2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：等腰（邊）三角形的判定與性質(zhì)（30題）（原卷版）

專題第01講等腰(邊)三角形的判定與性質(zhì)

解答題(共30小題)

1.(2022秋?韓城市期末)如圖，已知點(diǎn)。，E分別是△ABC的邊54和8C延長線上的點(diǎn)，作/D4C的平

分線4尸，若AF〃BC.

(1)求證：AABC是等腰三角形;

(2)作/ACE的平分線交AF于點(diǎn)G,若/8=40。，求NAGC的度數(shù).

CE

2.(2023春?修水縣期末)在△ABC中，8。和CD分別平分NA8C和/AC8,過點(diǎn)。作E尸〃BC,分別交

AB,AC于點(diǎn)E,F.A.

(1)若AB=AC,請判斷是否是等腰三角形，并說明理由；A

(2)若△ABC的周長為18,BC=6,求△?!￡1尸的周長./\

EZ_2

BC

3.（2023春?新泰市期末）如圖，在△A8C中，AB=AC,ZABC的平分線BE交AC于點(diǎn)D,AF±AB交

BE于點(diǎn)F.

ArA

（1）如圖1,若/BAC=40°,求/AFE的度數(shù).

（2）如圖2,若8O_LAC,垂足為。，BF=8,求。尸/\/

的長.

BC

圖1圖2

4.（2023春?淄博期末）如圖，ZkABC中，AB=AC,。是48上一個動點(diǎn),。月，8C于點(diǎn)尸，交CA延長線

于點(diǎn)E,

C1）試判斷A。、AE的大小關(guān)系,并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在的延長線上時,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請說明理由.

A△

?FC備用圖

5.（2023春?鄲都區(qū)期末）如圖,8M/BCM和/CBN的角平分線交于點(diǎn)D,DE〃BN文BC于點(diǎn)、E.（解

答過程要求寫出每步推導(dǎo)的理由）

（1）求/BDC的度數(shù)；

（2）若AB=AC,求證：AELBC.

6.（2023春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的求解過程補(bǔ)充完整如圖，在AABC中，AD±

BC于點(diǎn)D/B=2/C,若AB=6,BD=2,求CD的長.

解：在線段CD上取一點(diǎn)E,使ED=BD,連接AE,

;ED=BD,AD1BC,

：.AB^AE().

=/AEB().

,:/B=2/C,

：.NAEB=2/C.

VZAEB+ZAEC=180°(),

ZEAC+ZC+ZAEC=180°(______________

ZAEB=ZEAC+ZC.

：.=Z￡AC.

=().

:.AB=CE().

\'AB=6,BD=2,

:.CE=6,ED=2.

：.CD=CE+ED=6+2=8.

7.(2023春?楊浦區(qū)期末)已知在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是邊A8上一點(diǎn)，ZBCD=ZA.

(1)如圖1,試說明C￡)=CB的理由;

(2)如圖2,過點(diǎn)8作BE,AC,垂足為點(diǎn)E,BE與CD相交于點(diǎn)?

①試說明N8CZ)=2/CBE的理由；

②如果△BD尸是等腰三角形，求NA的度數(shù).

8.(2023春?高陵區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC.過點(diǎn)A作8c的平行線交/ABC的角平分線于點(diǎn)

D,連接CD

(1)求證：△人□)為等腰三角形.

(2)若/54。=140°,求/8OC的度數(shù).

9.(2023春?寶山區(qū)期末)如圖，△ABC中，A8=AC,點(diǎn)。在邊8C延長線上，點(diǎn)E在邊AC上，且。E

BE=AE,延長線段。E交邊AB于點(diǎn)B

(1)說明△?1所是等腰三角形的理由;

(2)如果所是等腰三角形，求NA的度數(shù).

E

D

10.（2022秋?祁陽縣期末）（1）操作實(shí)踐：△ABC中，ZA=90°,ZB=22.5°,請畫出一條直線把△ABC

分割成兩個等腰三角形，并標(biāo)出分割成兩個等腰三角形底角的度數(shù)；（要求用兩種不同的分割方法）

（2）分類探究：△ABC中，最小內(nèi)角/8=24°,若AABC被一直線分割成兩個等腰三角形，請畫出相

應(yīng)示意圖并寫出△ABC最大內(nèi)角的所有可能值；

（3）猜想發(fā)現(xiàn)：若一個三角形能被一直線分割成兩個等腰三角形，需滿足什么條件？（請你至少寫出兩

個條件，無需證明）

11.(2022秋?陽谷縣期末)如圖，已知△ABC中，AB=AC,AC與A3邊上的高瓦入CE相交于點(diǎn)。.

(1)求證：AOBC是等腰三角形.

(2)判斷點(diǎn)。是否在/BAC的平分線上，并說明理由.

12.(2022秋?禹州市期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,。是AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E_LBC于點(diǎn)E,

延長EC和CA,交于點(diǎn)尸.

(1)求證：△4。尸是等腰三角形；

(2)若/尸=30°,BD=4,A￡)=2,求EC的長.

BEC

13.(2022秋?開福區(qū)校級期末)已知在△ABC中，/ACB的平分線C。交48于點(diǎn)。，DE//BC.

(1)如圖1,求證：△C￡)E是等腰三角形;

(2)如圖2,若。E平分NAZJC交AC于E,ZABC=30°,在8C邊上取點(diǎn)/使8尸=。P，若8C=12,

求。尸的長.

14.(2022秋?沙依巴克區(qū)校級期末)如圖，中，AB=AD,AC平分/BA。，交BD于■點(diǎn)、E.

(1)求證：△BC。是等腰三角形；

(2)若NAB￡)=50°,NBCD=130°,求NA2C的度數(shù).

15.(2023春?東港市期末)如圖，點(diǎn)。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，。是△ABC外的一點(diǎn)，ZAOB=110°,Z

BOC=a,ABOC咨AADC,ZOCD=60°,連接OD

(1)求證：△oc。是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150°時，試判斷△A。。的形狀，并說明理由;

(3)探究：當(dāng)a為多少度時，△A。。是等腰三角形.

16.(2023春?榆陽區(qū)期末)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NB=30°,OE是48的垂直平分線,

交A3、BC于點(diǎn)。、E連接C￡＞、AE.求證:

(1)△ADC是等邊三角形；

(2)點(diǎn)E在線段CQ的垂直平分線上.

17.(2023春?渠縣校級期末)如圖，在△AOB中，ZADB=60°,OC平分NADB,交AB于點(diǎn)C,且OC

LAB,過C作CE〃D4交。8于點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證：是等邊三角形.

(2)求證：AELDB.

DEB

18.(2022秋?青秀區(qū)校級期末)已知：如圖，△ABC、△C0E都是等邊三角形，A。、BE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

M.N分別是線段A￡＞、8E的中點(diǎn).

(1)求證：AD=BE；

(2)求NOOE的度數(shù)；

(3)求證：△MNC是等邊三角形.

19.(2022秋?離石區(qū)期末)已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在48上，點(diǎn)。在CB的延長線上，且EZ)

=EC.

（1）【特殊情況，探索結(jié)論】

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時，確定線段AE與。B的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE（填

或"=

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時，確定線段AE與。3的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AEDB

（填“>”、“<”或“="）；理由如下，過點(diǎn)E作所〃BC,交AC于點(diǎn)?（請你完成以下解答過程）.

（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)。在線段的延長線上，且ED=EC,若△ABC的邊長

為1,AE=2,求C。的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）.

圖1圖2

20.（2023春?畢節(jié)市期末）已知：如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，△ACM,△CBN都是等邊三角形，AN

交MC于點(diǎn)E,BM交CN于點(diǎn)、F.

（1）求證：AN=BM；

（2）求證：△CEP為等邊三角形.

21.（2022秋?南充期末）如圖，在等邊AABC中，AC=12cm點(diǎn)M以2aw/s的速度從點(diǎn)8出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)

動（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)N以3aMs的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)8運(yùn)動（不與點(diǎn)8重合），設(shè)點(diǎn)N同時運(yùn)

動，運(yùn)動時間為fs.

（1）在點(diǎn)M,N運(yùn)動過程中，經(jīng)過幾秒時為等邊三角形?

（2）在點(diǎn)M,N運(yùn)動過程中，的形狀能否為直角三角形，若能，請計(jì)算運(yùn)動時間f；若不能，請

說明理由.

BNB

（備用圖）

22.（2022秋?長清區(qū)期末）如圖，已知AE_LBC,ZADB=120°,ZB=40°,ZCAE=30°.

（1）求證：△AC。為等邊三角形;

（2）求NBAC的度數(shù).

23.（2022春?林甸縣期末）如圖△ABC為等邊三角形，直線a〃AB,O為直線BC上任一動點(diǎn)，將一60°

角的頂點(diǎn)置于點(diǎn)。處，它的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)4另一邊與直線。交于點(diǎn)E.

（1）若。恰好在BC的中點(diǎn)上（如圖1）求證：△ADE是等邊三角形;

（2）若。為直線BC上任一點(diǎn)（如圖2）,其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請給予

證明；若不成立，請說明理由.

24.（2021秋?隨縣期末）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,ADLBC,垂足為G,S.AD=AB.ZEDF

=60°,其兩邊分別交邊AB,AC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：是等邊三角形；

(2)求證：BE=AF.

25.(2021秋?白水縣期末)如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD,CB=CD,ZA=60°,點(diǎn)E為AD上一

點(diǎn)，連接BD,CE交于點(diǎn)RCE//AB..4

(1)判斷△。斯的形狀，并說明理由；

(2)若40=12,CE=8,求CF的長./\

E

BD

26.（2021秋?閻良區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P,M,N分別在等邊△A8C的各邊上，且于點(diǎn)P,MN±BC

于點(diǎn)M,PNLAC于點(diǎn)、N.

（1）求證：是等邊三角形;

（2）若AB=12cm,求CM的長.

27.（2022春?汝州市期末）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：

例1：等腰三角形ABC中，NA=110°,求的度數(shù).（答案：35°）

例2：等腰三角形A8C中，ZA=40°,求的度數(shù).（答案：40°或70°或100°）

張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編的題目如下：

變式題：等腰三角形A8C中，ZA=80°,求乙8的度數(shù).

（1）請你解答上面的變式題.

（2）請繼續(xù)探索，完成下面問題：等腰三角形A3C中，NA=60°,則的度數(shù)為60°.

（3）根據(jù)以上探索，我們發(fā)現(xiàn)，NA的度數(shù)不同，得到的N8度數(shù)的個數(shù)也可能不同.請你直接寫出當(dāng)

NA滿足什么條件時，能得到三個不同的度數(shù).

28.(2021秋?臨河區(qū)期末)在等邊三角形A8C中，點(diǎn)E在A8上，點(diǎn)。在CB的延長線上，且AE=B。,

(1)當(dāng)點(diǎn)E為48的中點(diǎn)時，如圖1,求證：EC=ED-,

(2)當(dāng)點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時，如圖2,過點(diǎn)E作EfWBC,求證：即是等邊三角形；

(3)在第(2)小題的條件下，EC與即還相等嗎，請說明理由.

29.（2023春?大竹縣校級期末）（1）如圖1,已知：在△ABC中，AB=AC=10,8〃平分/ABC,C。平分

ZACB,過點(diǎn)。作EH7BC,分別交AB、AC于E、/兩點(diǎn)，則圖中共有______個等腰三角形；E