2024-2025學年高中數(shù)學第二章變化率與導數(shù)單元質量評估課時作業(yè)含解析北師大版選修2-2

其次章單元質量評估eq\o(\s\up7(時限：120分鐘滿分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖像上一點(1,1)及鄰近一點(1＋Δx,1＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于(C)A．4 B．4ΔxC．4＋2Δx D．4＋2Δx2解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.2．下列結論中不正確的是(B)A．若y＝3，則y′＝0B．若y＝eq\f(1,\r(x))，則y′＝－eq\f(1,2)eq\r(x)C．若y＝－eq\r(x)，則y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x，則f′(1)＝3解析：因為y＝eq\f(1,\r(x))＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，所以y′＝(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,2x\r(x)).3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2)，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(D)A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,8)C．－8D．－16解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝－16.4．若曲線f(x)＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(A)A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，將(0，b)代入切線方程得b＝1，故選A.5．若f(x)＝sinα－cosx，則f′(x)＝(A)A．sinx B．cosxC．cosα＋sinx D．2sinα＋cosx解析：函數(shù)是關于x的函數(shù)，因此sinα是一個常數(shù)．6．曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是(C)A．－9 B．－3C．9 D．5解析：因為y′＝3x2，切點P(1,12)，所以切線的斜率k＝3×12＝3.故切線方程為y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.7．若f(x)＝log3(2x－1)，則f′(3)＝(D)A.eq\f(2,3)B．2ln3C.eq\f(2,3ln3)D.eq\f(2,5ln3)解析：∵f′(x)＝eq\f(2,2x－1ln3)，∴f′(3)＝eq\f(2,5ln3).8．函數(shù)y＝eq\f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0處的導數(shù)為0，那么x0＝(B)A．a B．±aC．－a D．a2解析：因為y′＝eq\f(x2＋a2′x－x′x2＋a2,x2)＝eq\f(2x2－a2－x2,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，所以xeq\o\al(2,0)－a2＝0，解得x0＝±a.9．曲線y＝e－x－ex的切線的斜率的最大值為(C)A．2 B．0C．－2 D．－4解析：y′＝k＝－e－x－ex＝－(e－x＋ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤－2eq\r(\f(1,ex)·ex)＝－2，當且僅當eq\f(1,ex)＝ex，即x＝0時，等號成立．10．已知直線m：x＋2y－3＝0，函數(shù)y＝3x＋cosx的圖像與直線l相切于點P，若l⊥m，則點P的坐標可能是(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(3π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))解析：因為直線m的斜率為－eq\f(1,2)，l⊥m，所以直線l的斜率為2.因為函數(shù)y＝3x＋cosx的圖像與直線l相切于點P，設P(a，b)，則b＝3a＋cosa且當x＝a時，y′＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以b＝eq\f(3π,2)＋6kπ(k∈Z)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋6kπ))(k∈Z)，當k＝0時，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).故選B.11．若函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,b)eax(a>0，b>0)的圖像在x＝0處的切線與圓x2＋y2＝1相切，則a＋b的最大值是(D)A．4B．2eq\r(2)C．2D.eq\r(2)解析：函數(shù)的導數(shù)為f′(x)＝－eq\f(1,b)eax·a，所以f′(0)＝－eq\f(1,b)e0·a＝－eq\f(a,b)，即在x＝0處的切線斜率k＝－eq\f(a,b)，又f(0)＝－eq\f(1,b)e0＝－eq\f(1,b)，所以切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))，所以切線方程為y＋eq\f(1,b)＝－eq\f(a,b)x，即ax＋by＋1＝0.圓心到直線ax＋bx＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＝1，即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0<ab≤eq\f(1,2).又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，即a＋b≤eq\r(2)，所以a＋b的最大值是eq\r(2)，故選D.12．已知函數(shù)f(x)在R上滿意f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處切線的斜率是(A)A．2B．1C．3D．－2解析：由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8兩邊求導得，f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8?f′(1)＝2，∴k＝2.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．已知曲線y＝eq\f(1,x)－1上兩點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq\f(1,2)＋Δy，當Δx＝1時，割線AB的斜率為－eq\f(1,6).解析：Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).所以當Δx＝1時，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).14．已知0<x<eq\f(1,4)，f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)，則f′(x)與g′(x)的大小關系是f′(x)<g′(x)．解析：由題意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).由0<x<eq\f(1,4)，知0<f′(x)<eq\f(1,2)，g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x＋a)＋ln(x＋1)，其中實數(shù)a≠－1.若a＝2，則曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為7x－4y－2＝0.解析：f′(x)＝eq\f(x＋a－x－1,x＋a2)＋eq\f(1,x＋1)＝eq\f(a＋1,x＋a2)＋eq\f(1,x＋1).當a＝2時，f′(0)＝eq\f(2＋1,0＋22)＋eq\f(1,0＋1)＝eq\f(7,4)，而f(0)＝－eq\f(1,2)，因此曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(7,4)(x－0)，即7x－4y－2＝0.16．已知曲線C：y＝2x2，點A(0，－2)及點B(3，a)，從點A視察點B，要視線不被曲線C攔住，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，10]．解析：在曲線C：y＝2x2上取一點D(x0,2xeq\o\al(2,0))(x0>0)，因為y＝2x2，所以y′＝4x，f′(x0)＝4x0.令eq\f(2x\o\al(2,0)＋2,x0)＝4x0，得x0＝1，此時，D(1,2)，kAD＝eq\f(2－－2,1－0)＝4，直線AD的方程為y＝4x－2.要視線不被曲線C攔住，則實數(shù)a≤4×3－2＝10，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，10]．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝sinx＋eq\f(1,x)；(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；(3)y＝x·e－x；(4)y＝eq\f(1,2)sin2x.解：(1)y′＝(sinx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝cosx－eq\f(1,x2).(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)＝9x2－2x＋6.(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.(4)y′＝eq\f(1,2)(sin2x)′＝eq\f(1,2)×2·cos2x＝cos2x.18．(12分)點P是曲線y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的隨意一點，且點P處切線的傾斜角為α，求α的取值范圍．解：∵k＝tanα＝y(tǒng)′＝3x2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3).又α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).19．(12分)求滿意下列條件的函數(shù)f(x)．(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函數(shù)，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.解：(1)由題意設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝d＝3，,f′0＝c＝0，,f′1＝3a＋2b＋c＝－3，,f′2＝12a＋4b＋c＝0，))解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，故f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由題意設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化簡得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，此式對隨意x都成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b，,b＝2c，,c＝1，))解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.20．(12分)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－a，a)(a>0)內為偶函數(shù)且可導，試探討y＝f′(x)在(－a，a)內的奇偶性．解：∵f′(－x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f－x＋Δx－f－x,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx－Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(－1)·eq\f(fx－Δx－fx,－Δx)＝－f′(x)，∴f′(x)為奇函數(shù)，即y＝f′(x)在(－a，a)內為奇函數(shù)．21．(12分)設函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積．解：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因為a，b∈Z，故eq\b\lc\