2024-2025學(xué)年滬科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似形（考點(diǎn)清單）原卷版

清單02相似形（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考點(diǎn)儕單

【清單01】相似圖形、相似多邊形、相似比

1、相似圖形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形.

2、相似多邊形：一般地，兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等,

那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3、相似比：相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比或相似系數(shù).

【清單02】成比例線段

1、兩條線段的比：用同一個(gè)長度單位去度量兩條線段a、b,得到它們的長度，我們把這兩條線段長

度的比叫做這兩條線段的比，記作藍(lán)或a:6.

2、成比例線段：在四條線段a、b、c、d中，如果其中兩條線段a、6的比，等于另外兩條線段c、d的

比，即￡="或a:b=c:d）,那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.這時(shí)，線段a,b,c,d叫做組成比

例的項(xiàng)，線段a,d叫做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

3、比例中項(xiàng)：如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條直線是相等的，即線段a、b、c之間有a：b=b：c,那么線段b

叫做線段a、b的比例中項(xiàng).

【清單03】比例的性質(zhì)

1、合比性質(zhì)：如果?=￡，那么看=審⑶dRO）

bdbd

2、等比性質(zhì):如隔琮=且瓦+歷+…+b"。,那么苦若

【清單04】黃金分割

把一條線段分成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金

分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值且叫做黃金數(shù).一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

2

【清單05】平行線分線段成比例

1、基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.

2、基本事實(shí)的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

【清單06】相似三角形

1、相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一邊的直線與另兩邊相交，所截三角形與原三角形相似；

（2）兩組對應(yīng)角相等，兩個(gè)三角形相似；

（3）兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，兩個(gè)三角形相似；

（4）三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似；

（5）兩直角三角形，一組斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.

2、相似三角形的性質(zhì)：

（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比等于相似比；

（2）對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

（3）對應(yīng)周長的比等于相似比；

（4）對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.

盛型陸單

【考點(diǎn)題型一】相似多邊形

【例1】（22-23九年級上?全國?單元測試）下列說法中正確的是（）

A.各角分別相等的兩個(gè)多邊形一定是相似多邊形

B.各邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形

C.邊數(shù)相同的兩個(gè)多邊形是相似多邊形

D.邊數(shù)相同、各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形

【變式1-1].（2024九年級下?河南周口?專題練習(xí)）下面四個(gè)命題中是真命題的是（）

A.兩組銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.所有的矩形都相似，且所有的菱形也都相似

【變式1-2].（24-25九年級上?上海?階段練習(xí)）下列各組圖形中，不一定相似的是（）

A.一組鄰邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形B.兩個(gè)頂角相等的等腰三角形

C.有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形D.有兩條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形

【變式1-3].（22-23九年級上?全國?單元測試）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.全等圖形一定是相似圖形B.兩面大小不等的標(biāo)準(zhǔn)國旗一定相似

C.兩個(gè)等腰直角三角形一定相似D.兩個(gè)直角三角形一定相似

【考點(diǎn)題型二】成比例線段

【例2】（23-24九年級上?全國?課后作業(yè)）已知四個(gè)數(shù)a,b,c,d成比例.

（1）若a=—5,b=10,c=3,求d；

（2）若a=-3,b=V6,d=—4,求c.

【變式2-1].（24-25九年級上?全國?單元測試）已知線段a=0.3m,b=60cm，c=12dm?

⑴求線段a與線段b的比和線段b與線段c的比；

（2）如果線段a、b、c、d成比例,求線段d的長.

（3）在比例式a:b=b:c或=ac中，我們把b稱為a、c的比例中項(xiàng),那么本題中b是a和c的比例中項(xiàng)嗎？為

什么？

【變式2-2].（23-24九年級上?全國?單元測試）在某市城區(qū)地圖（比例尺1:9000）上，新安大街的圖上

長度與光華大街的圖上長度分別是16cm和lOcnr

（1）新安大街與光華大街的實(shí)際長度各是多少米？

（2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是多少？它們的實(shí)際長度之比呢？

【變式2-3].（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）已知有三條線段的長分別為3cm,6cm,9cm的線段，請

再添一條線段，使這四條線段成比例，求所添線段的長度.

【考點(diǎn)題型三】比例的性質(zhì)

【例3】（24-25九年級上?上海?階段練習(xí)）已知5且2x+3y+z=6,求x+y-z的值.

346"

【變式3口⑵3九年級上.河南駐馬店?階段練習(xí))⑴如果宣=-】，求*

(2)如果小二a-b+c衛(wèi)』k,求上的值

b

【變式3-2].(23-24八年級上?山東聊城?期中)已知線段a、b、。滿足§=2=g且a+26+c=26.

326

(1)求〃、b、c的值;

(2)若線段d=2c,線段％是線段。、d的比例中項(xiàng)，求

ace

【變式3-3].(23-24八年級下.貴州六盤水?期末)已知a,b,c,d,e,/六個(gè)數(shù)，如果]=五=了=

k(b+d+/KO),那么黑!=上

理由如下：

?*=(=:=k(6+d+f40)

/.a=bk,c=dk,e=fk(第一步)

.a+c+e_bk+dk+fk_k(b+d+f)_卜(林一玲)

b+d+f~b+d+f-b+d+f一弟一個(gè)

(1)解題過程中第一步應(yīng)用了的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，箋翳=k應(yīng)用了的基本

性質(zhì)；

(2)應(yīng)用此解題過程中的思路和方法解決問題：

①如果胃=[=：=2,則"上=______；

5671o

②已知:衿"。，求H的值?

【考點(diǎn)題型四】黃金分割

【例4】(24-25九年級上?陜西西安?開學(xué)考試)兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)：如圖，將一

條線段4B分割成長、短兩條線段4P、PB,若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即詈=

AP

啜(此時(shí)線段力P叫做線段PB,4B的比例中項(xiàng)).這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線

段的黃金分割點(diǎn).若48=2cm，則8尸的長為cm.

???

APB

【變式4-1].（23-24八年級下?河南許昌?期末）如圖，已知線段AB=2,經(jīng)過點(diǎn)B作BD14B,使BD=

^AB,連接4D,在4。上截取DE=BD；在力B上截取力C=4E,貝iMC:AB=

【變式4-2].（2024.江蘇宿遷?模擬預(yù)測）如圖，樂器上的一根弦4B=30cm，兩個(gè)端點(diǎn)人、B固定在樂器

板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)4的黃金分割點(diǎn)，貝MC=f

【變式4-3].（23-24八年級下?山東威海?期末）如圖，點(diǎn)C是線段4B的黃金分割點(diǎn)，以AC為一邊作矩形

ACDE,使4E=2B；以8c為邊作正方形BCFG,則S矩物CDE______SJE^BCFG-（填＞，＜或=）

【考點(diǎn)題型五】平行線分線段成比例

【例5】（2024?重慶?中考真題）如圖，在AABC中，延長4C至點(diǎn)D,使CD=C4過點(diǎn)。作DE||CB,且

DE=DC,連接4E交8C于點(diǎn)F.若Z_C48=NCTA,CF=1,則BF=.

【變式5-1].（23-24九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，已知力8||CD||與BE交于。點(diǎn)，若力F=

9,B0=2,0C=1,CE=4,求。尸和。D的長.

【變式5-2].（24-25九年級上?上海?假期作業(yè)）如圖，在AABC中，AF=2,BF,CE=3AE,CD=

4BD.連接CF交DE于P點(diǎn)，求EPDP的值.

【變式5-3].（23-24九年級上.河北邢臺?階段練習(xí)）如圖，4。是△ABC的中線，E是線段4。上的一點(diǎn),

且AD=3AE,連接CE并延長交4B于點(diǎn)F.

⑴求喧的值;

（2）若ZF=2cm，求ZB的長.

【考點(diǎn)題型六】相似三角形及平行線截相似三角形

【例6】（23-24九年級上.江蘇無錫?期末）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形4BCD邊BC延長線上的一點(diǎn)，連接2E

與CD相交于點(diǎn)F.則圖中相似三角形共有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

【變式6-1].（23-24八年級下.江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，點(diǎn)。在48邊上，點(diǎn)E在4C邊

上，且/I=N?=N3,則下列結(jié)論中不亞確的是（）

A.AADE-AABCB.hADE-KACDC.NADE^NEDCD.AABC“A

ACD

【變式6-2].（21-22九年級上.北京海淀?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在以3CD的邊的延長線上，連接BE

分別交A。、AC于尸、G.圖中相似的兩個(gè)三角形共有對.

【變式6-3].（21-22九年級下.全國?課前預(yù)習(xí)）（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形.

（2）三邊成比例的兩個(gè)三角形.

（3）兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形

（4）兩角分別相等的兩個(gè)三角形.

（5）一組直角邊和斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形.

【考點(diǎn)題型七】相似三角形的判定

【例7】（23-24九年級上?全國?單元測試）已知，RtAdBC中，乙4cB=90。，點(diǎn)”在AC上，且線段HD1

4B于。，BC的延長線與的延長線交于點(diǎn)E,求證：XAHD-&EBD.

【變式7-1].（2024.廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,F分別在正方形4BC0的邊BC,CD上,BE=3,

EC=6,CF=2.求證：4ABE“4ECF.

\-----------------（Z）

【變式7-2].（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，過點(diǎn)B作BE1CD,垂足

為E,連接4E,尸為4E上一點(diǎn)，且=

⑴求證：^ABF-LEAD.

(2)若4E=2,Z.BAE=30°,求AB的長.

【變式7-3].（23-24九年級上?湖南常德?期中）（1）如圖1,在四邊形力BCD中，乙BAD=LBCD=90°,

連接AC,BD,過點(diǎn)A作SEIAC交CB的延長線于點(diǎn)E,求證：ZE-ZACD.

圖1

（2）如圖2,在四邊形力BCD中，AB=AD,（1）中的其它條件不變，點(diǎn)M,N分別是BD,EC的中點(diǎn),

連接AN,AM,MN.

②求證：AABEfAMN.

【考點(diǎn)題型八】相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)

【例8】（2023?吉林四平?三模）在A/IBC中，D,E分別為4B,AC上一點(diǎn)，BE,CD交于點(diǎn)F.

B

圖①圖②圖①

（1）設(shè)△4BE的面積為Si，A4C0的面積為S2,且Si=52.

①如圖①，連接DE.若乙4=90。，求證：DE||BC；

②如圖②，若NFBC=45。，Z.FCB=30°,求處的值.

DF

(2)如圖③，若乙4=90。，CE=kAB,BD=kAE,DC=2BE,直接寫出k的值.

【變式8-1].（2023?上海松江?一模）如圖，已知梯形4BCD中，AD||BC.E是邊4B上一點(diǎn)，CE與對角線

BD交于點(diǎn)F,5.BE2=EF-EC.

求證：

(DA/1BD~&FCB；

Q)BD,BE=AD?CE.

【變式8-2].（24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí)）【感知】如圖①，在RtAABC中，^ACB=90°,CD1

AB于點(diǎn)D.寫出圖中與△4CD相似的三角形，并用相似符號連接.

【探究】如圖②，在△ABC中，點(diǎn)。為邊4B上一點(diǎn)，連接CD.

若求證：AC2=AD-AB.

【應(yīng)用】如圖③，在AABC中，CD是邊4B的中線.若乙4CD=NB,BC=2,貝iJCD的長為.

【變式3-3].（23-24九年級上.河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，在四邊形48CD中，力C平分"DC=

^ACB=90°,E為ZB的中點(diǎn)，連接CE,DE,AC與DE相交于點(diǎn)尸.

⑴求證：AADFCEF；

⑵若4。=4,AB=6,求彩的值.

【考點(diǎn)題型九】相似三角形周長、面積的性質(zhì)

【例9】（2024九年級?全國?競賽）如圖，在AABC中，DE||FG||BC,且OE：FG：BC=1：3：6,則四

邊形DFGE與四邊形5CG尸的面積之比為（）

C.3：5D.8：27

【變式9-1].（23-24九年級上?河南濮陽?期末）如圖在△ZBC中，D、E分別是邊43、上的點(diǎn)，且DE||

AC,右S^BOE：S^COE=2:3,則S^OOE：S—oc的值為（）

44

BC.-D-n

25-i9

【變式9-2].（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）已知△ABC八DEF.

（1）若BC=6,EF=4,則竺=________；

DF

（2）若AABC和ADEF的相似比為1:2,則這兩個(gè)三角形對應(yīng)中線的比為,△ABC與ADEF的面

積比為:

（3）若AABC與ADEF的周長比為1:4,則這兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比是.

【變式9-3].（23-24九年級上.四川達(dá)州.期末）如圖，在AABC中，AHJ.BC于H,正方形DEFG內(nèi)接于

AABC,點(diǎn)。、E分別在邊力B、2C,點(diǎn)G、尸在邊BC上.如果BC=20,那么4"=12,正方形DEFG的

面積為.

【考點(diǎn)題型十】圖形的位似變換

【例10】(23-24九年級上?福建泉州?階段練習(xí))已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、I的坐標(biāo)分別為(3,1),(2,-1).

⑴以原點(diǎn)。為位似中心，位似比為2:1,在y軸的左側(cè)，畫出AOAB放大后的圖形△。&Bi；

(2)直接寫出4點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)D(a,b)在線段04上，點(diǎn)。對應(yīng)點(diǎn)％的坐標(biāo)為

【變式10-1].(2024.貴州六盤水?二模)已知一次函數(shù)y=-1x—2的圖象與坐標(biāo)軸交于A,3兩點(diǎn).

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心畫一個(gè)△4。夕，使它與AAOB位似，且相似比為2.

【變式10-2].(23-24九年級上.山東濟(jì)南.期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△48。和4"8，。是以坐

標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,1),點(diǎn)次的坐標(biāo)為(6,2).

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為e，3）,求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

（2）若ATIBC的面積為根，則△4B'C'的面積為

【變式10-3].（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測）按下列要求在如圖的格點(diǎn)中作圖:

⑴作出AABC關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的（A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為4,ByQ）;

（2）以點(diǎn)C為