2024-2025學年滬科版七年級數(shù)學上冊專項復習：數(shù)軸上的九類動態(tài)模型解讀與訓練

專題02數(shù)軸上的九類動態(tài)模型

數(shù)軸中的動態(tài)問題屬于七年級上冊必考壓軸題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結合等思

想，考查學生的分析與綜合能力。解題時，一般遵循“點、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動點的

出發(fā)位置，移動方向和速度，用含r的式子表示動點，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動點的含r表達式

表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關系，列出式子，然后求解（要檢驗解是否符合動點的運動時間范圍）。

目錄導骯|

模型1.動態(tài)規(guī)律（左右跳躍）模型............................................................2

模型2.單（多）動點勻速模型.................................................................5

模型3.單（多）動點變速模型.................................................................9

模型4.動點往返運動模型....................................................................13

模型5.動態(tài)中點與n等分點模型..............................................................16

模型6.動態(tài)定值（無參型）模型.............................................................22

模型7.動態(tài)定值（含參型）模型.............................................................26

模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型................................................................28

模型9.數(shù)軸上的線段移動模型................................................................32

習題練模型

36

例題講模型?

【知識儲備】

①若A、8兩點在數(shù)軸上對應的數(shù)字是a、b,則A8兩點間的距離AB=|a-牛A5的中點對應的數(shù)字是：與。

②數(shù)軸動點問題主要步驟：

1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；

2）寫點一寫出所有點表示的數(shù)：常用含f的代數(shù)式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用表示；

3）表示距離——右一左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；

4）列式求解一根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。

注意：要注意動點是否會來回往返運動，速度是否改變等。

③分類討論的思想：

第1頁共55頁

(1)數(shù)軸是數(shù)形結合的產物，分析數(shù)軸上點的運動要結合圖形進行分析，注意多種情況的分類討論。

(2)對于兩個動點尸、Q,若點P、。的左右位置關系不明確或有多種情況，可用p、q兩數(shù)差的絕對值表

示PQ兩點距離，從而避免復雜分類討論。

模型1.動態(tài)規(guī)律(左右跳躍)模型

模型解讀

模型(1)：“1左1右”的等差數(shù)列式跳躍，兩個一組根據(jù)規(guī)律計算即可;

模型(2)：“2左2右”的等差數(shù)列式跳躍，四個一組根據(jù)規(guī)律計算即可。

模型運用

例1.(23-24七年級上.福建漳州?期中)已知在數(shù)軸上，一動點Q從原點。出發(fā)，沿著數(shù)軸以每秒4個單位

長度的速度來回移動，第1次移動是向右移動1個單位長度，第2次移動是向左移動2個單位長度，第3

次移動是向右移動3個單位長度，第4次移動是向左移動4個單位長度，第5次移動是向右移動5個單位

長度，....(1)求出2.5秒鐘后動點。移動次；(2)第7次移動后，點。在表示數(shù)的位置上，運

動時間為s；(3)第w次移動后，點。運動時間為s.(4)如果在數(shù)軸上有一個定點A,且A與原點

。相距10個單位長度，問：動點。從原點出發(fā)，可能與A重合，若能，則第一次與點A重合需要多長時間？

若不能，請說明理由.

【答案】(1)4(2)4,7(3)"("+1)(4)能,47.5秒或52.5秒

8

【分析】(1)根據(jù)路程=速度X時間求出2.5秒鐘走過的路程，然后根據(jù)左減右加列式計算即可得解；

(2)根據(jù)左減右加列式計算即可得解，根據(jù)路程=速度x時間求出路程，進而求得時間；

(3)根據(jù)(1)(2)的規(guī)律，根據(jù)左減右加列式計算即可求解；

(4)分點A在原點左邊與右邊兩種情況分別求出動點走過的路程，然后根據(jù)時間=路程+速度計算即可得解.

【詳解】(1)解：；4x2.5=10,.?.點。走過的路程是：1+2+3+4=10,所以共移動4次故答案為：4.

(2)解：。處于：1—2+3—4+5—6+7=—3+7=4；點。走過的路程是1+2+3+4+5+6+7=28,

28+4=7(秒)故答案為：4,7.

(3)解：第〃次移動后，點。運動時間為

(1+|-2|+3+14|+5+一.+〃)+4=x〃[+4="+J

(4)解：①當點A在原點右邊時，設需要第九次到達點4則芋=10,解得〃=19

第2頁共55頁

l+|-2|+3+Y+5++19=1+2+3+4+5++19=^1+1^X19=190

則第一次與A重合需要時間是：190+4=47.5（s）

②當點A在原點左邊時，設需要第九次到達點4則￡=10,解得〃=20

2

1+|—2|+3+|—4|+5++|—20|=1+2+3+4+5++20=（*??——=210

則第一次與A重合需要時間是：210+4=52.5（s）

綜上，第一次與A重合需要時間47.5s或52.5s.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的知識，弄清題中的移動規(guī)律是解本題的關鍵.分情況討論求解，弄清楚跳到

點A處的次數(shù)的計算方法是關鍵.

例2.（2023?浙江?七年級期末）一個機器人從數(shù)軸原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進3步后退2步的程序

運動，設該機器人每秒鐘前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，/表示第〃秒時機器人在數(shù)

（2）=1;08<04；2019>%020.

軸上的位置所對應的數(shù).給出下列結論：①三=3;X5③占玉④彳其中，正確結

論的序號是.

【答案】①②④

【分析】“前進3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結構，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一

個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即X5=l,第二個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即xio=2,第三個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即xi5=3,…，第m個

循環(huán)節(jié)結束的數(shù)就是第5m個數(shù)，即X5m=m.然后再根據(jù)“前進3步后退2步”的運動規(guī)律來求取對應的數(shù)值.

【詳解】根據(jù)題意可知：X1=1,X2=2,X3=3,X4=2,X5=l,

X6=2,X7=3,X8=4,X9=3,X10=2,xu=3,X12=4,X13=5,X14=4,X15=3,…由上列舉知①②正確,符合題意；

由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即X5=l,第二個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即X10=2,第三個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即

X15=3,…，即第m個循環(huán)節(jié)結束的數(shù)即X5m=m.

?xioo=2O,??xioi~21,XIO2=22,XIO3=23,XIO4=22,

"."X105=21,.*.X106=22,X107=23,X108=24故X108>X104,故③錯誤，不合題意；

Vx2oi5=403,?*.X2016=404,X2oi7=4O5,X2OIS=4O6,X2oi9=4O5,X2O2o=4O4,

故X2019>X2020,故④正確.符合題意.故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了規(guī)律型一數(shù)字的變化類，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左減右

加”.把數(shù)和點對應起來，也就是把“數(shù)”和“形”結合起來.前進3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結構，讓

n-5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)中對應的第幾個數(shù).

第3頁共55頁

變式1.(23-24七年級上?遼寧丹東?期中)一個動點P從數(shù)軸上原點。出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個

單位長度到達點々，第2次向右移動2個單位長度到達點鳥，第3次向左移動3個單位長度到達點A,第4

次向左移動4個單位長度到達點2，第5次向右移動5個單位長度到達點心，…，點尸按此規(guī)律移動，則

移動第2023次后到達點^在數(shù)軸上表示的數(shù)為()

A.-2024B.0C.1D.2023

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分別求出部分點表示的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為每移動四次相當于向左移動4

個單位長度，再由2023+4=505……3,可得505x(-4)+2021+2022-2023=0,即為私23在數(shù)軸上表示的數(shù).

【詳解】解：???［表示的數(shù)為+1,6表示的數(shù)為+3,乙表示的數(shù)為0,且表示的數(shù)為T,巴表示的數(shù)為+1,.….

.??每移動四次相當于向左移動4個單位長度，

2023+4=505...3,/.505x(-4)+2021+2022-2023=0,

.??巴吟在數(shù)軸上表示的數(shù)為0,故選：B.

變式2.(2023?湖北鄂州?七年級期末)已知點43,C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為a,b,c,其中a滿足("8)2=0,

b滿足亨=胃，點P位于該數(shù)軸上.⑴求出a,6的值，并求出48兩點之間的距離AB；

(2)設點C與點A的距離為24個單位長度，且|ac|=-ac,若尸B=2PC,求點尸在數(shù)軸上對應的數(shù)p；

⑶設點P從原點開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個

單位長度，第四次向右移動7個單位長度......以此類推，問點P能移動到與點A或點2重合的位置嗎？若能，

請?zhí)骄啃枰苿佣嗌俅尾拍苤睾?？若不能，請說明理由.

46

【答案】⑴a=8,6=-14,AB=22⑵點尸對應數(shù)為-18或者-可

⑶第8次移動時，即向右移動15個單位與點A重合，不能移動到與點8重合理由見解析

【分析】(1)根據(jù)平方的非負性和解一元一次方程即可求出a、b從而求出AB;

(2)先求出C點表示的數(shù)，然后根據(jù)PB=2PC,得到出=-14-0,「。=卜16-月，由此求解即可；

(3)根據(jù)題意可知，每兩次運動點尸向右移動2個單位長度，點P第"-11為正整數(shù))次移動后，尸在

原點左邊距離原點-(2左-1)的位置，由此求解即可.

⑴解：0(a-8)2=0,回a-8=0,(Ba=8；

8+4b—\

團^—=^-,回36+12=2。一2,回6=—14,13AB=8—(-14)=22；

第4頁共55頁

⑵解：回|。。|=-ac,Elac<0,

回點C與點A的距離為24個單位長度，回點C表示的數(shù)為-16,

^\PB=2PC,SPB=-14-p,PC=\-16-p\,l?l-14-/?=2|-16-p|,

回-14_p=_32_2p或T4_0=32+2p,解得°=-18或p=_］46；

⑶解：由題意可知，每兩次運動點P向右移動2個單位長度，

團點A表示的數(shù)為8,回點P在第8次移動時，即向右移動15個單位與點A重合；

根據(jù)題意可知點尸第2人-1（左為正整數(shù)）次移動后，P在原點左邊距離原點-（2左-1）的位置，

0-（2^-1）=-14,解得左=7.5不符合題意，回點尸不能運動到2點；

【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，解一元一次方程，數(shù)軸上的動點問題,

熟知相關知識是解題的關鍵.

模型2.單（多）動點勻速模型

模型解讀

模型（1）:動點P從點A（點A在數(shù)軸上對應的數(shù)是。）出發(fā)，以每秒v個單位的速度向右移動，/秒后,

到達8點，8點對應的數(shù)是：a+vto

物數(shù)。

■XY,■------"￡r丫Y------?------"

AvtBvtA

P-V做fpP?—v/B）——P

模型（1）:動點P從點A（點A在數(shù)軸上對應的數(shù)是a）出發(fā)，以每秒v個單位的速度向左移動，/秒后,

到達C點，C點對應的數(shù)是：a-vto

模型運用

例1.（23-24七年級上.江西吉安?期中）【閱讀材料】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與

形完美的結合，某數(shù)學興趣小組探究數(shù)軸發(fā)現(xiàn)了一些重要的規(guī)律.

規(guī)律1：如圖1,數(shù)軸上點A表示的數(shù)為。，點2表示的數(shù)為b,則A、B兩點間的距離AB可表示為：

①AB=b-a（即用右邊點B表示的數(shù)減去左邊點A表示的數(shù)）；

②AB=g-a|=|a-6|（即兩點表示的數(shù)之差的絕對值）.

第5頁共55頁

規(guī)律2：數(shù)軸上A、8兩點的中點/表示的數(shù)為學

2

ABAB

-i-------X-------1-------1-~>?11A

ab-1008

圖1圖2

【簡單應用】如圖1,點A在數(shù)軸上所對應的數(shù)為-5,點8表示的數(shù)為4,P是數(shù)軸上一動點.

(1)則A、8兩點間的距離AB=,48兩點的中點M表示的數(shù)為;

(2)若A、P兩點間的距離AP=7,則點尸表示的數(shù)為.

【拓展運用】如圖2,已知數(shù)軸上有A、B兩點，分別表示的數(shù)為-10,8,點A以每秒2個單位的速度沿數(shù)

軸向右勻速運動，點8以每秒3個單位向左勻速運動，設運動時間為/秒(/>0).

(3)用含f的式子填空：點A運動f秒后所在位置的點表示的數(shù)為；

點B運動f秒后所在位置的點表示的數(shù)為；此時A、B兩點的中點M表示的數(shù)為.

(4)按上述方式運動，A、8兩點經過多少秒會相距5個單位長度.

11323

【答案】【小問119,—0.5【小問2】—12或2[小問3]—10+2/,8—3/,—1【小問4】”或—

255

【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，并結合題意求得對應點的位置和中點位置，

(1)根據(jù)題目給定的距離公式即可求得；

(2)利用點P與點A的位置關系或兩點表示的數(shù)之差的絕對值即可求得答案；

(3)點A以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點B以每秒3個單位向左勻速運動即可寫出點A和

點8在f秒后所在位置的點表示的數(shù)，結合題目所給中點表示方法即可解得答案；

(4)根據(jù)相遇前與相遇后的等量關系分類討論列一元一次方程，解方程即可.

【詳解】解：(1)二.點A在數(shù)軸上所對應的數(shù)為-5,點8表示的數(shù)為4,.?.AB=4-(-5)=9,

點M在數(shù)軸上所對應的數(shù)為?=士三=-0.5.故答案為：9,-0.5

22

(2)..?若A、尸兩點間的距離AP=7=“-p=7,點A在數(shù)軸上所對應的數(shù)為一5,

當尸點在A點左邊時，則尸點的為：a-p^a-AP=-5-l=-n,

當尸點在A點右邊時，則P點的為：p=“+AP=-5+7=-2,故答案為：一12,-2

(3)點A運動/秒后所在位置的點表示的數(shù)為：-10+27，

點8運動f秒后所在位置的點表示的數(shù)為：8-3t,

....,,_.,,u,,a+b—10+2,+8—3t—t—21

此時A4、3兩點的中點M表小的數(shù)為：=-------------=---=4.

2222

第6頁共55頁

故答案為：—10+2r,8—3，，——t—1

（4）設它們按上述方式運動，45兩點經過/秒會相距5個單位長度，

當點A在點3左側時：8-3，—（—10+2。=5解得，=1?3；

當點A在點3右側時：—10+2，—（8—3，）=5解得，=］23；

答：它們按上述方式運動，48兩點經過三13秒或一23秒會相距5個單位長度.

變式1.（2023?湖北?七年級期中）“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若C到A的距離剛好是3,則C點叫做

A的“幸福點”，若C到A、B的距離之和為6,則C叫做A、B的“幸福中心”.

fl-NM

-5-4-3-2-1012345&「2二；

圖1圖2

ABCP

-iI~~LA4-I~~I―I~~L1-J--------1_I_L>

-3-2-10I2345678910

圖3

（1）如圖1,點A表示的數(shù)為-1,則A的幸福點C所表示的數(shù)應該是；

（2）如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為4,點N所表示的數(shù)為-2,點C就是M、N的幸福

中心，則C所表示的數(shù)可以是（填一個即可）；（3）如圖3,A、B、P為數(shù)軸上三點，點A所表示的

數(shù)為-1,點8所表示的數(shù)為4,點P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蟻從點尸出發(fā)，以2個單位每秒的速

7一

度向左運動，7秒時，電子螞蟻是A和B的幸福中心嗎？請說明理由.

4

7

【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的數(shù)可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）當經過一

4

秒時，電子螞蟻是A和2的幸福中心.

【分析】（1）根據(jù)幸福點的定義即可求解；（2）根據(jù)幸福中心的定義即可求解；（3）根據(jù)幸福中心的定義

即可求解.

【詳解】解：（1）A的幸福點C所表示的數(shù)應該是-1-3=4或-1+3=2；故答案為：-4或2；

（2）V4-（-2）=6,：.M,N之間的所有數(shù)都是M,N的幸福中心.

故C所表示的數(shù)可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；

777

（3）經過一秒時，電子螞蟻是A和8的幸福中心，理由是：8-2x--4+（8-2X-+1）=6,

444

7一

故當經過了秒時，電子螞蟻是A和5的幸福中心.

4

第7頁共55頁

變式2.（2024?廣東?七年級專題練習）如圖，已知點A,B,C是數(shù)軸上三點，點C對應的數(shù)為6,3c=4,

AB=12.（1）求點A,8對應的數(shù)；（2）動點P,。同時從A,C出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的速

度沿數(shù)軸正方向運動，M為AP的中點，N在CQ上，且CN=；CQ,設運動時間為舊＞0）。

①求點N對應的數(shù)（用含f的式子表示）；②r為何值時，OM=2BN?

I_____________________________II___________I

AOBCx

【答案】（DA對應的數(shù)為-10,8對應的數(shù)為2（2）①M表示的數(shù)是-10+3t,N表示的數(shù)是6+八

2

②當f=18秒或f秒時OA/=23N.

【分析】（1）根據(jù)點C對應的數(shù)為6,有OC=6,根據(jù)8c=4,可得8c=6-4=2,即點8表示的數(shù)是

2；根據(jù)鉆=12,可得04=10,即問題得解；

（2）①根據(jù)動點P、0運動特點可得AP=6f,CQ=3f,根據(jù)M為AP的中點，CN=gc。，可得AM=g4P=3乙

CN=；CQ=t,結合A對應的數(shù)為-10,C表示的數(shù)是6,即可求解；②根據(jù)（1）中N表示的數(shù)，即

可得OA/=|-10+3r|,ON=6+t,即有3N=ON—O3=6+f—2=4+，，結合OM=2BN,可得

10+34=2（4+r）=8+2r,即可作答.

【詳解】（1）:點C對應的數(shù)為6,，OC=6,

VBC=4,：.OB=OC-BC=6-4=2,.?.點8表示的數(shù)是2,

VAB=12,：.OA=AB-OB=U-2=\Q,

根據(jù)點A在。點左側，可得點A表示的數(shù)是-10,即A對應的數(shù)為-10,B對應的數(shù)為2；

（2）①???動點尸、。分別同時從A、C出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的速度，時間是

/.AP=6t,CQ=3t,

為"的中點，N在CQ上，且CN=；C。，AM=；AP=3f,CN=^CQ=t,

對應的數(shù)為-10,C表示的數(shù)是6,二M表示的數(shù)是-10+3「，N表示的數(shù)是6+/；

②表示的數(shù)是T0+3f,。M=卜10+34,表示的數(shù)是6+/,，ON=6+r,

對應的數(shù)為2,：.OB=2,：.BN=ON-OB=6+t-2=4+t,

"?OM=2BN,：.|-10+3/|=2（4+r）=8+2r,

當-10+3/=8+2/時，得f=18,

第8頁共55頁

當-10+3/=-（8+2r）時，得f=，，

2

故當f=18秒或f=M秒時0A/=23N.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題、在數(shù)軸上表示有理數(shù)以及數(shù)軸上兩點之間的距離等知識，得出

OM=\-10+3t\是解答本題的關鍵.

模型3,單（多）動點變速模型

模型運用

例1.（2023?重慶九龍坡?七年級期末）已知數(shù)軸上的點A,B,C,。所表示的數(shù)分別是。，b,c,d,

且（4+14）2+修+12）2=-匕一6|-|〃-8|.（1）求。，b,c,d的值；（2）點A,C沿數(shù)軸同時出發(fā)相向勻速

運動，與秒后兩點相遇，點A的速度為每秒4個單位長度，求點C的運動速度；

（3）A,C兩點以（2）中的速度從起始位置同時出發(fā)，向數(shù)軸正方向運動，與此同時，。點以每秒1個

單位長度的速度向數(shù)軸正方向開始運動，在f秒時有班>=2AC,求/的值；

（4）A,C兩點以（2）中的速度從起始位置同時出發(fā)相向勻速運動，當點A運動到點C起始位置時，迅

速以原來速度的2倍返回；到達出發(fā)點后，保持改后的速度又折返向點C起始位置方向運動；當點C運動

到點A起始位置時馬上停止運動.當點C停止運動時，點A也停止運動.在此運動過程中，A,C兩點相

遇，求點A,C相遇時在數(shù)軸上對應的數(shù)（請直接寫出答案）.

【答案】（1）a=-14,>=-12,c=6,d=8；（2）點C的運動速度為每秒2個單位；（3）/=4或20；（4）

222

——，-10.

33

【分析】（1）根據(jù)平方數(shù)和絕對值的非負性計算即可；

（2）設點C運動速度為x,由題意得：?x+?x4=/C=20,即可得解；

（3）根據(jù)題意分別表示出AC,BD,在進行分類討論計算即可；

（4）根據(jù)點A,C相遇的時間不同進行分類討論并計算即可；

【詳解】（1）：（0+14）2+優(yōu)+12）2=—|c—61Td-8|,

（a+14y+伍+12『+|c—6|+|d—8|=0,...。=—乜，b=-12,c=6,d=8；

（2）設點C運動速度為x,由題意得：與x+?x4=/C=20,解得：x=2,

第9頁共55頁

???點c的運動速度為每秒2個單位；

(3)t秒時，點A數(shù)為—14+4，點B數(shù)為-12,點C數(shù)為6+2g點D數(shù)為8+6,

AC=\&+2t-(-14+4t)|=|20-2t|,BD=\^>+t-(-12)|=20+t,

,：BD=2AC,.,.?20-2t>OBt,20+=2(20—2。，解得：r=4；

②20-2t<0時，即t>10,20+f=2(2t-20),解得：，=20；；"=4或20.

6-(一14)10

(4)C點運動到A點所需時間為——'——>-=10s,所以A,C相遇時間Y10,由(2)得:工時，A,

23

64

C相遇點為一14+4x?=-3,A到C再從C返回到A,用時6一(-14)+-H)=7.5；

①第一次從點C出發(fā)時，若與C相遇，根據(jù)題意得8x(t-5)=2方，/此時相遇數(shù)為

6-2x?=-，；②第二次與C點相遇，得8x(t-7.5)+22=6-(-14),解得”8<10,此時相遇

222

點為6—8x2=—10；；.A,C相遇時對應的數(shù)為：-^，--io-

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的動點問題，準確分析計算是解題的關鍵.

變式1.(23-24七年級上?湖北武漢?期末)已知AB,C三點在數(shù)軸上所對應的數(shù)分別為a,反18,且。,6滿足

(?+10)2+|/7-101=0,動點M從點A出發(fā)，以2單位/秒的速度向右運動，同時，動點N從點C出發(fā)，以1

單位秒的速度向左運動，線段為“變速區(qū)”，規(guī)則為：從點。運動到點8期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之?/p>

立刻恢復原速，從點B運動到點。期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，之后也立刻恢復原?當點M到達點C時，

兩點都停止運動.設運動的時間為/秒.(1)a=,b=,AC=；

(2)①動點"從點A運動至點C時，求r的值；②M、N兩點相遇時，求相遇點在數(shù)軸上所對應的數(shù)；

(3)若點。為線段中點，當/=秒時，MD=ND.

O*0"

【答案】⑴a=-10,*=10,AC=28；(2)①19s；②爭⑶當1=2,三,11,17秒時，MD=ND.

【分析】(1)根據(jù)平方和絕對值的非負性計算即可求出a和b的值，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出AC

的長度；

(2)①分別求出AO,BO和BC的距離，再根據(jù)“時間=路程+速度”計算即可得出答案；②設P點在數(shù)軸上

所對應的數(shù)為y,根據(jù)題意列出方程y-3=g(10-y),解方程即可得出答案；

(3)根據(jù)線段中點的性質求出點D的坐標，設時間為3分五種情況進行討論，分別求出每種情況下點M

第10頁共55頁

和點N的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求出MD和ND,令MD=ND,解方程即可得出答案.

【詳解】解：(1)?=-10,。=10,AC=28；

(2)①?."=10,b=10,c=18AAO=10,BO=10,8c=18-10=8

ino

???動點M從點A運動至點。時，^=—+~+10=19y；

221

②設M、N兩點在尸點相遇，夕點在數(shù)軸上所對應的數(shù)為九

易知點尸落在線段段，依題意有：j-3=1(10-y)解得：y=y

AM.N兩點相遇時，求相遇點P在數(shù)軸上所對應的數(shù)為與.

(3)若點。為線段。8中點，則D在數(shù)軸上表示的數(shù)為5

設時間為t時，MD=ND

①當點N在CB上，點M在AO上運動時，M=-10+2t,N=18-t

則MD=15-2t,ND=13-t即15-2t=13-t,解得t=2；

②當點N在CB上，點M在OD上運動時，M=t-5,N=18-t

則MD=10-t,ND=13-t即10-t=13-t,無解；

③當點N在OB上，點M在OD上運動時，M=t-5,N=10-2(t-8)

則MD=10-t,ND=5-2(t-8)即10-t=5-2(t-8),解得t=ll；

④當點N在OB上，點M在DB上運動時，M=t-5,N=26-2t

則MD=t-10,ND=21-2t即t-10=2L2t,解得t=T

⑤當點N在OA上，點M在BC上運動時，M=2t-20,N=13-t

貝i]MD=2t-25,ND=t-8即2t-25=t-8,解得t=17；

31

綜上所述，當f=2,了,11,17秒時，MD=ND.

【點睛】本題考查的是數(shù)軸上的動點問題，難度偏高，熟練掌握兩點間距離公式的計算是解決本題的關鍵.

變式2.(23-24七年級上?四川南充?期末)如圖，將一條數(shù)軸在原點。和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)

軸”.圖中點A表示-12,點8表示12,點C表示20,我們稱點A和點C在數(shù)軸上相距32個長度單位，記

為=32.動點M從點A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”正方向運動，從。點運動到5點期間，

速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴驮?；同時，動點N從點C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”

負方向運動，從點8運動到。點期間，速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后也立刻恢復原速.設運動時間為f秒.

第11頁共55頁

*

1220

-------------〃

-120

（D當r=4時，M,N兩點在數(shù)軸上相距多少個單位長度？

（2）當〃、N兩點相遇時，求運動時間/的值.（3）若“折線數(shù)軸”上定點尸與。，3兩點相距的長度相等，當,為

何值時，M、N與點尸相距的長度之和等于6?

【答案】（1）當f=4時，M,N兩點在數(shù)軸上相距16個單位長度；

34

（2）當N兩點相遇時，運動時間f的值為丁秒；

onOQ40

⑶當"千秒或千秒或半秒時，M、N與點P相距的長度之和等于6.

【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸，找到相等關系是解題的關鍵.

（1）由點A,0,B,C表示的數(shù)，可求出Lo，乙理及乙叱的值，利用時間=路程一速度，可求出點Af到

達點。及點N到達點B所需時間，結合N的出發(fā)點、運動速度、運動方向及運動時間，可找出當t=4

時，點〃，N表示的數(shù)，進而可求出ZMN的長；

（2）當r>8時，點M表示-6,點N表示28-2人由點M,N相遇時兩點表示的數(shù)相同，可得出關于/的

一元一次方程，解之即可求出結論；

（3）由定點P與。，8兩點相距的長度相等，可得出點尸表示6,利用時間=路程+速度，結合（1）可求

出點M到達點B及點N到達點尸所需時間，分情況討論，可得出關于t的含絕對值的一元一次方程，解之即

可得出結論.

【詳解】（1）解：點A表示-12,點。表示。，點8表示12,點C表示20,

■■-LAO=12,L0B=12,LBC=8.12?26（:秒），8+2=4（秒），

二當t=4時，點M表示一12+2x4=T，點N表示20—2*4=12,；.%=12-（T）=16.

答：當f=4時，M,N兩點在數(shù)軸上相距16個單位長度；

（2）解：由題可知，M從A至5的時間為6+12=18秒，N從C到5為8秒，

：.M,N兩點相遇在線段上于P處，

當f>8時，點Af表示0+（6）=f-6,點N表示12-2（7-8）=28-2/,

34

根據(jù)題意得：r-6=28-2r,解得：/=—.

34

答：當"，N兩點相遇時，運動時間/的值為5秒；

第12頁共55頁

（3）解：“折線數(shù)軸”上定點尸與。，8兩點相距的長度相等，，點尸表示=6.

12?26（秒），12+1=12（秒），8+1=8（秒），12+2=6（秒），

.,.當6<fW8時，即點N在BC上，點M表示"6,點N表示20-2/,

20

??4M=6—%+6=12—%,LPN=20—2z—6=14—2^.根據(jù)題意得：12—,+14—2%=6,解得：t—;

34

當8<Y了時，即相遇前，點M表示％-6,點N表示28-2/，

9Q

「?L/w=6-%+6=12-,LPN=2S—2t—6=22—2t.根據(jù)題意得：12—,+22—2，=6,解得：t=；

當三<三14時，即相遇后且點N在OB上，點M表示-6,點N表示28-2，，

—40

??^PM=^6—6=?—12,LPN=6—28+2?=—22+2t.根據(jù)題意得：,—12+2，—22=6,解得：t=；

當14<三16時，即點M在。3上，點N在Q4上，點M表示力-6,點N表示147,

??^PM=^-6-6=r-12,Lpw=6-14+才=，-8.根據(jù)題意得:1—12+3—8=6,解得：，=13<14（舍去）;

onOQ40

答:當好亍秒或三秒或三秒時，M,N與點P相距的長度之和等于6.

模型4,動點往返運動模型

模型運用

例1.（23-24七年級上.江蘇蘇州?階段練習）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是8,若動點尸從原點。出發(fā),

以2個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點。從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點

后立即以原來的速度返回，向右運動，設運動的時間為，（秒）.

pQ

-1~0'L

（1）當f=0.5時，求點。表示的數(shù)；（2）當1=2.5時，求點。表示的數(shù)；

（3）當點。到原點。的距離為4時，求點尸表示的數(shù).

【答案】（1）6（2）2（3）-2或一6

【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法是解題的關鍵.

（1）計算出點。運動的路程，即可解答；

（2）計算出點。的運動路程，即可解答；

（3）分兩種情況，點。在還沒達到原點，點。到原點。的距離為4；到達原點后距離原點后，點。到原點

。的距離為4,計算時間，即可得到點尸運動的路程，即可解答。

第13頁共55頁

【詳解】（1）解：當/=0.5時，點。表示的數(shù)為8—4x06=6；

（2）解：當/=2.5時，點。運動的路程為4x2.5=10>8,點。表示的數(shù)為0+10-8=2

（3）解：①點。還沒達到原點時，點。運動的路程為8-4=4,

4

.」=:=1秒，，點尸表示的數(shù)為。一2xl=-2；

②點。達到原點時，點。運動的路程為8+4=12,

12

，"丁=3秒，.?.點尸表示的數(shù)為0-2x3=-6,故點P表示的數(shù)為-2或-6.

變式1.（2023?遼寧沈陽?七年級期末）已知數(shù)軸上有A,B,C三個點，分別表示有理數(shù)-2,4,6.

⑴畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示點A,點點C；

（2）動點尸從點C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向數(shù)軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個

單位長度的速度沿數(shù)軸返回到點C,到達點C后停止運動，設運動時間為f秒.

①當f=l時，刈的長為個單位長度，尸3的長為個單位長度，PC的長為

個單位長度；②在點尸的運動過程中，若卓+尸3+尸。=9個單位長度，則請直接寫出f的值為

【答案】（1）見解析；（2）①4,2,4；②;或：或《或1

【分析】（1）根據(jù)題意畫出數(shù)軸即可；（2）①先求出當f=l時，P點表示的數(shù)為6-4=2,然后根據(jù)數(shù)軸上兩

點距離公式求解即可；②分當尸從C向A運動和當尸從A向C運動兩種情況討論求解即可.

（1）解：如圖所示，即為所求；

ABC

-4-20246

（2）解：①當t=l時，尸點表示的數(shù)為6-4=2,

叢=2-（-2）=4,PB=4—2=2,PC=6-2=4,故答案為：4、2、4；

②當P從C向A運動，0<rW0.5時，PA=6-4t+2,PB=6-4t-4,PC=4t,

,：PA+PB+PC=9,6—4r+2+6—4f—4+4r=9,解得f='；

4

當尸從。向A運動，0.5VZK2時，P4=6—4，+2,尸5=4—6+4，，PC=4t,

3

VPA+PB+PC=9,：.6-4/+2+4-6+4^+4r=9,解得t=—；

4

當P從A向。運動時，當2</<5時，PA=-2+2?-2）+2=2，-4,

PB=4-[-2+2（/-2）]=10-2.,PC=6-[-2+2（r-2）]=12-2r,

9

VPA+PB+PC=9,：.2t-4+10-2t+12-2t=9,解得t=-；

2

第14頁共55頁

當尸從A向。運動時，當5v/<6時，PA=2t-4fPB=2t-10,PC=12—2t,