題討論單調(diào)性

第一步：求y=的定義域

第二步：求尸（x）（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）

第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為g（x）

對(duì)于進(jìn)行求導(dǎo)得到了,a）,對(duì)/'（無(wú)）初步處理（如通分），提出r（x）的恒正

部分，將該部分省略，留下的部分則為/'（大）的有效部分（如：-a）=e'（廠-廣+2）,

則記g（x）=V—ax+2為/■'（%）的有效部分）.接下來(lái)就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該

部分決定了'（X）的正負(fù).

第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分g（x）的類型：

1、導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）

借助導(dǎo)函數(shù)有效部分g（x）的圖象輔助解題：

①令g（x）=0,確定其零點(diǎn)七,并在左軸上標(biāo)出

②觀察y=g(x)的單調(diào)性，

③根據(jù)①②畫(huà)出草圖

2、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且可因式分解型

借助導(dǎo)函數(shù)有效部分g(x)的圖象輔助解題：

①對(duì)g(X)因式分解，令g(X)=O,確定其零點(diǎn)再，%并在1軸上標(biāo)出這兩個(gè)零點(diǎn)

②觀察y=g(x)的開(kāi)口方向，

③根據(jù)①②畫(huà)出草圖

3、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且不可因式分解型

①對(duì)y=g(x)，求A=Z?2-4ac

②分類討論AWO

③對(duì)于A>0,利用求根公式求g(x)=o的兩根無(wú)1，%

④判斷兩根再，々是否在定義域內(nèi)：對(duì)稱軸+端點(diǎn)正負(fù)

⑤畫(huà)出y=g(x)草圖

二、含參問(wèn)題討論單調(diào)性的原則

1、最高項(xiàng)系數(shù)含參，從0開(kāi)始討論

2、兩根大小不確定，從兩根相等開(kāi)始討論

3、考慮根是否在定義域內(nèi)

二、典型題型

題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型(或可化為一次型)

1.(23-24高二下?山東濰坊?期中)已知函數(shù)/(x)=x—alnx(aeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線〃尤)在點(diǎn)處的切線方程；

⑵討論函數(shù)〃元)的單調(diào)性.

2.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=2("zx-lnx)+e.

⑴若/(X)的圖象在點(diǎn)(LAD)處的切線與直線/：2》+'+1=0垂直，求加的值;

(2)討論/(X)的單調(diào)性與極值.

3.(23-24高二下?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ox-liu+(aeR).

⑴討論的單調(diào)性；

4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/。)=。(1+叫-二

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解

型

1.（23-24高二下?山東?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃元）=竺3-Inx.

X

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線“X）在（I"⑴）處的切線方程；

⑵討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性.

2.（2024?遼寧?二模）已知函數(shù)/（彳）="3_:（3。+1）*2+蒼“?口.

⑴討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

3.（23-24高二下?四川南充?期中）已知函數(shù)，（x）=#+a/-（2a+l）x.

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求/（X）的在［T,2］上的最大值和最小值；

（2）當(dāng)a<-l時(shí)，求/'（x）的單調(diào)區(qū)間.

4.（23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=*-（加-6的定義域?yàn)椋?,+8）,

其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)底數(shù)

⑴討論函數(shù)〃元）的單調(diào)性；

題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型

1.（23-24高二下?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）己知函數(shù)〃無(wú)）=g/-*-21nx（aeR）.

⑴當(dāng)。＞0時(shí)，討論函數(shù)/⑴的單調(diào)性；

2.（2024?江蘇鹽城,模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"x）=ox2-lnx-x.

（1）討論的單調(diào)性；

3.（2024jWj二?全國(guó),專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=依?lnx（Q￡R）.

⑴試討論/（九）的單調(diào)性；

4.(23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-ar+f.

(1)若。=-1,求曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論〃尤)的單調(diào)性.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))已知"x)=ae*-x,g(x)=cosx.

(1)討論的單調(diào)性.

2.(23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x2-2x+a)e，,aeR.

(1)若。=1,求函數(shù)f(x)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

6.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)=-3依+2a21nx,a^O,討論了（司的

單調(diào)區(qū)間.

7.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知=Inx.求的單調(diào)區(qū)間;

8.（2023高二上?江蘇?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x+2-21nx,awR,討論函數(shù)的

單調(diào)性.

9.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=微％2+(2。-1)犬-21n羽QER,討論了(%)的

單調(diào)性.

10.(22-23高二下?江西宜春?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln尤+；依、(a+l)x,其中awO.

(1)若〃x)在x=l處取得極值求。的值；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，討論“X)的單調(diào)性.

專題03利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

（含參討論問(wèn)題）（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................9

二、典型題型.............................................10

題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）.....10

題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式

分解型...............................................13

題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型.......16

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................19

一、必備秘籍

一、含參問(wèn)題討論單調(diào)性

第一步：求y=的定義域

第二步：求尸（x）（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）

第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為g（x）

對(duì)于進(jìn)行求導(dǎo)得到對(duì)初步處理（如通分），提出r（x）的恒正

部分，將該部分省略，留下的部分則為/'（大）的有效部分（如：-a）=e'（廠-廣+2）,

則記g（x）=爐-ax+2為/'（X）的有效部分）.接下來(lái)就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該

部分決定了'（X）的正負(fù).

第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分g（x）的類型：

1、導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）

借助導(dǎo)函數(shù)有效部分g（x）的圖象輔助解題：

①令g(x)=O,確定其零點(diǎn)/，并在左軸上標(biāo)出

②觀察y=g(x)的單調(diào)性，

③根據(jù)①②畫(huà)出草圖

2、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且可因式分解型

借助導(dǎo)函數(shù)有效部分g(x)的圖象輔助解題：

①對(duì)g(x)因式分解，令g(x)=o,確定其零點(diǎn)X],%并在龍軸上標(biāo)出這兩個(gè)零點(diǎn)

②觀察y=g(x)的開(kāi)口方向，

③根據(jù)①②畫(huà)出草圖

3、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且不可因式分解型

①對(duì)y=g(x)，求A=〃—4ac

②分類討論AWO

③對(duì)于A>0,利用求根公式求g(x)=0的兩根再，馬

④判斷兩根%,馬是否在定義域內(nèi)：對(duì)稱軸+端點(diǎn)正負(fù)

⑤畫(huà)出y=g(x)草圖

二、含參問(wèn)題討論單調(diào)性的原則

1、最高項(xiàng)系數(shù)含參，從0開(kāi)始討論

2、兩根大小不確定，從兩根相等開(kāi)始討論

3、考慮根是否在定義域內(nèi)

二、典型題型

題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型(或可化為一次型)

1.(23-24高二下?山東濰坊?期中)已知函數(shù)/(尤)=x—alnx(aeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線〃尤)在點(diǎn)處的切線方程；

⑵討論函數(shù)的單調(diào)性.

【答案】(i)x+y-2=o

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程;

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分aWO、。>0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)〃x)=x—21nx,

則((x)=l-,=一，所以(⑴=一1,

因?yàn)椤?）=1,即切點(diǎn)為（1,1）,

所以切線方程為尸1=一（x-l）,即x+y-2=0.

（2）函數(shù)〃x）=x-alnx的定義域?yàn)椋?,+oo）,

當(dāng)aWO時(shí)，尸（幻＞0恒成立，函數(shù)/a）在（0,+“）上單調(diào)遞增；

當(dāng)。＞0時(shí)，貝!I當(dāng)x＞a時(shí)/'（無(wú)）＞0,當(dāng)0＜x＜a時(shí)/（無(wú)）＜0,

所以函數(shù)〃無(wú)）在（。，y）上單調(diào)遞增，在（0,。）上單調(diào)遞減；

綜上可得：當(dāng)aW0時(shí)/（丈）在（0,+°°）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)/⑺在（a,+（?）上單調(diào)遞增，在（0,上單調(diào)遞減.

2.（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'（x）=2（mr-lnx）+e.

⑴若Ax）的圖象在點(diǎn)（1J（D）處的切線與直線/：2x+y+1=0垂直，求機(jī)的值；

⑵討論"X）的單調(diào)性與極值.

【答案】（1）m=:

⑵答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)直線垂直可得，⑴=2（機(jī)-l）=g,即可求解，

（2）求導(dǎo)，對(duì)機(jī)進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值.

【詳解】（1）由題得，A*）的定義域?yàn)椋ā?+8）.

.￡（、、22（皿一1）

..j（x）=2m----=-------------.

xx

???/⑴的圖象在點(diǎn)（1,/⑴）處的切線與直線/:2尤+y+1=0垂直，

1

.?.”1）=2（〃—）=于

解得加="

4

（2）由（1）知f（x）=2（加7.

X

①當(dāng)加＜0時(shí)，/（x）＜0恒成立.

???/（X）在（0,+8）上為減函數(shù)，此時(shí)/a）無(wú)極值；

②當(dāng)機(jī)＞0時(shí)，由/'（尤）＞0,得x＞‘，由/''（x）＜0,得0＜%＜,，

mm

■■■fM在［o,工］上單調(diào)遞減，在［L,+a］上單調(diào)遞增，

mJJ

故/（X）的極小值為/［\］=21nm+2+e,無(wú)極大值.

綜上可得，當(dāng)帆W0時(shí)，在（0,+◎上為減函數(shù)，Ax）無(wú)極值；

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，/（無(wú)）在］。,一［上單調(diào)遞減，在1—,+°°］上單調(diào)遞增.

［m）\m）

/（X）的極小值為21nm+2+e,無(wú)極大值.

3.（23-24高二下?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=ax-lnx+上學(xué)（aeR）.

X

（1）討論“X）的單調(diào)性；

【答案】⑴當(dāng)。40時(shí)，/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，“X）在（0,￡|上單調(diào)遞減,

在+8）上單調(diào)遞增.

【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，

【詳解】（1）〃尤）的定義域?yàn)椋?,+⑹/（x）="」+2辦3-2=（二一1）!無(wú)2+2）,

當(dāng)aWO時(shí)，尸（力<0在（0,+8）上恒成立，所以/（無(wú)）在（0,+"）上單調(diào)遞減，

當(dāng)0>0時(shí)，令/（無(wú)）<0,得0<x<,，令（（x）>0,Wx>-,

aa

所以『a）在H上單調(diào)遞減，在］,+，］上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)"W0時(shí)，“力在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng).>o時(shí)，/（元）在（o,J上單調(diào)遞減，在，,上單調(diào)遞增.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

（1）討論了⑺的單調(diào)性；

【答案】⑴答案見(jiàn)解析；

【詳解】（1）/⑴的定義域?yàn)椋‵,”），f'M=ae-l.

若aV0,則/（x）在（―叫+oo）上單調(diào)遞減：

若a>0,貝！J由/'（%）=。得犬=-lna,當(dāng)xv—Ina時(shí)，<0；當(dāng)%>—lna時(shí)，f\x）>0；

故/（x）在（-co,-Ina）上單調(diào)遞減，在（—Ina,+oo）上單調(diào)遞增；

故當(dāng)?！?時(shí)，/（九）在（-8,+8）上單調(diào)遞減：

當(dāng)〃>0時(shí)，/（九）在（f°,-Ina）上單調(diào)遞減，在（-Ina,+oo）上單調(diào)遞增；

題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解

型

1.（23-24高二下?山東?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=竺上1-lnx.

X

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求曲線，（了）在（Lf。））處的切線方程；

⑵討論函數(shù)/（無(wú)）的單調(diào)性.

【答案】（l）y=e-l

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合/。），⑴的值，即可求得結(jié)果；

（2）求得/'（x）,對(duì)參數(shù)。分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究/（0=0的根的大小，結(jié)合了'（X）與函

數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時(shí)，/（x）=--Inx,/（l）=e-l,/（X）=X1Y'+1_L尸⑴=0,

XXX

故/（X）在（1J⑴）處的切線方程為：y-（e-l）=0,BP^=e-l.

（2）由題意可知：的定義域?yàn)椋?,+8）,且f（x）="e~e'+]_j_=（1）卜'-1）,

X2XX2

（i）^?<0,則ae'—lvO在（0,+8）上恒成立，

當(dāng)%>1,貝"口）<0;當(dāng)Ovxvl,貝

可知在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+。）上單調(diào)遞減；

（訂）若々>0,令/'（%）=。，貝Ux=l或X=-lna,

①當(dāng)一Ina?0,即,則ae”-l>0在（。,+8）上恒成立，

當(dāng)1>1,則廣。）>0;當(dāng)Ovxvl,貝!）八九）<0;

可知fM在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)0<-lna<l,即—<a<l時(shí)，

e

當(dāng)x>l或0<x<—lna,貝!]廣（%）>0；當(dāng)一lna<x<l,貝|/'（%）<0；

可知/（九）在上單調(diào)遞增，在（-In（2,1）上單調(diào)遞減；

③當(dāng)-lna=l,即“=’時(shí)，則/'（x”0在（O,+e）上恒成立，

e

可知/W在（0,+8）上單調(diào)遞增；

④當(dāng)一Ina>1,即0<a<,時(shí)，

當(dāng)%>—lna或Ov尤vl,貝！J/'（x）>0；當(dāng)l<xv—Ina,貝！J/'（%）<。；

可知/W在（0,1）,（-Ina,+。）上單調(diào)遞增，在（1,-Ina）上單調(diào)遞減；

綜上所述：若aVO,/（九）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+e）上單調(diào)遞減；

若aNl,/（%）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（L+。）上單調(diào)遞增；

若工<〃<1,/（九）在（O,—lna）,（l,+8）上單調(diào)遞增，在（—lna,l）上單調(diào)遞減；

e

若。=」,/⑺在（0,+電）上單調(diào)遞增；

e

若0〈"工時(shí)，"X）在（0,1）,（-Ina,+8）上單調(diào)遞增，在（1,-Ina）上單調(diào)遞減.

2.（2024?遼寧?二模）已知函數(shù)/（尤）=G?_萬(wàn)（3。+1）無(wú)？+尤,aeR.

（1）討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性；

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)a的不同范圍，分別求出函數(shù)的單調(diào)性；

【詳解】（1）ff（x）=3ax2-（3a+V）x+1=（3ax-l）（x-1）,

①當(dāng)。=0時(shí)，令/（%）=—（x—1）=0,x=l,

當(dāng)無(wú)￡（-8,1）時(shí)，>0,/（九）單調(diào)遞增，

當(dāng)%￡（1,+8）時(shí)，f（X）<0,了（無(wú)）單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，令/'（%）=（3融-1）。一1）=0,解得％=1或x=1<0,

3a

當(dāng)工￡（―00,--）和（1,+00）時(shí)，（（九）<0,/（X）單調(diào)遞減；

3a

當(dāng)xe（3，l）時(shí)，r（x）>0,單調(diào)遞增；

3a

③當(dāng)a>0時(shí)，令/。）=（3辦-1）（無(wú)一1）=0,解得X=1或x=[>0,

3a

i）當(dāng)—<1時(shí)，即〃>—時(shí)，

3a3

當(dāng)工￡（―8,^―）和（1,+oo）時(shí)，（（%）>0,/（X）單調(diào)遞增；

3a

當(dāng)時(shí)，rw<o,了⑺單調(diào)遞減；

3a

「）當(dāng)_L>1時(shí)，即0<〃<!時(shí)，

3Q3

當(dāng)％￡（-8,1）和（上,+8）時(shí)，f\x）>0,/（%）單調(diào)遞增；

3a

當(dāng)尤時(shí)，/(無(wú))<0,Ax)單調(diào)遞減；

3a

iii)當(dāng)，=1時(shí)，即時(shí)，f'(x)>0,/(無(wú))在R上單調(diào)遞增；

3Q3

綜上所述，當(dāng)4<0時(shí)，,⑺在(—，!)和(1,+◎單調(diào)遞減，/a)在(4,1)單調(diào)遞增；

當(dāng)。=0時(shí)，/(九)在(-8,1)單調(diào)遞增，/(元)在(1,+°0)單調(diào)遞減；

當(dāng)〃=；時(shí)，"X)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)Q>—時(shí)，/(X)在(-*--)和(1,+°°)單調(diào)遞增，/(九)在(--,1)單調(diào)遞減；

33a3a

當(dāng)0<Q<—時(shí)，/(X)在(-8,1)和(--,+°°)時(shí)單調(diào)遞增；/(九)在(1,---)單調(diào)遞減.

33a3。

3.(23-24高二下?四川南充?期中)已知函數(shù)/。)=#+o?—(2a+l)%.

⑴當(dāng)［=1時(shí)，求/⑴的在［T2］上的最大值和最小值；

⑵當(dāng)av—1時(shí)，求/(九)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴最大值為9,最小值為-g：

⑵單調(diào)遞減區(qū)間是(1,-2a-1),單調(diào)遞增區(qū)間是(73,1),(-2。-1,+00).

【分析】(1)求導(dǎo)可得八x)=(%+3)(D,令分(%)<0,0。)>。即可得出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而

求出最大、小值.

(2)求導(dǎo)可得/(犬)=(%+2。+1)(尤-1),按a<-1確定了'(X)的零點(diǎn)大小求出單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)/(%)=；/+/一3%,求導(dǎo)得尸(工)=冗2+2兀一3=(%+3)(%—1),

由廣(x)<0,得一3<xvl；由1(%)>0,得xv—3或x>l,

因此函數(shù)〃幻在(-3,1)上單調(diào)遞減，在《-3),(1,2)上單調(diào)遞增，且

2052

/(-4)=y,/(-3)=9,/(1)=--,/(2)=-,

所以/")在［T,2］上的最大值為9,最小值為

(2)函數(shù)/(%)=；_(2a+1)%的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得f\x)=x2+2cuc-(2a+1)=(%+2a+l)(x-l),

令尸(九)=。，解得X=1或X=-2a-1,

當(dāng)QV—1時(shí)，1<一加一1,貝!一1),尸(%)<0；Xe(^X),1)U(-2?-1,-HX)),f\x)>0,

所以〃龍)的單調(diào)遞減區(qū)間是a-2a-1),單調(diào)遞增區(qū)間是

4.(23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí))己知函數(shù)=xe'加的定義域?yàn)?0,+動(dòng)，

其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)底數(shù)

（1）討論函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

【分析】⑴求導(dǎo)可得/（*）=（尤+D（e，"），分和。>1兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原

函數(shù)單調(diào)性；

xxx

【詳解】（1）由題意可得：f'（x）=e+xe-ax-a=（x+^e-a）,

因?yàn)橛萫（0,+oo）,則無(wú)+l>O,e*>l,

①當(dāng)aMl時(shí)，則e'-a>0在（0,+動(dòng)內(nèi)恒成立,

可知r（x）>0,則/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>l時(shí)，令y4x）〉。，解得x>lna；令/'（力<0,解得0<x<lna；

則/（無(wú)）在（0,Ina）上單調(diào)遞減,在（Ina,內(nèi)）上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)aWl時(shí)，在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時(shí)，/（無(wú)）在（0,In。）上單調(diào)遞減，在（ina,內(nèi)）上單調(diào)遞增.

題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型

1.（23-24高二下?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）已知函數(shù)“無(wú)）=!尤2一辦一21nx（aeR）.

⑴當(dāng)a>0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

【答案】⑴單調(diào)遞減區(qū)間為0,空當(dāng)工單調(diào)遞增區(qū)間為

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)y=-—"-2的性質(zhì)求出函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間；

函數(shù)“X）=；/-依-21nx（aeR）的定義域?yàn)椋?,+動(dòng),

【詳解】（1）

2%2—ax—2

—X—u—=---------，

XX

又a>0,二次函數(shù)y=%2一依一2,開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為％='|>0,當(dāng)兀=0時(shí)V二一2,

2

所以關(guān)于X的方程x-ax-2=0異號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,解得X=a+而/或/=a-后莪

1222

所以當(dāng)0-<絲當(dāng)亙時(shí)r（x）<o,當(dāng)時(shí)用x）>。，

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,空當(dāng)工11,單調(diào)遞增區(qū)間為空當(dāng)區(qū),+8.

2.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=G；2-lnr-x.

(1)討論的單調(diào)性；

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

【分析】(1)討論。的正負(fù)，從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

【詳解】(1)因?yàn)椤?)=62-111%-％彳€(0,+8),

所以尸(x)=2ax---l-^^——---，

XX

當(dāng)時(shí)，2加-％-1?-工-1<-1<0,

故20?—%—1<0恒成立，所以/(%)<0；

當(dāng)。>0時(shí)，令2分2-欠一1=0,

解得x=叱叵藥(舍去負(fù)根)，

4〃

令r(x)>o,得了>1±造迤，此時(shí)“無(wú))單調(diào)遞增；

4〃

令/(x)<0,得0〈尤<1±互比，此時(shí)〃尤)單調(diào)遞減.

4。

綜上所述：當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(X)在I［o,上4a嚴(yán))上單調(diào)遞減，在I"不4。詬,+/J上單調(diào)遞增.

3.(2024高三,全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ax--x—lnx(aeR).

(1)試討論〃力的單調(diào)性；

【答案】①答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)數(shù)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性；

1—丫—1

【詳角畢】(1)/r(x)=2ax-l—=---------,xe(0,+oo).

當(dāng)“40時(shí)，r(x)<0,則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)。>0時(shí)，令尸(x)=0,得彳=1±2叵也(負(fù)值舍去)，

4。

當(dāng)xjo,與透］時(shí)，r(x)<0,則“X)在［o,l+中赤］上單調(diào)遞減;

fl+Jl+8〃

當(dāng)XG——----，時(shí)，川尤）＞0,則〃x）在—,+8上單調(diào)遞增.

（4〃

綜上，當(dāng)aVO時(shí)，/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0＞0時(shí)，/（無(wú)）在卜，5上單調(diào)遞減，在［匕警￡+8上單調(diào)遞增?

4.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=1型-6+/.

⑴若a=T,求曲線y=〃x）在點(diǎn)處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)性.

【答案】⑴y=4x-2

⑵答案見(jiàn)解析

【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；

（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)。分類討論計(jì)算即可得.

【詳解】（1）”=一1時(shí)，/（x）=Inx+x+x2,/^%）=—+1+2%,

/⑴=4,〃1）=2,

所求切線方程為y=4（x-l）+2,整理得：＞=4工-2；

」、\1_2X2-4ZX+1

（2）f（x）=——a+2x=---------，

XX

因?yàn)閤＞0,故時(shí),廣（力＞。"（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于y=2x2-ox+l,A=di2-8,

若0520,則AWO,此時(shí)/'（%）之。,/⑺在（0,+e）上單調(diào)遞增,

若。＞2血，令2%2“+1=0，得x-土'"*》0，

4

0＜x〈竺五二時(shí)，尸（尤）＞0,〃力單調(diào)遞增；

4

x＞"近三時(shí)，/，（x）＞o,〃x）單調(diào)遞增；

4

（竺也m時(shí)，尸（力＜0,〃尤）單調(diào)遞減；

44

綜上所述：a420時(shí)，/（力在（0,+8）上單調(diào)遞增；

”2a時(shí)，/（x）在0,"《：-8.］、叱'：_8,+co上單調(diào)遞增，

7

三、專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(2024,浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))已知〃尤)=*-%,g(x)=cosx.

⑴討論f(x)的單調(diào)性.

【答案】⑴當(dāng)“40時(shí)，在(f,E)上單調(diào)遞減；當(dāng)">0時(shí)，/(力在(3,-111。)上單

調(diào)遞減，在(-Ina,y)上單調(diào)遞增.

【分析】(1)對(duì)/'(%)=祀'-了求導(dǎo)數(shù)，然后分類討論即可；

【詳解】(1)由〃x)=ae"-x,知廣(%)=4/一1.

當(dāng)時(shí),Wf^x)=ae'—1<0—1=—1<0,所以/'(x)在(—e,+e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)尤<-Ina有/'(x)=ae"—1<茂—“"一1=1一1=0,

對(duì)x>-Ina有//(x)=ae>—l>?e-ln<,—1=1—1=0,

所以〃元)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+(%>)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(尤)在(-8,+??)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)在(一8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增.

2.(23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=(x2-2x+a)e，MwR.

(1)若a=l,求函數(shù)/(元)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

⑵討論函數(shù)的單調(diào)性.

【答案】(1)最大值為4e',最小值為0;

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)"X)在xe[0,3]的單調(diào)性，求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)

值，即可求解；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)未知數(shù)。的不同范圍，分別求出函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x2-2x+l)e\則尸(x)=(/,

令/=0,得x=l或x=-l,

由于xe[0,3],

所以當(dāng)xe(O,l),廣(無(wú))<0,/(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe(l,3),((x)>0,/(X)在(1,3)單調(diào)遞增,

所以/⑺在x=l時(shí)取到極小值，且/⑴=0,

又因?yàn)?0)=1,/⑶=4e)

綜上，函數(shù)/⑺在上的最大值為4e3,最小值為0.

(2)因?yàn)?(%)=(爐—2%+a)e",a￡R,所以尸(%)=(3+〃—2)e”,a￡R,

當(dāng)a-22即aN2時(shí),/\x)=(x2+?-2)ex>0,

fM在(-8,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)a-2<0,即a<2時(shí)，

令-(元)=(爐+〃—2)e"=0,則』

所以當(dāng)無(wú)￡卜,/'(X)〉0,/(九)在b8,-J2-。)單調(diào)遞增,

當(dāng)?！瓴?，2-a,J2-a),/r(x)<0,/(x)在\J2—a,J2—a)單調(diào)遞減,

當(dāng)X￡(j2-。,+e),f\x)>0,/(九)在(,2-a,+e)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a22時(shí)，/(九)在(-8,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)〃<2時(shí)，/(%)在1-8,一12-a),(，2-〃,+8)單調(diào)遞增,在卜巳2-a,j2-a)單調(diào)遞減.

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=gf+(Q-2)lnx-(a-l)x,討論/(兀)的單調(diào)

性.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】求導(dǎo)得了'(X),分aV2、2<，<3、。=3、a>3討論可得答案.

【詳解】函數(shù)/(力=白2+("2)111X-(4-1)》的定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)得尸(x)=x+_("l)=(xT)[:("2)],

①當(dāng)a-2K0,即時(shí)，由/'(%)>0,得％>1,由/'(%)<0,得Ovxvl,

因此〃尤)在。,包)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0<々一2<1,即2<〃<3時(shí)，由/4x)>。，得0<芯〈〃一2或x>l,由/'(x)<0,得

a—2<x<l,

因此/⑺在(O,a-2),(1,依)上單調(diào)遞增，在(a-2,1)上單調(diào)遞減；

③當(dāng)a-2=1,即a=3時(shí)，[(九)20恒成立，因此〃x)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)a-2>l,即a>3時(shí)，由得Ovxvl或1>〃一2,由/'(x)<0,

得1<%<〃一2,

因此/⑺在(0,1),(。-2,上單調(diào)遞增，在(1,a-2)上單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)aW2時(shí)，“X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增；

當(dāng)2<a<3時(shí),f(x)在(0,a—2),(L+00)上單調(diào)遞增，在(。-2,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=3時(shí)，/⑴在(0,+。)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>3時(shí)，“X)在(0,1),上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

4.(23-24高二下?全國(guó),課前預(yù)習(xí))已知函數(shù)/(x)=alnx+gx2-2無(wú)，。>0,討論的單

調(diào)性.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，將導(dǎo)函數(shù)中含參數(shù)。的二次函數(shù)的分子取為g(x),結(jié)合其圖象，對(duì)

其對(duì)應(yīng)方程的判別式分別討論，得到不同區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即得函數(shù)“力單調(diào)性.

【詳解】由題得:⑺千x—2J：”,其中x>0,

令gO)=Y-2無(wú)+a,x>0,其圖象對(duì)稱軸為直線x=l,A=4-4a.

①若a21,貝"W0,此時(shí)g(x)NO,則尸(x)N0,所以在(0,入)上單調(diào)遞增；

②若0<a<l,則A>0,

止匕時(shí)/一2尤+°=0在R上有兩個(gè)根占=1一用二￡,且0<%<1<x2,

當(dāng)xe(0,不)時(shí)，g(x)>0,則尸(x)>0,/⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)彳€(%,％)時(shí)，g(x)<0,則/''(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(尤2,+8)時(shí)，g(x)>0,貝I]尸(x)>0,/(X)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a21時(shí)，/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時(shí)，/⑺在(0,1-VJ二下)上單調(diào)遞增，在(1-JMj+ViF)上單調(diào)遞減，在

(l+VT^,+8)上單調(diào)遞增.

5.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=V>，awR,討論的單調(diào)性.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)。，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性即可.

【詳解】依題意f'(x)=-ax2~2x+a,

e

若a=0,貝|/'(力=2],當(dāng)無(wú),0)時(shí)當(dāng)犬?0,+oo)時(shí)/，犬)>0.

2

若令y=a=2一2x+。，A=4-4af令A(yù)KO,解得。4一1或

若aW—l,則1(x)NO；若則

若一1<。<1且awO,令r（x）=O,得無(wú)產(chǎn)匕正H,

X2=1±XEZ.

aa

右一1va<0,貝！J%/，

當(dāng)九?-00,%2）時(shí)/?%）>0，當(dāng)%￡（%2，再）時(shí)r（x）<。，當(dāng)xw（%,+8）時(shí)/>0；

若0va<1,貝1J玉</，

當(dāng)了￡（-00,不）時(shí)廣當(dāng)了￡（王,工2）時(shí)方㈤>0，當(dāng)X￡（%2，+°°）時(shí)/'（力<0.

綜上所述：aK-1時(shí)〃尤）在R上單調(diào)遞增；

-1<a<0時(shí)〃力在（-00,“'1一。一）和（1一'1一"一,+00）上單調(diào)遞增，在

aa

（土丘二口三）上單調(diào)遞減；

aa

a=0時(shí)“力在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+功上單調(diào)遞增；

0<a<1時(shí)“X）在（-00,和（山丘,+與上單調(diào)遞減,在（上至H

aaaa

上單調(diào)遞增；

a21時(shí)/（x）在R上單調(diào)遞減；

6.（2024高三,全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=gx2-3ax+2a21nx,awO,討論了（x）的

單調(diào)區(qū)間.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】

先求得（（力，對(duì)。進(jìn)行分類討論，由此求得了（x）的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

“X）的定義域?yàn)椋?,+8）,廣⑺"*—2叱

若a>0,當(dāng)xe（O,a）時(shí)，用無(wú)）>0,〃x）單調(diào)遞增；

當(dāng)xe（a,2a）時(shí)，/'（尤）<0,/（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)xe（2a,+oo）時(shí)，>0,〃尤）單調(diào)遞增.

若。<0,則外"）>°恒成立，/（力在（0，+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（O,a）,