北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（含答案）

北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．已知{an}為等差數(shù)列，aA．4 B．6 C．8 D．102．已知點(a，2)(a>0)到直線l：x?y+3=0的距離為1，則a等于（）A．2 B．2?2 C．2?1 3．設(shè)函數(shù)f(x)=x+lnA．x?y?1=0 B．2x?y?1=0 C．x?y?2=0 D．2x?y?2=04．已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，點A．23 B．23+1 5．已知直線l1：x+ay+1=0，直線l2：(A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖，在四面體OABC中，G是BC的中點，設(shè)OA=a，OB=b，A．a(chǎn)?12C．?12a7．已知函數(shù)f(x)A．a(chǎn)<?3或a>3 B．x1C．x1+x8．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2?yA．3 B．2 C．5 D．49．如圖，平面α⊥平面β，α∩β=l，A，B是直線l上的兩點，C，D是平面β內(nèi)的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8，若平面α內(nèi)的動點P滿足∠APD=∠BPC，則四棱錐P?ABCD的體積的最大值為（）A．24 B．243 C．48 D．10．斐波那契數(shù)列{Fn}(n∈N?)在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：F1=FA．98 B．99 C．100 D．101二、填空題11．函數(shù)f(x)=xex的導(dǎo)函數(shù)f12．已知平面α的法向量為n=(1，2，?2)13．過圓C：(x+1)2+14．已知{an}是首項為負數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，215．?dāng)?shù)學(xué)家笛卡兒研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡兒葉形線D在平面直角坐標系xOy中的方程為x3+y①曲線D不經(jīng)過第三象限；②曲線D關(guān)于直線y=x軸對稱；③對任意k∈R，曲線D與直線y=?x+k一定有公共點；④對任意k∈R，曲線D與直線y=k一定有公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是．16．設(shè)點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x22三、解答題17．設(shè)函數(shù)f(（1）求f(（2）當(dāng)x∈[0，18．已知{an}（1）求數(shù)列{an}（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求數(shù)列{bn}條件①：bn條件②：bn條件③：bn注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=π2，PA=PB=3，BC=1，AB=2，（1）求證：PO⊥CD；（2）求二面角A?PO?D的余弦值；（3）在棱PC上是否存在點M，使得BM//平面POD?若存在，求CM20．已知橢圓C：x2（1）求橢圓C的方程；（2）過點M(4，0)的直線l橢圓C交于A(x121．在無窮數(shù)列{an}（1）求a4a1（2）證明：數(shù)列{a（3）證明：數(shù)列{a

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因為{an}故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，進而得出a42．【答案】C【解析】【解答】由題意得|a?2+3|1+1解得a=?1+2或a=?1?2．∵a>0，故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合點到直線的距離公式，從而求出實數(shù)a的值。3．【答案】B【解析】【解答】因為f(x)=x+ln即y=f(x)又因為f(1)=1，所以切線方程為故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再結(jié)合代入法得出切點坐標，再利用點斜式得出曲線在切點處的切線方程，再轉(zhuǎn)化為切線的一般式方程。4．【答案】D【解析】【解答】因為拋物線方程為C：y2又因為點P(3，|PF|=x故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的標準方程得出焦點坐標，再結(jié)合拋物線的標準方程和代入法和拋物線的定義得出PF的長。5．【答案】C【解析】【解答】l1∥l解得a2所以(a+3解得a=?3或a=1，當(dāng)a=?3時，ME=12AD，l故“a=1”是“l(fā)1故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法，進而推出“a=1”是“l(fā)16．【答案】B【解析】【解答】解：AC=AB=∴AG故答案為：B．

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運算，即可求解出答案.7．【答案】A【解析】【解答】因為函數(shù)f(x)所以f'(x所以x1+x2=因為f'(x所以Δ=(2a)2?4×3×1>0，即得a2?3>0，解得a<?因為f'(xf(x)在(?∞，x1)上單調(diào)遞增，在(故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)有兩個極值點x1，x2(x1<8．【答案】B【解析】【解答】因為點M在C上，F(xiàn)1由雙曲線的對稱性不妨設(shè)MF則|MF1|?|MF因為MF1?由勾股定理得|MF1①②聯(lián)立可得|MF1|=所以S△故答案為：B

【分析】利用點M在C上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，由雙曲線的對稱性不妨設(shè)MF1>MF2，再利用雙曲線的定義和焦距的定義，再結(jié)合雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，則|MF1|?|MF2|=2①和F19．【答案】C【解析】【解答】在平面β內(nèi)，由DA⊥l，CB⊥l，可得DA//BC.又DA=4，CB=8，所以四邊形ADCB為直角梯形，SADCB要使四棱錐P?ABCD的體積的最大值，則只要四棱錐的高h最大即可.因為平面α⊥平面β，α∩β=l，過點P向l作垂線交l于E，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得，PE⊥α，則PE=h.又PE是△PAB的高，且由DA⊥l，CB⊥l可知，DA⊥α，CB⊥α，又AP?α，PB?β，所以DA⊥AP，BC⊥PB.在Rt△PAD中，tan∠APD=ADAP.在Rt△PBC又∠APD=∠BPC，所以ADAP=BCBP，所以設(shè)∠APB=θ，AP=m，在△APB中，由余弦定理可得cosθ=因為sinθ>0，所以sin則S△PAB=1所以，h=1根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得PA+PB>AB=6|PA?PB|<AB=6，即3m>6所以2<m<6，4<m所以，當(dāng)m2=20時，h=1又四棱錐P?ABCD的體積為V=1所以，四棱錐P?ABCD的體積的最大值為48。故答案為：C.

【分析】在平面β內(nèi)，由DA⊥l，CB⊥l，可得DA//BC，再利用DA=4，CB=8，所以四邊形ADCB為直角梯形，再結(jié)合直角梯形的面積公式得出SADCB的值，要使四棱錐P?ABCD的體積的最大值，則只要四棱錐的高h最大即可，利用平面α⊥平面β，過點P向l作垂線交l于E，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得PE⊥α，則PE=h，再利用PE是△PAB的高且由DA⊥l，CB⊥l可知，DA⊥α，CB⊥α，所以DA⊥AP，BC⊥PB，在Rt△PAD中結(jié)合正切函數(shù)的定義得出tan∠APD=ADAP，在Rt△PBC中結(jié)合正切函數(shù)的定義得出tan∠BPC=BCBP，再利用∠APD=∠BPC，所以BP=2AP，設(shè)∠APB=θ，AP=m，在△APB中，由余弦定理可得cosθ=5m2?36410．【答案】B【解析】【解答】由題意得，F(xiàn)12=F2所以F2F3?，F(xiàn)m累加得F1因為F100=當(dāng)n≥2，n∈N?，所以m+1=100，所以m=99。故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)列的遞推公式和累加法得出Fm+1=F11．【答案】(x+1)?【解析】【解答】∵f(x)=xe∴f'故答案為：(x+1)?e

【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算公式，即可得到答案。12．【答案】-4【解析】【解答】因為平面α的法向量為n=(1，2，?2)，直線l的方向向量為u=也即(?2，m，4故答案為：-4。

【分析】利用已知條件結(jié)合平面的法向量求解方法得出平面α的法向量，再結(jié)合直線的方向向量求解方法得出直線l的方向向量，且l⊥α，所以n//u，再利用向量共線的坐標表示得出13．【答案】x?y+1=0【解析】【解答】由C：(x+1)設(shè)與直線x?y=0平行的直線為：x?y+a=0，因為x?y+a=0過圓心(?1，所以?1?0+a=0?a=1，故所求直線為：x?y+1=0。故答案為：x?y+1=0。

【分析】利用已知條件結(jié)合兩直線平行斜率相等的性質(zhì)，再結(jié)合圓的標準方程得出圓心坐標，再結(jié)合點斜式得出過圓C：(x+1)14．【答案】-3（答案不唯一，q<?2即可）【解析】【解答】由2a2n?1+因為q≠0，顯然有q2n?2又a1<0，所以q+2<0，故答案為：-3。

【分析】由2a2n?1+a2n>0結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，進而可得a115．【答案】①②④【解析】【解答】當(dāng)a=1時，方程為x當(dāng)x，y<0時，x3將點(y，x)代入曲線方程得x3+y當(dāng)k=?1，聯(lián)立x3+y將x+y=?1代入得?(x+y)故曲線D與直線x+y=?1無公共點，③錯誤；聯(lián)立x3+y設(shè)t(x)=x3+當(dāng)k>0時，t(x)在(?∞，?k)，(k當(dāng)k=0時t(0)=0成立.當(dāng)k<0時，t'(x)=3xt(?k)=?k3+所以曲線D與直線y=k一定有公共點故④選項正確.故答案為：①②④.

【分析】利用已知條件結(jié)合a的值得出方程，再結(jié)合曲線的圖象所在的象限、曲線的圖象的對稱性、曲線與直線的的交點個數(shù)，進而找出正確結(jié)論的序號。16．【答案】22【解析】【解答】由已知可得，a=2，b=1，所以c=1，則離心率e=根據(jù)橢圓的對稱性可得，P，Q點關(guān)于原點對稱，設(shè)P(x且SP當(dāng)|y0|不妨設(shè)P(0，1).F1(?1，0)，所以PF故答案為：22；0

【分析】由已知可得a，b的值，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出c的值，再結(jié)合橢圓的離心率公式得出橢圓的離心率的值；根據(jù)橢圓的對稱性可得P，Q點關(guān)于原點對稱，設(shè)P(x0，y0)，進而結(jié)合點與點關(guān)于原點對稱得出點Q的坐標，再利用三角形的面積公式和四邊形面積和三角形面積的關(guān)系式，所以SPF1QF17．【答案】（1）解：f'當(dāng)f'(x)≥0，解得：x≥3或x≤?1，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞，當(dāng)f'(x)<0，解得：?1<x<3，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞，?1]，[3，（2）解：由（1）可得下表x0(03(34f?0+f(x)1單調(diào)遞減?8單調(diào)遞增?所以函數(shù)的最大值是f(0)=1，函數(shù)的最小值是f(3)=?8【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）利用已知條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，進而得出當(dāng)x∈[0，18．【答案】（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.a14d=ad=2，a所以an所以Sn（2）解：若選①：bnTn若選②：bnTn若選③：bnT===n【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式得出等差數(shù)列的首項和公差的值，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式得出數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列前n項和公式得出Sn的值。

（2）若選①結(jié)合數(shù)列{an}的通項公式得出若選②結(jié)合數(shù)列{an}的通項公式得出b若選③結(jié)合數(shù)列{an}的通項公式得出b19．【答案】（1）證明：因為PA=PB，點O是AB的中點，所以PO⊥AB，因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PO⊥平面ABCD，而CD?平面ABCD，所以PO⊥CD；（2）解：設(shè)E為CD的中點，連接OE，因為AD//BC，∠ABC=π2，所以O(shè)E⊥AB，由（1）可知：PO⊥平面ABCD，而AB，因此建立如圖所示的空間直角坐標系，P(因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OE⊥AB，所以O(shè)E⊥平面PAO，因此平面APO的法向量為OE=設(shè)平面DPO的法向量為n=(x于是有n?二面角A?PO?D的余弦值為：OE?（3）解：假設(shè)在棱PC上存在點M，使得BM//平面POD，且CM=λCP(λ∈由（2）可知平面DPO的法向量為n=因為BM//平面POD，所以BM因此假設(shè)成立，CMCP【解析】【分析】（1）利用PA=PB，點O是AB的中點結(jié)合等腰三角形三線合一，所以PO⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD結(jié)合面面垂直證出線面垂直，所以PO⊥平面ABCD，再利用線面垂直證出線線垂直，從而證出PO⊥CD。

（2）設(shè)E為CD的中點，連接OE，利用AD//BC，∠ABC=π2，所以O(shè)E⊥AB，由（1）可知直線PO⊥平面ABCD，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，所以PO⊥OE，PO⊥AB，因此建立空間直角坐標系，從而得出點的坐標，再利用平面PAB⊥平面ABCD結(jié)合OE⊥AB，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，所以O(shè)E⊥平面PAO，再利用平面的法向量求解方法得出平面APO的法向量和平面DPO的法向量，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式得出二面角A?PO?D的余弦值。

（3）假設(shè)在棱PC上存在點M，使得BM//平面POD，且CM=λCP(λ∈[0，120．【答案】（1）解：因為|PF解得a=2.所以點P(1，32將(1，32)代入b=1.從而a2C：（2）解：顯然直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=k(x?4).設(shè)A(x假設(shè)存在點N(t，因為直線NA，NB與y軸圍成的三角形始終為底邊在kNA即kNA即2x由y=