2024-2025學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專項(xiàng)提升練習(xí)：圓的切線的判定與性質(zhì)（30題）（解析版）

專題第01講圓的切線的判定與性質(zhì)

1.(2023?灌云縣校級(jí)模擬)如圖，點(diǎn)尸是O。外一點(diǎn)，B4與相切于A點(diǎn)，B,C是上的另外兩點(diǎn),

連接AC,BC,ZAPB+2ZACB=180°,

(1)求證：PB是O。的切線；

(2)若BC〃B4,。。的半徑為5,BC=6,求的長(zhǎng).

【分析】(1)連接。4,。2,由圓周角定理和已知條件/4尸2+乙4。8=180°,得出/04尸+/02尸=180°,

求出NOBP=90°,即可得出結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)AO并延長(zhǎng)交BC于。，連接OC,過(guò)尸作PQ_LBC于。，由垂徑定理得出C￡)=BD=3,由勾

股定理得出。。=2,AD=9在RtZ\PB。中，設(shè)B4=x,由勾股定理得出方程，解方程即可

【解答】(1)證明：連接OA,OB,如圖1所示：

圖1

VZAPB+2ZACB=180°,ZAOB=2ZACB,

：.ZAPB+ZAOB=180°,

：.ZOAP+ZOBP=1^0,

;以切0。于點(diǎn)A,

：.PA±OA,

：.ZOAP=9Q°,

：.ZOBP=9Q°,

：OB是半徑，

是。。的切線；

(2)解：延長(zhǎng)49并延長(zhǎng)交8C于。，連接OC,過(guò)尸作PQLBC于。，如圖2所示:

圖2

U：PA±OA,BC//PA,

：.AD±BC,

CD=BD=yBC=3;四邊形4。?！闶蔷匦危?/p>

OD=7OC2-CD2=752-32=4，

AZ>=OA+OD=5+4=9,

VBA,PB是O。的切線，

：.PA=PB,

在Rt/XPBQ中，設(shè)PB=E4=x,貝i]8Q=x-3,

由勾股定理得：（尤-3）2+92=/,

解得：x=15,

即PA的長(zhǎng)為15.

2.（2023?漢川市校級(jí)模擬）如圖，AB,A。是。。的弦，A。平分NBAD過(guò)點(diǎn)8作。。的切線交AO的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接CD.8。延長(zhǎng)80交。。于點(diǎn)E,交于點(diǎn)孔連接AE,DE.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若AE=DE=10,求AF的長(zhǎng).

【分析】（1）欲證明C￡>是。。的切線，只要證明/CJDO=/C8O=90°,由△COBq/XCO。即可解決

問(wèn)題.

（2）先證明/A4O=NOAr>=/ZME=NABO=30,在RtZXAE/中利用30度性質(zhì)以及勾股定理即可解

決問(wèn)題.

【解答】（1）證明：如圖，連接OD

,.,BC為圓。的切線

.\ZCBO=90°.

平分/BAO,

：.ZOAB^ZOAF.

"：OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZABO=ZOAF=ZODA,

"：ZBOC^ZOAB+ZOBA,ZDOC=ZOAD+ZODA,

：.ZBOC=ZDOC,

在△COB和△COD中，

rco=co

?ZCOB=ZCOD>

OB=OD

/.BOC^ADOC,

：.ZCBO^ZCDO^90°,

.??CD是。。的切線；

(2)'JAE^DE,

/.AE=DE-

：.ZDAE^ZABO,

：.ZBAO=ZOAD=ZABO

：.ZBAO^ZOAD=ADAE,

；BE是直徑,

Z.ZBA￡=90°,

：.ZBAO=ZOAD=ZDAE=ZABO=30°,

ZAFE=90°,

在RtAAFE中，

VAE=10,ZDAE=3Q°,

/.EF=AAE=5,

2

AF=VAE2-EF2=V102-52=5??

3.(2023?金東區(qū)一模)如圖，AB為。。的直徑，CD為弦,且CD_LAB于E,尸為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CA

恰好平分/FCE.

(1)求證：BC與。。相切；

(2)連接0。，OD//AC,求處的值.

【分析】(1)連接。C,則NOCA=/OAC,由CO_LAB于E,得/AEC=90°,1^ZACF=ZACE,則

ZOCF=ZOCA+ZACF=ZOAC+ZACE=9Q°,即可證明FC與0O相切；

(2)由等腰三角形的“三線合一''得/C。尸=/。。尸，由OD//AC,^ZDOF=ZOAC,所以NCOF

=ZOAC=ZOCA=60°,則/尸=30°,所以O(shè)A=OC=2OF,貝U4尸=。4=工48,即可求得空=工.

22AB2

【解答】(1)證明：連接OC、則。C=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

CDLAB于E,

：.ZAEC=90°,

'：CA平分/FCE,

：.ZACF=ZACE,

：.ZOCF=ZOCA+ZACF^ZOAC+NACE=90°,

?.?尸C經(jīng)過(guò)。。的半徑OC的外端，且FCLOC,

.,.尸C與O。相切.

(2)解：AOC=OD,OFLCD,

：.ZCOF=ZDOF,

'：OD//AC,

：.ZDOF=ZOAC,

：.ZCOF^ZOAC=ZOCA=60°,

/.ZF=30°,

：.OA=OC=^-OF,

2

AF—OA=-AB,

2

4.（2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為。。的直徑，OCJ_AB交。。于點(diǎn)C,D為OB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)

C。交。。于點(diǎn)E,延長(zhǎng)08至尸，使DF=FE,連接EF.

(1)求證：EF為。。的切線；

(2)若。。=1且BD=BF,求。。的半徑.

【分析】(1)連接OE,根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合對(duì)等角相等即可推出結(jié)論；

(2)設(shè)。0的半徑EO=BO=r,貝I]BD=BF=r-1,FE=2BD=2(r-1),在Rt△尸EO中，由勾股定

理得得出方程求解即可.

'：OE^OC,

：.ZOEC=ZOCE,

"：DF=FE,

：.ZFED=ZFDE,

"：ZFDE=ZCDO,ZCDO+ZOCD=90°,

:.NFED+/OEC=9U°,

即/FEO=90°,

：.OE±FE,

；OE是半徑，

為。。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑E0=80=r,則尸=”1,

：.FE=2BD=2(r-1),

在RtZXFE。中，由勾股定理得，

FE2+OEZ=OF2,

：.(2r-2)2+r=(2r-1)2,

解得r=3,或r=l（舍去），

二。。的半徑為3.

5.（2023?昆明模擬）如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,點(diǎn)、D,E,P分別是邊AB,BC,AC上的點(diǎn)，以

為直徑的半圓。經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,F,且施畝.

（1）求證：BC是半圓。的切線；

（2）若/8=30°,AB=12,求CF的長(zhǎng).

【分析】（1）連接AE,OE,根據(jù)已知條件得到NC4E=ND4E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N￡AO=

AEO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOEB=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)總體上進(jìn)行

的性質(zhì)得到AC=/AB=6，OB=2OE,求得OD=BE,于是得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接AE,OE,

VDE=EF.

：.ZCAE=ZDAE,

'：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZAEO,

J.AC//OE,

VZC=90°,

：.ZOEB=90°,

?.,OE是0O的半徑，

...BC是半圓。的切線；

（2）解：VZC=ZOEB=90°,NB=30°,AB=12,

，OB=2OE,

"：OE=OD,

：.OD=BE,

：.OA=OE=OD=4,

.?.AD=8,

AF=yAD=4'

：.CF^AC-AF^2.

c

E

6.(2023?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)二模)如圖，在四邊形ABC。中，ZC=90°,連接8D,恰好是/AOC的平分線,

以AD為直徑作O。，OO經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C￡)的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)若BC=6,DE=8,求O。的半徑.

【分析】(1)連接。2,利用同圓的半徑相等，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)的08LBC,再利

用圓的切線的判定定理解答即可；

(2)延長(zhǎng)80,交AE于點(diǎn)尸，利用矩形的判定與性質(zhì)定理得到ObLAE,EF=BC=6,利用垂徑定理得

到AE的長(zhǎng)，再利用勾股定理解答即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接。8,如圖，

?：OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

；￡)2恰好是/ADC的平分線，

：.ZODB=ZCDB,

:.NCDB=N0BD,

J.OB//CD.

：.ZOBC+ZC=1SO°.

VZC=90°,

：.ZOBC^90°,

：.OBLBC,

是OO的半徑，

.?.BC是OO的切線；

（2）解:延長(zhǎng)80,交AE于點(diǎn)R

,：AD為直徑，

ZE=90°,

9：ZOBC=90°,ZC=90°,

???四邊形石尸3。為矩形，

：.ZEFB=90°,EF=BC=6.

：.OFLAE,

.\AF=EF=6,

：.AE=12.

?'-AD=VAE2+DE2=V122+82=4，^13.

：.Q0的半徑=±48=2/］百.

7.(2023?金寨縣校級(jí)模擬)如圖，是O。的直徑，CD=CB,AC,2。相交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF〃&),

CF與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R連接AD

(1)求證：B是。。的切線；

(2)若43=10,BC=6,求AO的長(zhǎng).

【分析】(1)連接OO,連接OC交3。于M,由圓心角、弧、弦的關(guān)系推出NCOO=NCOB,由。。=

OB,得到OCJ_B。，XCF//BD,因此半徑。C_LCF,即可證明C尸是。。的切線；

(2)設(shè)。"=羽由勾股定理得到6?-(5-x)2=52-%2,求出x=1.4,由三角形中位線定理，得到AZ)

=2OM=2x=2.8.

【解答】(1)證明：連接0。，連接OC交3。于

■;CD=CB,

?,?而=前，

：.ZCOD=ZCOB.

?：OD=OB,

：.OCLBD,DM=BM,

*：CF//BD,

，半徑OCLCF,

是。。的切線；

（2）解：設(shè)OAf=x,

OC=』AB=5,

2

/.MC=5-x,

\,BM1=BC2-CAfi=OB2-OM2,

/.62-(5-x)2=52-x2,

?.?A0=05,DM=BM,

：.OM是△BAD的中位線，

.\AD=2OM=2x=2.S.

8.（2023?甘南縣一模）如圖，已知AB是O。的直徑，點(diǎn)C在O。上，AOLOC于點(diǎn)。，AC平分

（1）求證：直線C。是。。的切線；

（2）若AB=4,ZDAB=60°,求A。的長(zhǎng).

【分析】（1）連接OC,先證出NOCA=NZMC,得OC〃A。，再由平行線的性質(zhì)得CDLOC,即可得

出結(jié)論；

（2）連接BC,先由圓周角定理得/ACB=90°,由角平分線定義得ND4C=/BAC=30°,再由含30°

角的直角三角形的性質(zhì)得BC=》B=2,AC=MBC=2M，進(jìn)而得出答案.

【解答】（1）證明：連接OC,如圖1所示：

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

平分/ZMB,

圖1

：.ZDAC=ZOAC,

：.ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

'JADLDC,

C.CDLOC,

又：0c是O。的半徑，

...直線co是。。的切線；

(2)解：連接BC,如圖2所示：

是O。的直徑，

AZACB=90°,

?.,人(7平分/。48,ZDAB=60°,

：.ZDAC=ZBAC=30°,

：.BC=-^AB=2,AC=MBC=2M，

"：AD±DC,

：.ZADC=90°,

：.CD=^-AC=43,AD=MCD=3.

2

9.（2023?云夢(mèng)縣校級(jí)三模）如圖，在中，ZC=90°,在AC上取一點(diǎn)。，以為直徑作。。,

與A2相交于點(diǎn)E,作線段BE的垂直平分線MN交8C于點(diǎn)N,連接EN.

（1）求證：EN是。。的切線；

（2）若AC=3,BC=4,O。的半徑為1,求線段EN的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的兩銳角互余得出/

NEM+ZAEO=90°即可；

（2）利用線段中垂線的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解即可.

【解答】（1）證明：如圖，連接。E,

'：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA,

YMN是AB的中垂線,

：.NE=NB,

：.NB=NNEB,

「△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

AZB+ZA=90°,

；./NEB+/0EA=9Q°,

；.NOEN=180°-90°=90°,

即OELEN,

是半徑，

是O。的切線；

(2)解：如圖，連接ON,

,:MN是AB的中垂線，

：.NE=NB,

設(shè)EN=x=BN,

在RtZXCON中，oG=od+ca,

在RtZXOEN中，Oa=O殍+Ed,

：.OC2+C?/2=OE2+E?/2,

即(3-1)2+(4-x)2=12+/,

解得

8

即EN=—.

8

10.(2023?桑植縣模擬)如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)C是劣弧3。中點(diǎn)，AC與8。相交于點(diǎn)E.連接BC,

/BCF=ZBAC,CF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

(1)求證：C?是O。的切線；

(2)求證：/ACD=NF；

(3)若AB=10,BC=6,求的長(zhǎng).

C

D

E

【分析】(1)連接OC,由圓周角定理得NACO+NOC3=90°,再由等腰三角形性質(zhì)及切線的判定定理

可得結(jié)論；

(2)根據(jù)同圓中等弧對(duì)等角、等角對(duì)等弧可得答案；

(3)設(shè)?！睘椋?則為(5-x),根據(jù)勾股定理可得方程，求得0〃的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線定理

可得答案.

AZACB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

*：OA=OC,

：.ZBAC=NACO,

■:/BCF=/BAC,

：.ZBCF+ZOCB=90°,

.,-ZOCF=90°,

???0cLeR

???C尸是OO的切線.

（2）??,點(diǎn)。是前中點(diǎn)，

.e.CD=BC，

：.ZCAD=ZBAC,

?：NBCF=NBAC,

:?NCAD=NBCF,

VCD=3.

：.ZCAD=ZCBD,

：.ZBCF=ZCBD,

：.BD//CFf

???ZABD=ZF,

VAD=AD)

???ZACD=ZABD,

：.ZACD=ZF.

(3)如圖：

\9BD//CF,OCLCF,

：.OC上BD于點(diǎn)、H,

設(shè)。〃為x,則CH為(5-x),根據(jù)勾股定理,

62-(5-x)2=52-x2,

解得：

TOH是中位線,

14

?'-AD=20H=—?

b

11.(2023秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考)如圖，A8是。。的直徑，加為。。的切線，弦ACLPO,垂足為連接

PC.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)若以=42,連接求證：BM=V2CM-

【分析】(1)證明△B4O出△POC(SSS),即可求解；

(2)證明電△ABC(44S),得到△BCM為等腰直角三角形，即可求解.

【解答】證明：(1)連接OC,

p

M

AB

0

9

\AC±PO9

則尸。是AC的中垂線，則B4=PC,

'：AO=OC,OP=OP,

.,.△B40^AP0C(SSS),

：.ZPCO=ZPAO=90°,

???尸。是。。的切線;

(2)連接3C,則NAC8=90°=APAB,

'COMLAC,BC1.AC,

貝!JOM//BC,

貝!JNPO4=NABC,

VZB4M+ZM4O=90°,ZMAO^-ZMAO=90°,

/.ZPAM=ZPOA=ZABC.

VB4=AB,

：./\PAM^/\ABC(AAS),

/.BC=AM=MC,

ABCM為等腰直角三角形，

則BM=V2CM.

12.(2022秋?嘉祥縣校級(jí)期末)已知BC是。。的直徑，點(diǎn)。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=AD,AE是。。

的弦，ZA￡C=30°.

(1)求證：直線是。。的切線；

(2)若AEL8C,垂足為M,。。的半徑為10,求AE的長(zhǎng).

srOM\ACD

【分析】(1)連結(jié)。4,由圓周角定理可求得/■BUNAECMBO。，ZAOC=2ZAEC=6Q°,則

=90°,可證明直線AD是O。的切線；

(2)若AE_LBC于點(diǎn)根據(jù)垂徑定理可證明AM=EM,在RtZXAOM中，ZAMO=90°,ZAOM

60°,則/O4M=30°,已知OO的半徑OA=6,則OM=20A=3,根據(jù)勾股定理可以求出AM的長(zhǎng),

2

進(jìn)而求出AE的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：如圖，連結(jié)。4,

VZAEC=30°,

.../2=NAEC=30°,NAOC=2/AEC=60°,

'：AB^AD,

.?./。=/2=30°,

：.ZOAD=1SO°-ZAOC-ZD=90°,

是（DO的半徑，且AD_LOA,

直線AO是。。的切線.

（2）解：如圖，:BC是。。的直徑，且AE_LBC于點(diǎn)

：.AM=EM,

"：ZAMO=90°,ZAOM=60°,

.\ZOAM=30°,

：.OM=^-OA=^X10=5,

22

=22

AMVOA-OM=V102-52=5V3>

：.AE=2AM=2X573=1073.

13.(2023?南海區(qū)校級(jí)模擬)如圖，AB為O。的直徑，尸。切O。于點(diǎn)C,與胡的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，DE

_LP。交尸。延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接。C,PB,已知尸2=6,DB=8,/EDB=NEPB.

(1)求證：PB是。。的切線；

(2)求O。的半徑.

(3)連接BE,求BE的長(zhǎng).

【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性質(zhì)得到尸為直角，即可得證；

(2)在直角三角形PBD中，由PB與。8的長(zhǎng)，利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，由切線長(zhǎng)定理得到PC=

PB=6,由PD-PC求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形OCD中，設(shè)OC=r,則有00=8-r,利用勾股定理

列出關(guān)于/■的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑.

(3)延長(zhǎng)尸2、OE相交于點(diǎn)證明△2￡￡>絲△PEP(ASA),由全等三角形的性質(zhì)得出尸D=P尸=10,

DE=EF,求出的長(zhǎng)，則可得出答案.

【解答】(1)證明：

；./DEO=90°,

ZEDB=ZEPB,ZB0E=ZEDB+ZDEO,ZB0E=ZEPB+ZOBP,

：.ZOBP^ZDEO^90°,

J.OBLPB,

???PB為。。的切線；

(2)解：在RtZ\P2￡)中，PB=6,DB=8,

根據(jù)勾股定理得：PD=V62+82=10,

,/PD與PB都為0。的切線，

：.PC=PB=6,

:.DC=PD-PC=10-6=4；

在RtZXCDO中，設(shè)。C=r,則有?！?gt;=8-廠，

根據(jù)勾股定理得：(8-r)2=A42,

解得：r=3,

則圓的半徑為3.

(3)延長(zhǎng)尸8、OE相交于點(diǎn)足

VPZ)與PB都為。0的切線，

：?OP平分/CPB,

；?NDPE=/FPE,

：.ZPED=ZPEF=90°,

又?；PE=PE,

:?△PEDQdPEF(ASA),

：.PD=PF=10fDE=EF,

.\BF=PF-PB=10-6=4,

2222

在RtADBF中，DF=VDB+BF=VS+4=蠣，

BE-|"DF=2泥?

14.(2023?山丹縣模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,以4B為直徑的。。與8C相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

DELAC,交AC于點(diǎn)E.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,BC=8,求。E的長(zhǎng).

【分析】(1)連接OD,通過(guò)角的轉(zhuǎn)換，可證明OD〃AC,進(jìn)而得證；

(2)連接AD,可得8。=。。=4,根據(jù)勾股定理求得AD,在RtZ\AC￡)中，根據(jù)面積法求得DE.

【解答】(1)證明：如圖1,

B

圖1

?：OB=OD,

：.ZB=ZODB,

"：AB=AC,

:.NB=NC,

.".ZODB^ZC,

J.OD//AC,

:DELAC,

；.￡>E_L半徑OD,

.,.■DE是。。的切線;

圖2

連接A。，

?.,AB是O。的直徑，

/.ZADB=90°,

"：AB=AC,

.*.BD=CZ)='BC=4，

AAD=VAB2-BD2=3,

"：DE±AC,

.,.5AACD=-1-AC-DE=yAD-DC-

；.5?￡)E=3X4,

.".￡>￡=12,

5

；.￡)￡1的長(zhǎng)是」2.

5

15.（2023?華亭市校級(jí)模擬）如圖，直線/切。。于點(diǎn)A,點(diǎn)P為直線/上一點(diǎn)，直線尸。交。。于點(diǎn)C、B,

點(diǎn)。在線段A尸上，連結(jié)且

（1）求證：為O。的切線；

【分析】（1）要證明為。。的切線，只要證明/。3。=90即可；

（2）根據(jù)已知及直角三角形的性質(zhì)可以得到PD=23￡>=2QA=2,再利用等角對(duì)等邊可以得到AC=4P,

這樣求得AP的值就得出了AC的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接OD；

為O。切線，

：.ZOAD=90°,

在和△02。中，

：./\OAD^/\OBD(SSS),

：.ZOBD=ZOAD=9Q°,

半徑

為。。的切線；

(2)解：在RtZXOA尸中，

?：PB=OB=OA,

：.OP=2OA,

；.NOE4=30°,

：.ZPOA=6Q°=2ZC,

，PD=28D=2ZM=4,

.,.Z<9M=ZC=30°,

：.AC=AP=AD+DP=6.

16.(2023秋?江陰市校級(jí)月考)如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,AE平分N3AC交BC于點(diǎn)E,。為AC

上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、E的O。分別交43、AC于點(diǎn)。、F,連接。。交AE于點(diǎn)

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若CF=2,EC=4,求圓。的半徑.

【分析】(1)連接?！?根據(jù)角平分線的性質(zhì)及同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出NOEC=90°即可;

(2)由勾股定理可得出答案.

【解答】(1)證明：連接OE,

'：AE平分NR4C交BC于點(diǎn)E,

：.ZBAC=2ZOAE,

■:NFOE=2NOAE,

：.ZFOE=ZBAC,

J.OE//AB,

VZB=90°,

：.OE±BC,

又是O。的半徑，

...BC是O。的切線；

(2)解：設(shè)OE=O/=x,

'：ZOEC=9Q°,

：.OE2+CE2=OC2,

.'.X2+42=(X+2)2,

解得x=3,

：.OE=3,

即圓。的半徑為3.

17.(2023春?蓬安縣期中)如圖，A8是。。的直徑，CD是。O的弦，AB±CD,垂足是點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作

直線分別與A8,的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,F,且/CE4+NCA￡)=90°.

(1)求證：b是O。的切線；

(2)如果48=10,CD=6,求BE的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理、圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出/OCE=90°即可;

(2)根據(jù)勾股定理求出OH,進(jìn)而求出HB,利用勾股定理列方程求解即可.

【解答】(1)證明：如圖，連接。C,

「AB是。。的直徑，CDLAB,

：.ZCAB=ZDAB,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

'：ZCOB=ZOAC+ZOCA=2ZOAC=ZCAD,

VZC￡A+ZC4D=90°,

：.ZCEA+ZCOB=90°,

即NOCE=90°,

OCYCF,

OC是半徑，

是。。的切線；

(2)是OO的直徑，

:.CH=HD=、CD=3,

2

在RtZXCO“中，OC=』4B=5,CH=3,

2

?"-0//=VOC2-HC2=4,

：.HB=OB-OH=5-4=1,

設(shè)則HE=l+x,OE=5+x,

?:Hm+HC2=C?=0戌-OC2,即(1+無(wú))2+32=(5+x)2-52,

即BE=—.

18.（2023?鄂州）如圖，4B為。。的直徑，E為O。上一點(diǎn)，點(diǎn)C為血的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CDLAE,交

AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若DE=LDC=2,求。。的半徑長(zhǎng).

【分析】（1）連接OC,由等弧所對(duì)的圓周角相等得出/EAC=N54C,根據(jù)同圓的半徑相等得出/BAC

=ZOCA,于是有/EAC=/OCA,可得出AE〃OC,再根據(jù)CO_LAE,即可得出。C_L。尸，從而問(wèn)題得

證；

（2）連接CE,BC,先根據(jù)切割線定理求出的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出AC、CE的長(zhǎng)，再根據(jù)等弧

所對(duì)的弦相等得出BC=CE,在RtAACB中根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即可求出。。的半徑.

【解答】（1）證明：連接。C,

:點(diǎn)C為面的中點(diǎn),

???EC=BG

：.ZEAC=ZBAC,

'：OA=OCf

：.ZBAC=ZOCAf

：.ZEAC=ZOCA9

：.AE//OC,

：.ZADC=ZOCFf

VCDXAE,

AZAZ)C=90°,

：.ZOCF=90°,

即OCLDF,

又0。為。0的半徑，

???CO是。。的切線；

(2)解：連接“，BC,

由（1）知CD是。0的切線,

:.CE^DEFD,

VDE=1,DC=2,

???AZ)=4,

在RtAAPC中,由勾股定理得AC=hl)?+CJ)2=^42+2^=2^5f

在RtADCE中,由勾股定理得CE=VCD2+DE2=V22+12=V5'

???點(diǎn)C是就的中點(diǎn)，

AEC=BC，

:?EC=BC=娓,

TAB為。。的直徑，

AZACB=90°,

由勾股定理得AB=7AC2+BC2=7(2V5)2+(A/5)2=5，

???。0的半徑長(zhǎng)是2.5.

19.(2023?清原縣模擬)如圖，以線段AB為直徑作。O,交射線AC于點(diǎn)C,平分/C4B交。。于點(diǎn)。,

過(guò)點(diǎn)。作直線。ELAC于點(diǎn)E,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接8。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)

(1)求證：直線。E是。。的切線；

(2)求證：AB—AM-,

【分析】(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/。。4=/。4八，根據(jù)角平分線的定義得到

=ZDAC,證明0O〃AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DE，。。，根據(jù)切線的判定定理證明即可；

(2)根據(jù)題意求出NM￡>E=30°,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【解答】證明：(1)連接。。，

.'.ZODA^ZOAD,

平分NC4B,

：.ZOAD^ZDAC,

：.ZODA=ZDAC,

：.OD//AC,

'JDELAC,

：.DE±OD,

是(DO的半徑，

直線DE是O。的切線；

(2)?.?線段AB是O。的直徑，

ZADB=90°,

ZADM=1800-ZADB=90°,

ZM+ZDAM=90°,

ZABM+ZDAB=90°,

ZDAM=ZDAB.

：.ZM=ZABM,

：.AB=AM.

20.(2022秋?安徽期末)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,BC=CD，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，ZECB=Z

DAC.

(1)求證：EC是OO的切線；

(2)若AD=5,NE=30°,求。0的半徑.

【分析】(1)如答圖，連接CO并延長(zhǎng)交OO于點(diǎn)/，連接利用圓周角定理以及等量代換可得N

ECB=ZCMB,依據(jù)CM是。。的直徑，結(jié)合“直徑說(shuō)對(duì)的圓周角是直角”進(jìn)行等量代換可求得NEC3+

ZBCM=90°,即可證明；

(2)如答圖，連接。。并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)N,連接AN；根據(jù)鄰補(bǔ)角和四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)得NAOC=N

C5E,根據(jù)三角形內(nèi)角和得NOC4=NE=30°；DN是。。的直徑，結(jié)合“直徑說(shuō)對(duì)的圓周角是直角”

在RtZXDAN中，解三角形即可.

【解答】(1)證明：如圖，連接CO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)連接“5.

;BC=CD，

：.ZCAD=ZCABf

?：/CAB=NCMB,/ECB=/CAD,

：.ZECB=ZCMB,

〈CM是。。的直徑，

：.ZCBM=9Q°,

；?/CMB+/BCM=90°,

：.ZECB+ZBCM=90°,

???OCLCE,

，EC是OO的切線；

（2）解：如圖，連接OO并延長(zhǎng)交0O于點(diǎn)N,連接AN.

'：ZECB=ZCAD,ZAZ)C+ZABC=180°,NABC+NCBE=180°,

：.ZADC=ZCBE,

：.180°-ZCAD-ZADC=180°-ZCBE-ZECB,

：.ZDCA=ZE=30°,

是O。的直徑，

AZDAN=90°,

在Rt/\DAN中，

VZ￡>CA=ZDA^=30°,

：.DN=2AD^10,

???O。的半徑為5.

21.(2023?大連模擬)如圖，已知(DO是△ABC的外接圓，48是。。的直徑，。是4B延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AE

_LCD交。C的延長(zhǎng)線于E,CF±ABF,MCE=CF.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若42=10,BD=3,求AE的長(zhǎng).

【分析】（1）要證。E是。。的切線，只要連接OC,再證NZ）CO=90°即可；

（2）由切線的性質(zhì)及勾股定理可得C。的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式及勾股定理可得的長(zhǎng)，最后由

全等三角形的判定與性質(zhì)可得答案.

【解答】（D證明：（1）連接OC；

\'AE±CD,CFLAB,又CE=CF,

/.Z1=Z2.

；OA=OC,

.\Z2=Z3,Z1=Z3.

???OC//AE.

：.OCLCD.

???OE是OO的切線.

(2)解：9：OC.LED,AB=10,BD=3,

：.OB=OC=5.

CD=VOD2-OC2=,^39,

7

SA0CD比C?CD亭D.CF，

即會(huì)5乂亞蔣(5+3)6

?Qp—5^39

8

*'-0F=VoC2-FC2=-y'

尸=OA+OB=5+空

88

在RtZ\AEC和RtZvlBC中，CE=CF,AC^AC,

：.RtAAEC^RtAAFC(HL),

：.AE=AF=-^-.

8

22.(2023?長(zhǎng)安區(qū)模擬)如圖，。。為四邊形ABC。的外接圓，若CBCD,延長(zhǎng)A。至點(diǎn)R

連接尸C并延長(zhǎng)至點(diǎn)￡,恰好使得/2。石+/尸=90°.

(1)證明：EF為。。的切線；

(2)連接8。，若。。的半徑為4,CF=6,求8。的長(zhǎng).

ECF

【分析】（1）連接AC,利用圓的有關(guān)性質(zhì)可得AC為直徑，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到NACB=

ZACD,利用同角的余角相等的性質(zhì)和平角的定義可得NAb=90°,利用圓的切線的判定定理解答即

可得出結(jié)論；

（2）利用圓周角定理，勾股定理求得AE,利用三角形的面積公式求得C。，利用同樣的方法解答即可求

得DH,利用垂徑定理即可得到BD=2DH.

【解答】（1）證明：連接AC,如圖，

"：AB=AD,CB=CD,

?*.AB=AD）a=而，

息+征為半圓，

；.AC為。。的直徑，

；./8=/。=90°.

在△ABC和△ADC中，

，AB=AD

<BC=DC>

AC=AC

AAABC^AADCCSSS),

：.ZACB=ZACD,

'：ZBCE+ZF^9Q°,ZDCF+ZF^90°,

：.ZBCE=ZDCF,

VZBCE+ZACB+ZACD+ZDCF=180°,

AZACD+ZDCF=9O°,

：.ZACF=9Q°,

即OCA-EF,

：OC為0O的半徑，

所為O。的切線；

(2)解：設(shè)2。交AC于點(diǎn)如圖，

則BH=DH=—BD.

2

OO的半徑為4,

；.AC=8,

'JACLEF,

AF=VAC2+FC2=VS2+62=。

7

SAACF=yAC'CF=yAF<D>

???8X6=10CD,

???CO=4.8,

AAD=22=2

VAC-CDV8-4.82=6.4,

7

SAACD=|AD-CD=yAC-DH-

6.4X4.8=80”,

：.BD=2DH=^-^.

25

23.（2023春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為O。的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)。作。。的切線CD交A4的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作。石〃A。，OE交CD于點(diǎn)E,連接8E.

（1）求證：直線BE與。。相切；

（2）若CA=2,CD=4,求OE的長(zhǎng).

【分析】（1）連接。。，由切線的性質(zhì)可得/0￡>E=90°,然后利用平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得0E

平分NOO8,從而可得/OOE=/EO8,進(jìn)而可證△QOE=^BOE,最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；

（2）設(shè)。。的半徑為r,先在RtZ\ODC中，利用勾股定理求出r的長(zhǎng)，再利用（1）的結(jié)論可得。E=

BE,最后在RtZ\2C￡中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：連接0。，

與OO相切于點(diǎn)

：.Z0DE=90°,

'：AD//OE,

：.ZADO=ZDOE,ZDAO=ZEOB,

"：OD=OA,

，/AOO=ZDAO,

：.ZDOE=/EOB,

'：OD=OB,OE=OE,

.'.△DOEqABOE(SAS),

：.ZOBE=ZODE=90°,

：02是O。的半徑，

直線BE與。。相切；

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,

在RtZ\0DC中，OZ)2+DC2=OC2,

^+42=(r+2)2,

/.r=3,

：.AB=2r=6,

???3C=AC+A5=2+6=8,

由(1)得：/\DOE=/\BOE,

：.DE=BE,

在RtZ^BCE中，BC1+BE1=CE1,

：.S2+BE2=(4+D￡)2,

.*.64+DE2=(4+DE)2,

：.DE=6,

的長(zhǎng)為6.

24.(2022秋?清原縣期末)如圖，在△ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)。是A8邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AC邊上,

QO經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E,ZFAC=-^-ZBDC-

(1)求證：AF是。。的切線；

(2)若BC=6,AB=10,求。。的半徑長(zhǎng).

【分析】(1)作OH_L以，垂足為點(diǎn)H,連接OE,證明AC是/朋B的平分線，進(jìn)而根據(jù)。”=OE,OE

LAB,可得是。。的切線；

(2)勾股定理得出AC,設(shè)。。的半徑為r,則OC=OE=r,進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)，在RtZ\OEA中，勾

股定理即可求解.

【解答】(1)證明：如圖，作物，垂足為點(diǎn)H,連接0E,

Z7

?■?CD=AD=yAB-

：.ZCAD=ZACD,

"?ZBDC=ZCAD+ZACD=2ZCAD,

又：NFAC卷NBDC，

：.ZFAC=ZCAD,

即AC是/陽(yáng)B的平分線，

?..點(diǎn)。在AC上，O。與AB相切于點(diǎn)E,

J.OELAB,且OE是。。的半徑，

：.OH=OE,。*是O。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=6,AB^IO,

???AC=7AB2-BC2=A/102-62=8'

,:BE,8C是。。的切線，

：.BC=BE=6,

"￡=10-6=4

設(shè)。。的半徑為r,則OC=OE=r,

在RtZ^OEA中，由勾股定理得：。爐+人爐=。/^

.,.16+/=(8-r)2,

r=3.

；.O。的半徑長(zhǎng)為3.

25.(2022秋?華容區(qū)期末)如圖1,A8為。O直徑，C8與。。相切于點(diǎn)8,。為。。上一點(diǎn)，連接A。、

OC,若AZ)〃OC.

(1)求證：CD為。O的切線；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作A從LAB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8。交。C于點(diǎn)人若A8=3AE=12,求BF

的長(zhǎng).

圖1

【分析】(1)連接0D,由切線的性質(zhì)得出OBLBC,證明△DOC四△BOC(SAS),由全等三角形的性

質(zhì)得出/OOC=NO8C=90°,則可得出結(jié)論;

(2)設(shè)8C=x,過(guò)點(diǎn)E作EMLLBC于則EM=12,CM=x-4,由勾股定理求出BC=9,求出OC

的長(zhǎng)，則可得出答案.

圖1

?..CB與O。相切于點(diǎn)2,

J.OBLBC,

"AD//OC,

：.ZA=ZCOB,/ADO=NDOC,

"：OA=OD,

：.ZA=ZADO=ZCOB=ZDOC,

:.△DOSABOC(SAS),

，/ODC=NOBC=90°,

：.ODLDC,

又。。為0。半徑，

為O。的切線；

(2)解：設(shè)C2=x,

'：AE±EB,

為。。的切線，

,/CD.CB為。。的切線，

：.ED=AE=4,CD=CB=x,ZDOC=ZBCO,

：.BDLOC,

過(guò)點(diǎn)E作EM_LBC于M,則￡70=12,CM=x-4,

解得x=9,

：.CB=9,

”=VOB2+BC2=VS2+92=3V13，

SA0BC由B?BC=1oC?BF，

18^

ABF=OBJBC=

26.(2022秋?建昌縣期末)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于圓。，是圓。的直徑，AD,BC的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)E,延長(zhǎng)C8交A尸于點(diǎn)尸，ZBAF+ZDCE=90°.

(1)求證：AF是圓。的切線；

(2)點(diǎn)G在CE上，且3C=CO=CG,連接。G,DG=2,AB=5,求的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)四邊形ABC。內(nèi)接于圓。和/QCE+/Ba>=180°得出NBAZ)=NQCE,再根據(jù)/BA尸+

ZZ)CE=90°得出/初。=90°即可證明；

(2)連接OB,OC,BD,記OC與BD相交于點(diǎn)N,根據(jù)BC=CD用垂徑定理得出BN=DN,再根據(jù)

BC=CG,OA=。。運(yùn)用三角形中位線得出CN,ON即可解答；

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。內(nèi)接于圓O,

：.ZBAD+ZBCD=180°,

VZDCE+ZBCD=180°,

:?/BAD=/DCE,

9：ZBAF+ZDCE=90°,

：.ZBAF+ZBAD=90°,即NMO=90°,

又???AO是圓。的直徑，

???A尸是圓。的切線，

：.ZBOC=ZCOD,又OB=OD,

:,BN=DN,

?：BC=CG,

CN-yDG=yX2=l>

又

ON蔣研號(hào)乂5=2.