第三章 晶體的宏觀對稱 第四章單形和聚形

第三章晶體(jīngtǐ)的宏觀對稱共九十四頁一對稱的概念

對稱就是物體（或圖形(túxíng)）中，其相同部分之間的有規(guī)律的重復(fù).例：蝴蝶(húdié)、花冠、建筑物、面容、雪花共九十四頁各種各樣(ɡèzhǒnɡɡèyànɡ)的對稱各種各樣(ɡèzhǒnɡɡèyànɡ)的對稱共九十四頁

晶體(jīngtǐ)的對稱表現(xiàn)為晶面、晶棱、角頂作有規(guī)律的重復(fù)——宏觀對稱。

二晶體對稱(duìchèn)的特點

晶體的對稱性是由晶體的格子構(gòu)造所決定的，研究晶體的對稱性對于認(rèn)識晶體的各項性質(zhì)和晶體分類具有重要意義。共九十四頁三晶體的宏觀(hóngguān)對稱要素和對稱操作對稱操作:對稱操作（變換）就指能夠使對稱物體中的各個相同部分作有規(guī)律重復(fù)的變換動作。

如：旋轉(zhuǎn)、反映、反伸、旋轉(zhuǎn)反伸等。

共九十四頁對稱要素:

對稱要素就是指在進(jìn)行對稱操作時所憑借(píngjiè)的幾何要素。

所憑借的點、線和面被分別稱為對稱中心（C）、對稱軸（Ln）和對稱面（P）。共九十四頁

1.對稱(duìchèn)面（P）

對稱面為一假想的面，相對應(yīng)的對稱操作是對此平面反映，它使圖形平分成兩個鏡像相等的部分。

共九十四頁對稱(duìchèn)面的分布垂直并平分晶面垂直并平分晶棱包含(bāohán)晶棱并穿過角頂共九十四頁

2.對稱軸（Ln）

對稱軸為一假想的直線，相對應(yīng)的對稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一定角度(jiǎodù)后可使相同(等）部分有規(guī)律地重復(fù)。

共九十四頁

L1無實際意義，高于2次的對稱軸稱為(chēnɡwéi)高次軸（L3、L4、L6）共九十四頁

軸次（n）:旋轉(zhuǎn)一周重復(fù)的次數(shù)；

基轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)（α）:重復(fù)時所旋轉(zhuǎn)的最小角度。n=360°/α共九十四頁對稱軸的分布(fēnbù)通過晶棱中點且垂直該晶棱的直線(zhíxiàn)——L2;通過晶面中心且垂直該晶面的直線——L4;通過角頂?shù)闹本€——L3共九十四頁

晶體的對稱定律：晶體中只能(zhīnénɡ)出現(xiàn)軸次為1、2、3、4、6的對稱軸，而不能出現(xiàn)5次或高于6次的對稱軸。

晶體(jīngtǐ)對稱的有限性所決定共九十四頁

3.對稱中心（C）

對稱中心為一假想的點，相對(xiāngduì)應(yīng)的對稱操作是對于此點反向延伸，通過此點，等距離兩端必能找到相對(xiāngduì)應(yīng)的點

。

共九十四頁

在晶體(jīngtǐ)中可以沒有對稱中心，若有則只能有1個，出現(xiàn)在晶體(jīngtǐ)的中心。

若晶體具有對稱中心，其相應(yīng)的晶面、晶棱、角頂都體現(xiàn)反向平行。其晶面必然都是兩兩平行而且相等(xiāngděng)的，這一點可以用來作為判別晶體有無對稱中心的依據(jù)。規(guī)律共九十四頁

4.

旋轉(zhuǎn)反伸軸(倒轉(zhuǎn)軸、反軸、反演軸)（Lin）

旋轉(zhuǎn)反伸軸為一假想的直線和此直線上的一個定點，相對應(yīng)的對稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)和對此直線上的一個定點（相當(dāng)于對稱中心）反伸的復(fù)合操作，圖形圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定(yīdìng)角度后，再對直線上的一個定點進(jìn)行反伸，可使相等部分重復(fù)。

共九十四頁Li4的四方四面體及赤平投影※其輔助的對稱(duìchèn)操作有2個※旋轉(zhuǎn)+反伸共九十四頁Li1=C各種旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)反伸軸的圖解Li6=L3+P⊥Li4Li3=L3+CLi2=P共九十四頁

5.旋轉(zhuǎn)反映軸(映轉(zhuǎn)軸)（Lsn）

旋轉(zhuǎn)反映軸為一假想的直線和垂直此直線的一個平面

，相對應(yīng)的對稱操作是圍繞此直線的旋轉(zhuǎn)后對對垂直此直線上的一個平面的反映的復(fù)合操作，操作后可使圖形(túxíng)相等的部分重復(fù)。

共九十四頁各種旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)反映軸的圖解共九十四頁四對稱要素的組合

在結(jié)晶多面體中，當(dāng)幾種對稱要素同時存在(cúnzài)時，任意兩種對稱要素的組合必定要導(dǎo)出第三種對稱要素。其作用等于前兩種對稱要素作用之和。但對稱要素的組合不是任意的,必須符合對稱要素的組合規(guī)律。共九十四頁定理(dìnglǐ)1（L2和Ln的組合,軸式組合）

如果一個L2垂直于Ln時，則①必有n個L2同時垂直此Ln;②相鄰兩個L2的夾角為Ln的基轉(zhuǎn)角的一半。

Ln

×L2（⊥）→LnnL2

例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2

逆定理：如果兩個L2相交,在交點上并垂直兩個L2必產(chǎn)生一個Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩個L2夾角的2倍,并導(dǎo)出其他n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。

共九十四頁定理2(P、Ln和C的組合,中心式組合)

如果有一個對稱面P垂直偶次對稱軸Ln（n為偶數(shù)），則在其交點存在對稱中心C。

Ln

×C=Ln

×P（⊥）→LnPC（n為偶數(shù)）

例：L2PC、L4PC、L6PC

逆定理：如果有一個偶次對稱軸L2n與對稱中心共存，則通過C且垂直該對稱軸必有一對稱面P?；蛉绻幸粋€對稱面P與對稱中心C共存，則過C且垂直P必有一個L2（這個L2可能(kěnéng)包含在其他偶次軸中而不獨立出現(xiàn)）。共九十四頁定理3（P和Ln的組合,面式組合）

如果(rúguǒ)有一個對稱面（P）包含一個對稱軸Ln，則①必有n個P同時包含此Ln；②相鄰兩個P的夾角為Ln的基轉(zhuǎn)角的一半。

Ln

×P(‖)→LnnP例：L22P、L33P、L44P、L66P

逆定理：如果有兩個對稱面相交，則P的交線必為一個Ln，其基轉(zhuǎn)角等于相鄰兩個P的夾角的2倍，并導(dǎo)出其他n個包含Ln的P。共九十四頁定理4（P和Lin的組合,倒轉(zhuǎn)面式組合）

如果有1個L2垂直于n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin，或有一個P包含n次旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin時，則當(dāng)n為奇數(shù)(jīshù)時，必有n個共點的L2垂直此Lin和n個P同時包含此Lin；當(dāng)n為偶數(shù)時，必有n/2個共點的L2垂直此Lin和n/2個P同時包含此Lin。

Lin

×P(‖)=Lin

×L2（⊥）→

LinnL2nP或Linn/2L2n/2P

當(dāng)n為偶數(shù)時，例：Li42L22P；Li63L23P

當(dāng)n為奇數(shù)時，例：Li33L23P＝L33L23PC共九十四頁

定理4逆定理：如果有一個L2與一個P斜交，則P的法線與L2的交角為δ，則平行于P且垂直于L2的直線必為一Lin，n＝360°/2δ。

定理5(歐拉定理,對稱軸之間的組合)兩個對稱軸的適當(dāng)(shìdàng)組合將產(chǎn)生第三個對稱軸共九十四頁五32個對稱型(點群)及其推導(dǎo)1.對稱型的概念晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合稱為該晶體的對稱型。由于全部對稱要素都通過一點(幾何點)，進(jìn)行(jìnxíng)對稱操作時該點不移動，因此對稱型也稱為點群。

共九十四頁2.32種對稱型

由于晶體對稱要素(yàosù)的有限性，對稱要素(yàosù)組合的有規(guī)律性，因此，晶體中的對稱型也是有限的。這種有限性表現(xiàn)在實際晶體中只有32種對稱型（赫賽爾Hessel，1830）。共九十四頁3.32種對稱型的推導(dǎo)32種對稱型可以(kěyǐ)分成A類（27種）和B類（5種）。A、B類對稱型都可以用投影的方式表達(dá)（推導(dǎo)）出來。32種對稱型要求重點掌握的對稱型有11種。共九十四頁共九十四頁

A類對稱型的推導(dǎo)原始式:L1、L2、L3、L4、L6倒轉(zhuǎn)(dàozhuǎn)原始式:Li4、Li6中心式(×C):C、L3C、L4PC、L6PC軸式(×L2（⊥）):3L2、L33L2、L44L2、L66L2面式(×P(‖)):P、L22P、L33P

、L44P、L66P倒轉(zhuǎn)面式(×P(‖)C):Li42L22P、Li63L23P

面軸式(×P(‖)×L2（⊥）):L2PC、3L23PC、L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC共九十四頁B類對稱(duìchèn)型——推導(dǎo)從略共有5種：

原始式3L24L3中心式3L24L33PC軸式

3L24L36L2面式3Li44L36P面軸式3L44L36L29PC共九十四頁4.對稱(duìchèn)型的符號

習(xí)慣符號:（全面符號）以對稱要素總和的形式來代表對稱型。

如：3L23PC

這種表示方法可以(kěyǐ)使全部對稱要素一目了然，但它不能反映出各對稱要素間的組合關(guān)系。

國際符號和圣利斯符號祥見后共九十四頁六晶體(jīngtǐ)的對稱分類晶類：屬于同一對稱性（點群）的晶體為一晶類。

晶體的對稱分類根據(jù)晶體的對稱特點，可以將其劃分(huàfēn)為三個晶族（根據(jù)是否有高次軸或高次軸的多少來劃分(huàfēn)）、七個晶系（在晶族中，根據(jù)對稱型的特點來劃分(huàfēn)晶系）。

共九十四頁晶族晶族特點晶系對稱型數(shù)量對稱特點高級晶族多個高次軸等軸晶系5有4L3中級晶族一個高次軸四方晶系7有1個L4六方晶系7有1個L6三方晶系5有1個L3低級晶族沒有高次軸斜方晶系3多于1個L2或P單斜晶系31個L2或P三斜晶系2無L2和P各晶族、晶系晶體(jīngtǐ)對稱的特點共九十四頁低級晶族晶體的對稱(duìchèn)分類共九十四頁中級晶族晶體的對稱(duìchèn)分類共九十四頁高級(gāojí)晶族晶體的對稱分類共九十四頁七.對稱(duìchèn)型的國際符號在現(xiàn)代文獻(xiàn)中一般都采用的比較簡明的對稱型符號。由Hermann和Mauguin創(chuàng)立的，亦稱HM符號。

國際符號既能表明了對稱要素的組合，也能表明了對稱要素的方位，這就要求讀者要有明確的晶體定向的空間概念。共九十四頁

國際符號中以1，2，3，4，6（n）和1，2，3，4，6（n）分別表示各種軸次的對稱軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸；以m表示對稱面。

若對稱面與對稱軸垂直,則兩者之間以斜線或橫線隔開,如：L2PC以2/m表示;L4PC以4/m表示。在國際符號中有1-3個序位,每一序位代表一定的方向,并且在不同(bùtónɡ)晶系中,同一序位所代表的方向不同(bùtónɡ)。共九十四頁各晶系對稱型的國際(guójì)符號中各位序所代表的方向晶系國際符號中的位序代表的方向等軸晶系123x或y或z軸方向(a)三次軸方向(a+b+c)x、y或x、z或y、z軸之間(a+b)三方及六方晶系123六次或三次軸，即z軸方向(c)與六次或三次軸垂直,在x或y或u軸方向上(a)與六次或三次軸垂直,與位2的方向成30°角(2a+b)四方晶系123四次軸,即z軸方向(c)與四次軸垂直,在x或y軸方向(a)與四次軸垂直,與位2成45°角(a+b）斜方晶系123x軸方向(a)y軸方向(b)c軸方向(c)單斜晶系1y軸方向(b)三斜晶系1任意方向共九十四頁低級(dījí)晶族晶體的對稱分類共九十四頁中級晶族晶體(jīngtǐ)的對稱分類共九十四頁高級晶族晶體的對稱(duìchèn)分類共九十四頁八.對稱型的圣弗利斯符號

Schoenflies早期根據(jù)對稱要素組合的規(guī)律創(chuàng)立(chuànglì)的符號。

Cn表示Ln，如C1、C2、C3、C4、C6

h表示水平，v表示直立；如C2h，C6v

Dn表示Ln

×L2（⊥）組合，如D3，D3hi表示反伸；s表示反映；V代表D2，T代表3L24L3；O代表3L44L36L2等

共九十四頁第四章單形和聚形共九十四頁

一單形

(一)單形概念它是由對稱要素所聯(lián)系的一組晶面的組合。

即：單形是一個晶體上能夠由該晶體的所有對稱要素操作而使它們相互(xiānghù)重復(fù)的一組晶面。

如：四方柱、立方體等通過對稱要素操作，單形上的所有晶面能夠相互重復(fù)。共九十四頁

同一單形的所有晶面在理想(lǐxiǎng)情況下同形、等大。同一(tóngyī)單形的晶面特征（1）共九十四頁

同一單形的各晶面與相同對稱要素間的取向關(guān)系（平行、垂直、某一角度相交）相互一致。

相同對稱要素：借助其它對稱要素，相同對稱要素間可以重復(fù)(chóngfù)。

如：L44L25PC中的兩種L2（分別指穿過面中心和棱中點的）不是相同對稱要素。3L44L36L29PC中的3L4則是相同對稱要素。同一(tóngyī)單形的晶面特征（2）共九十四頁

對實際晶體而言,同一單形的晶面的其它性質(zhì)(xìngzhì)（如硬度、解理的發(fā)育等等）以及晶面花紋、蝕象等也都相同。同一(tóngyī)單形的晶面特征（3）共九十四頁

以單形中任意一個晶面為原始晶面,通過對稱型中全部對稱要素的作用,一定(yīdìng)會導(dǎo)出該單形的全部晶面。即:不同對稱型可以導(dǎo)出不同的單形。

如：以立方體任意一個晶面為原始晶面,通過3L44L36L29PC中全部對稱要素的作用,能導(dǎo)出立方體的全部晶面。由單形概念(gàiniàn)得出的推論①共九十四頁由單形概念(gàiniàn)得出的推論②在同一對稱型中，由于晶面與對稱要素之間的位置不同，可以導(dǎo)出不同的單形。

如：在3L44L36L29PC中，如果晶面和L4垂直(chuízhí)→立方體、晶面和L3垂直→八面體、晶面和L2垂直→菱形十二面體。共九十四頁

屬于同一對稱型的晶體，其晶面在空間上的位置不同時，導(dǎo)致晶面外形上的差異，即：同一對稱型中可以出現(xiàn)(chūxiàn)不同的幾何形態(tài)。3L44L36L29PC共九十四頁(二)47種幾何單形幾何單形：不考慮(kǎolǜ)單形所屬的對稱型，只考慮(kǎolǜ)單形的形狀，有47種幾何單形。１.單形的幾何特征的觀察內(nèi)容：①晶面數(shù)目②晶面的形狀③晶面間的幾何關(guān)系④晶面與對稱要素間的關(guān)系⑤通過中心的橫切面形狀等共九十四頁２.單形的命名(mìngmíng)依據(jù)：①單形的形狀—柱、錐、立方體②橫切面+單形的形狀—四方(sìfāng)柱、斜（菱）方柱③晶面的數(shù)目—單面、八面體④晶面的形狀—菱面體、五角十二面體等共九十四頁3.各晶族的單形⑴.低級(dījí)晶族的單形（7種）

單面、平行雙面、雙面、斜方柱、斜方錐、斜方雙錐、斜方四面體。注意：通過斜方柱、斜方錐、斜方雙錐、斜方四面體中心(zhōngxīn)的橫切面為菱形。共九十四頁⑵.中級(zhōngjí)晶族的單形（25種）①柱類：三方柱、復(fù)三方柱、四方柱、復(fù)四方柱、六方柱、復(fù)六方柱

注意(zhùyì)：晶面和交棱都平行于高次軸。共九十四頁②單錐類：三方單錐、復(fù)三方單錐、四方單錐、復(fù)四方單錐、六方單錐、復(fù)六方單錐

注意：出現(xiàn)(chūxiàn)在沒有對稱中心和其它水平對稱要素的對稱型中。所有晶面交高次軸于一點。

共九十四頁

③雙錐類：三方雙錐、復(fù)三方雙錐、四方雙錐、復(fù)四方雙錐、六方雙錐、復(fù)六方雙錐

注意：上下各半數(shù)晶面分別交高次軸于上下兩點。出現(xiàn)在有對稱中心或（和）其它(qítā)水平對稱要素的對稱型中。共九十四頁④面體類：四方四面體、復(fù)四方偏三角(sānjiǎo)面體、菱面體、復(fù)三方偏三角面體。注意：出現(xiàn)在沒有(méiyǒu)水平對稱面的對稱型中。上、下晶面錯開，相間分布。共九十四頁⑤偏方面(fāngmiàn)體類：三方偏方面(fāngmiàn)體、四方偏方面(fāngmiàn)體、六方偏方面(fāngmiàn)體特點：出現(xiàn)在沒有對稱中心的對稱型中（所有晶面互不平行）。似相應(yīng)的雙錐相互間繞高次軸錯開一個任意角度而成。共九十四頁①四面體組：四面體三角(sānjiǎo)三四面體四角三四面體五角三四面體六四面體⑶.高級(gāojí)晶族的單形(15種)共九十四頁②八面體組：八面體三角(sānjiǎo)三八面體四角三八面體五角三八面體六八面體共九十四頁③立方體組：立方體、四六面體共九十四頁

④其它：五角十二面體、菱形(línɡxínɡ)十二面體、偏方復(fù)十二面體共九十四頁47種幾何(jǐhé)單形及其投影共九十四頁共九十四頁共九十四頁共九十四頁共九十四頁共九十四頁(三)單形的推導(dǎo)

單形中的所有晶面既然與對稱(duìchèn)要素相關(guān)，因此將一個原始晶面置于對稱(duìchèn)型中，通過對稱(duìchèn)型中全部對稱(duìchèn)要素的作用，必可以導(dǎo)出其全部的晶面；在同一對稱(duìchèn)型中，原始晶面與對稱(duìchèn)要素之間的相對位置不同，可以導(dǎo)出不同的單形。

原始晶面有7種位置,表現(xiàn)為:

①分別與X、Y、Z軸相交；

②分別與XY、YZ、XZ軸相交；

③同時交于X、Y、Z軸

共九十四頁斜方晶系以L22P（mm2）為例

將L2為Z軸，對稱面的法線分別為X、Y軸，進(jìn)行赤平投影。

原始晶面與對稱要素之間的相對位置關(guān)系有7種：與X、Y、Z軸中一個軸相交有1、2、3號晶面；與X、Y、Z軸中二個軸相交有4、5、6號晶面；與X、Y、Z軸均相交有7號晶面。在赤平投影圖中1/4的扇形(shànxínɡ)區(qū)域內(nèi)，3個角頂是1、2、3號晶面的投影；3條邊上為4、5、6號晶面的投影；中部是7號晶面的投影）。實例(shílì)（1）共九十四頁位置(wèizhi)1—單面、位置2—平行雙面、位置3—平行雙面、位置4—雙面、位置5—雙面、位置6—斜方柱、位置7—斜方單錐。推導(dǎo)(tuīdǎo)出7單形共九十四頁四方(sìfāng)晶系以L44L25PC為例實例(shílì)（2）共九十四頁等軸晶系以3L44L36L29PC為例實例(shílì)（3）共九十四頁

結(jié)晶單形：每一個對稱型，單形晶面與對稱要素之間的相對位置關(guān)系有7種。因此，一個對稱型最多能導(dǎo)出7種單形。對32種對稱型逐一進(jìn)行推導(dǎo)(tuīdǎo)，能導(dǎo)出146種不同的單形，稱為結(jié)晶單形（教材P69～71表5-1～5-7）。

結(jié)晶單形不僅考慮了單形的幾何形態(tài)，同時還考慮其對稱性。即形態(tài)相同的幾何單形，其對稱性質(zhì)（對稱型）不同。

例：L4中的四方柱和L4PC中的四方柱屬于2個結(jié)晶單形，1個幾何單形。

為何不是32×7＝224種結(jié)晶單形？(四)146種結(jié)晶(jiéjīng)單形共九十四頁

一個幾何單形往往對應(yīng)多個(duōɡè)結(jié)晶單形，如一個立方體對應(yīng)有5個結(jié)晶單形。

如果只根據(jù)(gēnjù)一個單形的幾何特點（幾何單形）找該單形的對稱形，應(yīng)是多個結(jié)晶單形中對稱程度最高的那一個。共九十四頁(五)單形的分類

1·特殊形和一般形

特殊形（specialform）是指單形晶面處在特殊位置,即晶面垂直或平行于任何對稱要素,或與相同的對稱要素以等角度相交的單形。

一般形（generalform）是指單形晶面處在一般位置,即不與任何對稱要素垂直或平行（等軸晶系中中(zhōnɡzhōnɡ)的一般型有時可以平行于3次軸除外）,也不與相同的對稱要素以等角度相交的單形。共九十四頁

2·左形和右形形態(tài)完全相同，在空間的取向上正好(zhènghǎo)彼此相反的兩個形體，它們互為鏡像，但不能借助于旋轉(zhuǎn)或反伸操作使之重合的，此兩同形反像體構(gòu)成了左右對映形（enantionmorphousforms），其中一個為左形（left-handform），另一個為右形（right-handform）。共九十四頁

3.正形和負(fù)形

取向不同的兩個相同單形，如果相互之間能夠借助于旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)操作彼此重合，則兩者互為正、負(fù)形（positive、negativeform）。共九十四頁共九十四頁

4.開形和閉形開形（openform）是指單形的晶面不能封閉一定空間的單形。例：平行雙面、各種柱類的單形。閉形（ciosedform）是指單形的晶面可以封閉一定空間的單形。例：各種雙錐、等軸晶系的全部單形。

5.定形(dìnɡxínɡ)和變形定形（constantform）是指單形晶面間的角度為恒定者。