2024-2025學(xué)年江西省九江市瑞昌某中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江西省九江市瑞昌一中高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U=AUB={0,1,2,3,4,5},AC《心)={1,3,5},則集合B=()

A,{1,3,5}B.{0,2,4}C.0D.{0,123,4,5}

c.257r257r,、

2.sinz--cosz—=()

乎

A,B.C.-|

3.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且/(%+y)-/(%-y)=2/(y),則f(0)=()

A.0B.1C.2D.-1

4.已知％>0,y>0,且§+2y=l,貝!)2%+2的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

5.設(shè)函數(shù)/(%)=ln(x2+1)+sin%+1,則曲線y=/(%)在點(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的

面積為()

A.j112

B-DOC-DD-

6.把某種物體放在空氣中，若該物體原來的溫度是少。。空氣的溫度是物久，則tmin后該物體的溫度。。C滿

足6=斯+(。'一。0)?一4.若。0，。'不變,在timin,與min后該物體的溫度分別為。1冤，02℃,且&＞。2,則

下列結(jié)論正確的是()

A.ti>t2

B.t]<以

C.若。'>。0,則以;若。'<。0，WJti<t2

D.若。'>。0,則V12；若。'V。0,貝〉t2

7.已知log^n>l(m,n>。且mWl,71H1),m+n=e2,貝U()

A.(m—n+I)，<1B.(m—n+l)e>1

C.\m-n\e<1D.\m-n\e>1

8.在△ABC中，AB=4,BC=6,乙ABC=90。，點P在△ABC內(nèi)部，^Z-BPC=90°,AP=2,記

Z-ABP=a,貝！Jtcm2a=()

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二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知命題p/xGR,x—\x\>x2；命題q:Vae(',7r),cose一a)=sin0+a),貝!］()

A.p是真命題B.rp是真命題C.q是真命題D.-iq是真命題

10.已知函數(shù)/'(久)=cos(久+《)，貝！|()

A./0)為偶函數(shù)B.7(x)的最大值為cos2

C.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減D/(X)在(1,20)上有6個零點

11.已知函數(shù)/(x)=#+6/+c無，下列結(jié)論正確的是()

A.若x=沏是/'(X)的極小值點，則/'(X)在(-8,久o)上單調(diào)遞減

B.若久=b是/'(X)的極大值點，則b<0且c<0

C.若c=3,且/(%)的極小值大于0,貝心的取值范圍為(-2,-8)

D.若c=-3b,且f(x)在［0,3］上的值域為［0,9］,貝必的取值范圍為［—3,0］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/'(久)=sin(x+0)(0<(p<兀)的圖象關(guān)于y軸對稱，則⑴=.

(X2+ax,x<0

13.已知函數(shù)/(%)=_%%之0的最小值為一1，則。.

I%+1'一

14.已知函數(shù)/(x)=sin(x+<p)+l,若l/Qi)—/(刀2)1=1，則|二-冷|的最小值為___

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(X)=sin(3久+租)(3>0,切<5)的部分圖象如圖所示.

(1)求/'(%)的解析式;

7T

(2)求/(%)在［-不0］上的值域.

16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且嚶％喏;

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(1)證明：a=B.

(2)若D是BC的中點，求NC4D的最大值.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=aex—x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

p-X[

(2)右a>0,VxG(0,+8),/(%)>—--求G的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知集合48中的元素均為正整數(shù)，且A,B滿足：①對于任意見，ajEA,若Ha”都有。嗎?€8；②

對于任意6山bkeB,若bm<bk，都有占eA.

(1)已知集合4={1,2,4},求B；

(2)已知集合4={2,4,8,t}(t>8),求)

(3)若力中有4個元素，證明：B中恰有5個元素.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=%+(%+a)lnx.

(1)若/'(%)是增函數(shù)，求a的取值范圍.

(2)若((久)有極小值，且極小值為m,證明：m<1.

(3)若f(x)>0,求a的取值范圍.

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參考答案

1.5

2.B

3.X

4.D

5.4

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.AC

11.BCD

12.J

13.2

14.3

15.解：(1)由圖可得，f(x)的最小正周期T=2x(gY)=7r.

277

因為7=兩，且3>°，所以3=2,所以/'(X)=sin(2x+9)

7TTC

由/(%)=s譏(2x-+(/?)=0

7T71

所以=2kn,kEZ,解得9=—§+2攵兀，kEZ.

TT7T

因為1初<然所以0=-3-

TT

故f(%)=sin(2久一§).

(2)由一得一整工2%一與《一宗

當(dāng)2%苫=一手即x=V時，/(久)取得最大值，最大值為《;

當(dāng)2%苫=苫，即久=一工時，/(%)取得最小值，最小值為一1.

故/(%)在［曰0］上的值域為［-

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222

sinA+1sinB+1(siny+cos^)(sin^+cos^)_(sinj+cos-1)

16.解：(1)證明：因為,所以?

cos>lcosBcos2sin2ycos2y—sin2

si.n—A+?cos—A.sinB—?+cosB—

則—/

cossi.nA=—cos%-—s.in3-

貝UsinlcosS-cos^si*=0,即sin=0.

乙乙乙乙乙乙

因為4BG(0,兀)，所以?-3=0,即4=B.

3AC,AD

(2)由余弦定理的推論可得COSNCAD=弓紇嚴(yán)=這+仍一丑：+心一^+心------------

ZAC-AD2AC-AD=2AC-AD8AD2AC

?I3AC_AD_y[3

^Zy/8ADZAC~~Tf

所以NC4D線,當(dāng)且僅當(dāng)笫=室時，等號成立.

故”4)的最大值為崇

17.解：(l)f(x)=aex-l,

當(dāng)a<0時，/'(%)<0,/(%)是減函數(shù),當(dāng)Q>0時,y=/'(%)是增函數(shù).

令((%)=0,解得％=-Ina.

當(dāng)久E(—8,—Ina)時，/'(%)<0;當(dāng)久G(—Ina,+oo),/'(%)>0.

所以/(%)在(-8,-lna)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，/(%)是減函數(shù);當(dāng)a>0時，/(%)在(-8,-lna)上單調(diào)遞減，

在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.

(2)/(%)>-----,即ae、一—>X——.

、八、，axax

1o~X

令函數(shù)g(x)=x--,則g(aex)=aex---,所以。9])>g(x).

Y

因為9(x)在(。，+8)上單調(diào)遞增，所以ae、>x,即a>彘.

令函數(shù)h(x)>0),則"(x)=詈.

當(dāng)%6(0,1)時，hf(x)>0;當(dāng)%6(1,+oo),hf(x)<0.

所以以%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

11

所以初久)極大值=八(1)=了a>八(%)極大值=--

—1

故a的取值范圍為(1,+co).

18.解：(1)由①可得2,4,8都是B中的元素.下面證明B中除2,4,8外沒有其他元素；

假設(shè)B中還有其他元素，分兩種情況：第一種情況，B中最小元素為1,顯然苧不是4中的元素,不符合題

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忌；

第二種情況，B中最小的元素為2,設(shè)B中除2,4,8外的元素為外(%>2),

因為牛是4中的元素，所以比為4或8,而4,8也是8中的元素，所以B中除2,4,8外沒有其他元素.

綜上，B=｛2,4,8｝.

(2)由①可得，8,16,32,2t,438t都是B中的元素.顯然8<438<2t,16<2t,

由(2)可得,系票差是4中的元素,即亨，p5是4中的元素.

ooAO乙O

因為所以5=2,；=4,9=8,解得t=16.

o4zoqz

(3)證明:設(shè)4=[alta2,a3,a4｝,且由<a2<a3<a4,

由①可得，。1。2，。2a4都是3中的元素.顯然2a4，

由②可得，覆是a中的元素，即言是a中的元素?

同理可得M詈，Z蕓鬻是a中的元素.

若臼=1,則舞|=^^>a4，所以舞^不可能是4中的元素，不符合題意.

若。122,則五<匚<口3，所以^^的，-=即42=底，a3-a1a2=al，

又因為1<^<黃<言<&4，所以,=由,區(qū)=。2,區(qū)=。3,即。4=譴,

所以A=｛aj_屆，碌遭),此時｛碇研，城,限說｝UB.

假設(shè)B中還有其他元素，且該元素為%若k<俄,由(2)可得第€4而乎>說，與4=｛%,憂病，鴻｝矛

盾.

kk

若k>a,,因為三E4所以咚=。1，i=L2,3,4,

則k=a[+3,i=1,2,3,4,即ke｛泊，嫉,a，,a：｝,

所以B中除山，斕,al，af,a彳外,沒有其他元素.

所以B=｛碌洲，城,城冠｝,即B中恰有5個元素.

19.(1)解：f'(x)=Inx+￡+2.

令函數(shù)g(x)=Inx+?+2,則g'Q)

若a>0,則當(dāng)xE(0,a)時，g'(X)<0,當(dāng)久e(a,+8)時，g，(x)>0,

所以g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

gQ)min=g(a)=lna+3.

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因為/'(%)是增函數(shù)，所以/''(x)min20,即g(X)min20,解得Gt2今

若aWO,則g'(x)>0在(0,+8)上恒成立,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因為函數(shù)y=Inx+2與函數(shù)y=-三的圖象有1個交點，所以存在如使得In%。+9+2=0,

即當(dāng)Xe(0,久0)時，g(x)<0,當(dāng)久e。0,+8)時，g(x)>0,所以/'(X)在(0,久0)上單調(diào)遞減，在(久0,+8)

上單調(diào)遞增，與題設(shè)不符.

綜上，a的取值范圍為[煮,+8).

1

(2)證明：由(1)可得當(dāng)aN專時，/(乃是增函數(shù)，不存在極小值.

1

當(dāng)0<a〈前時，gQ)min=g(a)<0,9(久)在(0,a)上單調(diào)遞減，所以/'(%)在(0,a)上不存在極小值點.

因為9(1)=a+2>0,所以(a,l),g(xi)=O,

所以/(x)在(a,Xi)上單調(diào)遞減，在01,+8)上單調(diào)遞增.

/(%)極小值=/(%i)<f(a)=a+(a+a)lna<a+2ax(—3)=-5a<0.

當(dāng)a<。時,由(1)可得/'0)極小值=f(x0)=x0+(x0+a)lnx0.

2

因為a=-x0\nx0-2x0,所以/'(X)極小值=x0+(%o-xolnxo-2xo)lnxo=-%o[(lnxo)+lnx0-l]-

令函數(shù)h(x)=—x[(lnx)2+Inx—1],則%'(x)=—lnx(lnx+3).

當(dāng)久e(o蠢u(i,+8)時，“(%)<